Đề Kiểm Tra Giữa HK2 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề kiểm tra giữa HK2 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Cho $a$ là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ bằng

A. ${a^3}$. B. ${a^{\frac{2}{3}}}$. C. ${a^{\frac{7}{6}}}$. D. ${a^{\frac{5}{6}}}$.

Câu 2: Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần. Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right)$ là

A. 8 . B. 1 . C. 2 . D. 4 .

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là

A. $D = \mathbb{R}$. B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.

Câu 4: Cho $a$ là một số thực dương khác 1 . Giá trị của biểu thức ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng

A. $\frac{{ – 1}}{3}$. B. $\frac{1}{3}$. C. 3 . D. -3 .

Câu 5: Cho các đồ thị hàm số $y = {a^x},y = {log_b}x,y = {x^c}$ ở hình vẽ sau đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $0 < c < 1 < a < b$. B. $c < 0 < a < 1 < b$. C. $c < 0 < a < b < 1$. D. $0 < c < a < b < 1$.

Câu 6: Trong không gian mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?

A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

B. Không tồn tại mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

D. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $\Delta $ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\Delta $ vuông góc với $d$.

Câu 7: Phương trình ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính $T = x_1^2 + x_2^2$.

A. $T = 27$. B. $T = 9$. C. $T = 3$. D. $T = 1$.

Câu 8: Cho $A,B$ là hai biến cố liên quan đến một phép thử có hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khẳng định nào sau không đúng ?

A. $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right)$. B. $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$.

C. $P\left( {A \cdot B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$. D. $P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow A = \Omega $.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$.

A. $S = \left( { – 1;2} \right)$. B. $S = \left( {2; + \infty } \right)$. C. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$. D. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD,SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $BC \bot \left( {SAB} \right)$. B. $AC \bot \left( {SBD} \right)$. C. $AC \bot \left( {SAB} \right)$. D. $AC \bot \left( {SAD} \right)$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

B. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\widehat {AHS}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$

C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {ACB}$.

D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Câu 12: Một lớp có 35 học sinh, trong đó có 5 học sinh tên Linh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để học sinh tên Linh lên bảng bằng

A. $\frac{1}{{175}}$. B. $\frac{1}{7}$. C. $\frac{1}{{35}}$. D. $\frac{1}{5}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho các hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ và $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đồ thị hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ nằm bên phải trục tung.

d) Đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ cắt trục tung.

Câu 2: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ và kẻ $AM \bot BC$.

a) Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

d) Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Câu 3: Một lớp 12 có hai tổ, mỗi tổ có 16 học sinh. Trong kì tốt nghiệp trung học học phổ thông năm 2023, tổ 1 có 10 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên, 6 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có 9 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội, 7 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ một bạn.

a) Số phần tử của không gian mẫu là 256 .

b) Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp tự nhiên là 54 cách.

c) Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp xã hội là 70 cách.

d) Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là $\frac{{31}}{{64}}$.

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$. Tam giác $A’BC$ đều và có diện tích bằng $\sqrt 3 $.

a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $\sqrt 2 $.

b) Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^ \circ }$

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 .

Câu 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 25 cây dừa giống như sau:

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Câu 2: Cho ${4^x} + {4^{ – x}} = 7$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – 4 \cdot {2^x} – 4 \cdot {2^{ – x}}}}$.

Câu 3: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Câu 4: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng ${60^ \circ }$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1 và $A’$ cách đều $A,B,C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Câu 5: Cho chuỗi kí tự “AABBCCCD”. Xếp ngẫu nhiên 8 ký tự này. Tính xác suất để xếp được một chuỗi sao cho không tồn tại hai kí tự ${\text{A}}$ đứng cạnh nhau.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt {10} ,SA = SB,SC = SD$ Biết rằng mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\vartriangle SAB$ và $\vartriangle SCD$ bằng 2 . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I.

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Chọn	C	D	B	B	B	C	B	C	C	A	C	B

PHẦN II.

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4
a) Đ	a) Đ	a) Đ	a) S
b) S	b) Đ	b) S	b) Đ
c) Đ	c) S	c) S	c) S
d) S	d) Đ	d) Đ	d) Đ

PHẦN III.

Câu	1	2	3	4	5	6
Chọn	13,75	-2	30	0,75	30	1

GIẢI CHI TIẾT

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.

Mối câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.

Câu 1: Cho $a$ là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ bằng

A. ${a^3}$.

B. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

C. ${a^{\frac{7}{6}}}$.

D. ${a^{\frac{5}{6}}}$.

Lời giải

Ta có: $P = {a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$.

