Đề Thi Giữa Học Kỳ 2 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 1

Đề thi giữa học kỳ 2 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$.

B. Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.

C. Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.

D. Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $\left( \alpha \right),\left( \alpha \right)//c$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = {(x – 1)^{\frac{2}{3}}}$ là

A. $\left[ {1; + \infty } \right)$.

B. $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.

Câu 3: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {a\sqrt[4]{a}} $ bằng

A. ${a^{\frac{{13}}{6}}}$.

B. ${a^{\frac{{13}}{8}}}$.

C. ${a^{\frac{{17}}{4}}}$.

D. ${a^{\frac{{17}}{6}}}$.

Câu 4: Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ bằng

A. $32{a^3}$.

B. $16{a^3}$.

C. $64{a^3}$.

D. $8{a^3}$.

Câu 5: Với $a > 0,log\left( {100a} \right) + log\left( {\frac{{10}}{a}} \right)$ bằng

A. 1000 .

B. $log\left( {100a + \frac{{10}}{a}} \right)$.

C. 3 .

D. $1 + 2loga$.

Câu 6: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AB \bot \left( {ABC} \right)$.

B. $AC \bot BD$.

C. $CD \bot \left( {ABD} \right)$.

D. $BC \bot AD$

Câu 7: Số nghiệm thực của phương trình ${3^{{x^2} – 2}} = 81$ là

A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 3 .

Câu 8: Tích tất cả các nghiệm của phương trình $log^2x + 2logx – 3 = 0$ là

A. -2 .

B. -3 .

C. $\frac{1}{{100}}$.

D. $\frac{1}{{1000}}$.

Câu 9: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $2a$ và thể tích bằng ${a^3}$. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng

A. $\sqrt 3 a$.

B. $2\sqrt 3 a$.

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}a$.

D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}a$.

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} – 5 \leqslant 0$ là

A. $S = \left( { – \infty ;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$
B. $S = \left( {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$.
C. $S = \left[ {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$.
D. $S = \left( {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_5}2} \right]$.

Câu 11: Một khối lăng trụ có thể tích bằng $V$, diện tích mặt đáy bằng $S$. Chiều cao của khối lăng trụ đó bằng

A. $\frac{S}{V}$.

B. $\frac{{3V}}{S}$.

C. $\frac{V}{S}$.

D. $\frac{S}{{3V}}$.

Câu 12: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $AB$ bằng

A. $\widehat {ABO}$.

B. $\widehat {MNO}$.

C. $\widehat {NOM}$.

D. $\widehat {OMN}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho phương trình $log_3^2x – log_3{x^2} + 2 – m = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi $m = 2$ phương trình có 1 nghiệm $x = 3$.

b) Điều kiện xác định của phương trình $x > 0$.

c) Với điều kiện xác định của phương trình, đặt $t = log_2x\,(t > 0)$, phương trình đã cho có dạng ${t^2} – 2t + 2 – m = 0$

d) Có 2 giá trị nguyên để phương trình có nghiệm $x \in \left[ {1;9} \right]$

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a\sqrt 5 $, đáy là tam giác vuông tại $A$ với $AB = a,AC = 2a$. Dựng $AK$ vuông góc $BC$ và $AH$ vuông góc $SK$.

a) Hai đường thẳng $BC$ và $AH$ vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$

c) Đoạn thẳng $AK$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

d) Tan góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{2}{5}$.

Câu 3: Năm 2024 bạn Huyền có số tiền 200 triệu đồng. Do chưa cần sử sụng đến số tiền này nên bạn Huyền gửi tiết kiệm vào một ngân hàng và được nhân viên ngân hàng tư vấn nhiều hình thức gửi khác nhau để bạn Huyện chọn một hình thức gửi.

a) Nếu bạn Huyền gửi theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi $5\% $ thì số tiền bạn Huyền thu được cả lãi và gốc sau ba năm là 231,94 triệu.

b) Sau 48 tháng bạn Huyền muốn có số tiền 250 thì bạn Huyền chọn hình thức lãi kép với lãi suất bằng $1,005\% $ một tháng.

