25 Câu Trắc Nghiệm Tìm Tập Hợp Điểm Thỏa Mãn Đẳng Thức Vectơ Giải Chi Tiết

25 câu trắc nghiệm tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết.

• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} \left| = \right|\overrightarrow {MB} } \right|$ với $A,B$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$.

• Nếu $|\overrightarrow {MA} = k > 0$ với $A$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $A$ bán kính $R = k$.

• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ với $A,B$ cố định cho trước thì $M$ nằm trên đường tròn tâm $A$, bán kính $R = k \cdot AB,k \in \mathbb{R}$.

• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} $ với $A,B$ cố định, $k$ là số thực thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $AB$.

• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {BC} $ với $A,B,C$ cố định, $k$ là số thực thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.

• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ với $A,B,C,D$ cố định cho trước thì tập hợp điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $IJ$ với $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

Câu 1: Cho tam giác $ABC$, có bao nhiêu điểm $M$ thoả mãn: $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 1$
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số

Lời giải

Chọn D

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

Ta có $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|3\overrightarrow {MG} } \right| = 3MG = 1 \Rightarrow MG = \frac{1}{3}$

Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 1$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R = \frac{1}{3}$.

Câu 2: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$ là:
A. Đường tròn đường kính $AB$.
B. Đường tròn đường kính $BC$.
C. Đường trung trực của cạnh $AD$.
D. Đường trung trực của cạnh $AB$.

Lời giải

Chọn C

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $DC$.

$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|$$ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {ME} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MF} } \right|$

$ \Leftrightarrow ME = MF$

Do đó $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $EF$ hay $M$ thuộc đường trung trực của cạnh $AD$.

Câu 3: Cho hình bình hành $ABCD$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right|$ là:
A. Một đường thẳng.
B. Một đường tròn.
C. Toàn bộ mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
D. Tập rỗng.

Lời giải

Chọn C

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Ta có:

$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \left| \Leftrightarrow \right|2\overrightarrow {MO} \left| = \right|2\overrightarrow {MO} } \right|$

$ \Leftrightarrow MO = MO\;$

(đúng với mọi điểm M)

Vậy tập hợp các điểm $M$ là toàn bộ mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Câu 4: Cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {BM} – \overrightarrow {BA} } \right|$ là?
A. đường thẳng $AB$.
B. trung trực đoạn $BC$.
C. đường tròn tâm $A$, bán kính $BC$.
D. đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\left| {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {BM} – \overrightarrow {BA} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {CB} \left| = \right|\overrightarrow {AM} } \right| \Rightarrow AM = BC$

Mà $A,B,C$ cố định $ \Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $BC$.

Câu 5: Cho hình bình hành $ABCD$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} $ là?
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.
C. tập rỗng.
D. một đoạn thẳng.

Lời giải

Chọn C.

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} – \overrightarrow {MA} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AD} $ sai

$ \Rightarrow $ Không có điểm $M$ thỏa mãn.Chọn ${\mathbf{C}}$.

Câu 6: Cho tam giác $ABC$, trọng tâm $G$, gọi $I$ là trung điểm $BC,M$ là điểm thoả mãn: $2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$. Khi đó, tập hợp điểm $M$ là
A. Đường trung trực của $BC$.
B. Đường tròn tâm $G$, bán kính $BC$.
C. Đường trung trực của $IG$.
D. Đường tròn tâm $I$, bán kính $BC$.

Lời giải:

Chọn C.

Ta có: $2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { \Leftrightarrow 2} \right|3\overrightarrow {MG} \left| { = 3} \right|2\overrightarrow {MI} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {MG} \left| = \right|\overrightarrow {MI} } \right| \Leftrightarrow MG = MI$.

Vậy tập hợp điểm $M$ thoả hệ thức trên là đường trung trực của $IG$.

Câu 7: Cho tam giác $ABC$. Tập hợp những điểm $M$ sao cho: $\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} \left| { = 6} \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$ là
A. $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $R = 2AB$ với $I$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $IA = 2IB$.
B. $M$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
C. $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $R = 2AC$ với $I$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $IA = 2IB$.
D. $M$ nằm trên đường thẳng qua trung điểm $AB$ và song song với $BC$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $I$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $3\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} $, ta có:

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BI} = 3\overrightarrow {MI} $

$\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} $.

$\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} \left| { = 6} \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} \left| \Leftrightarrow \right|3\overrightarrow {MI} \left| { = 6} \right|\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow MI = 2AB$.

Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$, bán kính $R = 2AB$ với $I$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $IA = 2IB$.

