Đề Kiểm Tra Giữa HK 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo Giải Chi Tiết-Đề 5

Đề kiểm tra giữa HK 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Cho hai tia $OA$ và $OM$, hỏi tất cả có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là $OA$ và tia cuối là $OM$ ?

A. $1$.

B. vô số.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới. Góc lượng giác nào có số đo bằng $ – {45^ \circ }$ ?

A. $\left( {OA,OM} \right)$.

B. $\left( {OA,OQ} \right)$.

C. $\left( {OA,ON} \right)$.

D. $\left( {OA,OP} \right)$.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên đường tròn lượng giác điểm gốc là $A$. Nếu góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right) = – \frac{{63\pi }}{2}$ thì $OA$và $OM$

A. vuông góc.

B. trùng nhau.

C. đối nhau.

D. tạo với nhau một góc $\frac{\pi }{4}$.

Câu 4. Cho $\alpha $ thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $sin\alpha > 0;cos\alpha > 0$.

B. $sin\alpha < 0;cos\alpha < 0$.

C. $sin\alpha > 0;cos\alpha < 0$.

D. $sin\alpha \left\langle {0;cos\alpha } \right\rangle 0$.

Câu 5. Với mọi số thực , ta có $sin\left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right)$ bằng

A. $ – sin\alpha $.

B. $ – cos\alpha $.

C. $sin\alpha $.

D. $cos\alpha $.

Câu 6. Cho góc thỏa mãn $sin\alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Tính $cos\alpha $

A. $cos\alpha = \frac{1}{{13}}$.

B. $cos\alpha = \frac{5}{{13}}$.

C. $cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.

D. $cos\alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Câu 7. Chọn khẳng định đúng

A. $sin\left( {x + y} \right) = sinxcosy + cosxsiny$.

B. $cos\left( {x – y} \right) = cosxcosy – sinxsiny$.

C. $cos\left( {x + y} \right) = cosxcosy + sinxsiny$.

D. $sin\left( {x – y} \right) = sinxcosy + cosxsiny$.

Câu 8. Cho $sinx + cosx = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2} < x < \pi $. Giá trị của $sin\alpha $

A. $sinx = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}$.

B. $sinx = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{6}$.

C. $sinx = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$.

D. $sinx = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}$.

Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $1 + sin2x + cos2x = 2\sqrt 2 cosx \cdot cos\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$.

B. $1 + sin2x + cos2x = 2\sqrt 2 sinx \cdot cos\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$.

C. $1 + sin2x + cos2x = 2cosx \cdot \left( {sinx – cosx} \right)$.

D. $1 + sin2x + cos2x = 2\sqrt 2 cosx \cdot cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Câu 10. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{{2024}}{{sinx}}$.

A. $D = \mathbb{R}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 11. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = 1 + sin2x$.

B. $y = cosx$.

C. $y = – sinx$.

D. $y = – cosx$.

Câu 12. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm $\;t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức $h = 3cos\left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12$. Mực nước của kênh cao nhất khi

A. $t = 13$ (giờ).

B. $t = 16$ (giờ) .

C. $t = 15$ (giờ).

D. $t = 14$ (giờ).

Câu 13. Trong các phương trình sau, phương trình không tương đương với phương trình ${x^2} – 4 = 0$ là

A. $2{x^2} = 8$.

B. $\sqrt {2{x^2} – 4} = x$.

C. ${x^2} – 4 + \frac{1}{{x – 3}} = \frac{1}{{x – 3}}$.

D. $3{x^2} – 12 = 0$

Câu 14. Tất cả nghiệm của phương trình $sin2x = – \frac{3}{2}$ là

A. $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

B. $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi $ và $x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 15. Tất cả nghiệm của phương trình $cos2x = cos\left( {x + {{60}^ \circ }} \right)$ là

A. $x = – {20^ \circ } + k{120^ \circ },k \in \mathbb{Z}$.

B. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ },k \in \mathbb{Z}$.

C. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ }$ và $x = – {20^ \circ } + k{360^ \circ },k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ }$ và $x = – {20^ \circ } + k{120^ \circ },k \in \mathbb{Z}$.

Câu 16. Tại các giá trị nào của ${\;^x}$ thì đồ thị hàm số $y = cosx$ và $y = sinx$ giao nhau?

A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 17. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{{3^n} – 1}}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là.

A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}$

B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}$.

C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}$.

D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}$.

Câu 18. Cho dãy số được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} – 2}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

B. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

C. $\left( {{u_n}} \right)$ không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm .

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không đổi.

Câu 19. Cho dãy số được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = 3 + {u_n}}
\end{array},\forall n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left( {{u_n}} \right)$.

A. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

B. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

C. ${u_n} = {3^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

D. ${u_n} = {2^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Câu 20. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

A. $ – \frac{2}{3}; – \frac{1}{3};0;\frac{1}{3};\frac{2}{3};1;\frac{4}{3}; \ldots $.

B. $15\sqrt 2 ;12\sqrt 2 ;9\sqrt 2 ;6\sqrt 2 ; \ldots $

C. $\frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5}; \ldots $

D. $\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{2\sqrt 3 }}{3};\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{5}{{\sqrt 3 }}; \ldots $

Câu 21. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. ${u_n} = {( – 1)^n}\left( {2n + 1} \right)$

B. ${u_n} = sin\frac{\pi }{n}$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_n} = 1} \\
{{u_n} = {u_{n – 1}} – 1.}
\end{array}} \right.$

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_n} = 1} \\
{{u_n} = 2{u_{n – 1}}}
\end{array}} \right.$.

Câu 22. Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng.

A. $7;12;17$.

B. $6;10;14$.

C. $8;13;18$.

D. $6;12;18$.

Câu 23. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có các số hạng đầu lần lượt là $5;9;13;17; \ldots $. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số cộng.

A. ${u_n} = 5n + 1$.

B. ${u_n} = 5n – 1$.

C. ${u_n} = 4n + 1$.

D. ${u_n} = 4n – 1$.

Câu 24. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $1;2;4;8; \ldots \;$

B. $3;{3^2};{3^3};{3^4}; \ldots $

C. $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4}; \ldots $.

D. $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}}; \ldots $

Câu 25. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

B. là cấp số nhân có công bội $\left( {{u_n}} \right)$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$.

C. là cấp số nhân có công bội $\left( {{u_n}} \right)$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.

D. là cấp số nhân có công bội $q = \frac{5}{2}$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$

Câu 26. Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là $2x + 1$ và $4{x^2} – 1$. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là

A. $2x – 1$.

B. $2x + 1$.

C. $8{x^3} – 4{x^2} – 2x + 1$.

D. $8{x^3} + 4{x^2} – 2x – 1$.

Câu 27. Một cấp số nhân có công bội bằng 3 và số hạng đầu bằng 5 . Biết số hạng chính giữa là 32805 . Hỏi cấp số nhân đã cho có bao nhiêu số hạng?

A. 18 .

B. 17 .

C. 16 .

D. 9 .

Câu 28. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thì mặt phẳng đó trùng nhau.

Câu 29. Cho tứ giác $ABCD$. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của giác giác $ABCD$ ?

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Câu 30. Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa tam giác $BCD$. Lấy $E,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,AC$. Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I$ thì $I$ không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {DEF} \right)$.

B. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

C. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {AEF} \right)$.

D. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$.

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD\left( {AD//BC} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là

A. $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM)$.

B. $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD)$.

C. $SO(O$ là giao điểm của $AC$ và $BD)$.

D. $SP(P$ là giao điểm của $AB$ và $CD)$.

Câu 32. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì cắt nhau hoặc song song.

Câu 33. Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và điểm $M$ ở ngoài $a$ và ngoài $b$. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$ ?

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. Vô số.

Câu 34. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB;P,Q$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $CD$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng $MP,NQ$ là

A. $MP//NQ$.

B. $MP \equiv NQ$.

C. $MP$ cắt $NQ$.

D. $MP,NQ$ chéo nhau.

Câu 35. Cho tứ diện $ABCD,M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt tứ diện $ABCD$ theo thiết diện là đa giác $\left( T \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (T) là hình chữ nhật.

B. (T) là hình tam giác.

C. $\left( T \right)$ là hình thoi.

D. (T) là hình tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Bài 1. (1,0 điểm) Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức:

$h\left( t \right) = 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right),$ với $h$ tính bằng độ $C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ.

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ $C$ và vào lúc mấy giờ?

Bài 2. (1,0 điểm) Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 giờ, sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AC$. Trên cạnh $PD$ lấy điểm $P$ sao cho $DP = 2PB$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)$.

b) Trên cạnh $AD$ lấy điểm $Q$ sao $DQ = 2QA$. Chứng minh: $PQ$ song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, ba đường thẳng $DC,QN,PM$ đồng quy.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1.B	2.B	3.A	4. C	5. D	6. C	7. A
8. C	9. A	10.D	11.B	12.D	13.B	14.D
15. D	16.A	17.B	18.B	19.A	20.C	21.C
22.A	23.C	24.D	25.C	26.C	27.B	28.B
29. A	30. D	31. A	32.A	33. A	34. D	35. D

Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: $B$

Theo SGK, cho hai tia $OA$ và $OM$, sẽ có vô số góc lượng giác có tia đầu là $OA$ và tia cuối là $OM$.

Câu 2.

Đáp án đúng là: B

Theo SGK, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ, quan sát hình vẽ ta được số đo của góc lượng giác $\left( {OA,OQ} \right)$ bằng $ – {45^ \circ }$.

