Đề Kiểm Tra Giữa Học Kỳ 2 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 2

Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 2024}}$.

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. B. $\left( {1; + \infty } \right)$. C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { \pm 1} \right\}$. D. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

Câu 2: Giả sử $a,b$ và $\alpha $ là các số thực tùy ý $(a > 0,b > 0)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha } + {b^\alpha }$. B. ${(a + b)^\alpha } = {a^\alpha } + {b^\alpha }$. C. ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }$. D. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^{\frac{1}{\alpha }}}$.

Câu 3: Gieo đồng thời một con súc sắc có 6 mặt và một đồng xu có 2 mặt khác nhau. Số phần tử của không gian mẫu bằng

A. 72 . B. 12 . C. 36 . D. 15 .

Câu 4: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $lo{g_2}{a^2} + lo{g_4}a$ bằng

A. $\frac{3}{2}lo{g_2}a$. B. $\frac{5}{2}lo{g_2}a$. C. $lo{g_2}a$. D. $\frac{1}{2}lo{g_2}a$.

Câu 5: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu là

A. $\frac{4}{9}$. B. $\frac{1}{4}$. C. $\frac{5}{9}$. D. $\frac{1}{9}$.

Câu 6: Cho các hàm số $y = {a^x},y = lo{g_b}x,y = lo{g_c}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng?

A. $b > c > a$. B. $b > a > c$. C. $a > b > c$ D. $c > b > a$.

Câu 7: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}x = \frac{1}{3}$ là

A. $x = 27$. B. $x = \sqrt[3]{3}$. C. $x = \frac{1}{3}$. D. $x = \frac{1}{{27}}$.

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{2 + {x^2}}} > 16$ là

A. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

C. $\left( { – \infty ; – 2\left] \cup \right[2; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ; – \sqrt 2 \left] \cup \right[\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

Câu 9: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b//a$. B. Nếu $b//\left( P \right)$ thì $b \bot a$.

C. Nếu $b//a$ thì $b \bot \left( P \right)$. D. Nếu $b \bot a$ thì $b//\left( P \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $BD \bot \left( {SAC} \right)$. B. $SA \bot \left( {ABC} \right)$. C. $CD \bot \left( {SBC} \right)$. D. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với đáy, $SA = a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là

A. $a\sqrt 3 $. B. $a\sqrt 2 $. C. $2a$. D. $a$.

Câu 12: Một hộp có 6 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 6 . Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Xác suất để tích các số trên 3 quả bóng lấy ra là một số chẵn bằng

A. $\frac{1}{{20}}$. B. $\frac{1}{{10}}$. C. $\frac{{19}}{{20}}$. D. $\frac{9}{{10}}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho phương trình $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{27}}\left( {{3^{x + 2}} – 9} \right) = m$ với $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant 0$.

b) Khi $m = 1$ phương trình có một nghiệm là $x = lo{g_3}2$.

c) Đặt $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = t$. Khi đó phương trình đã cho trở thành ${t^2} + 2t – 3m = 0$.

d) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m > – \frac{1}{3}$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và $\widehat {BSC} = {60^ \circ };SA = a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $SB,SA,\varphi $ là góc giữa đường thẳng $AB$ và $CM$.

a) Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $a\sqrt 3 $

b) Tam giác $SBC$ là tam giác đều

c) Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AB$ và $\left( {\widehat {AB,CM}} \right) = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}$

d) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $AB$ và $CM$ bằng $\frac{{\sqrt 6 }}{8}$

Câu 3: Ông $X$ gửi vào ngân hàng số tiền 300 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất $6\%/$ năm. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Số tiền lãi ông $X$ nhận được ở năm đầu tiên là 6 triệu đồng.

b) Công thức tính số tiền ông $X$ nhận được cả gốc và lãi sau n năm gửi tiền là ${T_n} = 300000000.{(1 + 6\%)^n}$ đồng.

c) Số tiền ông $X$ nhận được sau 5 năm là nhiều hơn 410 triệu đồng.

d) Nếu ông $X$ muốn nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 500 triệu đồng thì cần gửi ít nhất 9 năm.

