Đề Thi Giữa HK2 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề thi giữa HK2 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn. Thí sinh trả lời tù câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1: Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$. B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$. C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$. D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.

Câu 2: Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x$ B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$ C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$ D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

B. ${log_a}b = \frac{1}{{{log_b}a}}$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}bc$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

D. ${log_a}b = \frac{{{log_c}a}}{{{log_c}b}}$ với mọi số $a,b,c$ dương và $a \ne 1$.

Câu 4: Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[5]{a}$ bằng

A. $\frac{1}{5}$. B. $ – \frac{1}{5}$. C. 5 . D. -5

Câu 5: Tập xác định của hàm số $y = {log_4}x$ là

A. $\left( { – \infty ;0} \right)$. B. $\left[ {0; + \infty } \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Câu 6: Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $f\left( x \right) = {3^x}$. B. $f\left( x \right) = {3^{ – x}}$. C. $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}$. D. $f\left( x \right) = \frac{3}{{{3^x}}}$.

Câu 7: Nghiệm của phương trình ${log_3}\left( {2x} \right) = 2$ là

A. $x = \frac{9}{2}$. B. $x = 9$. C. $x = 4$. D. $x = 8$.

Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 3$ là

A. $\left( {{log_3}2; + \infty } \right)$, B. $\left( { – \infty ;{log_2}3} \right)$, C. $\left( { – \infty ;{log_3}2} \right)$, D. $\left( {{log_2}3; + \infty } \right)$.

Câu 9: Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Qua một điểm $O$ cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng $\Delta $ cho trước.

C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 10: Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$, góc giữa hai đường thẳng $A’B$ và $B’C$ là

A. ${90^ \circ }$. B. ${60^ \circ }$. C. ${30^ \circ }$. D. ${45^ \circ }$.

Câu 11: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

B. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$.

C. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$.

D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

Câu 12: Cho tứ diện $MNPQ$ có hai tam giác $MNP$ và $QNP$ là hai tam giác cân lần lượt tại $M$ và $Q$. Góc giữa hai đường thẳng $MQ$ và $NP$ bằng

A. ${45^ \circ }$. B. ${30^ \circ }$. C. ${60^ \circ }$. D. ${90^ \circ }$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời tù câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho biểu thức $Q = {2^{{log_{16}}{x^4} + {log_2}{x^2}}}$ với $x$ là số thực khác 0 . Vậy

a) $Q > 0$

b) Khi $x = 2$ thì $Q = 8$

c) Khi $x = – 2$ thì $Q = – 8$

d) Khi $x = 3$ thì $Q = 9$

Câu 2. Cho phương trình ${log_5}\sqrt {{x^2} – 3x + 21} = 1\left( * \right)$, biết phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$. Khi đó:

a) Phương trình $\left( * \right)$ có chung tập nghiệm với phương trình ${x^2} – 3x – 4 = 0$

b) Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 4

c) 3 số ${x_1};{x_2};8$ tạo thành một cấp số cộng.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x – 2) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x – 2) = – 1$

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$. Cho biết $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot AB,SA \bot AD$. Khi đó:

a) $\left( {AB,SA} \right) = {90^ \circ }$

b) $SA \bot CD$

c) $\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,CD} \right)$

d) $\widehat {SDA} = {60^ \circ }$

Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH \bot \left( {ABC} \right)$ tại $H$. Khi đó:

a) $OA \bot BC,OB \bot AC,OC \bot AB$.

b) Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.

c) $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

d) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời đáp án tù câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Số lượng vi khuẩn $V$ trong phòng thí nghiệm tính theo công thức $s\left( t \right) = {s_0}{.2^t}$ trong đó ${s_0}$ là số lượng vi khuẩn $V$ lúc đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có trong $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau 9 phút thì số lượng vi khuẩn $V$ bao nhiêu?

Câu 2. Cho số thực $a$ thõa mãn $0 < a \ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $A = 2{log_2}12 + 3{log_2}5 – {log_2}15 – {log_2}150$.

