Đề Kiểm Tra Giữa HK2 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phurơng án.

Câu 1: Cho $a$ là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ bằng

A. ${a^3}$.

B. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

C. ${a^{\frac{7}{6}}}$.

D. ${a^{\frac{5}{6}}}$.

Câu 2: Một khối chóp có thể tích bằng 21 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối chóp đó bằng

A. 21

B. $\frac{7}{3}$.

C. 7 .

D. 63 .

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là

A. $D = \mathbb{R}$.

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.

Câu 4: Cho $a$ là một số thực dương khác 1 . Giá trị của biểu thức ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng

A. $\frac{{ – 1}}{3}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. 3 .

D. -3 .

Câu 5: Cho các đồ thị hàm số $y = {a^x},y = {log_b}x,y = {x^c}$ ở hình vẽ sau đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $0 < c < 1 < a < b$.

B. $c < 0 < a < 1 < b$.

C. $c < 0 < a < b < 1$.

D. $0 < c < a < b < 1$.

Câu 6: Trong không gian mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?

A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

B. Không tồn tại mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

D. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $\Delta $ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\Delta $ vuông góc với $d$.

Câu 7: Phương trình ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính $T = x_1^2 + x_2^2$.

A. $T = 27$.

B. $T = 9$.

C. $T = 3$.

D. $T = 1$.

Câu 8: Cho một hình chóp có đáy là hình vuông cạng bằng $a$, có thể tích $V$, chiều cao $h$. Khi đó $h$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

A. $h = \frac{{{a^2}}}{{3V}}$.

B. $h = \frac{{3V}}{{{a^2}}}$.

C. $h = \frac{V}{{{a^2}}}$.

D. $h = \frac{V}{{3{a^2}}}$.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$.

A. $S = \left( { – 1;2} \right)$.

B. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

D. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD,SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

B. $AC \bot \left( {SBD} \right)$.

C. $AC \bot \left( {SAB} \right)$.

D. $AC \bot \left( {SAD} \right)$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

B. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\widehat {AHS}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$

C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {ACB}$.

D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Câu 12: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $, chiều cao bằng $a$. Thể tích $V$ của khối chóp đó là

A. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.

B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

C. $V = 2{a^3}$.

D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{3}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho các hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ và $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đồ thị hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ nằm bên phải trục tung.

d) Đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ cắt trục tung.

Câu 2: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ và kẻ $AM \bot BC$.

a) Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

d) Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Câu 3: Cô Lan có số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là $6\% $.

a) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng quý là khoảng 161,623 triệu đồng.

b) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng tháng là khoảng 161,862 triệu đồng.

c) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi liên tục là khoảng 161,483 triệu đồng.

d) Thời gian cần thiết để cô Lan thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 180 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi lép liên tục khoảng 13 năm.

(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$. Tam giác $A’BC$ đều và có diện tích bằng $\sqrt 3 $.

a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $\sqrt 2 $.

b) Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^ \circ }$

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .

Câu 1: Cho ${log_a}x = 4$ và ${log_b}x = 6$ với $a,b$ là các số thực lớn hơn 1 . Tính $P = {log_{ab}}x$.

Câu 2: Cho ${4^x} + {4^{ – x}} = 7$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – 4 \cdot {2^x} – 4 \cdot {2^{ – x}}}}$.

Câu 3: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng ${60^ \circ }$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1 và $A’$ cách đều $A,B,C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ ?

Câu 6: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt {10} ,SA = SB,SC = SD$ Biết rằng mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\vartriangle SAB$ và $\vartriangle SCD$ bằng 2 . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DÃ̃N GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Chọn	C	C	B	B	B	C	B	B	C	A	C	A

PHẦN II.

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4
a) S	a) Đ	a) Đ	a) S
b) Đ	b) Đ	b) Đ	b) Đ
c) Đ	c) S	c) S	c) S
d) S	d) Đ	d) S	d) Đ

PHẦN III.

Câu	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Chọn	2,4	-2	30	1	30	1

GIẢI CHI TIÊT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Giá trị của biểu thức $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ bằng

A. ${a^3}$.

B. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

C. ${a^{\frac{7}{6}}}$.

D. ${a^{\frac{5}{6}}}$.

Lời giải

Ta có: $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$.