c) Bạn Huyền chọn hình thức gửi theo kì hạn 3 tháng với lãi suất không đổi là $6\% $ một năm thì sau 13 quý bạn Huyền có 300 triệu đồng.

d) Vào ngày $01/01/2024$ bạn Huyền gửi vào ngân hàng với lãi suất không đổi $5\% $ một năm. Hàng tháng vào ngày $01/01$ bạn Huyền rút ra số tiền không đổi là 5 triệu đồng. Sau 44 tháng thì bạn Huyền rút hết số tiền đã gửi trong ngân hàng.

Câu 4: Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$. Biết rằng góc giữa $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$, tam giác $A’BC$ có diện tích bằng 18 .

a) Hình lăng trụ đã cho có đường cao $h = 3\sqrt 3 $.

b) Diện tích đáy của hình lăng trụ đã cho là ${S_{ABC}} = 9\sqrt 3 $.

c) Thể tích của khối chóp $A’.ABC$ thuộc khoảng $3\sqrt 3 $.

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ là ${S_{ABC \cdot A’B’C’}} = 27\sqrt 3 $.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{1}{2}}}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ ?

Đáp án:……………….

Câu 2: Biết $x$ và $y$ là hai số thực thỏa mãn ${{log}_4}x ={{log}_9}y = {{log}_6}\left( {x – 2y} \right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

Đáp án: ……………….

Câu 3: Cho biết tính đến ngày 31 tháng 12 năm 2023, dân số nước ta có khoảng 99186471 người và người ta dự đoán tỷ lệ tăng dân số trong vòng 21 năm, từ năm 2020 đến năm 2040 là khoảng $0.99\% $ một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 115 triệu người?

Đáp án: ……………….

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$. Tam giác $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $ABC$ ?

Đáp án: ……………….

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $\sqrt 6 $, cạnh bên $SD = 2\sqrt 3 $ và $SD$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng

Đáp án: ……………….

Câu 6: Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $2304\;{m^3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/ ${m^2}$. Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất (đơn vị: triệu đồng) để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DÃ̃N GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Chọn	B	B	B	D	C	D	A	C	A	A	C	D

PHẦN II.

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4
a) S	a) Đ	a) Đ	a) S
b) Đ	b) Đ	b) Đ	b) Đ
c) S	c) S	c) S	c) S
d) Đ	d) Đ	d) S	d) Đ

PHẦN III.

Câu	1	$2$	3	4	5	6
Chọn	7	4	15	30	2	578,4

 

GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$.

B. Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.

C. Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.

D. Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $\left( \alpha \right),\left( \alpha \right)//c$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Lời giải

Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.

Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = {(x – 1)^{\frac{2}{3}}}$ là

A. $\left[ {1; + \infty } \right)$.

B. $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Tập xác định $D = \left( {1; + \infty } \right)$.

Câu 3: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}\sqrt[4]{a}} $ bằng

A. ${a^{\frac{{13}}{6}}}$.

B. ${a^{\frac{{13}}{8}}}$.

C. ${a^{\frac{{17}}{4}}}$.

D. ${a^{\frac{{17}}{6}}}$.

Lời giải

Ta có $\sqrt {{a^3}\sqrt[4]{a}} = \sqrt {{a^3}{a^{\frac{1}{4}}}} = \sqrt {{a^{\frac{{13}}{4}}}} = {a^{\frac{{13}}{8}}}$.

Câu 4: Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ bằng

A. $32{a^3}$.

B. $16{a^3}$.

C. $64{a^3}$.

D. $8{a^3}$.

Lời giải

Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ bằng ${(2a)^3} = 8{a^3}$.

Câu 5: Với $a > 0,log\left( {100a} \right) + log\left( {\frac{{10}}{a}} \right)$ bằng

A. 1000 .

B. $log\left( {100a + \frac{{10}}{a}} \right)$.

C. 3 .

D. $1 + 2loga$.

Ta có $log\left( {100a} \right) + log\left( {\frac{{10}}{a}} \right) = log\left( {100a \cdot \frac{{10}}{a}} \right) = log1000 = 3$.