Câu 2: Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần. Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right)$ là

A. 8 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4$.

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là

A. $D = \mathbb{R}$.

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

C. $D = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

D. $D = \left( { – 1;3} \right)$.

Lời giải

Hàm số xác định khi ${x^2} – 2x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – 1} \\
{x \ne 3}
\end{array}} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = {\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)^{ – 4}}$ là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – 1;3} \right\}$.

Câu 4: Cho $a$ là một số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng

A. $\frac{{ – 1}}{3}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. 3 .

D. -3 .

Lời giải

Ta có ${log_a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}{log_a}a = \frac{1}{3}$.

Câu 5: Cho các đồ thị hàm số $y = {a^x},y = {log_b}x,y = {x^c}$ ở hình vẽ sau đây.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $0 < c < 1 < a < b$.

B. $c < 0 < a < 1 < b$.

C. $c < 0 < a < b < 1$.

D. $0 < c < a < b < 1$.

Lời giải

Ta thấy đồ thị $y = {x^c}$ đi xuống nên $c < 0$, đồ thị $y = {a^x}$ đi xuống nên $0 < a < 1$, đồ thị $y = {log_b}x$ đi lên nên $b > 1$.

Câu 6: Trong không gian mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?

A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

B. Không tồn tại mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ song song với $\left( P \right)$.

C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

D. Tồn tại duy nhất một đường thẳng $\Delta $ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\Delta $ vuông góc với $d$.

Lời giải

Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$.

Câu 7: Phương trình ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính $T = x_1^2 + x_2^2$.

A. $T = 27$.

B. $T = 9$.

C. $T = 3$.

D. $T = 1$.

Lời giải

Ta có: ${2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$.

Vậy $T = x_1^2 + x_2^2 = 9$.

Câu 8: Cho $A,B$ là hai biến cố liên quan đến một phép thử có hữu hạn các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khẳng định nào sau không đúng ?

A. $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right)$.

B. $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$.

C. $P\left( {A \cdot B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$.

D. $P\left( A \right) = 1 \Leftrightarrow A = \Omega $.

Lời giải

Khẳng đinh $P\left( {A \cdot B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$ không đúng vì $A,B$ là hai biến cố chưa rõ ràng.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$.

A. $S = \left( { – 1;2} \right)$.

B. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

D. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.

Lời giải

Ta có: ${log_{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) < {log_{\frac{1}{3}}}\left( {2x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 2x – 1} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 2} \\
{x > \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2} \right.} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD,SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

B. $AC \bot \left( {SBD} \right)$.

C. $AC \bot \left( {SAB} \right)$.

D. $AC \bot \left( {SAD} \right)$.

Lời giải

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SA \bot \left( {ABCD} \right)} \\
{BC \subset \left( {ABCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow SA \bot BC} \right.$.

Vậy có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA} \\
{SA \cap AB = \left\{ A \right\}}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)} \right.$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

B. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\widehat {AHS}$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$

C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {ACB}$.

D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Lời giải

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ và $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Do $ABC$ là tam giác đều nên $AH \bot BC$ mà $BC \bot SA$ nên $BC \bot SH$, suy ra góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {AHS}$.

Câu 12: Một lớp có 35 học sinh, trong đó có 5 học sinh tên Linh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để học sinh tên Linh lên bảng bằng

A. $\frac{1}{{175}}$.

B. $\frac{1}{7}$.

C. $\frac{1}{{35}}$.

D. $\frac{1}{5}$.

Lời giải

Số cách chọn một bạn học sinh trong lớp là 35 cách.

Số cách chọn một bạn tên Linh trong 5 bạn là 5 cách.

Vậy xác suất để học sinh tên Linh lên bảng là $\frac{5}{{35}} = \frac{1}{7}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 . Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho các hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ và $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đồ thị hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ nằm bên phải trục tung.

d) Đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ cắt trục tung.

Lời giải

a) Đúng: Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{{2023}}}}x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$.

b) Sai: Vì cơ số $\frac{{2023}}{{2024}} \in \left( {0;1} \right)$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

c) Đúng: Hàm số $y = {log_{\frac{{2024}}{\;}}}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$ nên có đồ thị nằm bên phải trục tung.

d) Sai: Vì ${\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{{2023}}{{2024}}} \right)^x}$ không cắt trục tung.

Câu 2: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$ và kẻ $AM \bot BC$.

a) Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}$

d) Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Lời giải

Gọi $G$ là trọng tâm của $\vartriangle ABC$. Vì hình chóp $S.ABC$ dều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$.

