70 Câu Trắc Nghiệm Vectơ Trong Mặt Phẳng Tọa Độ Theo Dạng Giải Chi Tiết

70 câu trắc nghiệm vectơ trong mặt phẳng tọa độ theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ-CÁC PHÉP TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VECTƠ

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$. Tìm tọa độ của các điểm ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành?
A. ${M_1}\left( {x; – y} \right)$.
B. ${M_1}\left( { – x;y} \right)$.
C. ${M_1}\left( { – x; – y} \right)$.
D. ${M_1}\left( {x;y} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành suy ra ${M_1}\left( {x; – y} \right)$.

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left( {2; – 3} \right)$. Tìm tọa độ của các điểm ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục tung?
A. ${M_1}\left( { – 3;2} \right)$.
B. ${M_1}\left( { – 2;3} \right)$.
C. ${M_1}\left( { – 2; – 3} \right)$.
D. ${M_1}\left( {2;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

${M_1}$ đối xứng với $M\left( {2; – 3} \right)$ qua trục tung, suy ra ${M_1}\left( { – 2; – 3} \right)$.

Câu 3: Vectơ $\vec a = \left( { – 4;0} \right)$ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
A. $\vec a = – 4\vec i + \vec j$.
B. $\vec a = – \vec i + 4\vec j$.
C. $\vec a = – 4\vec j$.
D. $\vec a = – 4\vec i$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\vec a = \left( { – 4;0} \right) \Rightarrow \vec a = – 4\vec i + 0\vec j = – 4\vec i$.

Câu 4: Cho $\vec u = \left( {{m^2} + 3;2m} \right),\vec v = \left( {5m – 3;{m^2}} \right)$. Vectơ $\vec u = \vec v$ khi và chỉ khi
A. $m = 2$
B. $m = 0$
C. $m = 1$
D. $m = 3$

Lời giải

Chọn A.

Theo bài ra $\vec u = \vec v$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + 3 = 5m – 3} \\
{2m = {m^2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{m^2} – 5m + 6 = 0 \hfill \\
– {m^2} + 2m = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
m = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
m = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2$

Câu 5: Cho điểm $A\left( { – 2;3} \right)$ và vectơ $\overrightarrow {AM} = 3\vec i – 2\vec j$. Vectơ nào trong hình là vectơ $\overrightarrow {AM} $ ?

A. ${\vec V_1}$
B. $\overrightarrow {{V_2}} $
C. ${\vec V_3}$
D. $\overrightarrow {{V_4}} $

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {{V_4}} = 3\vec i – 2\vec j$

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 1;2} \right)$ đối nhau.
B. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 2; – 1} \right)$ đối nhau.
C. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( { – 2;1} \right)$ đối nhau.
D. Hai vectơ $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( {2;1} \right)$ đối nhau.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $\vec u = \left( {2; – 1} \right) = – \left( { – 2;1} \right) = – \vec v \Rightarrow \vec u$ và $\vec v$ đối nhau.

Câu 7: Trong hệ trục $\left( {O;\vec i;\vec j} \right)$, tọa độ của vec tơ $\vec i + \vec j$ là:
A. $\left( { – 1;1} \right)$.
B. $\left( {1;0} \right)$.
C. $\left( {0;1} \right)$.
D. $\left( {1;1} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\vec i + \vec j = \left( {1;0} \right) + \left( {0;1} \right) = \left( {1;1} \right)$.

Câu 8: Cho $\vec a = \left( { – 1;2} \right),\vec b = \left( {5; – 7} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\vec a – \vec b$ là:
A. $\left( {6; – 9} \right)$.
B. $\left( {4; – 5} \right)$.
C. $\left( { – 6;9} \right)$.
D. $\left( { – 5; – 14} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $\vec a – \vec b = \left( { – 1 – 5;2 + 7} \right) = \left( { – 6;9} \right)$.

Câu 9: Cho $\vec a = \left( { – 4,1} \right)$ và $\vec b = \left( { – 3, – 2} \right)$. Tọa độ $\vec c = \vec a – 2\vec b$ là:
A. $\vec c = \left( {1; – 3} \right)$.
B. $\vec C = \left( {2;5} \right)$.
C. $\vec c = \left( { – 7; – 1} \right)$.
D. $\vec c = \left( { – 10; – 3} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\vec c = \vec a – 2\vec b = \left( { – 4 – 2.\left( { – 3} \right);1 – 2.\left( { – 2} \right)} \right) = \left( {2;5} \right)$.

Câu 10: Cho $\vec a = \left( {x;2} \right),\vec b = \left( { – 5;\frac{1}{3}} \right),\vec c = \left( {x;7} \right)$. Vectơ $\vec c = \overrightarrow {4a} – 3\vec b$ nếu
A. $x = 15$.
B. $x = 3$.
C. $x = – 15$.
D. $x = – 5$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: $\vec c = \overrightarrow {4a} – 3\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4x – 3 \cdot \left( { – 5} \right)} \\
{7 = 4 \cdot 2 – 3 \cdot \frac{1}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow x = – 5} \right.$.

Câu 11: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec a = \left( {m – 2;2n + 1} \right),\vec b = \left( {3; – 2} \right)$. Nếu $\vec a = \vec b$ thì
A. $m = 5,n = – 3$.
B. $m = 5,n = – \frac{3}{2}$.
C. $m = 5,n = – 2$.
D. $m = 5,n = 2$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m – 2 = 3} \\
{2n + 1 = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 5} \\
{n = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 12: Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\vec i;\vec j} \right)$ cho hai véc tơ $\vec a = 2\vec i – 4\vec j;\vec b = – 5\vec i + 3\vec j$. Tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a – \vec b$ là
A. $\vec u = \left( {9; – 5} \right)$.
B. $\vec u = \left( { – 1;5} \right)$.
C. $\vec u = \left( {7; – 7} \right)$.
D. $\vec u = \left( {9; – 11} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $\vec a = \left( {2; – 4} \right)$ và $\vec b = \left( { – 5;3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec a – \vec b = \left( {9; – 11} \right)$.

Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vec a = \left( {2; – 4} \right),\vec b = \left( { – 5;3} \right)$. Véc tơ $2\vec a – \vec b$ có tọa độ là
A. $\left( {7; – 7} \right)$.
B. $\left( {9; – 5} \right)$.
C. $\left( { – 1;5} \right)$.
D. $\left( {9; – 11} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $2\vec a – \vec b = 2\left( {2; – 4} \right) – \left( { – 5;3} \right) = \left( {4 + 5; – 8 – 3} \right) = \left( {9; – 11} \right)$.

Câu 14: Cho $\vec a = \left( {1;2} \right)$ và $\vec b = \left( {3;4} \right)$. Vectơ $\vec m = 2\vec a + 3\vec b$ có tọa độ là
A. $\vec m = \left( {10;12} \right)$.
B. $\vec m = \left( {11;16} \right)$.
C. $\vec m = \left( {12;15} \right)$.
D. $\vec m = \left( {13;14} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\vec m = 2\vec a + 3\vec b = \left( {11;16} \right)$.

Câu 15: Cho $\vec a = \left( {3; – 1} \right),\vec b = \left( {0;4} \right),\vec c = \left( {5;3} \right)$. Tìm vectơ $\vec x$ sao cho $\vec x – \vec a + 2\vec b – 3\vec c = \vec 0$.
A. $\left( {18;0} \right)$
B. $\left( { – 8;18} \right)$
C. $\left( {8;18} \right)$
D. $\left( {8; – 18} \right)$

Lời giải

Chọn A.

$\vec x – \vec a + 2\vec b – 3\vec c = \vec 0$

$ \Leftrightarrow \vec x = \vec a – 2\vec b + 3\vec c = \left( {18;0} \right)$

Câu 16: Cho vectơ $\vec a = \left( {2;1} \right),\vec b = \left( {3;4} \right),\vec c = \left( {7;2} \right)$. Khi đó $\vec c = m\vec a + n\vec c$. Tính tổng $m + n$ bằng:
A. 5
B. 3,8
C. -5
D. $ – 3,8$

Lời giải

Chọn B.

$\vec c = m\vec a + n\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7 = 2m + 3n} \\
{2 = m + 4n}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 4,4} \\
{n = – 0}
\end{array} \Rightarrow m + n = 3,8} \right.$

Câu 17: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ là
A. $\overrightarrow {AB} = \left( {{y_A} – {x_A};{y_B} – {x_B}} \right)$.
B. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_A} + {x_B};{y_A} + {y_B}} \right)$.
C. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_A} – {x_B};{y_A} – {y_B}} \right)$.
D. $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Theo công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A}} \right)$.

Câu 18: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {5;2} \right),B\left( {10;8} \right)$. Tọa độ của vec tơ $\overrightarrow {AB} $ là:
A. $\left( {2;4} \right)$.
B. $\left( {5;6} \right)$.
C. $\left( {15;10} \right)$.
D. $\left( {50;6} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {10 – 5;8 – 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.

Câu 19: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M\left( {1; – 3} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành là $H\left( {1;0} \right)$.
B. Điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ là $P\left( {3; – 1} \right)$.
C. Điểm đối xứng với $M$ qua trục hoành là $N\left( {1;3} \right)$.
D. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục tung là $K\left( {0; – 3} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$

• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành là $H\left( {1;0} \right)$. Đáp án A đúng.

• Điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ là $P\left( { – 1;3} \right)$. Đáp án $B$ sai.

• Điểm đối xứng với $M$ qua trục hoành là $N\left( {1;3} \right)$. Đáp án $C$ đúng.

• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục tung là $K\left( {0; – 3} \right)$. Đáp án $D$ đúng.

Câu 20: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( { – 4;0} \right)$ và $B\left( {0;3} \right)$. Xác định tọa độ của vectơ $\vec u = 2\overrightarrow {AB} $
A. $\vec u = \left( { – 8; – 6} \right)$.
B. $\vec u = \left( {8;6} \right)$.
C. $\vec u = \left( { – 4; – 3} \right)$.
D. $\vec u = \left( {4;3} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {AB} = \left( {8;6} \right)$.

Câu 21: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A\left( {2;3} \right),B\left( {4; – 1} \right)$. Tọa độ của $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} $ là
A. $\left( { – 2;4} \right)$.
B. $\left( {2; – 4} \right)$.
C. $\left( {3;1} \right)$.
D. $\left( {6;2} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} $ và $\overrightarrow {BA} = \left( { – 2;4} \right)$ nên tọa độ của $\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} $ là $\left( { – 2;4} \right)$.

Câu 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho các điểm $A\left( {1;2} \right),B\left( {3; – 1} \right),C\left( {0;1} \right)$. Tọa độ của véctơ $\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} $ là
A. $\vec u = \left( {2;2} \right)$.
B. $\vec u = \left( { – 4;1} \right)$.
C. $\vec u = \left( {1; – 4} \right)$.
D. $\vec u = \left( { – 1;4} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 3} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = \left( {4; – 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { – 3;2} \right)$.

Nên $\vec u = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \left( {1; – 4} \right)$.

Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( { – 2;5} \right),B\left( {1; – 1} \right)$. Tìm toạ độ $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} $.
A. $M\left( {1;0} \right)$.
B. $M\left( {0; – 1} \right)$.
C. $M\left( { – 1;0} \right)$.
D. $M\left( {0;1} \right)$.

Lời giải:

Chọn D.

$M\left( {x;y} \right)$.

$\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2 – x = – 2\left( {1 – x} \right)} \\
{5 – y = – 2\left( { – 1 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{y = 1}
\end{array} \Rightarrow M\left( {0;1} \right)} \right.} \right.$.