Câu 4: Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có $AC = 4a$, hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau. Gọi $M,O,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,CD$, qua $S$ dựng đường thẳng $Sx//AB$.

a) Đường thẳng. $Sx$. vuông góc với mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$

b) Tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành

c) Đoạn thẳng $SO$ có độ dài bằng $a\sqrt 2 $

d) Tan góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Lợi nhuận bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên trong tháng 8 tại một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau.

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Đáp án:

Câu 2: Cho $a,b$ là các số thực dương và $a$ khác 1 , thỏa mãn $lo{g_{{a^3}}}\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[4]{b}}} = 2$. Giá trị của biểu thức $lo{g_a}b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 3: Sau một tháng thi công, công trình xây dựng lớp học từ thiện cho học sinh vùng cao đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23

tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, đơn vị xây dựng quyết định từ tháng thứ hai tăng $4\%$ khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?

Đáp án:

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ có $AC = a\sqrt 3 $, cạnh bên $AA’ = 3a$. Tính góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Đáp án:

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA = SB = SC = a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ với $M$ là trung điểm của $AB$.

Đáp án:

Câu 6: Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại. Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Tâm và Huy. Xác suất để hai bạn Tâm và Huy có phần thưởng giống nhau là $\frac{m}{n}$, với $m,n$ là các số nguyên dương, phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $S = m + n$

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Chọn	C	C	B	B	A	D	B	D	D	C	D	C

PHẦN II.

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4
a) S	a) S	a) S	a) Đ
b) S	b) Đ	b) Đ	b) S
c) Đ	c) Đ	c) S	c) Đ
d) Đ	d) S	d) Đ	d) Đ

PHẦN III.

Câu	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Chọn	15	-4	18	60	60	85

LỜI GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mối câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 2024}}$.

A. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

B. $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ { \pm 1} \right\}$.

D. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

Lời giải

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow {x^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 1$.

Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { \pm 1} \right\}$.

Câu 2: Giả sử $a,b$ và $\alpha $ là các số thực tùy ý $(a > 0,b > 0)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha } + {b^\alpha }$.

B. ${(a + b)^\alpha } = {a^\alpha } + {b^\alpha }$.

C. ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }$.

D. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^{\frac{1}{\alpha }}}$.

Lời giải

Công thức đúng: ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha }$.

Câu 3: Gieo đồng thời một con súc sắc có 6 mặt và một đồng xu có 2 mặt khác nhau. Số phần tử của không gian mẫu bằng

A. 72 .

B. 12 .

C. 36 .

D. 15 .

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu bằng $6.2 = 12$.

Câu 4: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $lo{g_2}{a^2} + lo{g_4}a$ bằng

A. $\frac{3}{2}lo{g_2}a$.

B. $\frac{5}{2}lo{g_2}a$.

C. $lo{g_2}a$.

D. $\frac{1}{2}lo{g_2}a$.

Lời giải

Ta có $lo{g_2}{a^2} + lo{g_4}a = 2lo{g_2}a + \frac{1}{2}lo{g_2}a = \frac{5}{2}lo{g_2}a$.

Câu 5: Một hộp có 5 viên bi đen, 4 viên bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu là

A. $\frac{4}{9}$.

B. $\frac{1}{4}$.

C. $\frac{5}{9}$.

D. $\frac{1}{9}$.

Lời giải

Chọn 2 viên bi bất kỳ trong 9 viên bi có $C_9^2$ cách.

Chọn 2 viên bi cùng màu có: $C_5^2 + C_4^2$ cách.

Do đó, xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu là $\frac{{C_5^2 + C_4^2}}{{C_9^2}} = \frac{4}{9}$.

Câu 6: Cho các hàm số $y = {a^x},y = lo{g_b}x,y = lo{g_c}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng?