Câu 8: Cho $\vartriangle ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right| = \overrightarrow {MC} $ là:
A. một đường tròn tâm $C$
B. đường tròn tâm $I$ ( $I$ là trung điểm của $AB$ )
C. một đường thẳng song song với $AB$
D. là đường thẳng trung trực của $BC$

Lời giải

Chọn D.

$\left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MC} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {BA} \left| = \right|\overrightarrow {MC} } \right|$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $C$ bán kính $AB$.

Câu 9: Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \left| { = k,k} \right\rangle 0$ là:
A. đường tròn tâm $O$ bán kính là $\frac{k}{4}$
B. đường tròn đi qua $A,B,C,D$
C. đường trung trực của $AB$
D. tập rỗng

Lời giải

Chọn D.

$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \left| = \right|4\overrightarrow {MO} \left| { = k \Leftrightarrow } \right|\overrightarrow {MO} } \right| = \frac{k}{4}$ Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{k}{4}$

Câu 10: Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$. Tập hợp điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 6$ là:
A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
B. Đường tròn tâm $G$ bán kính là 1.
C. Đường tròn tâm $G$ bán kính là 2.
D. Đường tròn tâm $G$ bán kính là 6 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} \left| { = 6 \Leftrightarrow } \right|\overrightarrow {MG} } \right| = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính là 2 .

Câu 11: Cho $\vartriangle ABC$ có trọng tâm $G$. $I$ là trung điểm của $BC$. Tập hợp điểm $M$ sao cho: $2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| { = 3} \right|\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ là:
A. đường trung trực của đoạn $GI$
B. đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC$
C. đường thẳng $GI$
D. đường trung trực của đoạn $AI$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} ,\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} $

$ \Rightarrow 2\left| {3\overrightarrow {MG} \left| { = 3} \right|2\overrightarrow {MI} } \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MG} \left| = \right|\overrightarrow {MI} } \right| \Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là trung trực của $GI$.

Câu 12: Cho $\vartriangle ABC$ trọng tâm $G$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm $BC,AB,CA$. Quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MC} } \right|$ là:
A. đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{1}{2}JK$
B. đường tròn tâm $G$ bán kính $\frac{1}{3}IJ$
C. đường tròn tâm $G$ bán kính $\frac{1}{3}CA$
D. trung trực $AC$

Lời giải

Chọn B.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ thì
$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {MC} } \right|$$ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} \left| = \right|2\overrightarrow {MC} } \right|$$ \Leftrightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là trung trực của $IC$
Câu 13: Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ cố định. Với mỗi điểm $M$ ta xác định điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} $, lúc đó:
A. Khi $M$ chạy trên $\left( {O;R} \right)$ thì $M$ ‘ chạy trên đường thẳng $AB$
B. Khi $M$ chạy trên $\left( {O;R} \right)$ thì $M$ ‘ chạy trên đường thẳng đối xứng với $AB$ qua $O$
C. Khi $M$ chạy trên $\left( {O;R} \right)$ thì $M’$ chạy trên một đường tròn cố định
D. Khi $M$ chạy trên $\left( {O;R} \right)$ thì $M$ ‘ chạy trên một đường tròn cố định bán kính $R$

Lời giải

Chọn D.

Gọi $I$ là trung điểm $AB$

$ \Rightarrow I$ là điểm cố định:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {MM’} = 2\overrightarrow {MI} $

$ \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM’$

Gọi $O’$ là điểm đối xứng của $O$ qua điểm $I$ thì $O’$ cố định và $MOMM’O’$ là hình bình hành $ \Rightarrow OM = OM’ = R \Rightarrow M’$ nằm trên đường tròn cố định tâm $O’$ bán kính $R$.

Câu 14: Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} $ là
A. một đoạn thẳng
B. một đường tròn
C. một điểm
D. tập hợp rỗng

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} $

$ \Rightarrow 2\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MJ} \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MJ} $ với $I,J$ là trung điểm của $AB,CD$

$ \Rightarrow $ Không có điểm $M$ nào thỏa mãn.

Câu 15: Trên đường tròn $C\left( {O;R} \right)$ lấy điểm cố định $A;B$ là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi $M$ là điểm di động sao cho $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} $. Khi đó tập hợp điểm $M$ là:
A. đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$.
B. đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
C. đường thẳng song song với $OA$
D. đường tròn tâm $C$ bán kính $R\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow O,A,M,B$ theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do $AM = OB = R \Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $A$ bán kính $R$.