Câu 3. Tìm tất cả giá trị $m$ để: Hàm số $y = ln\left( {{x^2} – 2x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Câu 4. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S\left( t \right) = A \cdot {e^{rt}}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $S\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ (phút), $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0),t$ (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 6 giờ có 2000 con. Hỏi ít nhất bao nhiêu giờ, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con?

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = a,BD = 3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.

Biết $AC$ vuông góc với $BD$. Tính độ dài $MN$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ với đáy $ABCD$ là hình vuông.

Kẻ $AH \bot SB$. Tìm số đo của góc $\left( {AH,\left( {SBC} \right)} \right)$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phuơng án đúng nhất.

Câu 1. Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$.

B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$.

C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$.

D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.

Lời giải

Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy $a,B,C$ là các mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề $D$ : với $\alpha = 1$, ta có: ${\left( {{{10}^1}} \right)^2} = 100 \ne {(10)^{{1^2}}} = 10$ nên mệnh đề D sai.

Câu 2. Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x$

B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$

C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$

D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$

Lời giải

Chọn A

$P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x$

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

B. ${log_a}b = \frac{1}{{{log_b}a}}$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}bc$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

D. ${log_a}b = \frac{{{log_c}a}}{{{log_c}b}}$ với mọi số $a,b,c$ dương và $a \ne 1$.

Lời giải

Chọn A.

Câu 4. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[5]{a}$ bằng

A. $\frac{1}{5}$.

B. $ – \frac{1}{5}$.

C. 5 .

D. -5

Lời giải

Chọn A

Ta có ${log_a}\sqrt[5]{a} = {log_a}{a^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{5}{log_a}a = \frac{1}{5}$.

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = {log_4}x$ là

A. $\left( { – \infty ;0} \right)$.

B. $\left[ {0; + \infty } \right)$.

C. $\left( {0; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện $x > 0$.

Câu 6. Tìm hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $f\left( x \right) = {3^x}$.

B. $f\left( x \right) = {3^{ – x}}$.

C. $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^x}$.

D. $f\left( x \right) = \frac{3}{{{3^x}}}$.

Lời giải

Hàm số $f\left( x \right) = {a^x}$ dồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a > 1$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu $0 < a < 1$.

Vậy hàm số $f\left( x \right) = {3^x}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 7. Nghiệm của phương trình ${log_3}\left( {2x} \right) = 2$ là

A. $x = \frac{9}{2}$.

B. $x = 9$.

C. $x = 4$.

D. $x = 8$.

Lời giải

Chọn A

${log_3}\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}$.

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 3$ là

A. $\left( {{log_3}2; + \infty } \right)$,

B. $\left( { – \infty ;{log_2}3} \right)$,

C. $\left( { – \infty ;{log_3}2} \right)$,

D. $\left( {{log_2}3; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: ${2^x} > 3 \Leftrightarrow x > {log_2}3$.

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {{log_2}3; + \infty } \right)$.

Câu 9. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Qua một điểm $O$ cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng $\Delta $ cho trước.

C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Qua một điểm $O$ cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Lời giải

Chọn D

Qua một điểm $O$ cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Các đường thẳng này cùng nằm trên mặt phẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng ây.

Vậy D sai.

Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$, góc giữa hai đường thẳng $A’B$ và $B’C$ là

A. ${90^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Ta có $B’C//A’D \Rightarrow \widehat {\left( {A’B;B’C} \right)} = \widehat {\left( {A’B;A’D} \right)} = \widehat {DA’B}$.

Xét $\vartriangle DA’B$ có $A’D = A’B = BD$ nên $\vartriangle DA’B$ là tam giác đều.

Vậy $\widehat {DA’B} = {60^ \circ }$.

Câu 11. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

B. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$.

C. Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì đường thẳng $a$ song song hoặc trùng với đường thẳng $b$.

D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.