A. $b > c > a$.

B. $b > a > c$.

C. $a > b > c$

D. $c > b > a$.

Lời giải

Hàm $y = {a^x}$ nghịch biến nên $0 < a < 1$.

Hàm $y = lo{g_b}x,y = lo{g_c}x$ đồng biến nên $b,c > 1$

Đường thẳng $y = 1$ cắt ĐTHS $y = lo{g_c}x,y = lo{g_b}x$ tại các điểm có hoành độ lần lượt là $c$ và $b$. Ta thấy $b < c$.

Câu 7: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}x = \frac{1}{3}$ là

A. $x = 27$.

B. $x = \sqrt[3]{3}$.

C. $x = \frac{1}{3}$.

D. $x = \frac{1}{{27}}$.

Lời giải

Ta có: $lo{g_3}x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{x = {3^{\frac{1}{3}}}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{3}} \right.$.

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{2 + {x^2}}} > 16$ là

A. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

C. $\left( { – \infty ; – 2\left] \cup \right[2; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ; – \sqrt 2 \left] \cup \right[\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

Lời giải

Ta có. ${2^{2 + {x^2}}} > 16 \Leftrightarrow 2 + {x^2} > 4 \Leftrightarrow {x^2} > 2$

$ \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \sqrt 2 } \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$

Câu 9: Cho hai đường thẳng phân biệt $a,b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b//a$.

B. Nếu $b//\left( P \right)$ thì $b \bot a$.

C. Nếu $b//a$ thì $b \bot \left( P \right)$.

D. Nếu $b \bot a$ thì $b//\left( P \right)$.

Nếu $b \bot a$ thì $b//\left( P \right)$.

Lời giải

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

B. $SA \bot \left( {ABC} \right)$.

C. $CD \bot \left( {SBC} \right)$.

D. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Lời giải

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot AD} \\
{CD \bot SA}
\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)} \right.$ mà theo đáp án $C$ có $CD \bot \left( {SBC} \right),\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ có điểm chung $S$ nên $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ trùng nhau. Vô lý vậy C sai.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BD \bot AC} \\
{BD \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow } \right.$ A đúng.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow D} \right.$ đúng.

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B$ đúng.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với đáy, $SA = a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là

A. $a\sqrt 3 $.

B. $a\sqrt 2 $.

C. $2a$.

D. $a$.

Lời giải

Vì $CD//AB$ nên $d\left( {SB,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a$.

Câu 12: Một hộp có 6 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 6 . Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Xác suất để tích các số trên 3 quả bóng lấy ra là một số chẵn bằng

A. $\frac{1}{{20}}$.

B. $\frac{1}{{10}}$.

C. $\frac{{19}}{{20}}$.

D. $\frac{9}{{10}}$.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_6^3 = 20$.

Gọi $A$ là biến cố: “tích các số trên 3 quả bóng lấy ra là một số chẵn”.

Ta có biến cố đối của $A$ là $\overline A $ : “tích các số trên 3 quả bóng lấy ra là một số chẵn” tức là “lây được 3 quả bóng mang số lẻ”.

Từ đó $n\left( {\overline A } \right) = 1$. Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{{20}}$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{1}{{20}} = \frac{{19}}{{20}}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho phương trình $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{27}}\left( {{3^{x + 2}} – 9} \right) = m$ với $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant 0$.

b) Khi $m = 1$ phương trình có một nghiệm là $x = lo{g_3}2$.

c) Đặt $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = t$. Khi đó phương trình đã cho trở thành ${t^2} + 2t – 3m = 0$.

d) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m > – \frac{1}{3}$.