Câu 2: Một khối chóp có thể tích bằng 21 và diện tích đáy bằng 9 . Chiều cao của khối chóp đó bằng

A. 21 .

B. $\frac{7}{3}$.

C. 7 .

D. 63 .

Lời giải

Gọi $V$ là thể tích, $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao của khối chóp đã cho.

Ta có $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S} = 7$.

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là

A. $D = \mathbb{R}$.

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.

Lời giải

Hàm số xác định khi ${x^2} – 2x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – 1} \\
{x \ne 3}
\end{array}} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

Câu 4: Cho $a$ là một số thực dương khác 1 . Giá trị của biểu thức ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng

A. $\frac{{ – 1}}{3}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. 3 .

D. -3 .

Lời giải

Ta có ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}{log_a}a = \frac{1}{3}$.

Câu 5: Cho các đồ thị hàm số $y = {a^x},y = {log_b}x,y = {x^c}$ ở hình vẽ sau đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $0 < c < 1 < a < b$.

B. $c < 0 < a < 1 < b$.

C. $c < 0 < a < b < 1$.

D. $0 < c < a < b < 1$.

Lời giải

Ta thấy đồ thị $y = {x^c}$ đi xuống nên $c < 0$, đồ thị $y = {a^x}$ đi xuống nên $0 < a < 1$, đồ thị $y = {log_b}x$ đi lên nên $b > 1$.

Câu 6: Trong không gian mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?

A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

B. Không tồn tại mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

D. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $\Delta $ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\Delta $ vuông góc với $d$.

Lời giải

Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

Câu 7: Phương trình ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính $T = x_1^2 + x_2^2$.

A. $T = 27$.

B. $T = 9$.

C. $T = 3$.

D. $T = 1$.

Lời giải

Ta có: ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$.

Vậy $T = x_1^2 + x_2^2 = 9$.

Câu 8: Cho một hình chóp có đáy là hình vuông cạng bằng $a$, có thể tích $V$, chiều cao $h$. Khi đó $h$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

A. $h = \frac{{{a^2}}}{{3V}}$.

B. $h = \frac{{3V}}{{{a^2}}}$.

C. $h = \frac{V}{{{a^2}}}$.

D. $h = \frac{V}{{3{a^2}}}$.

Lời giải

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot h$.

Vậy $h = \frac{{3V}}{{{a^2}}}$.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$.

A. $S = \left( { – 1;2} \right)$.

B. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

D. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.

Lời giải

Ta có: ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 2x – 1} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 2} \\
{x > \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2} \right.} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD,SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

B. $AC \bot \left( {SBD} \right)$.

C. $AC \bot \left( {SAB} \right)$.

D. $AC \bot \left( {SAD} \right)$.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA \bot \left( {ABCD} \right)} \\
{BC \subset \left( {ABCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow SA \bot BC} \right.$.

Vậy có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA} \\
{SA \cap AB = \left\{ A \right\}}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

B. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\widehat {AHS}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$

C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {ACB}$.

D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Lời giải

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Do $ABC$ là tam giác đều nên $AH \bot BC$ mà $BC \bot SA$ nên $BC \bot SH$, suy ra góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {AHS}$.

Câu 12: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 $, chiều cao bằng $a$. Thể tích $V$ của khối chóp đó là

A. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.

B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$.

C. $V = 2{a^3}$.

D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{3}$.

Lời giải

Khối chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông có diện tích là: $S = {(a\sqrt 2 )^2} = 2{a^2}$

Thể tích $V$ của khối chóp đó là: $V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot a = \frac{{2{a^3}}}{3}\left( {dvtt} \right)$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho các hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ và $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đồ thị hàm số $y = {log_{\frac{{2025}}{{2024}}}}x$ nằm bên phải trục tung.

d) Đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ cắt trục tung.

Lời giải

a) Sai: Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Đúng: Vì cơ số $\frac{{2025}}{{2024}} > 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đúng: Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$ nên có đồ thị nằm bên phải trục tung.

d) Sai: Vì ${\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2025}}{{2024}}} \right)^x}$ không cắt trục tung.

Câu 2: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ và kẻ $AM \bot BC$.

a) Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

d) Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Lời giải

Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$. Vì hình chóp $S.ABC$ đều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$.

Ta có: $GM$ là hình chiếu của $SM$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SM \bot BC$.

