50 Câu Trắc Nghiệm Bài Tổng Hiệu Hai VecTơ Giải Chi Tiết

50 câu trắc nghiệm bài Tổng hiệu hai vectơ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔNG VÀ HIỆU CÁC VECTƠ

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A,B,C$, ta luôn có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $

• Quy tắc hiệu: Với ba điểm $M,N,O$, ta luôn có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} – \overrightarrow {OM} $

• Quy tắc hình bình hành: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.

• Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0$.

• Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$.

Câu 1. Cho ba vectơ $\vec a,\vec b$ và $\vec c$ khác vectơ-không. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$.

B. $\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)$.

C. $\vec a + \vec 0 = \vec a$.

D. $\vec 0 + \vec a = \vec 0$.

Lời giải

Chọn D

$\vec 0 + \vec a = \vec a$.

Câu 2. Cho hình bình hành $ABCD$. Vectơ tổng $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} $ bằng

A. $\overrightarrow {CA} $.

B. $\overrightarrow {BD} $.

C. $\overrightarrow {AC} $.

D. $\overrightarrow {DB} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} .\;$

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.

B. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} $.

C. $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} $.

D. $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} $.

Câu 4. Cho bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$. Vectơ tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} $ bằng

A. $\vec 0$.

B. $\overrightarrow {AC} $.

C. $\overrightarrow {BD} $.

D. $\overrightarrow {BA} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \vec 0$

Câu 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Vectơ tổng $\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} $ bằng

A. $\overrightarrow {BP} $.

B. $\overrightarrow {MN} $.

C. $\overrightarrow {CP} $.

D. $\overrightarrow {PA} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BP} $.

Câu 6. Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} $.

C. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {IB} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {BI} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} $

Câu 7. Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {IB} $.

B. $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {DI} $.

C. $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IC} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {IA} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} $.

Câu 8. Cho các điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Xác định vectơ tổng $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} $.

A. $\overrightarrow {MP} $.

B. $\overrightarrow {MN} $.

C. $\overrightarrow {MQ} $.

D. $\overrightarrow {MR} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP} $

Câu 9. Cho hình bình hành $ABCD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} $

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $.

C. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} $.

D. $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} $.

Lời giải

Chọn C

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $.

Câu 10. Cho tam giác $ABC$ và $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \vec 0$.

C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \vec 0$.

D. $\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PM} .\;$

Câu 11. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.

A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OE} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} $.

C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EF} = \vec 0$.

D. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} = \vec 0$.

Câu 12. Cho hình vuông $ABCD$, tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} $.

B. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CA} $.

C. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} $.

D. $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} $.

Lời giải

Chọn C

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CA} $.

Câu 13. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?.

A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} = \vec 0$.

C. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {FE} = \vec 0$.

D. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {FA} = \vec 0$.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FA} $.

Câu 14. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $M$ là trung điểm $BC,{G_1}$ là điểm đối xứng của $G$ qua $M$. Vectơ tổng $\overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} $ bằng

A. $\overrightarrow {GA} $.

B. $\overrightarrow {BC} $.

C. $\overrightarrow {{G_1}A} $.

D. $\overrightarrow {{G_1}M} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow {{G_1}G} = \overrightarrow {GA} $.

Câu 15. Cho 5 điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MP} $.

B. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {PR} $.

C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MR} $.

D. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $

Câu 16. Cho hình bình hành $ABCD$, tâm $O$. Vectơ tổng $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} $ bằng

A. $\vec 0$.

B. $\overrightarrow {BD} $.

C. $\overrightarrow {OC} $.

D. $\overrightarrow {OA} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CC} = \vec 0$.

Câu 17. Gọi 0 là tâm hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CD} $.

B. $\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} $.

C. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} $.

D. $\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} $.

Lời giải

Chọn B

Xét các đáp án:

• Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $. Vậy A đúng.

• Đáp án B. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = – \overrightarrow {AD} } \\
{\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} }
\end{array}} \right.$.
Vậy B sai.

• Đáp án $C$. Ta có $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} $. Vậy $C$ đúng.

• Đáp án D. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AC} } \\
{\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} }
\end{array}} \right.$.
Vậy D đúng

Câu 18. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Tính $\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} $.