Lời giải

Phát biểu $D$ đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

Câu 12. Cho tứ diện $MNPQ$ có hai tam giác $MNP$ và $QNP$ là hai tam giác cân lần lượt tại $M$ và $Q$. Góc giữa hai đường thẳng $MQ$ và $NP$ bằng

A. ${45^ \circ }$.

B. ${30^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Chọn D

Lời giải

Gọi $I$ là trung điểm cảu $NP$, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{NP \bot MI} \\
{NP \bot QI}
\end{array} \to NP \bot \left( {QIM} \right) \to NP \bot QM} \right.$.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thi sinh trả lời tù câu 1 đến câu 4. Trong mỗ ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 1. Cho biểu thức $Q = {2^{{log_{16}}{x^4} + {log_2}{x^2}}}$ với $x$ là số thực khác 0 . Vậy

a) $Q > 0$

b) Khi $x = 2$ thì $Q = 8$

c) Khi $x = – 2$ thì $Q = – 8$

d) Khi $x = 3$ thì $Q = 9$

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $Q = {2^{{log_2}{x^4} + {log_2}{x^2}}} = {2^{4 \cdot \frac{1}{4}{log_2}\left| x \right| + 2{log_2}\left| x \right|}}$

$ = {2^{3{log_2}\left| x \right|}} = {\left( {{2^{{log_2}\left| x \right|}}} \right)^3} = |x{|^3}$.

Câu 2. Cho phương trình ${log_5}\sqrt {{x^2} – 3x + 21} = 1\left( * \right)$, biết phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$. Khi đó:

a) Phương trình $\left( * \right)$ có chung tập nghiệm với phương trình ${x^2} – 3x – 4 = 0$

b) Tổng các nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ bằng 4

c) 3 số ${x_1};{x_2};8$ tạo thành một cấp số cộng.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x – 2) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x – 2) = – 1$

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng

Điều kiện: ${x^2} – 3x + 21 > 0.\left( * \right)$

${log_5}\sqrt {{x^2} – 3x + 21} = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} – 3x + 21} = 5$

$ \Rightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 4}
\end{array}} \right.$

Thay lần lượt hai giá trị này vào $\left( {{\;^*}} \right)$, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn. Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ { – 1;4} \right\}$.

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$. Cho biết $SA = a\sqrt 3 ,SA \bot AB,SA \bot AD$. Khi đó:

a) $\left( {AB,SA} \right) = {90^ \circ }$

b) $SA \bot CD$

c) $\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,CD} \right)$

d) $\widehat {SDA} = {60^ \circ }$

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Vì $CD//AB$ (hai cạnh đối trong hình thoi) nên $\left( {CD,SA} \right) = \left( {AB,SA} \right) = {90^ \circ }$.

Vậy $SA \bot CD$.

Vì $BC//AD$ (hai cạnh đối trong hình thoi) nên $\left( {SD,BC} \right) = \left( {SD,AD} \right)$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có:

$tan\widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 $

$ \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^ \circ }.$

$\; \Rightarrow \left( {SD,BC} \right)\; = \left( {SD,AD} \right)$

$ = \widehat {SDA} = {60^ \circ }.$

Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Kẻ $OH \bot \left( {ABC} \right)$ tại $H$. Khi đó:

a) $OA \bot BC,OB \bot AC,OC \bot AB$.

b) Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.

c) $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

d) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OA \bot OB} \\
{OA \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC} \right.$;

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OB \bot OA} \\
{OB \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC;} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OC \bot OA} \\
{OC \bot OB}
\end{array} \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB} \right.$

b) Kẻ đường cao $OK$ của tam giác vuông $OBC$ thì $K$ nằm giữa $B$ và $C$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot OK} \\
{BC \bot OA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {OAK} \right) \Rightarrow BC \bot AK} \right.$

Do đó $AK$ là đường cao của tam giác $ABC$, đồng thời $K$ nằm giữa $B$ và $C$ nên các góc $\widehat {ABC},\widehat {ACB}$ là góc nhọn.

Tương tự, kẻ đường cao $OE$ của tam giác vuông $OAB$ thì $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \bot OE} \\
{AB \bot OC}
\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {OCE} \right) \Rightarrow AB \bot CE} \right.$.

Do đó $CE$ là đường cao tam giác $ABC$, đồng thời $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ nên các góc $\widehat {ABC},\widehat {CAB}$ là góc nhọn.