Lại có, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(SBC) \cap (ABC) = BC} \\
{(SBC) \supset SM \bot BC} \\
{(ABC) \supset AM \bot BC}
\end{array}} \right.$

Ta lại có,

Xét $\vartriangle ABC$ đều có $AM$ là đường trung tuyến, $G$ là trọng tâm nên $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Tam giác $SMB$ vuông tại $M$ nên:

$S{M^2} = S{B^2} – B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} – {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Tam giác $SGM$ vuông tại G nên: $cos\widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }$.

a) Đúng: Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Sai: Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{a}{{\sqrt 3 }}$

d) Đúng: Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Câu 3: Cô Lan có số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là $6\% $.

a) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng quý là khoảng 161,623 triệu đồng.

b) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng tháng là khoảng 161,862 triệu đồng.

c) Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi liên tục là khoảng 161,483 triệu đồng.

d) Thời gian cần thiết để cô Lan thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 180 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi lép liên tục khoảng 13 năm.

(Kết quả đuợc tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chũ số thập phân thú ba).

Lời giải

Công thức lãi kép theo định kì để tính tổng số tiền thu được $A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^t}$, trong đó $P$ là số tiền vốn ban đầu, $r$ là lãi suất năm ( $r$ cho dưới dạng số thập phân), $n$ là số kì tính lãi trong một năm và $t$ là số kì gửi.

Công thức lãi kép liên tục $A = P{e^{rt}}$, ở đây $r$ là lãi suất năm ( $r$ cho dưới dạng số thập phân) và $t$ là số năm gửi tiết kiệm.

Ta có: $P = 120,r = 6\% = 0,06,n = 4,t = 20$.

Thay vào công thức trên, ta được: $A = 120{\left( {1 + \frac{{0,06}}{4}} \right)^{20}} = 120 \cdot 1,{015^{20}} \approx 161,623$ ( triệu đồng).

Ta có: $P = 120,r = 6\% = 0,06,n = 12,t = 60$. Thay vào công thức trên, ta được:

$A = 120{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{60}} = 120 \cdot 1,{005^{60}} \approx 161,862$ (triệu đồng)

Ta sử dụng công thức lãi kép liên tục $A = P{e^{rt}}$, ở đây $r$ là lãi suất năm ( $r$ cho dưới dạng số thập phân) và $t$ là số năm gửi tiết kiệm.

Ta có: $P = 120,r = 6\% = 0,06,t = 5$ nên $A = 120 \cdot {\theta ^{0,06 \cdot 5}} = 120 \cdot {\theta ^{0,3}} \approx 161,983$ (triệu đồng).

Ta có phương trình: $180 = 120.{e^{rt}} \Leftrightarrow 2{e^{0.06t}} = 3$

Lấy logarit tự nhiên của hai vế của phương trình, ta có: $0.06t = ln\left( {1.5} \right)$

Do đó, $t = \frac{{ln\left( {1.5} \right)}}{{0.06}} \approx 11.55$ năm.

Vậy thời gian cần để cô Lan thu được số tiền là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục là khoảng 11.55 năm.

a) Đúng: Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng quý là khoảng 161,623 triệu đồng.

b) Đúng: Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi hàng tháng là khoảng 161,862 triệu đồng.

c) Sai: Số tiền (cả vốn lẫn lãi) cô Lan thu được sau 5 năm nếu được tính lãi kép theo thể thức tính lãi liên tục là khoảng 161,983 triệu đồng.

d) Sai: Thời gian cần thiết để cô Lan thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 180 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi lép liên tục khoảng 11,55 năm.

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$. Tam giác $A’BC$ đều và có diện tích bằng $\sqrt 3 $.

a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $\sqrt 2 $.

b) Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^ \circ }$

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

Lời giải

Đặt $BC = x \Rightarrow {S_{\vartriangle A’BC}} = {x^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 2$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $BC \bot A’M$ (Do tam giác $\vartriangle A’BC$ đều). Khi đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot A’M} \\
{BC \bot AA’}
\end{array} \Rightarrow BC \bot AM} \right.$.

Vậy $\left( {\left( {A’BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A’M;AM} \right) = \widehat {A’MA} = {30^ \circ } \Rightarrow AA’ = A’M \cdot sin{30^ \circ } = \sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng công thức: $S’ = S \cdot cos\varphi \Rightarrow {S_{\vartriangle ABC}} = {S_{\vartriangle A’BC}} \cdot cos{30^ \circ } = \frac{3}{2}$.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: ${V_{ABC \cdot A’B’C’}} = AA’ \cdot {S_{\vartriangle ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

a) Sai: Độ dài cạnh $BC$ bằng 2 .

b) Đúng: Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .

Câu 1: Cho ${log_a}x = 4$ và ${log_b}x = 6$ với $a,b$ là các số thực lớn hơn 1 . Tính $P = {log_{ab}}x$.

Lời giải

Ta có : $P = {log_{ab}}x = \frac{1}{{{log_x}ab}} = \frac{1}{{{log_x}a + {log_x}b}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{{log_a}x}} + \frac{1}{{{log_b}x}}}} = \frac{{{log_a}x \cdot {log_b}x}}{{{log_a}x + {log_b}x}} = \frac{{4.6}}{{4 + 6}} = \frac{{12}}{5}$

Vậy $P = \frac{{12}}{5} = 2,4$.

Câu 2: Cho ${4^x} + {4^{ – x}} = 7$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – 4 \cdot {2^x} – 4 \cdot {2^{ – x}}}}$.

Lòi giải

Ta có ${4^x} + {4^{ – x}} = 7 \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ – 2x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ – x}}} \right)^2} = 7$

$ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ – x}} + {\left( {{2^{ – x}}} \right)^2} – 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ – x}} = 7$

$ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ – x}} = 3.$

Vậy $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – {{4.2}^x} – {{4.2}^{ – x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 – 4.3}} = – 2$.

Câu 3: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất $8\% $ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Lời giải

Lãi suất năm là $8\% $ nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là $r = 4\% = 0,04$. Thay

$P = 100;r = 0,04;A = 120$ vào công thức $A = P{(1 + r)^t}$, ta được:

$120 = 100{(1 + 0,04)^t} \Rightarrow 1,2 = 1,{04^t} \Rightarrow t = {log_{1,04}}1,2 \approx 4,65$.

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng ${60^ \circ }$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1 và $A’$ cách đều $A,B,C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Lời giải

Gọi $H$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$. Vì $A’$ cách đều $A,B,C$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh $A’$ là $H$ cũng cách đều $A,B,C$. Khi đó khoảng cách giữa hai đáy chính là $A’H$.

Xét tam giác $AA’H$ có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{H = {{90}^ \circ }} \\
{AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \\
{\left( {\widehat {AA’,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {A’AH} = {{60}^ \circ }}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow A’H = AH \cdot tan{60^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 3 = 1$.

Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là $A’H = 1$.

Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ ?

Lời giải

Gọi $H$ là trung điểm của $B’C’$, do các tam giác $\Delta A’B’C’,\Delta AB’C’$ lần lượt cân đỉnh $A’$ và $A$ nên $AH \bot B’C’,A’H’ \bot B’C’$

Suy ra: $\left( {\widehat {\left( {AB’C’} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {\left( {AB’C’} \right),\left( {A’B’C’} \right)}} \right) = \widehat {\left( {AH,A’H} \right)} = \widehat {AHA’}$

Xét tam giác: $AHA’$ có $\widehat {A’} = {90^ \circ },A’H = a\sqrt 3 $ và $tan\widehat {AHA’} = \frac{{AA’}}{{A’H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AHA’} = {30^ \circ }$.

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$.

Câu 6: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt {10} ,SA = SB,SC = SD$ Biết rằng mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\vartriangle SAB$ và $\vartriangle SCD$ bằng 2 . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \\
{AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{CD \subset \left( {SCD} \right)} \\
{AB//CD}
\end{array}\;} \right.$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng

$d$ đi qua $S$ và song song với $AB,CD$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

Vì $SA = SB,SC = SD$ nên $SM \bot AB,SN \bot CD \Rightarrow SM \bot d,SN \bot d \Rightarrow d \bot \left( {SMN} \right)$.

Mà mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau nên $SM \bot SN$. Kẻ $SH \bot MN\left( 1 \right)$.

Vì $d \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d \bot SH \Rightarrow SH \bot AB\left( 2 \right)$.

Từ (1), (2) suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow {V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot AB \cdot AD$.

Đặt $SM = x,SN = y \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$.

Ta có $S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10$.

Mặt khác ${S_{SAB}} + {S_{SCD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot x \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot y \cdot 1 = 2 \Leftrightarrow x + y = 4$.

Suy ra $xy = \frac{{{{(x + y)}^2} – \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = 3$

$ \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 1$.

Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng 1 .