Ta có: $GM$ là hình chiếu của $SM$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SM \bot BC$.

Lại có, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(SBC) \cap (ABC) = BC} \\
{(SBC) \supset SM \bot BC} \\
{(ABC) \supset AM \bot BC}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow (\widehat {(SBC)(ABC)}) = \widehat {SMA} = \widehat {SMG}$

Xét $\vartriangle ABC$ đều có $AM$ là đường trung tuyến, $G$ là trọng tâm nên $GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Tam giác $SMB$ vuông tại $M$ nên:

$S{M^2} = S{B^2} – B{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} – {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Rightarrow SM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Tam giác $SGM$ vuông tại G nên: $cos\widehat {SMG} = \frac{{GM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMG} = {60^ \circ }$.

a) Đúng: Đường thẳng $SG$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Đúng: Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SMA}$.

c) Sai: Đoạn thẳng $SM$ có độ dài bằng $\frac{a}{{\sqrt 3 }}$

d) Đúng: Giá trị góc $\alpha $ giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.

Câu 3: Một lớp 12 có hai tổ, mỗi tổ có 16 học sinh. Trong kì tốt nghiệp trung học học phổ thông năm 2023, tổ 1 có 10 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên, 6 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có 9 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội, 7 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ một bạn.

a) Số phần tử của không gian mẫu là 256 .

b) Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp tự nhiên là 54 cách.

c) Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp xã hội là 70 cách.

d) Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là $\frac{{31}}{{64}}$.

Lời giải

Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một bạn nên số cách chọn là $n\left( \Omega \right) = C_{16}^1 \cdot C_{16}^1 = {\left( {C_{16}^1} \right)^2}$.

Gọi $A$ là biến cố cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp.

Trường hợp 1: Đăng kí cùng tổ hợp tự nhiên. Ta có số cách chọn là $C_{10}^1 \cdot C_7^1$

Trường hợp 2: Đăng kí cùng tổ hợp xã hội. Ta có số cách chọn là $C_6^1 \cdot C_9^1$.

Nên số cách chọn sao cho cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp tốt nghiệp là $n\left( A \right) = C_{10}^1 \cdot C_7^1 + C_6^1 \cdot C_9^1 = 124$.

Xác xuất cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp tốt nghiệp là

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{124}}{{{{\left( {C_{16}^1} \right)}^2}}} = \frac{{31}}{{64}}$.

a) Đúng: Số phần tử của không gian mẫu là 256 .

b) Sai: Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp tự nhiên là 54 cách.

c) Sai: Số cách chọn hai bạn cùng đăng kí tổ hợp xã hội là 70 cách.

d) Đúng: Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là $\frac{{31}}{{64}}$.

Câu 4: Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${30^ \circ }$. Tam giác $A’BC$ dều và có diện tích bằng $\sqrt 3 $.

a) Độ dài cạnh $BC$ bằng $\sqrt 2 $.

b) Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^ \circ }$

d) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

Lời giải

Đặt $BC = x \Rightarrow {S_{\vartriangle A’BC}} = {x^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 2$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $BC \bot A’M$ (Do tam giác $\vartriangle A’BC$ đều). Khi đó ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot A’M} \\
{BC \bot AA’}
\end{array} \Rightarrow BC \bot AM} \right.$.

Vậy $\left( {\left( {A’BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A’M;AM} \right) = \widehat {A’MA} = {30^ \circ } \Rightarrow AA’ = A’M \cdot sin{30^ \circ } = \sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng công thức: $S’ = S \cdot cos\varphi \Rightarrow {S_{\vartriangle ABC}} = {S_{\vartriangle A’BC}} \cdot cos{30^ \circ } = \frac{3}{2}$.

Suy ra thể tích của lăng trụ là: ${V_{ABC \cdot A’B’C’}} = AA’ \cdot {S_{\vartriangle ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

a) Sai: Độ dài cạnh $BC$ bằng 2 .

b) Đúng: Hai đường thẳng $BC$ và $AM$ vuông góc với nhau.

c) Sai: Góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$

d) Đúng: Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 25 cây dừa giống như sau:

Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải

Cỡ mẫu: $n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}$. Do ${x_6},{x_7}$ đều thuộc nhóm $\left[ {10;20} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó: $p = 2,{a_2} = 10,{m_2} = 6,{m_1} = 4,{a_3} – {a_2} = 10$.

Ta có: ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} – 4}}{6} \cdot 10 = 13,75$.