A. $\overrightarrow {BC} $.

B. $\overrightarrow {DA} $.

C. $\overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} $.

D. $\overrightarrow {AB} $.

Lời giải

Chọn B

$\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} $.

Câu 19. Cho $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Hỏi vectơ $\left( {\overrightarrow {AO} – \overrightarrow {DO} } \right)$ bằng vectơ nào?

A. $\overrightarrow {BA} $.

B. $\overrightarrow {BC} $.

C. $\overrightarrow {DC} $.

D. $\overrightarrow {AC} $.

Lời giải

Chọn B

$\overrightarrow {AO} – \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OD} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $.

Câu 20. Chọn khẳng định sai:

A. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \vec 0$.

B. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {AI} – \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} $.

C. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {AI} – \overrightarrow {IB} = \vec 0$.

D. Nếu $I$ là trung điểm đoạn $AB$ thì $\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {BI} = \vec 0$.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {BA} \ne \vec 0.$

Câu 21. Cho các điểm phân biệt $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {DA} $.

B. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AD} $.

C. $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {DA} $.

D. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} $.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} $.

Vậy: $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC} – \overrightarrow {BC} $.

Câu 22. Chỉ ra vectơ tổng $\overrightarrow {MN} – \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {RN} – \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {QR} $ trong các vectơ sau

A. $\overrightarrow {MR} $.

B. $\overrightarrow {MQ} $.

C. $\overrightarrow {MP} $.

D. $\overrightarrow {MN} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} $

Câu 23. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} $.

B. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} $.

C. $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {MD} $.

D. $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} $.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MD} = \vec 0$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} – \overrightarrow {MD} = \vec 0$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \vec 0$. (đúng).

Câu 24. Cho tam giác $ABC$ có $M,N,D$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,BC$. Khi đó, các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DN} $ là:

A. $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.

B. $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.

C. $\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {AM} $.

D. $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {ND} $.

Lời giải

Chọn A

Nhìn hình ta thấy vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {DN} $ là: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {ND} $.

Câu 25. Cho các điểm phân biệt $A,B,C$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {AC} $.

B. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $.

C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {CA} $.

D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} – \overrightarrow {CB} $.

Lời giải

Chọn D

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $

Câu 26. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Khi đó $\overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $ bằng

A. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} $.

B. $\overrightarrow {AB} $.

C. $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} $.

D. $\overrightarrow {CD} $.

Lời giải

Chọn B

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CA} $ (qui tắc 3 điểm).

Câu 27. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ phân biệt. Khi đó vectơ $\vec u = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AB} $ bằng:

A. $\vec u = \overrightarrow {AD} $.

B. $\vec u = \vec 0$.

C. $u = \overrightarrow {CD} $.

D. $\vec u = \overrightarrow {AC} $.

Lời giải

Chọn B

$\vec u = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} = \vec 0$

Câu 28. Cho 4 điểm $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {DB} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $.

C. $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} – \overrightarrow {CB} $.

Lời giải

Chọn C

$\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.

Câu 29. Cho Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} – \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.

C. $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CO} – \overrightarrow {OD} = \vec 0$.

D. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {DO} = \vec 0$. Do $\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {CO} $ đối nhau, $\overrightarrow {BO} ,\overrightarrow {DO} $ đối nhau.

Câu 30. Cho Cho lục giác đều $ABCDEF$ và $O$ là tâm của nó. Đẳng thức nào dưới đây là đẳng thức sai?

A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} – \overrightarrow {EO} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} $.

C. $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {EB} – \overrightarrow {OC} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} – \overrightarrow {EF} = \vec 0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} – \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} – \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AO} – \overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow {AO} \ne \vec 0$.

Câu 31. Cho hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CB} $.

B. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BC} $.

C. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} $.

D. $\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} $.

Câu 32. Cho 4 điểm $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} $.

C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} $.

Câu 33. Cho $\vartriangle ABC$, vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành $ABEF$, $ACPQ,BCMN$. Xét các mệnh đề:

(I) $\overrightarrow {NE} + \overrightarrow {FQ} = \overrightarrow {MP} $

(II) $\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {QP} = – \overrightarrow {MN} $

(III) $\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {MC} $

Mệnh đề đúng là :

A. Chỉ $\left( I \right)$.

B. Chỉ (III) .

C. (I) và (II) .

D. Chỉ (II) .

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {NE} + \overrightarrow {FQ} = \overrightarrow {MP} $.