Câu 6: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AB \bot \left( {ABC} \right)$.

B. $AC \bot BD$.

C. $CD \bot \left( {ABD} \right)$.

D. $BC \bot AD$.

Lời giải

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AE \bot BC} \\
{DE \bot BC}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD} \right.$.

Câu 7: Số nghiệm thực của phương trình ${3^{{x^2} – 2}} = 81$ là

A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải

Ta có: ${3^{{x^2} – 2}} = 81 \Leftrightarrow {3^{{x^2} – 2}} = {3^4} \Leftrightarrow {x^2} – 2 = 4 \Leftrightarrow {x^2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 $.

Vậy phương trình có 2 nghiệm thực

Câu 8: Tích tất cả các nghiệm của phương trình $log^2x + 2logx – 3 = 0$ là

A. -2 .

B. -3 .

C. $\frac{1}{{100}}$.

D. $\frac{1}{{1000}}$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $x > 0$

Ta có: ${\text{lo}}{{\text{g}}^2}x + 2{\text{log}}x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\text{logx}} = 1} \\
{{\text{logx}} = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 10} \\
{x = {{10}^{ – 3}}}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy tích hai nghiệm là: $\frac{1}{{1000}} \cdot 10 = \frac{1}{{100}}$.

Câu 9: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng $2a$ và thể tích bằng ${a^3}$. Chiều cao của khối chóp đã cho bằng

A. $\sqrt 3 a$.

B. $2\sqrt 3 a$.

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}a$.

D. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}a$.

Diện tích đáy của hình chóp là $S = \frac{{{{(2a)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $.

Chiều cao của khối chóp là $h = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}\sqrt 3 }} = \sqrt 3 a$.

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} – 5 \leqslant 0$ là

A. $S = \left( { – \infty ;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$
B. $S = \left( {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$.
C. $S = \left[ {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$.
D. $S = \left( {0;{\text{lo}}{{\text{g}}_5}2} \right]$.

Lời giải

Ta có ${2^x} – 5 \leqslant 0 \Leftrightarrow {2^x} \leqslant 5 \Leftrightarrow x \leqslant {\text{lo}}{{\text{g}}_2}5$.
Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} – 5 \leqslant 0$ là $S = \left( { – \infty ;{\text{lo}}{{\text{g}}_2}5} \right]$.

Câu 11: Một khối lăng trụ có thể tích bằng $V$, diện tích mặt đáy bằng $S$. Chiều cao của khối lăng trụ đó bằng

A. $\frac{S}{V}$.

B. $\frac{{3V}}{S}$.

C. $\frac{V}{S}$.

D. $\frac{S}{{3V}}$.

Lời giải

Gọi $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.

Ta có thể tích khối lăng trụ là $V = S.h \Leftrightarrow h = \frac{V}{S}$.

Câu 12: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $AB$ bằng

A. $\widehat {ABO}$.

B. $\widehat {MNO}$.

C. $\widehat {NOM}$.

D. $\widehat {OMN}$.

Lời giải

Ta có: $AB//MN$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ )

Khi đó $\widehat {\left( {AB;OM} \right)} = \widehat {\left( {MN;OM} \right)} = \widehat {NMO}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho phương trình ${\text{lo}}{{\text{g}}^2}{\;_3}x – {\text{lo}}{{\text{g}}_3}{x^2} + 2 – m = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi $m = 2$ phương trình có 1 nghiệm $x = 3$.

b) Điều kiện xác định của phương trình $x > 0$.