Câu 24: Cho $A\left( {0;3} \right),B\left( {4;2} \right)$. Điểm $D$ thỏa $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} – 2\overrightarrow {DB} = \vec 0$, tọa độ $D$ là:
A. $\left( { – 3;3} \right)$.
B. $\left( {8; – 2} \right)$.
C. $\left( { – 8;2} \right)$.
D. $\left( {2;\frac{5}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\overrightarrow {OD} + 2\overrightarrow {DA} – 2\overrightarrow {DB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} – 0 + 2\left( {0 – {x_D}} \right) – 2\left( {4 – {x_D}} \right) = 0} \\
{{y_D} – 0 + 2\left( {3 – {y_D}} \right) – 2\left( {2 – {y_D}} \right) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 8} \\
{{y_D} = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 25: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho các điểm $A\left( {1;3} \right),B\left( {4;0} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa $3\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \vec 0$ là
A. $M\left( {4;0} \right)$.
B. $M\left( {5;3} \right)$.
C. $M\left( {0;4} \right)$.
D. $M\left( {0; – 4} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $3\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3\left( {{x_M} – 1} \right) + \left( {4 – 1} \right) = 0} \\
{3\left( {{y_M} – 3} \right) + \left( {0 – 3} \right) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_M} = 0} \\
{{y_M} = 4}
\end{array} \Rightarrow M\left( {0;4} \right)} \right.} \right.$.

Câu 26: Trong mặt phẳng $Oxy$, Cho $A\left( {\frac{7}{2}; – 3} \right);B\left( { – 2;5} \right)$. Khi đó $\vec a = – 4\overrightarrow {AB} = $ ?
A. $\vec a = \left( {22; – 32} \right)$.
B. $\vec a = \left( {22;32} \right)$.
C. $\vec a = \left( { – 22;32} \right)$.
D. $\vec a = \left( {\frac{{ – 11}}{2};8} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $\vec a = – 4\overrightarrow {AB} = – 4\left( { – 2 – \frac{7}{2};5 + 3} \right) = \left( {22; – 32} \right)$.

Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $B\left( {2;3} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0$. Tọa độ điểm $M$ là
A. $M\left( {\frac{1}{5};0} \right)$.
B. $M\left( { – \frac{1}{5};0} \right)$.
C. $M\left( {0;\frac{1}{5}} \right)$.
D. $M\left( {0; – \frac{1}{5}} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {MB} = \left( {2 – x;3 – y} \right)} \\
{\overrightarrow {MC} = \left( { – 1 – x; – 2 – y} \right)}
\end{array} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { – 5x + 1; – 5y} \right)} \right.$.

Khi đó $2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 5x + 1 = 0 \hfill \\
– 5y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = – \frac{1}{5} \hfill \\
y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $M\left( {\frac{1}{5};0} \right)$

DẠNG 2: HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG-BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG

• $\vec a$ và $\vec b$ cùng phương $ \Leftrightarrow {a_1} \cdot {b_1} – {a_2} \cdot {b_2} = 0$

• Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi vectơ $\overrightarrow {AB} $ không cùng phương vectơ $\overrightarrow {AC} $.

• Để phân tích $\vec c\left( {{c_1};{c_2}} \right)$ qua hai vectơ $\vec a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\vec b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ không cùng phương, ta giả sử $\vec c = n \cdot \vec a + m \cdot \vec b$. Khi đó ta quy về giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1}n + {b_1}m = {c_1}} \\
{{a_2}n + {b_2}m = {c_2}}
\end{array}} \right.$ Tìm $n,m$.

Câu 28: Cho $\vec u = \left( {3; – 2} \right),\vec v = \left( {1;6} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\vec u + \vec v$ và $\vec a = \left( { – 4;4} \right)$ ngược hướng.
B. $\vec u,\vec v$ cùng phương.
C. $\vec u – \vec v$ và $\vec b = \left( {6; – 24} \right)$ cùng hướng.
D. $2\vec u + \vec v,\vec v$ cùng phương.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\vec u + \vec v = \left( {4;4} \right)$ và $\vec u – \vec v = \left( {2; – 8} \right)$.

Xét tỉ số $\frac{4}{{ – 4}} \ne \frac{4}{4} \Rightarrow \vec u + \vec v$ và $\vec a = \left( { – 4;4} \right)$ không cùng phương. Loại $A$

Xét tỉ số $\frac{3}{1} \ne \frac{{ – 2}}{6} \Rightarrow \vec u,\vec v$ không cùng phương. Loại $B$

Xét tỉ số $\frac{2}{6} = \frac{{ – 8}}{{ – 24}} = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow \vec u – \vec v$ và $\vec b = \left( {6; – 24} \right)$ cùng hướng.

Câu 29: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $\vec u = 2\vec i – \vec j$ và $\vec v = \vec i + x\vec j$. Tìm $x$ sao cho $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.
A. $x = – \frac{1}{2}$.
B. $x = \frac{1}{4}$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 1$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\vec u = \left( {2; – 1} \right)$ và $\vec v = \left( {1;x} \right)$.

Do $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương nên $\frac{1}{2} = \frac{x}{{ – 1}} \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$.

Câu 30: Cho $\vec a = \left( { – 3;4} \right),\vec b = \left( {4;3} \right)$. Kết luận nào sau đây sai.
A. $\left| {\vec a\left| = \right|\vec b} \right|$.
B. $\vec a$ cùng phương $\vec b$.
C. $\vec a \bot \vec b$.
D. $\vec a \cdot \vec b = 0$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $\vec a = \left( { – 3;4} \right) \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 5;\vec b = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 5$.

$\vec a \cdot \vec b = – 3.4 + 4.3 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b$.

Câu 31: Biết rằng hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương nhưng hai vectơ $2\vec a – 3\vec b$ và $\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b$ cùng phương. Khi đó giá trị của $x$ là
A. $\frac{1}{2}$.
B. $ – \frac{3}{2}$.
C. $ – \frac{1}{2}$.
D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

Chọn C.