Câu 2: Cho ${4^x} + {4^{ – x}} = 7$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – {{4.2}^x} – 4 \cdot {2^{ – x}}}}$.

Lời giải

Ta có ${4^x} + {4^{ – x}} = 7 \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2^{ – 2x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ – x}}} \right)^2} = 7$

$ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {2.2^x} \cdot {2^{ – x}} + {\left( {{2^{ – x}}} \right)^2} – {2.2^x}{.2^{ – x}} = 7$

$ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ – x}} = 3$.

Vậy $P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ – x}}}}{{8 – {{4.2}^x} – {{4.2}^{ – x}}}} = \frac{{5 + 3}}{{8 – 4.3}} = – 2$.

Câu 3: Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Lời giải

Lãi suất năm là $8\% $ nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là $r = 4\% = 0,04$. Thay

$P = 100;r = 0,04;A = 120$ vào công thức $A = P{(1 + r)^t}$, ta được:

$120 = 100{(1 + 0,04)^t} \Rightarrow 1,2 = 1,{04^t} \Rightarrow t = {log_{1,04}}1,2 \approx 4,65$.

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Câu 4: Cho chuỗi kí tự “AABBCCCD”. Xếp ngẫu nhiên 8 ký tự này. Tính xác suất để xếp được một chuỗi sao cho không tồn tại hai kí tự A đứng cạnh nhau.

Lời giải

Số cách xếp ngẫu nhiên 8 ký tự là $\left| \Omega \right| = \frac{{8!}}{{2!2!3!}} = 1680$ (cách).

Gọi $E$ là biến cố “Xếp được một chuỗi 8 kí tự sao cho không tồn tại hai kí tự A đứng cạnh nhau”.

Đầu tiên xếp 2 chữ $B,3$ chữ $C$ và một chữ $D$ có $\frac{{6!}}{{2!3!}}$ cách.

Tiếp theo, xếp 2 chữ $A$ vào 7 vị trí (xen kẽ và 2 đầu các chữ cái đã xếp) để không tồn tại hai kí tự A đứng cạnh nhau có $C_7^2$ cách.

Số phần tử của biến cố $E$ là $\left| E \right| = \frac{{6!}}{{2!3!}} \cdot C_7^2 = 1260$.

Vậy xác suất của biến cố $E$ là $P\left( E \right) = \frac{{1260}}{{1680}} = \frac{3}{4} = 0,75$.

Câu 5: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ ?

Lời giải

Gọi $H$ là trung điểm của $B’C’$, do các tam giác $\Delta A’B’C’,\Delta AB’C’$ lần lượt cân đỉnh $A’$ và $A$ nên $AH \bot B’C’,A’H’ \bot B’C’$

Suy ra: $\left. {\overline {\left( {\left( {AB’C’} \right),\left( {ABC} \right)} \right.} } \right) = \overline {\left( {\left( {AB’C’} \right),\left( {A’B’C’} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH,A’H} \right)} = \widehat {AHA’}$

Xét tam giác: $AHA’$ có ${\widehat {A’}} = {90^ \circ },A’H = a\sqrt 3 $ và $tan\widehat {AHA’} = \frac{{AA’}}{{A’H}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AHA’} = {30^ \circ }$.

Vậy số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {AB’C’} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${30^ \circ }$.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt {10} ,SA = SB,SC = SD$ Biết rằng mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\vartriangle SAB$ và $\vartriangle SCD$ bằng 2 . Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \\
{AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{CD \subset \left( {SCD} \right)} \\
{AB//CD}
\end{array}} \right.$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng

$d$ đi qua $S$ và song song với $AB,CD$.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

Vì $SA = SB,SC = SD$ nên $SM \bot AB,SN \bot CD \Rightarrow SM \bot d,SN \bot d \Rightarrow d \bot \left( {SMN} \right)$.

Mà mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với nhau nên $SM \bot SN$. Kẻ $SH \bot MN\left( 1 \right)$.

Vì $d \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d \bot SH \Rightarrow SH \bot AB\left( 2 \right)$.

Từ (1), (2) suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow {V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot AB \cdot AD$.

Đặt $SM = x,SN = y \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$. Ta có $S{M^2} + S{N^2} = M{N^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10$.

Mặt khác ${S_{SAB}} + {S_{SCD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot x \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot y \cdot 1 = 2 \Leftrightarrow x + y = 4$.

Suy ra $xy = \frac{{{{(x + y)}^2} – \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = 3 \Rightarrow SH = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = 1$.

Vậy thể tích khối chóp $S \cdot ABCD$ bằng 1 .