Câu 16: Cho $\vartriangle ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = k\overrightarrow {BC} $ với $k \in \mathbb{R}$
A. là một đoạn thẳng
B. là một đường thẳng
C. là một đường tròn
D. là một điểm

Lời giải

Chọn D.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB,I$ là trung điểm của $EC$

$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} $

$ = 3\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MC} = 4\overrightarrow {MI} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {MI} = \frac{k}{4}\overrightarrow {BC} $

Do $I,B,C$ cố định nên tập hợp điểm $M$ là một đường thẳng đi qua $I$ và song song với $BC$.

Câu 17: Cho $\vartriangle ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức: $\left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right|$.

Tập hợp điểm $M$ là
A. một đoạn thẳng
B. nửa đường tròn
C. một đường tròn
D. một đường thẳng

Lời giải

Chọn C.

Gọi $E$ là trung điểm của $AC \Rightarrow \left| {3\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right|$

$ \Leftrightarrow \left| {2\left( {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {AB} \left| \Leftrightarrow \right|2\overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {ME} \left| = \right|\overrightarrow {AB} } \right|$

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {EI} $

$ \Leftrightarrow \left| {2\left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {ME} } \right)\left| = \right|\overrightarrow {AB} \left| { \Leftrightarrow 2} \right|\overrightarrow {MI} \left| = \right|\overrightarrow {AB} } \right| \Leftrightarrow MI = \frac{1}{2}AB$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{{AB}}{2}$.

Câu 18: Tập hợp điểm $M$ thỏa mãn hệ thức: $\left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} } \right|$
A. là một đường tròn có bán kính là $\frac{{AB}}{2}$
B. là một đường tròn có bán kính là $\frac{{BC}}{3}$
C. là một đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$
D. là một điểm

Lời giải

Chọn B.

Chọn điểm I sao cho

$3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} – 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow – 3\overrightarrow {AI} + 2\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AI} } \right) – 2\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AI} } \right) = \vec 0$

$ \Leftrightarrow – 3\overrightarrow {AI} + 2\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right) = \vec 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {CB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} $

$ \Rightarrow 3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) – 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) = 3\overrightarrow {MI} $

$ \Rightarrow \left| {3\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} } \right| \Leftrightarrow 3MI = CB \Leftrightarrow MI = \frac{1}{3}CB$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{{CB}}{3}$.

Câu 19: Cho $\vartriangle ABC$. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MA} } \right|$
A. Quỹ tích điểm $M$ là một đường tròn bán kính $\frac{{AB}}{3}$
B. Quỹ tích điểm $M$ là một đường tròn bán kính $\frac{{AB}}{4}$
C. Quỹ tích điểm $M$ là một đường tròn bán kính $\frac{{AB}}{9}$
D. Quỹ tích điểm $M$ là một đường tròn bán kính $\frac{{AB}}{2}$

Lời giải

Chọn C.

Vì $A,B,C$ cố định nên ta chọn điểm $I$ thỏa mãn:

$2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0$

$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) = \vec 0$

$ \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IA} = – 3\overrightarrow {AB} – 4\overrightarrow {AC} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = – \frac{{3\overrightarrow {AB} + 4\overrightarrow {AC} }}{9}$

$ \Rightarrow I$ duy nhất từ đó

$2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = 9\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right) = 9\overrightarrow {MI} $

và $\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} $

Từ giả thiết $ \Rightarrow \left| {9\overrightarrow {MI} \left| = \right|\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow MI = \frac{{AB}}{9}$

Câu 20: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức: $2\overrightarrow {MA} – \left( {1 + k} \right)\overrightarrow {MB} – 3k\overrightarrow {MC} = \vec 0,k$ là giá trị thay đổi trên $\mathbb{R}$.
A. Tập hợp điểm $M$ là một đoạn thẳng.
B. Tập hợp điểm $M$ là một đường tròn.
C. Tập hợp điểm $M$ là một đường thẳng.
D. Tập hợp điểm $M$ là một nửa đường tròn.

Lời giải

Chọn C.

Từ giả thiết $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} = k\left( {\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right)$

Gọi $I,K$ là các điểm sao cho $2\overrightarrow {IA} – \overrightarrow {IB} = \vec 0;\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \vec 0$

Thì $I,K$ là các điểm cố định: $I \in AB:IB = 2IA;K \in BC:KB = 3KC$

Từ $\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) – \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = k\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {MK} + 3\overrightarrow {KC} } \right)$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} = 4k\overrightarrow {MK} $

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng.