Do hai vectơ $2\vec a – 3\vec b$ và $\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b$ cùng phương.

Suy ra $2\vec a – 3\vec b = k\left[ {\vec a + \left( {x – 1} \right)\vec b} \right]\left( {k \ne 0,k \in \mathbb{R}} \right)$

$ \Rightarrow 2\vec a – 3\vec b = k\vec a + k\left( {x – 1} \right)\vec b \Rightarrow \left( {k – 2} \right)\vec a + \left[ {k\left( {x – 1} \right) + 3} \right]\vec b = \vec 0$

Theo đầu bài hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ không cùng phương.

$\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{k\left( {x – 1} \right) = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{x – 1 = – \frac{3}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy $x = – \frac{1}{2}$.

Câu 32: Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A. $\vec a = \left( {2;3} \right),\vec b = \left( {6;9} \right)$
B. $\vec u = \left( {0;5} \right),\vec v = \left( {0; – 1} \right)$
C. $\vec m = \left( { – 2;1} \right),\vec b = \left( {1;2} \right)$
D. $\vec c = \left( {3;4} \right),\vec d = \left( { – 6; – 8} \right)$

Lời giải

Chọn C.

Câu 33: Cho $\vec u = 2\vec i – \vec j$ và $\vec v = \vec i + x\vec j$. Xác định $x$ sao cho $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương.
A. $x = – 1$
B. $x = – \frac{1}{2}$
C. $x = \frac{1}{4}$
D. $x = 2$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec u = 2\vec i – \vec j \Rightarrow \vec u = \left( {2; – 1} \right)} \\
{\vec v = \vec i – x\vec j \Rightarrow \vec v = \left( {1;x} \right)}
\end{array}} \right.$

Để $\vec u$ và $\vec v$ cùng phương thì $\vec v = k\vec u \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}$

Câu 34: Cho $\vec a = \left( {2;1} \right),\vec b = \left( { – 3;4} \right),\vec c = \left( { – 4;9} \right)$. Hai số thực $m,n$ thỏa mãn $m\vec a + n\vec b = \vec c$. Tính ${m^2} + {n^2}$.
A. 5 .
B. 3.C. 4 .
D. 1 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $m\vec a + n\vec b = \vec c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2m – 3n = – 4} \\
{m + 4n = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 1} \\
{n = 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 35: Cho $A\left( {1;2} \right),B\left( { – 2;6} \right)$. Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
A. $\left( {0;10} \right)$.
B. $\left( {0; – 10} \right)$.
C. $\left( {10;0} \right)$.
D. $\left( { – 10;0} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;y} \right)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM} $

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;4} \right),\overrightarrow {AM} = \left( { – 1;y – 2} \right)$. Do đó, $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \frac{{ – 1}}{{ – 3}} = \frac{{y – 2}}{4} \Rightarrow y = 10$.

Vậy $M\left( {0;10} \right)$

Câu 36: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {2; – 3} \right),B\left( {3;4} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục hoành sao cho $A,B,M$ thẳng hàng.
A. $M\left( {1;0} \right)$
B. $M\left( {4;0} \right)$
C. $M\left( { – \frac{5}{3};0} \right)$
D. $M\left( {\frac{{17}}{7};0} \right)$

Lời giải

Chọn D.

$M \in Ox \Rightarrow M\left( {x;0} \right)$,

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {m – 2;3} \right)$

Để $A,B,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \frac{{m – 2}}{1} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{7}$

Câu 37: Gọi điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ và trục hoành biết $A\left( {1;2} \right)$ và $B\left( {2;5} \right)$. Biết hoành độ điểm $M$ có dạng $\frac{m}{n}$ trong đó $\frac{m}{n}$ tối giản và $m,n \in \mathbb{N}$. Tính ${m^2} + {n^2}$.
A. 34
B. 41
C. 25
D. 10

Lời giải

Chọn D.

Vì $M$ thuộc $Ox$ nên $M\left( {x;0} \right)$

$A,B,M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB} $ cùng phương $\overrightarrow {AM} $

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x – 1; – 2} \right)$

$\overrightarrow {AB} $ cùng phương $\overrightarrow {AM} \Rightarrow \frac{{x – 1}}{1} = \frac{{ – 2}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow m = 1;n = 3$ nên ${m^2} + {n^2} = 10$

Câu 38: Cho các vectơ $\vec a = \left( {4; – 2} \right),\vec b = \left( { – 1; – 1} \right),\vec c = \left( {2;5} \right)$. Phân tích vectơ $\vec b$ theo hai vectơ $\vec a$ và $\vec c$, ta được:
A. $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.
B. $\vec b = \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.
C. $\vec b = – \frac{1}{2}\vec a – 4\vec c$.
D. $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a + \frac{1}{4}\vec c$.

Lời giải

Chọn A.

Giả sử $\vec b = m\vec a + n\vec c \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 = 4m + 2n} \\
{ – 1 = – 2m + 5n}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – \frac{1}{8}} \\
{n = – \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $\vec b = – \frac{1}{8}\vec a – \frac{1}{4}\vec c$.