c) Với điều kiện xác định của phương trình, đặt $t = log_2x(t > 0)$, phương trình đã cho có dạng ${t^2} – 2t + 2 – m = 0$

d) Có 2 giá trị nguyên để phương trình có nghiệm $x \in \left[ {1;9} \right]$

Lời giải

a) Sai: Thay $m = 2$, vào phương trình ta được ${\text{lo}}{{\text{g}}^2}{\;_3}x – {\text{lo}}{{\text{g}}_3}{x^2} = 0$ điều kiện $x > 0$
Phương trình ${\text{log}}_3^2x – {\text{lo}}{{\text{g}}_3}{x^2} = 0 \Leftrightarrow {\text{lo}}{{\text{g}}^2}{\;_3}x – 2{\text{lo}}{{\text{g}}_3}x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{\text{lo}}{{\text{g}}_3}x = 0} \\
{{\text{lo}}{{\text{g}}_3}x = 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 9}
\end{array}} \right.} \right.$

b) Đúng: Điều kiện xác định của phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{{x^2} > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 0} \right.} \right.$.

c) Sai: Với $x > 0$, đặt $t = log_3x$ phương trình đã cho trở thành ${t^2} – 2t + 2 – m = 0$

d) Đúng: Với $x > 0$, đặt $t = log_3x$ do $x \in \left[ {1;9\left] { \Rightarrow t \in } \right[0;2} \right]$

Phương trình đã cho trở thành ${t^2} – 2t + 2 – m = 0\left( 1 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} – 2t + 2 = m$, xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} – 2t + 2$

Vậy để phương trình có nghiệm thì $m \in \left[ {1;2} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {1;2} \right\}$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a\sqrt 5 $, đáy là tam giác vuông tại $A$ với

$AB = a,AC = 2a$. Dựng $AK$ vuông góc $BC$ và $AH$ vuông góc $SK$.

a) Hai đường thẳng $BC$ và $AH$ vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$

c) Đoạn thẳng $AK$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

d) Tan góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{2}{5}$.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AK} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot AH} \right.$ mà $AH \bot SK$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $SK$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$

Đăt $\alpha = \left( {SA;\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA;SK} \right) = \widehat {ASK}$.

Ta có $AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Khi đó $tan\alpha = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}$.

a) Đúng: Hai đường thẳng $BC$ và $AH$ vuông góc với nhau.

b) Đúng: Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$

c) Sai: Đoạn thẳng $AK$ có độ dài bằng $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$

d) Đúng: Tan góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{2}{5}$.

Câu 3: Năm 2024 bạn Huyền có số tiền 200 triệu đồng. Do chưa cần sử sụng đến số tiền này nên bạn Huyền gửi tiết kiệm vào một ngân hàng và được nhân viên ngân hàng tư vấn nhiều hình thức gửi khác nhau để bạn Huyện chọn một hình thức gửi.

a) Nếu bạn Huyền gửi theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi $5\% $ thì số tiền bạn Huyền thu được cả lãi và gốc sau ba năm là 231,94 triệu.

b) Sau 48 tháng bạn Huyền muốn có số tiền 250 thì bạn Huyền chọn hình thức lãi kép với lãi suất bằng $1,005\% $ một tháng.

c) Bạn Huyền chọn hình thức gửi theo kì hạn 3 tháng với lãi suất không đổi là $6\% $ một năm thì sau 13 quý bạn Huyền có 300 triệu đồng.

d) Vào ngày $01/01/2024$ bạn Huyền gửi vào ngân hàng với lãi suất không đổi $5\% $ một năm. Hàng tháng vào ngày $01/01$ bạn Huyền rút ra số tiền không đổi là 5 triệu đồng. Sau 44 tháng thì bạn Huyền rút hết số tiền đã gửi trong ngân hàng.

Lời giải

a) Đúng: Ta có ${S_6} = 200 \cdot {\left( {1 + 5\% \cdot \frac{6}{{12}}} \right)^6} \approx 231,94$.

b) Đúng: Ta có $250 = 200.{(1 + r\% )^{48}} \Leftrightarrow r\% \approx 1,005\% $

c) Sai: $300 = 200 \cdot {\left( {1 + 6\% \cdot \frac{3}{{12}}} \right)^n} \Leftrightarrow n \approx 27,2$ tức là gần 9 quý

d) Sai: Ta có $T = 200{\left( {1 + 5\% \cdot \frac{1}{{12}}} \right)^n} – 5\frac{{{{\left( {1 + \frac{{5\% }}{{12}}} \right)}^n} – 1}}{{\frac{{5\% }}{{12}}}}$.