Vậy tam giác $ABC$ có ba góc đều là góc nhọn.

c) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot OA} \\
{BC \bot OH}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH} \right.$.(1)

Tương tự $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB \bot OC} \\
{AB \bot OH}
\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right) \Rightarrow AB \bot CH} \right.$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

d) Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$ nên $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.(3)

Tam giác $OAK$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$ nên $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$.

Thay (3) vào (4), ta được: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Phần 3. Câu trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời đáp án tù câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Số lượng vi khuẩn $V$ trong phòng thí nghiệm tính theo công thức $s\left( t \right) = {s_0} \cdot {2^t}$ trong đó ${s_0}$ là số lượng vi khuẩn $V$ lúc đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có trong $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau 9 phút thì số lượng vi khuẩn $V$ bao nhiêu?

Lời giải

Vì sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con nên: $625000 = {s_0} \cdot {2^3}$

Số lượng vi khuẩn $V$ sau 9 phút là:

$s\left( t \right) = \frac{{625000}}{{{2^3}}} \cdot {2^9} = 625000 \cdot {2^6} = 4 \cdot {10^7}($ con $)$

Câu 2. Cho số thực $a$ thõa mãn $0 < a \ne 1$. Tính giá trị của biểu thức $A = 2{log_2}12 + 3{log_2}5 – {log_2}15 – {log_2}150$.

Lời giải

Ta có: $A = {log_2}{12^2} + {log_2}{5^3} – \left( {{log_2}15 + {log_2}150} \right)$

$ = {log_2}{12^2} \cdot {5^3} – {log_2}15.150$

$ = {log_2}\frac{{18000}}{{2250}} = {log_2}8 = 3.$

Câu 3. Tìm tất cả giá trị $m$ để: Hàm số $y = ln\left( {{x^2} – 2x – m + 1} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Lời giải

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi: ${x^2} – 2x – m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow {(x – 1)^2} > m,\forall x \in \mathbb{R}$. Suy ra $m < 0$ thoả mãn đề bài.

Câu 4. Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được tính theo công thức $S\left( t \right) = A \cdot {e^{rt}}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $S\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn có sau $t$ (phút), $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0),t$ (tính theo phút) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con và sau 6 giờ có 2000 con. Hỏi ít nhất bao nhiêu giờ, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con?

Lời giải

Ta có: $A = 500,S\left( {360} \right) = 2000,6$ giờ $ = 360$ phút.

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 2000 con, tức là: $2000 = 500 \cdot {e^{r.360}}$

$ \Leftrightarrow {e^{r.360}} = 4 \Leftrightarrow r = \frac{{ln4}}{{360}}$ (do $e > 1$ ).

Số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con, nghĩa là: $500 \cdot {e^{\frac{{ln4}}{{360}} \cdot t}} \geqslant 120000$

$ \Leftrightarrow {e^{\frac{{ln4}}{{360}} \cdot t}} \geqslant 240 \Leftrightarrow \frac{{ln4}}{{360}} \cdot t \geqslant ln240$ $ \Leftrightarrow t \geqslant \frac{{360 \cdot ln240}}{{ln4}} \approx 1423,24$ (phút).

Vậy sau ít nhất 24 (giờ) thì số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.

Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = a,BD = 3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Biết $AC$ vuông góc với $BD$. Tính độ dài $MN$.

Lời giải

Gọi $P$ là trung điểm đoạn $AB$,

ta có $NP$ là đường trung bình của $\vartriangle ABC$

$ \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2},NP//AC$.

Tương tự: $MP$ là đường trung bình của $\vartriangle ABD$

$ \Rightarrow MP = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2},MP//BD$.

Khi đó: $\left( {AC,BD} \right) = \left( {PN,PM} \right) = \widehat {MPN} = {90^ \circ }$ hay $\vartriangle MNP$ vuông tại $P$.

Vì vậy

$MN = \sqrt {P{N^2} + P{M^2}} $

$ = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ với đáy $ABCD$ là hình vuông.

Kẻ $AH \bot SB$. Tìm số đo của góc $\left( {AH,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Lời giải

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH} \right.$

Ta lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AH \bot SB} \\
{AH \bot BC}
\end{array} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)} \right.$