Lời giải

a) Sai: Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} – 1 > 0} \\
{{3^{x + 2}} – 9 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 0} \right.$.

b) Sai: Khi $m = 1$ phương trình có dạng:

$lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{27}}\left( {{3^{x + 2}} – 9} \right) = 1$$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{{3^3}}}\left[ {{3^2}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot \left[ {lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) + 2} \right] = 3$

$ \Leftrightarrow {\left[ {lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right]^2} + 2lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) – 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = 1} \\
{lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^x} – 1 = 3} \\
{{3^x} – 1 = \frac{1}{{27}}}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^x} = 4} \\
{{3^x} = \frac{{28}}{{27}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = lo{g_3}4} \\
{x = lo{g_3}\frac{{28}}{{27}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2lo{g_3}2} \\
{x = lo{g_3}\frac{{28}}{{27}}}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

c) Đúng: $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{27}}\left( {{3^{x + 2}} – 9} \right) = m$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot lo{g_{{3^3}}}\left[ {{3^2}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right] = m$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) \cdot \left[ {lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) + 2} \right] = 3m$

$ \Leftrightarrow {\left[ {lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right)} \right]^2} + 2lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) – 3m = 0$.

Khi đó đặt $lo{g_3}\left( {{3^x} – 1} \right) = t$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} + 2t – 3m = 0\;\left( 1 \right)$.

d) Đúng: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta ‘ = 1 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > – \frac{1}{3}$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và $\widehat {BSC} = {60^ \circ };SA = a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $SB,SA,\varphi $ là góc giữa đường thẳng $AB$ và $CM$.

a) Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $a\sqrt 3 $

b) Tam giác $SBC$ là tam giác đều

c) Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AB$ và $\left( {\widehat {AB,CM}} \right) = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}$

d) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $AB$ và $CM$ bằng $\frac{{\sqrt 6 }}{8}$

Lời giải

Đặt $SA = a$. Suy ra $SB = CA = CB = a$ và $AB = a\sqrt 2 $.

Lại có $\widehat {BSC} = {60^ \circ }$. Suy ra tam giác $SBC$ đều nên $SC = a$.

Suy ra $CM = CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ hay $MN$ song song với $AB$.

Khi đó $\widehat {\left( {AB,CM} \right)} = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}$.

Áp dụng định lí cosin vào tam giác $CMN$ ta có:

$cos\widehat {CMN} = \frac{{M{C^2} + M{N^2} – C{N^2}}}{{2MC \cdot MN}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

$ \Rightarrow cos\left( {AB,CM} \right) = cos\left( {MN,CM} \right) = \left| {cos\widehat {CMN}} \right| = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

a) Sai: Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $a\sqrt 2 $

b) Đúng: Tam giác $SBC$ là tam giác đều

c) Đúng: Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AB$ và $\overline {\left( {AB,CM} \right)} = \widehat {\left( {MN,CM} \right)}$

d) Sai: Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng $AB$ và $CM$ bằng $\frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Câu 3: Ông $X$ gửi vào ngân hàng số tiền 300 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất $6\%$/năm. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Số tiền lãi ông $X$ nhận được ở năm đầu tiên là 6 triệu đồng.

b) Công thức tính số tiền ông $X$ nhận được cả gốc và lãi sau n năm gửi tiền là ${T_n} = 300000000.{(1 + 6\%)^n}$ đồng.

c) Số tiền ông $X$ nhận được sau 5 năm là nhiều hơn 410 triệu đồng.

d) Nếu ông $X$ muốn nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 500 triệu đồng thì cần gửi ít nhất 9 năm.

Lời giải

a) Sai: Vì số tiền lãi năm đầu tiên bằng số tiền gửi nhân với lãi suất: $300 \times 6\% = 18$ triệu đồng.

b) Đúng: Áp dụng công thức: ${T_n} = A \cdot {(1 + r)^n}$.

Theo giả thiết $A = 3000000;r = 6\%$ nên suy ra số tiền nhận được cả gốc và lãi sau $n$ năm gửi tiền là ${T_n} = 300000000.{(1 + 6\%)^n}$ đồng

c) Sai: Vì số tiền ông nhận được sau 5 năm gửi là ${T_5} = 300000000 \cdot {(1 + 6\%)^5} \approx 401467673$ đồng, nhỏ hơn 410 triệu đồng.

d) Đúng: Công thức tính số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n năm gửi tiền là ${T_n} = 300000000.{(1 + 6\%)^n}$ đồng.