Khi bạn Huyền rút hết tiền thì $T = 200{\left( {1 + 5\% \cdot \frac{1}{{12}}} \right)^n} – 5\frac{{{{\left( {1 + \frac{{5\% }}{{12}}} \right)}^n} – 1}}{{\frac{{5\% }}{{12}}}} = 0$

$ \Rightarrow n \approx 45$tháng.

Câu 4: Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$. Biết rằng góc giữa $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$, tam giác $A’BC$ có diện tích bằng 18 .

a) Hình lăng trụ đã cho có đường cao $h = 3\sqrt 3 $.

b) Diện tích đáy của hình lăng trụ đã cho là ${S_{ABC}} = 9\sqrt 3 $.

c) Thể tích của khối chóp $A’.ABC$ thuộc khoảng $3\sqrt 3 $.

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ là ${S_{ABC \cdot A’B’C’}} = 27\sqrt 3 $.

Lời giải

Đặt $AB = x,(x > 0)$, gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {A’BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC} \\
{AM \bot BC} \\
{A’M \bot BC}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A’BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A’MA} = {30^ \circ }$.

Xét $ \Delta A’AM$, có $A’M = \frac{{AM}}{{cos{{30}^ \circ }}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }} = x$.

${S_{A’BC}} = 18 \Leftrightarrow \frac{1}{2}A’M \cdot BC = 18 \Leftrightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x = 6$

Suy ra đường cao của hình lăng trụ là $h = A’A = AM \cdot tan{30^ \circ } = \frac{{6 \cdot \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 3$,

Tam giác $ABC$ đều nên ${S_{ABC}} = \frac{{{6^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $.

${V_{A’.ABC.}} = \frac{1}{3}A’A \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \approx 15.59$

${V_{ABC \cdot A’B’C’}} = A’A \cdot {S_{ABC}} = 3.9\sqrt 3 = 27\sqrt 3 $.

a) Sai: Hình lăng trụ đã cho có đường cao $h = 3$.

b) Đúng: Diện tích đáy của hình lăng trụ đã cho là ${S_{ABC}} = 9\sqrt 3 $.

c) Sai: Thể tích của khối chóp $A’ \cdot ABC$ bằng $9\sqrt 3 $.

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ là ${S_{ABC \cdot A’B’C’}} = 27\sqrt 3 $.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + mx + 2} \right)^{\frac{1}{2}}}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ ?

Lời giải

Do $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ nên hàm số đã cho xác định $ \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0$.

Hàm số đã cho xác định với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 2{x^2} + mx + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta = {m^2} – 16 < 0$

$ \Leftrightarrow – 4 < m < 4$.

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 3; – 2; \ldots ;2;3} \right\}$ nên có 7 giá trị $m$.

Câu 2: Biết $x$ và $y$ là hai số thực thỏa mãn ${{log}_4}x ={{log}_9}y = {{log}_6}\left( {x – 2y} \right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

Lời giải

Điều kiện. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{y > 0} \\
{x > 2y}
\end{array}} \right.$. Đặt ${\text{lo}}{{\text{g}}_4}x = {\text{lo}}{{\text{g}}_9}y = {\text{lo}}{{\text{g}}_6}\left( {x – 2y} \right) = t$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {4^t}} \\
{y = {9^t}} \\
{x – 2y = {6^t}}
\end{array} \Rightarrow {4^t} – {{2.9}^t} = {6^t}} \right.$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t} = – 1\;(loai)\;} \\
{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t} = 2}
\end{array}} \right.$

Khi đó $\frac{x}{y} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = 4$.

Câu 3: Cho biết tính đến ngày 31 tháng 12 năm 2023, dân số nước ta có khoảng 99186471 người và người ta dự đoán tỷ lệ tăng dân số trong vòng 21 năm, từ năm 2020 đến năm 2040 là khoảng $0.99\% $ một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 115 triệu người?