Câu 34. Cho 5 điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MP} $.

B. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {PR} $.

C. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MR} $.

D. $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} $.

Lời giải

Chọn D

Ta có $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} $.

Câu 35. Cho 6 điểm $A,B,C,D,E,F$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \vec 0$.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AF} $.

C. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} $.

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} $.

Lời giải

Chọn A

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DE} $

$ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FA} $

$ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} = \vec 0$

DẠNG 2: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ

Để tính độ dài của một đẳng thức vectơ (tổng, hiệu của các vectơ ) ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng một vectơ. Rồi sử dụng tính chất hình học để tính độ dài vectơ đó.

Câu 36. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$.

A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 $.

B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a$.

D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn A

Gọi $M$ là điểm sao cho $ABMC$ là hình bình hành. Ta có $AB = AC$ nên $ABMC$ là hình thoi. Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABMC \cdot \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AM} } \right| = AM = 2AO = a\sqrt 3 $.

Câu 37. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Độ dài $\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right|$ bằng

A. $2a$

B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

D. $a\sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn D

Theo quy tắc đường chéo hình bình hành, ta có

$\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .$

Câu 38. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \overrightarrow {BC} $.

B. $\overrightarrow {AC} = a$.

C. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} $.

D. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a$.

Lời giải

Chọn D

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a$.

Câu 39. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. $\vec 0$ cùng hướng với mọi vectơ.

B. $\vec 0$ cùng phương với mọi vectơ.

C. $\overrightarrow {AA} = \vec 0$.

D. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$.

Lời giải

Chọn D

Mệnh đề $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > 0$ là mệnh đề sai, vì khi $A \equiv B$ thì $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 0$.

Câu 40. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $I$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} $.

B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.

C. $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right|$.

D. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} $ (vôlý) $ \to $ A sai.

$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$; $A$ là một điểm nằm ngoài tam giác $BCD \to $ đẳng thức ở đáp án $B$ đúng.

Ta có $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \left| = \right|\overrightarrow {BD} } \right|$ và $\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} \left| = \right|\overrightarrow {DB} } \right|$. Mà $\left| {\overrightarrow {DB} \left| = \right|\overrightarrow {BD} } \right| \to $ đáp án C đúng.

Ta có $\overrightarrow {IA} $ và $\overrightarrow {IC} $ đối nhau, có độ dài bằng nhau $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \vec 0$; tương tự $ \Leftrightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = \vec 0 \to $ đáp án $D$ là đúng.

Câu 41. Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $AB = 5,H$ là trung điểm của $BC$. Tính $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right|$.

A. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$.

B. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = 5$.

C. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{4}$.

D. $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}$.

Lời giải

Chọn D

Gọi $M$ là điểm sao cho CHMA là hình bình hành.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} \left| = \right|\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \left| = \right|\overrightarrow {CM} } \right| = CM = 2CE$ ( $E$ là tâm cúa hình bình hành $CHMA$ ).

Ta lại có: $AH = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$ ( $\vartriangle ABC$ đều, $AH$ là đường cao).

Trong tam giác HEC vuông tại $H$, có:

$EC = \sqrt {C{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {{{2.5}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {HC} } \right| = 2CE = \frac{{5\sqrt 7 }}{2}.$

Câu 42. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành $ABCD$. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} $.

B. $\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {CD} } \right|$.

C. $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} $.

D. $\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} $.

Lời giải

Chọn C

Ta có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow {OA} = – \overrightarrow {OC} $.

Câu 43. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$. Tính $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|$.

A. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 $.

B. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a$.

D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $D$ là điểm thỏa $ABDC$ là hình bình hành. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ suy ra $ABDC$ là hình vuông. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = 2AM = BC = a\sqrt 2 $.

Câu 44. Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, có $AH$ là đường trung tuyến. Tính $\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right|$.

A. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

B. $2a$.

C. $\frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

D. $a\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn C

Dựng $\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AH} \Rightarrow AHMC$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AM} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AH} } \right| = AM$.