Theo giả thiết ta có ${T_n} > 500000000$$ \Leftrightarrow 300000000 \cdot {(1 + 6\%)^n} > 500000000$

$ \Leftrightarrow n > lo{g_{\left( {1 + 6\%} \right)}}\frac{5}{3} \approx 8,77$.

Vậy sau ít nhất 9 năm thì ông $X$ thu được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 500 triệu đồng.

Câu 4: Cho khối chóp đều $S \cdot ABCD$ có $AC = 4a$, hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau. Gọi $M,O,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,CD$, qua $S$ dựng đường thẳng $Sx//AB$.

a) Đường thẳng $Sx$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$

b) Tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành

c) Đoạn thẳng $SO$ có độ dài bằng $a\sqrt 2 $

d) Tan góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Gọi $M,O,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,CD$ nên $AB \bot SM,CD \bot SN$.

Qua $S$ dựng đường thẳng $Sx//AB$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{CD \subset \left( {SCD} \right) \;} \\
{AB//CD}
\end{array}} \right.$
Nên $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{Sx \bot SM} \\
{Sx \bot SN}
\end{array} \Rightarrow Sx \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow \widehat {MSN} = {{90}^ \circ }} \right.$.

Hình chóp $S \cdot ABCD$ đều $ \Rightarrow ABCD$ là hình vuông, có $AC = 4a \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = 2a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow MN = 2\sqrt 2 a \Rightarrow SO = \frac{{MN}}{2} = a\sqrt 2 $.

Mặt khác: $OB = 2a$ nên $tan\left( {\overline {SB;\left( {ABCD} \right)} } \right) = \frac{{SO}}{{OB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

a) Đúng: Đường thẳng $Sx$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$

b) Sai: Tứ giác $ABCD$ là một hình vuông do khối chóp này là khối chóp đều

c) Đúng: Đoạn thẳng $SO$ có độ dài bằng $2a\sqrt 2 $

d) Đúng: Tan góc tạo bởi đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Lợi nhuận bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên trong tháng 8 tại một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm $\left[ {13;16} \right)$ do có tần số lớn nhất là 6 . Do đó

${u_m} = 13,{n_{m – 1}} = 4,{n_{m + 1}} = 5,{u_{m + 1}} – {u_m} = 16 – 13 = 3.{\text{\;}}$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

${M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} – {n_{m – 1}}}}{{\left( {{n_m} – {n_{m – 1}}} \right) + \left( {{n_m} – {n_{m + 1}}} \right)}} \cdot \left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)$

$ = 13 + \frac{{6 – 4}}{{\left( {6 – 4} \right) + \left( {6 – 5} \right)}} \cdot 3 = 15.$

Vậy một của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 15 .

Câu 2: Cho $a,b$ là các số thực dương và $a$ khác 1 , thỏa mãn $lo{g_{{a^3}}}\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[4]{b}}} = 2$. Giá trị của biểu thức $lo{g_a}b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: $2 = lo{g_{{a^3}}}\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[4]{b}}} = \frac{1}{3}lo{g_a}\frac{{{a^5}}}{{{b^{\frac{1}{4}}}}}$

$ = \frac{1}{3}\left( {lo{g_a}{a^5} – lo{g_a}{b^{\frac{1}{4}}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {5 – \frac{1}{4}lo{g_a}b} \right)$

$ \Rightarrow 5 – \frac{1}{4}lo{g_a}b = 6 \Rightarrow lo{g_a}b = – 4$.

Câu 3: Sau một tháng thi công, công trình xây dựng lớp học từ thiện cho học sinh vùng cao đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, đơn vị xây dựng quyết định từ tháng thứ hai tăng $4\%$ khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?