Câu 3.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {OA,OM} \right) = – \frac{{63\pi }}{2} = – \left( { – \frac{\pi }{2} + 32\pi } \right) = \frac{\pi }{2} – 16.2\pi $

Suy ra điểm $\;M$ cũng là điểm biểu diễn của góc có số đo $\frac{\pi }{2}$.

Nên $OA \bot OM$.

Câu 4.

Đáp án đúng là: $C$

Vì $\alpha $ thuộc góc phần phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác nên $sin\alpha > 0;cos\alpha < 0$.

Câu 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có $sin\left( {\frac{{9\pi }}{2} + \alpha } \right) = sin\left( {4\pi + \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = sin\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = cos\alpha $.

Câu 6.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $sin\alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$

Suy ra $cos\alpha = \pm \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = \pm \frac{5}{{13}}$.

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.

Câu 7.

Đáp án đúng là: A

Chọn ${\mathbf{A}}$ vì đúng theo công thức cộng.

Câu 8.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có: $cosx + sinx = \frac{1}{2}\left( 1 \right) \Rightarrow {(sinx + cosx)^2} = \frac{1}{4}$

$ \Leftrightarrow si{n^2}x + co{s^2}x + 2cosx \cdot sinx = \frac{1}{4}$

$ \Leftrightarrow cosx \cdot sinx = – \frac{3}{8}$

Từ (1): $cosx = \frac{1}{2} – sinx$ thế vào (2), ta được:

$\left( {\frac{1}{2} – sinx} \right)sinx = – \frac{3}{8} \Leftrightarrow – si{n^2}x + \frac{1}{2}sinx + \frac{3}{8} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}} \\
{sinx = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{4}}
\end{array}} \right.$.

Do $\frac{\pi }{2} < x\left\langle {\pi \Rightarrow sinx} \right\rangle 0 \Rightarrow sinx = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$.

Câu 9.

Đáp án đúng là: A

Ta có $1 + sin2x + cos2x = 2sinxcosx + 2co{s^2}x = 2cosx\left( {sinx + cosx} \right)$.

Mà $sinx + cosx = \sqrt 2 \left( {cosx\frac{1}{{\sqrt 2 }} + sinx\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 cos\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vậy $1 + sin2x + cos2x = 2\sqrt 2 cosxcos\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$.

Câu 10.

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi và chỉ khi $sinx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 11.

Đáp án đúng là: $B$

Ta thấy tại $x = 0$ thì $y = 1$. Do đó loại đáp án $C$ và $D$

Tại $x = \frac{\pi }{2}$ thì $\;$. Do đó chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 12.

Đáp án đúng là: D

Mực nước của kênh cao nhất khi $h$ lớn nhất nên ta có:

$cos\left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi \;$với $0 < t \leqslant 24$ và $k \in \mathbb{Z}$

Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.

Vì với $t = 14 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = 2\pi $ (đúng với $k = 1 \in \mathbb{Z}$ ).

Câu 13.

Đáp án đúng là: $B$

Vì ${x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$.

$\sqrt {2{x^2} – 4} = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 0} \\
{2{x^2} – 4 = {x^2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 0} \\
{x = \pm 2}
\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.$

Phương trình $\sqrt {2{x^2} – 4} = x$ không cùng tập nghiệm với ${x^2} – 4 = 0$ nên không tương đương.

Câu 14.

Đáp án đúng là: D

Vì $ – \frac{3}{2} < – 1$ nên phương trình $sin2x = – \frac{3}{2}$ vô nghiệm.

Câu 15.

Đáp án đúng là: D

$cos2x = cos\left( {x + {{60}^ \circ }} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = x + {{60}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{2x = – \left( {x + {{60}^ \circ }} \right) + k{{360}^ \circ }}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {{60}^ \circ } + k{{360}^ \circ }} \\
{x = – {{20}^ \circ } + k{{120}^ \circ }\;\;}
\end{array}} \right.$với $k \in \mathbb{Z}$

Câu 16.

Đáp án đúng là: $A$

$cosx = sinx \Leftrightarrow cosx = cos\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{\pi }{2} – x + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + x + k2\pi }
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 17.

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt $n = 1;n = 2;n = 3$ vào công thức số hạng tổng quát ta được đáp án $B$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = – 2 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Câu 19.

Đáp án đúng là: $A$

Vì dãy số đã cho có 5 số hạng nên loại đáp án B và C.

• Xét ${u_n} = {2^n}$. Ta có: ${u_1} = 2;{u_2} = 4$ suy ra ${u_2} = 2 + {u_1}$ không thỏa công thức đã cho.

• Xét ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Ta có: ${u_1} = 2;{u_2} = 5 = 3 + {u_1};{u_3} = 8 = 3 + {u_2};{u_4} = 11 = 3 + {u_3};{u_5} = 14 = 3 + {u_4}$ thỏa công thức.