Gọi $K$ đối xứng với $A$ qua $BC \Rightarrow \vartriangle AKM$ vuông tại $K$.

$AK = 2AH = a\sqrt 3 ;KM = CH = \frac{a}{2}$.

$AM = \sqrt {A{K^2} + K{M^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

Câu 45. Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $I$ là trung điểm $BC$. Tìm khẳng định sai.

A. $\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right| = IA$.

B. $\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| = BC$.

C. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2AI$.

D. $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 3GA$.

Lời giải

Chọn B

$\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} \left| = \right|\vec 0 + \overrightarrow {IA} \left| = \right|\overrightarrow {IA} } \right| = IA$ (Do $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở A đúng.

$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AI$ (Gọi $D$ là điểm thỏa $ABDC$ là hình bình hành, $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở $C$ đúng.

$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2AI = 3GA$ (Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ) nên khẳng định ở $D$ đúng.

$\left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} \left| = \right|\vec 0} \right| = 0$ (Do $I$ là trung điểm $BC$ ) nên khẳng định ở $B$ sai.

DẠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Câu 46. Có hai lực ${\vec F_1},{\vec F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$, biết hai lực ${\vec F_1},{\vec F_2}$ đều có cường độ là $50\left( {\;N} \right)$ và chúng hợp với nhau một góc ${60^ \circ }$. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?

A. $100\left( {\;N} \right)$.

B. $50\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.

C. $100\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.

D. Đáp án khác.

Lời giải

Chọn B

Giả sử ${\vec F_1} = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} $.

Theo quy tắc hình bình hành, suy ra ${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OC} $, như hình vẽ.

Ta có $\widehat {AOB} = {60^ \circ },OA = OB = 50$, nên tam giác $OAB$ đều, suy ra $OC = 50\sqrt 3 $.

Vậy $\left| {{{\vec F}_1} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = 50\sqrt 3 \left( {\;N} \right)$.

Câu 47. Cho hai lực ${F_1},{F_2}$. Có điểm đặt tại $M$. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng biết ${\vec F_1}$ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có cùng cường độ lực là $100\;N$, góc hợp bởi $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ là ${120^ \circ }$.

A. $120N$

B. $60N$

C. $100\;N$

D. $50N$

Lời giải

Chọn C.

Theo quy tắc hình bình hành: ${\vec F_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} $

$\vartriangle AMB$ là tam giác đều $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MB} } \right| = 100N$

Câu 48. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ:

Trong đó $\vartriangle ABC$ vuông ở $C$. Người ta treo vào điểm $A$ một vật nặng $10N$. Khi đó lực tác dụng vào bức tường tại điểm $B$ :

A. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BA} $ với cường độ $10\sqrt 3 N$

B. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BC} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$

C. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BA} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$

D. Kéo bức tường theo hướng $\overrightarrow {BC} $ với cường độ $10\sqrt 2 N$

Lời giải

Chọn C.

Ta xem $\vec F$ là tổng của vectơ ${\vec F_1},{\vec F_2}$ lần lượt nằm trên 2 dường thẳng $AC$ và $AB$ và ta có:

$\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\vec F} \right| = 10N;\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 10\sqrt 2 $ và lực $\overrightarrow {{F_2}} $ theo hướng $\overrightarrow {BA} $

Câu 49. Cho hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có điểm đặt 0 và tạo với nhau góc ${60^ \circ }$. Cường độ của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ đều là $100\;N$.Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

A. $100\;N$

B. $100\sqrt 3 \;N$

C. $50\;N$

D. $50\sqrt 3 \;N$

Lời giải

Chọn B

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \vec F = \overrightarrow {OA} $

$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OA = 100\sqrt 3 $

Câu 50. Cho hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ có điểm đặt 0 hợp với nhau một góc ${120^ \circ }$. Cường độ của hai lực $\overrightarrow {{F_1}} $ và $\overrightarrow {{F_2}} $ đều là $50\;N$.Cường độ tổng hợp lực của hai lực đó là

A. $100\;N$

B. $100\sqrt 3 \;N$

C. $50\;N$

D. $50\sqrt 3 \;N$

Lời giải

Chọn C.

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} $

$\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OD = 50$

Vì $\vartriangle OAD$ là tam giác đều cạnh $50\;N$.