Câu 21: Cho $\vartriangle ABC$. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn điều kiện: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = k\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} } \right),k \in \mathbb{R}$.
A. Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của $EF$, với $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$
B. Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$
C. Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{{AB}}{9}$

D. Với $H$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AH} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $ thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $HB$ với $E$ là trung điểm của $AB$

Lời giải

Chọn D.

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {MC} $$ = \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) – 3\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right)\;$(với H là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AH} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $)

$ = 2\overrightarrow {AB} – 3\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} – 2\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {HB} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = k\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} } \right)$

$ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {ME} = 2k\overrightarrow {HB} $

$\; \Leftrightarrow \overrightarrow {ME} = k\overrightarrow {HB} $

Câu 22: Cho tứ giác $ABCD$ với $K$ là số tùy ý. Lấy cá điểm $M,N$ sao cho $\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DN} = k\overrightarrow {DC} $. Tìm tập hợp trung điểm $I$ của đoạn $MN$ khi $k$ thay đổi.
A. Tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $OO’$ với $O$ và $O’$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD$
B. Tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $OO’$ với $O$ và $O’$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$
C. Tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $OO’$ với $O$ và $O’$ lần lượt là trung điểm của $AB,DC$
D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải

Chọn B.

Gọi $O,O’$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$, ta có:

$\overrightarrow {AB’} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OO’} + \overrightarrow {O’B} $

Và $\;\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OO’} + \overrightarrow {O’C} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {OO’} $

Gọi $I$ là trung điểm $MN$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {OI} $

$\; \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {DC} } \right) = k\overrightarrow {OO’} $

Vậy tập hợp điểm $I$ là đường thẳng $OO’$

Câu 23: Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ sao cho $\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} $. Điểm $M$ di động nằm trên $BC$ sao cho $\overrightarrow {BM} = x\overrightarrow {BC} $. Tìm $x$ sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} $ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $\frac{4}{5}$.
B. $\frac{5}{6}$.
C. $\frac{6}{5}$.
D. $\frac{5}{4}$.

Lời giải

Chọn B

Dựng hình bình hành $AGCE$. Ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {ME} $.

Kẻ $EF \bot BC\;\left( {F \in BC} \right)$. Khi đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \left| = \right|\overrightarrow {ME} } \right| = ME \geqslant EF$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|$ nhỏ nhất khi $M \equiv F$.

Gọi $P$ là trung điểm $AC,Q$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $BC\left( {Q \in BC} \right)$.

Khi đó $P$ là trung điểm $GE$ nên $BP = \frac{3}{4}BE$. Ta có $\vartriangle BPQ$ và $\vartriangle BEF$ dồng dạng nên $\frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{{BP}}{{BE}} = \frac{3}{4}$ hay $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} $.

Mặt khác, $\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} $.

$PQ$ là đường trung bình $\vartriangle AHC$ nên $Q$ là trung điểm $HC$ hay $\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} $.

Suy ra $\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} $$ = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} $.

Do đó $\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} $.

Câu 24: Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $a$. Một điểm $M$ di động sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$. Tính độ dài lớn nhất của $MH$ ?
A. $\frac{a}{2}$.
B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
C. $a$.
D. $2a$.

Lời giải

Chọn A

Gọi $N$ là đỉnh thứ 4 của hình bình hành $MANB$. Khi đó $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MN} $.

Ta có $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \left| = \right|\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} \left| \Leftrightarrow \right|\overrightarrow {MN} \left| = \right|\overrightarrow {BA} } \right|$ hay $MN = AB$.

Suy ra $MANB$ là hình chữ nhật nên $\widehat {AMB} = {90^ \circ }$.

Do đó $M$ nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$.

$MH$ lớn nhất khi $H$ trùng với tâm $O$ hay max $MH = MO = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

Câu 25: Cho lục giác đều $ABCDEF$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right|$ nhận giá trị nhỏ nhất.
A. Tập hợp điểm $M$ là một đường thẳng
B. Tập hợp điểm $M$ là một đoạn thẳng
C. Tập hợp điểm $M$ là một đường tròn
D. Là một điểm

Lời giải

Chọn B.

Gọi $P,Q$ lần lượt là trọng tâm $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle DEF$.

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \left| + \right|\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right|$

$ = 3\left| {\overrightarrow {MP} \left| { + 3} \right|\overrightarrow {MQ} } \right|$

$ \geqslant 3\left( {MP + MQ} \right)$

$ \geqslant 3PQ$

Dấu “= ” xảy ra khi $M$ thuộc đoạn $PQ$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng $PQ$.