Câu 39: Cho $A\left( { – 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { – 2;0} \right)$. Tìm $x$ sao cho $\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {BC} $
A. $x = \frac{2}{3}$
B. $x = – \frac{2}{3}$
C. $x = \frac{3}{2}$
D. $x = – \frac{3}{2}$

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { – 3; – 3} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \Rightarrow x = – \frac{2}{3}$

Câu 40: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( {6;3} \right),B\left( { – 3;6} \right),C\left( {1; – 2} \right)$. Xác định điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng.
A. $E\left( {5; – 10} \right)$.
B. $E\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$
C. $E\left( { – \frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)$.
D. $E\left( {5;10} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và $BE = 2EC$ suy ra $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC} $

Gọi $E\left( {x;y} \right)$ khi đó $\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y – 6} \right),\overrightarrow {EC} \left( {1 – x; – 2 – y} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 3 = 2\left( {1 – x} \right)} \\
{y – 6 = 2\left( { – 2 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{1}{3}} \\
{y = \frac{2}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $E\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

DẠNG 3: TÌM TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM CỦA MỘT HÌNH

Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức

• $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ suy ra ${x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$

• Tọa độ điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $k \ne 1:\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow {x_M} = \frac{{{x_A} – k{x_B}}}{{1 – k}};{y_A} = \frac{{{y_A} – k{y_B}}}{{1 – k}}$

• $G$ trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra ${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}$

$\vec a\left( {x;y} \right) = \vec b\left( {x’;y’} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = x’} \\
{y = y’}
\end{array}} \right.$

• Cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right),C\left( {{x_C};{y_C}} \right),D\left( {{x_D};{y_D}} \right)$. Nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} – {x_A} = {x_D} – {x_C}} \\
{{y_B} – {y_A} = {y_D} – {y_C}}
\end{array}} \right.$

• $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $

Câu 41: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
A. $I\left( {\frac{{{x_A} – {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} – {y_B}}}{2}} \right)$.
B. $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.
C. $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{3}} \right)$.
D. $I\left( {\frac{{{x_A} + {y_A}}}{2};\frac{{{x_B} + {y_B}}}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Câu 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {2; – 5} \right)$ và $B\left( {4;1} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là
A. $I\left( {1;3} \right)$.
B. $I\left( { – 1; – 3} \right)$.
C. $I\left( {3;2} \right)$.
D. $I\left( {3; – 2} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}} \\
{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = 3} \\
{{y_I} = – 2}
\end{array} \Rightarrow I\left( {3; – 2} \right)} \right.} \right.$.

Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; – 2} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
A. $\left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)$.
B. $\left( { – 1;\frac{1}{2}} \right)$.
C. $\left( {\frac{1}{2}; – 2} \right)$.
D. $\left( {1; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $I\left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{0 – 2}}{2}} \right)$ hay $I\left( {\frac{1}{2}; – 1} \right)$.

Câu 44: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {1; – 5} \right),B\left( {3;0} \right),C\left( { – 3;4} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN} $.
A. $\overrightarrow {MN} = \left( { – 3;2} \right)$.
B. $\overrightarrow {MN} = \left( {3; – 2} \right)$.
C. $\overrightarrow {MN} = \left( { – 6;4} \right)$.
D. $\overrightarrow {MN} = \left( {1;0} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { – 6;4} \right)$ suy ra $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( { – 3;2} \right)$.

Câu 45: Cho $K\left( {1; – 3} \right)$. Điểm $A \in Ox,B \in Oy$ sao cho $A$ là trung điểm $KB$. Tọa độ điểm $B$ là:
A. $\left( {0;3} \right)$.
B. $\left( {\frac{1}{3};0} \right)$.
C. $\left( {0;2} \right)$.
D. $\left( {4;2} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)$

$A$ là trung điểm $KB$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{{1 + 0}}{2} \hfill \\
0 = \frac{{ – 3 + y}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{1}{2} \hfill \\
y = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $B(0;3)$

Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {2; – 1} \right)$. Điểm $B$ là điểm đối xứng của $A$ qua trục hoành. Tọa độ điểm $B$ là:
A. $B\left( {2;1} \right)$.
B. $B\left( { – 2; – 1} \right)$.
C. $B\left( {1;2} \right)$.
D. $B\left( {1; – 2} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $B$ là điểm đối xứng của $A$ qua trục hoành $ \Rightarrow B\left( {2;1} \right)$.

Câu 47: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( { – 1;2} \right),B\left( {1; – 3} \right)$. Gọi $D$ đối xứng với $A$ qua $B$. Khi đó tọa độ điểm $D$ là
A. $D\left( {3, – 8} \right)$.
B. $D\left( { – 3;8} \right)$.
C. $D\left( { – 1;4} \right)$.
D. $D\left( {3; – 4} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$.

Suy ra : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 2{x_B} – {x_A}} \\
{{y_D} = 2{y_B} – {y_A}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 3} \\
{{y_D} = – 8}
\end{array} \Rightarrow D\left( {3; – 8} \right)} \right.} \right.$.

Câu 48: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
A. $G\left( {\frac{{{x_A} – {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
B. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}} \right)$.
C. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.
D. $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Câu 49: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\vartriangle ABC$ với trọng tâm $G$. Biết rằng $A\left( { – 1;4} \right),B\left( {2;5} \right),G\left( {0;7} \right)$. Tọa độ đỉnh $C$ là
A. $\left( {2;12} \right)$.
B. $\left( { – 1;12} \right)$.
C. $\left( {3;1} \right)$.
D. $\left( {1;12} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Vì $G$ là trọng tâm $\vartriangle ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{x_G} = {x_A} + {x_B} + {x_C}} \\
{3{y_G} = {y_A} + {y_B} + {y_C}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3{x_G} – {x_B} – {x_A} = – 1} \\
{{y_C} = 3{y_G} – {y_B} – {y_A} = 12}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $C\left( { – 1;12} \right)$.

Câu 50: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A\left( {0;3} \right),D\left( {2;1} \right),I\left( { – 1;0} \right)$ là tâm của hình chữ nhật. Tọa độ trung điểm $BC$ là:
A. $M\left( { – 3; – 2} \right)$
B. $M\left( { – 4; – 1} \right)$
B. $M\left( { – 2; – 3} \right)$
D. $M\left( {1;2} \right)$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $I$ là trung điểm $AC$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_A} + {x_C} = 2{x_1}} \\
{{y_A} + {y_C} = 2{y_1}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 + {x_C} = – 2} \\
{3 + {y_C} = 0}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy $C\left( { – 2; – 3} \right)$

Ta có $AB = DC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = – 4} \\
{{y_B} – 3 = – 4}
\end{array}} \right.$.
Vậy $B\left( { – 4; – 1} \right)$.