Lời giải

Chọn năm 2023 làm mốc tính, số dân hàng tỉ lệ tăng dân số trong vòng 21, từ năm 2020 đến năm 2040 năm là khoảng $0.99\% $ một năm, nên dân số nước ta sau $N$ năm $\left( { – 3 \leqslant N \leqslant 17} \right)$ là:

${S_N} = 99186471.{(1 + 0.99\% )^N}$ để dân số là 115 triệu người thì $N$ phải thỏa mãn:

$1150000000 = 99186471 \cdot {(1 + 0.99\% )^N}$

$ \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{{0.99}}{{100}}} \right)^N} = \frac{{115000000}}{{99186471}}$ $ \Leftrightarrow N \cdot ln\left( {1,0099} \right) = ln\left( {\frac{{115000000}}{{99186471}}} \right)$

$ \Leftrightarrow N = \frac{{ln\left( {\frac{{115000000}}{{99186471}}} \right)}}{{ln\left( {1,0099} \right)}} \approx 15,016 \approx 15$

Như vậy sau 15 năm, tức là năm 2038 thì dân số nước ta ở mức khoảng 115 triệu người.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$. Tam giác $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $ABC$ ?

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Do tam giác $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có: $SH = \frac{1}{2}AB = a$ và $SH \bot \left( {ABC} \right)$. Suy ra: $\left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SCH}$

$ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$ nên $CH = a\sqrt 3 $.

Xét tam giác $SCH$ vuông tại $H$ có: $tan\widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra $\left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = {30^ \circ }$.

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $\sqrt 6 $, cạnh bên $SD = 2\sqrt 3 $ và $SD$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \bot SD} \\
{AB \bot AD} \\
{SD \cap AD = D\;trong\;\left( {SAD} \right)}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$

Vẽ $DH \bot SA$ tại $H$ trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DH \bot AB} \\
{DH \bot SA} \\
{AB \cap SA = A\;trong\;\left( {SAB} \right)}
\end{array} \Rightarrow DH \bot \left( {SAB} \right)} \right.$

Vì $CD\parallel \left( {SAB} \right)$ nên $d\left( {SB;CD} \right) = d\left( {\left( {SAB} \right);CD} \right) = d\left( {\left( {SAB} \right);D} \right) = DH$.

$\vartriangle SAD$ vuông tại $D$ với đường cao $DH$ có $DH = \frac{{SD \cdot DA}}{{\sqrt {S{D^2} + D{A^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 \cdot \sqrt 6 }}{{\sqrt {{{(2\sqrt 3 )}^2} + {{(\sqrt 6 )}^2}} }} = 2$

Câu 6: Ông A muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $2304\;{m^3}$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 600000 đồng/m² ${m^2}$. Nếu ông A biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông A trả chi phí thấp nhất (đơn vị: triệu đồng) để xây dựng bể đó là bao nhiêu (biết độ dày thành bể và đáy bể không đáng kể)?

Lời giải

Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.

Gọi ba kích thước của bể là $a,2a,c(a\left( m \right) > 0,c\left( m \right) > 0)$.

Ta có diện tích các mặt cần xây là $S = 2{a^2} + 4ac + 2ac = 2{a^2} + 6ac$.

Thể tích bể $V = a.2a \cdot c = 2{a^2}c = 2304 \Rightarrow c = \frac{{1152}}{{{a^2}}}$.

Suy ra $S = 2{a^2} + 6a \cdot \frac{{1152}}{{{a^2}}} = 2{a^2} + \frac{{6912}}{a}$

$ = 2{a^2} + \frac{{3456}}{a} + \frac{{3456}}{a} \geqslant 3 \cdot \sqrt[3]{{2{a^2} \cdot \frac{{3456}}{a} \cdot \frac{{3456}}{a}}} = 864$.

Vậy ${S_{min}} = 864\;{m^2}$, khi đó chi phí thấp nhất là $864.600000 = 518.4$ triệu đồng.