Lời giải

Theo dự kiến, cần 24 tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: $\frac{1}{{24}}$ ( công trình )

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: ${T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{(1 + 0,04)^1}$

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

${T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right) + 0,04 \cdot \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04 \cdot \frac{1}{{24}}} \right)$

$ = \frac{1}{{24}} \cdot {(1 + 0,04)^2}$

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ $n$ là: ${T_n} = \frac{1}{{24}} \cdot {(1 + 0,04)^{n – 1}}$

Ta có: $\frac{1}{{24}} \cdot {(1 + 0,04)^0} + \frac{1}{{24}} \cdot {(1 + 0,04)^1} + \ldots + \frac{1}{{24}} \cdot {(1 + 0,04)^{n – 1}} = 1$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{{24}} \cdot \frac{{1 – {{(1 + 0,04)}^n}}}{{1 – \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {(1 + 0,04)^n} = \frac{{49}}{{25}}$

$ \Leftrightarrow n = lo{g_{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2$

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ 18 từ khi khởi công.

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ có $AC = a\sqrt 3 $, cạnh bên $AA’ = 3a$. Tính góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Lời giải

Ta có hình chiếu của $A’C$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $AC$.

Nên $\left( {A’C,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A’C,AC} \right) = \widehat {A’CA}$. Ta có $tan\widehat {A’CA} = \frac{{A’A}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {A’CA} = {60^ \circ }$.

Do vậy $\left( {A’C,\left( {ABC} \right)} \right) = {60^ \circ }$.

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA = SB = SC = a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ với $M$ là trung điểm của $AB$.

Lời giải

Qua $B$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $SM$ và cắt đường thẳng $SA$ tại $N$.

Vì $SM//BN$ và ${\text{M}}$ là trung điểm của ${\text{AB}}$ nên $SM$ là đường trung bình của tam giác $ANB$.

Suy ra $SN = SA = SC = a$.

Ta có: $NC = \sqrt {S{C^2} + S{N^2}} = a\sqrt 2 $ và $BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}} = a\sqrt 2 $

Suy ra: $SM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + S{B^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow NB = 2SM = a\sqrt 2 $.

Vậy ta có $NC = NB = BC$ nên tam giác $NBC$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat {NBC} = {60^ \circ }$

Do đó $\left( {SM,BC} \right) = \left( {BN,BC} \right) = \widehat {NBC} = {60^ \circ }$.

Câu 6: Người ta sử dụng 7 cuốn sách Toán, 8 cuốn sách Vật lí, 9 cuốn sách Hóa học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại. Trong số 12 học sinh trên có hai bạn Tâm và Huy. Xác suất để hai bạn Tâm và Huy có phần thưởng giống nhau là $\frac{m}{n}$, với $m,n$ là các số nguyên dương, phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $S = m + n$

Lời giải

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận phần thưởng là sách (Hóa, Vật lí), (Hóa, Toán), (Lý, Toán)

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y = 9} \\
{x + z = 8} \\
{y + z = 7}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5} \\
{y = 4} \\
{z = 3}
\end{array}} \right.} \right.$

Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho 12 học sinh”, suy ra $\left| \Omega \right| = C_{12}^5 \cdot C_7^4 \cdot C_3^3 = 27720$

Xét biến cố $A$ : “Tâm và Huy cùng nhận phần thưởng giống nhau”

Tâm và Huy cùng nhận sách Hóa, Vật lí có $C_{10}^3 \cdot C_7^4 \cdot C_3^3$

Tâm và Huy cùng nhận sách Hóa, Toán có $C_{10}^2 \cdot C_8^5 \cdot C_3^3$.

Tâm và Huy cùng nhận sách Lý, Toán có $C_{10}^1 \cdot C_9^5 \cdot C_4^4$

Suy ra $\left| A \right| = 7980$

Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{19}}{{66}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 19} \\
{n = 66}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow S = m + n = 19 + 66 = 85$.