Tọa độ trung điểm của $BC$ là $\left( { – 3; – 2} \right)$

Câu 51: Trong hệ tọa độ $Oxy$,cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2;2} \right),B\left( {3;5} \right)$ và trọng tâm là gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$ ?
A. $C\left( { – 1; – 7} \right)$.
B. $C\left( {2; – 2} \right)$.
C. $C\left( { – 3; – 5} \right)$.
D. $C\left( {1;7} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $C\left( {x;y} \right)$.

Vì $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{ – 2 + 3 + x}}{3} = 0} \\
{\frac{{2 + 5 + y}}{3} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{y = – 7}
\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 52: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A\left( {3; – 1} \right),B\left( { – 1;2} \right)$ và $I\left( {1; – 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$ để $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
A. $C\left( {1; – 4} \right)$.
B. $C\left( {1;0} \right)$.
C. $C\left( {1;4} \right)$.
D. $C\left( {9; – 4} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Điểm I là trọng tâm tam giác $ABC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}} \\
{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3{x_I} – {x_A} – {x_B}} \\
{{y_C} = 3{y_I} – {y_A} – {y_B}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_C} = 3 – 3 – \left( { – 1} \right) = 1} \\
{{y_C} = – 3 – \left( { – 1} \right) – 2 = – 4}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy điểm $C\left( {1; – 4} \right)$.

Câu 53: Cho $M\left( {2;0} \right),N\left( {2;2} \right),P\left( { – 1;3} \right)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của $\vartriangle ABC$. Tọa độ $B$ là:
A. $\left( {1;1} \right)$.
B. $\left( { – 1; – 1} \right)$.
C. $\left( { – 1;1} \right)$.
D. $\left( {1; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $BPNM$ là hình bình hành nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} + {x_N} = {x_P} + {x_M}} \\
{{y_B} + {y_N} = {y_P} + {y_M}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} + 2 = 2 + \left( { – 1} \right)} \\
{{y_B} + 2 = 0 + 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_B} = – 1} \\
{{y_B} = 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Câu 54: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có $M\left( {1; – 1} \right),N\left( {5; – 3} \right)$ và $P$ thuộc trục $Oy$, trọng tâm $G$ của tam giác nằm trên trục $Ox$.Toạ độ của điểm $P$ là
A. $\left( {0;4} \right)$.
B. $\left( {2;0} \right)$.
C. $\left( {2;4} \right)$.
D. $\left( {0;2} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $P$ thuộc trục $Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right),G$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$

$G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}} \\
{0 = \frac{{\left( { – 1} \right) + \left( { – 3} \right) + y}}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 4}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $P\left( {0;4} \right)$.

Câu 55: Cho tam giác $ABC$ với $AB = 5$ và $AC = 1$. Tính toạ độ điểm $D$ là của chân đường phân giác trong góc $A$, biết $B\left( {7; – 2} \right),C\left( {1;4} \right)$.
A. $\left( { – \frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right)$.
B. $\left( {2;3} \right)$.
C. $\left( {2;0} \right)$.
D. $\left( {\frac{{11}}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Theo tính chất đường phân giác: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 5 \Rightarrow DB = 5DC \Rightarrow \overrightarrow {DB} = – 5\overrightarrow {DC} $.

Gọi $D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DB} = \left( {7 – x; – 2 – y} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {1 – x;4 – y} \right)$.

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{7 – x = – 5\left( {1 – x} \right)} \\
{ – 2 – y = – 5\left( {4 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 3}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $D\left( {2;3} \right)$.

Câu 56: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( { – 2;0} \right),B\left( {5; – 4} \right),C\left( { – 5;1} \right)$. Tọa độ điểm $D$ để tứ giác $BCAD$ là hình bình hành là:
A. $D\left( { – 8; – 5} \right)$.
B. $D\left( {8;5} \right)$.
C. $D\left( { – 8;5} \right)$.
D. $D\left( {8; – 5} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 5 – 5 = – 2 – {x_D}} \\
{1 + 4 = 0 – {y_D}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 8} \\
{{y_D} = – 5}
\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 2;3} \right),B\left( {0;4} \right),C\left( {5; – 4} \right)$. Toạ độ đỉnh $D$ là:
A. $\left( {3; – 5} \right)$.
B. $\left( {3;7} \right)$.
C. $\left( {3;\sqrt 2 } \right)$.
D. $\left( {\sqrt 7 ;2} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

$ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} + 2 = 5 – 0} \\
{{y_D} – 3 = – 4 – 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_D} = 3} \\
{{y_D} = – 5}
\end{array} \Rightarrow D\left( {3; – 5} \right)} \right.} \right.$.

Câu 58: Cho hình bình hành $ABCD$ có tọa độ tâm $I\left( {3;2} \right)$ và hai đỉnh $B\left( { – 1;3} \right);C\left( {8; – 1} \right)$. Tìm tọa độ hai đinh $A,D$.
A. $A\left( {7;1} \right),D\left( { – 2;5} \right)$.
B. $A\left( { – 2;5} \right),D\left( {7;1} \right)$.
C. $A\left( {7;5} \right),D\left( { – 2;1} \right)$.
D. $A\left( { – 2;1} \right),D\left( {7;5} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

$I$ là trung điểm $BD \Rightarrow D = \left( {2{x_I} – {x_B};2{y_I} – {y_B}} \right) \Rightarrow D\left( {7;1} \right)$.

$I$ là trung điểm $AC \Rightarrow C = \left( {2{x_I} – {x_C};2{y_I} – {y_C}} \right) \Rightarrow A\left( { – 2;5} \right)$.

Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta MNP$ có $M\left( {1; – 1} \right);N\left( {5; – 3} \right)$ và $P$ thuộc trục $Oy$. Trọng tâm $G$ của tam giác nằm trên trục $Ox$. Tọa độ của điểm $P$ là:
A. $P\left( {0;4} \right)$
B. $P\left( {2;0} \right)$
C. $P\left( {2;4} \right)$
D. $P\left( {0;2} \right)$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $P$ thuộc $Oy \Rightarrow \left( {0;y} \right)$

$G$ thuộc trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta MNP \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}} \\
{0 = \frac{{ – 1 – 3 + y}}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{y = 4}
\end{array}} \right.} \right.$

Câu 60: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 4 điểm $A\left( {0;1} \right);B\left( {1;3} \right);C\left( {2;7} \right);D\left( {0;3} \right)$. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.
A. $\left( { – \frac{2}{3};3} \right)$
B. $\left( {\frac{1}{3}; – 3} \right)$
C. $\left( {\frac{4}{3};13} \right)$
D. $\left( {\frac{2}{3};3} \right)$

Lời giải

Chọn D.

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.

$\overrightarrow {AI} = \left( {x;y – 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;6} \right)$

$ \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{6} \Leftrightarrow 6x – 2y = – 2\left( 1 \right)$

$\overrightarrow {BI} = \left( {x – 1;y – 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { – 1;0} \right)$

$ \Rightarrow y = 3$ thế vào (1)

$ \Rightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow I\left( {\frac{2}{3};3} \right)$

Câu 61: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3;4} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}$.
A. ${M_1}\left( {0;1} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
B. ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
C. ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {2;3} \right)$.
D. ${M_1}\left( {0;1} \right),{M_2}\left( {2;3} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} $

Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x – 2;y – 1} \right);\overrightarrow {BC} \left( { – 3; – 3} \right)$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3 = 3\left( {x – 2} \right)} \\
{ – 3 = 3\left( {y – 1} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 0}
\end{array}} \right.} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 3 = – 3\left( {x – 2} \right)} \\
{ – 3 = – 3\left( {y – 1} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{y = 2}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy có hai điểm thỏa mãn ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.

Câu 62: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3;4} \right),B\left( {2;1} \right),C\left( { – 1; – 2} \right)$. Cho $M\left( {x;y} \right)$ trên đoạn thẳng $BC$ sao cho ${S_{ABC}} = 4{S_{ABM}}$. Khi đó ${x^2} – {y^2}$ bằng
A. $\frac{{13}}{8}$.
B. $\frac{3}{2}$.
C. $ – \frac{3}{2}$.
D. $\frac{5}{2}$.

Lời giải

Chọn B.

Nhận xét $\vartriangle ABC$ và $\vartriangle ABM$ có chung đường cao nên ${S_{ABC}} = 4{S_{ABM}} \Leftrightarrow CB = 4MB$.

Mà $M$ thuộc đoạn $BC$ nên $\overrightarrow {CB} $ cùng hướng với $\overrightarrow {MB} $.

Vậy $ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = 4\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 = 4\left( {2 – x} \right)} \\
{3 = 4\left( {1 – y} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{5}{4}} \\
{y = \frac{1}{4}}
\end{array} \Rightarrow {x^2} – {y^2} = \frac{3}{2}} \right.} \right.$.

Câu 63: Cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( { – 2;3} \right)$ và tâm $I\left( {1;1} \right)$. Biết điểm $K\left( { – 1;2} \right)$ nằm trên đường thẳng $AB$ và điểm $D$ có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh $B,D$ của hình bình hành.
A. $B\left( {2;1} \right),D\left( {0;1} \right)$.
B. $B\left( {0;1} \right);D\left( {4; – 1} \right)$.
C. $B\left( {0;1} \right);D\left( {2;1} \right)$,
D. $B\left( {2;1} \right),D\left( {4; – 1} \right)$.

Lời giải

Chọn C

I là trung điểm $AC$ nên $C\left( {4; – 1} \right)$

Gọi $D\left( {2a;a} \right) \Rightarrow B\left( {2 – 2a;2 – a} \right)$

$\overrightarrow {AK} \left( {1; – 1} \right),\overrightarrow {AB} \left( {4 – 2a; – 1 – a} \right)$

Vì $\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương nên $\frac{{4 – 2a}}{1} = \frac{{ – 1 – a}}{{ – 1}} \Rightarrow a = 1 \Rightarrow D\left( {2;1} \right),B\left( {0;1} \right)$

Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( {2;3} \right)$ và tâm $I\left( { – 1;1} \right)$. Biết điểm $M\left( {4;9} \right)$ nằm trên đường thẳng $AD$ và điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?
A. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 5; – 4} \right),D\left( {3;6} \right)$.
B. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 4; – 2} \right),D\left( {2;4} \right)$.
C. Tọa độ các đỉnh $C\left( { – 4; – 1} \right),B\left( { – 1;4} \right),D\left( { – 1; – 2} \right)$.
D. Tọa độ các đỉnh $C\left( {4;1} \right),B\left( { – 5; – 4} \right),D\left( {3;6} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $I$ là trung điểm của $AC \Rightarrow C\left( { – 4; – 1} \right)$.

Điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ $ \Rightarrow D\left( {{x_D};2{x_D}} \right)$. Lại có $\overrightarrow {AM} = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {{x_D} – 2;2{x_D} – 3} \right)$.

Mà $A,M,D$ thẳng hàng $ \Rightarrow 6\left( {{x_D} – 2} \right) = 2\left( {2{x_D} – 3} \right) \Leftrightarrow {x_D} = 3 \Rightarrow D\left( {3;6} \right)$.

$I$ là trung điểm $BD \Rightarrow B\left( { – 5; – 4} \right)$.

Câu 65: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( {1;3} \right),B\left( { – 1; – 2} \right),C\left( {1;5} \right)$. Tọa độ $D$ trên trục $Ox$ sao cho $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ là
A. $\left( {1;0} \right)$.
B. $\left( {0; – 1} \right)$.
C. $\left( { – 1;0} \right)$.
D. Không tồn tại điểm $D$.

Lời giải

Chọn C.

$D\left( {x;0} \right) \in Ox.\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 5} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {x – 1; – 5} \right)$.

Theo đề ta có: $ABCD$ là hình thang có hai đáy là $AB,CD$ nên: $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng phương.

Suy ra: $\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{{ – 5}}{{ – 5}} \Rightarrow x = – 1$.

Vậy $D\left( { – 1;0} \right)$.

Câu 66: Cho $M\left( { – 1; – 2} \right),N\left( {3;2} \right),P\left( {4; – 1} \right)$. Tìm $E$ trên $Ox$ sao cho $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right|$ nhỏ nhất.
A. $E\left( {4;0} \right)$.
B. $E\left( {3;0} \right)$.
C. $E\left( {1;0} \right)$.
D. $E\left( {2;0} \right)$.

Lời giải

Cách 1:

Chọn D.

Do $E \in Ox \Rightarrow E\left( {a;0} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {EM} = \left( { – 1 – a; – 2} \right);\overrightarrow {EN} = \left( {3 – a;2} \right);\overrightarrow {EP} = \left( {4 – a; – 1} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} = \left( {6 – 3a; – 1} \right)$.

Do đó: $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right| = \sqrt {{{(6 – 3a)}^2} + {{( – 1)}^2}} = \sqrt {{{(6 – 3a)}^2} + 1} \geqslant 1$.

Giá trị nhỏ nhất của $\left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right|$ bằng 1 .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $6 – 3a = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy $E\left( {2;0} \right)$.

Cách 2:

Gọi $I\left( {x;y} \right):\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \vec 0 \Rightarrow I$ là trọng tâm $\Delta MNP$ (vì $M,N,P$ không thẳng hàng) $ \Rightarrow I\left( {2;1} \right)$

$T = \left| {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IP} } \right|$

$ = \left| {3\overrightarrow {EI} } \right| = 3EI$

$ \Rightarrow T$ nhỏ nhất khi $E$ là hình chiếu của $I$ trên trục $Ox \Rightarrow E\left( {2;0} \right)$

Câu 67: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 1;1} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {2;4} \right)$. $N$ nằm trên $Ox$ và có $N{A^2} + 3N{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, điểm $N$ có tọa độ là:
A. $N\left( {2;0} \right)$.
B. $N\left( { – 2;0} \right)$.
C. $N\left( {1;0} \right)$.
D. $N\left( { – 1;0} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Gọi $K$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {KA} + 3\overrightarrow {KB} = \vec 0 \Rightarrow K\left( {2;1} \right)$

Ta có:

$N{A^2} + 3N{B^2}$

$ = {(\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KA} )^2} + 3{(\overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KB} )^2}$

$ = 4N{K^2} + 2\overrightarrow {NK} \left( {\overrightarrow {KA} + 3\overrightarrow {KB} } \right) + K{A^2} + 3K{B^2}$

$ = 4N{K^2} + K{A^2} + 3K{B^2}$

$N{A^2} + 3N{B^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $NK$ đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này suy ra $N$ là hình chiếu của K lên Ox, hay $N\left( {2;0} \right)$

Câu 68: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho 2 điểm $A\left( { – 3;1} \right),B\left( { – 5;5} \right)$. Tìm điểm $M$ trên trục $yOy’$ sao cho $\left| {MA – MB} \right|$ lớn nhất.
A. $M\left( {0; – 5} \right)$
B. $M\left( {0;5} \right)$
C. $M\left( {0;3} \right)$
D. $M\left( {0;6} \right)$

Lời giải

Chọn A.

Gọi $M\left( {0;y} \right) \in yOy’$

Ta có ${x_A} \cdot {x_B} = 15 > 0 \Rightarrow A,B$ nằm cùng phía trên trục $yOy’$ $\left| {MA – MB} \right| \leqslant AB$, dấu “= ” xảy ra khi $A,M,B$ thẳng hàng

$\overrightarrow {MA} = \left( { – 3;1 – y} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { – 5;5 – y} \right)$

$ \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{{1 – y}}{{5 – y}} \Rightarrow y = – 5$

$ \Rightarrow M\left( {0; – 5} \right)$

Câu 69: Trong hệ tọa độ $Oxy$, tìm trên trục hoành điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ tới các điểm $A\left( {1;1} \right)$ và $B\left( {2; – 4} \right)$ là nhỏ nhất.
A. $M\left( { – \frac{6}{5};0} \right)$
B. $M\left( {\frac{5}{6};0} \right)$
C. $M\left( { – \frac{5}{6};0} \right)$
D. $M\left( {\frac{6}{5};0} \right)$

Lời giải

Chọn D.

Dễ thấy $A,B$ nằm ở hai phía với trục hoành.

Ta có $MA + MB \geqslant AB$. Dấu ” = ” xảy ra khi $A,M,B$ thẳng hàng và $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương

$ \Rightarrow \frac{{{x_M} – 1}}{{2 – 1}} = \frac{{0 – 1}}{{ – 4 – 1}} \Rightarrow {x_M} = \frac{6}{5}$

$ \Rightarrow M\left( {\frac{6}{5};0} \right)$

Câu 70: Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {1;3} \right)$ và $B\left( {4,7} \right)$. Tìm điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho $MA + MB$ là nhỏ nhất.
A. $M\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right)$
B. $M\left( {0;\frac{1}{5}} \right)$
C. $M\left( {0;\frac{3}{5}} \right)$
D. $M\left( {0;\frac{{11}}{5}} \right)$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $A,B$ nằm cùng phía với trục $Oy$

Gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $Oy \Rightarrow A’\left( { – 1;3} \right)$

Giả sử: $M\left( {0;y} \right)$. Ta có $MA + MB = MA’ + MB \geqslant A’B$

$ \Rightarrow MA + MB$ nhỏ nhất khi $A’,M,B$ thẳnh hàng

$\overrightarrow {A’B} = \left( {5;4} \right),\overrightarrow {A’M} = \left( {1;y – 3} \right)$

$ \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{y – 3}}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{19}}{5} \Rightarrow M\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right)$