Câu 20.

Đáp án đúng là: $C$

Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: ${u_{m + 1}} – {u_m} \ne {u_{k + 1}} – {u_k}$ thì ta kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Ta thấy dãy số $\frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5}; \ldots $ có $\frac{1}{5} = {u_2} – {u_1} \ne {u_3} – {u_2} = \frac{2}{5}$

Do đó dãy số $\frac{4}{5};1;\frac{7}{5};\frac{9}{5};\frac{{11}}{5}; \ldots $ không phải là cấp số cộng.

Câu 21.

Đáp án đúng là: $C$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi ${u_n} = an + b$ ($\;a,\,b$ là hằng số).

Câu 22.

Đáp án đúng là: A

Giữa số 2 và 22 có thêm ba số hạng nữa lập thành cấp số cộng, xem như ta có một cấp số cộng có năm số hạng với ${u_1} = 2;{u_5} = 22$; ta cần tìm ${u_2};{u_3};{u_4}$.

Ta có ${u_5} = {u_1} + 4d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_5} – {u_1}}}{4} = \frac{{22 – 2}}{4} = 5$.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_2} = {u_1} + d = 7} \\
{{u_3} = {u_1} + 2d = 12} \\
{{u_4} = {u_1} + 3d = 17}
\end{array}} \right.$.

Vậy ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 là 7; 12;17.

Câu 23.

Đáp án đúng là: $C$

Các số $5;9;13;17; \ldots $ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5} \\
{d = {u_2} – {u_1} = 4}
\end{array}} \right.$

Do đó công thức tổng quát là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 5 + 4\left( {n – 1} \right) = 4n + 1$.

Câu 24.

Đáp án đúng là: D

Các đáp án $A,B,C$ đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là $2;3;\frac{1}{2}$.

Xét đáp án D: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}}; \ldots $

Ta có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$.

Do đó dãy $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}}; \ldots $ không phải là cấp số nhân.

Câu 25.

Đáp án đúng là: $C$

Dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.

Câu 26.

Đáp án đúng là: $C$

Công bội của cấp số nhân là: $q = \frac{{4{x^2} – 1}}{{2x + 1}} = 2x – 1$.

Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là $\left( {4{x^2} – 1} \right)\left( {2x – 1} \right) = 8{x^3} – 4{x^2} – 2x + 1$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $32805 = {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {5.3^{n – 1}}$

$ \Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561 = {3^8} \Leftrightarrow n = 9$.

Vậy ${u_9}$ là số hạng chính giữa của cấp số nhân nên cấp số nhân đã cho có 17 số hạng.

Câu 28.

Đáp án đúng là: $B$

Nếu hai mặt phẳng trùng nhau, khi đó hai mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Câu 29.

Đáp án đúng là: A

Từ 4 điểm $A,B,C,D$ ta tạo thành một tứ giác. Khi đó, 4 điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng và tạo thành một mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Câu 30.

Đáp án đúng là: D

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.

Mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{EF \subset \left( {DEF} \right)} \\
{EF \subset \left( {ABC} \right)} \\
{EF \subset \left( {AEF} \right)}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right)} \\
{I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right)} \\
{I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right).}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy thì $I$ không phải là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$.

Câu 31.

Đáp án đúng là: A

• $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

• Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in BM \subset \left( {SMB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SMB} \right)} \\
{I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)}
\end{array}} \right.$

Do đó $I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Câu 32.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

Câu 33.

Đáp án đúng là: A

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng $\;a$ và $M;\left( Q \right)$ là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng $b$ và $M$.

Giả sử $\;a$ là đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c \in \left( P \right)} \\
{c \in \left( Q \right)}
\end{array} \Rightarrow c = \left( P \right) \cap \left( Q \right)} \right.$.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: D

Xét mặt phẳng $\left( {ABP} \right)$.

Ta có $M,N$ cùng thuộc $AB$ nên $M,N$ cùng thuộc mặt phẳng $\left( {ABP} \right)$.

Mặt khác $AC \cap \left( {ABP} \right) = P$.

Mà $Q \in CD$ nên $Q \notin \left( {ABP} \right)$.

Do đó $M,N,P,Q$ không đồng phẳng.

Vậy $MP,NQ$ chéo nhau.

Câu 35.

Đáp án đúng là: D

• Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap AD = K$.

Khi đó $\left( T \right)$ là tam giác $MNK$. Do đó $A$ và $C$ sai.

• Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = IJ$, với $I \in BD,J \in CD;I,J$ không trùng $D$.

Khi đó $\left( T \right)$ là tứ giác. Do đó $D$ đúng.

Hướng dẫn giải chi tiết tự luận

Bài 1.

Vì $ – 1 \leqslant sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 1$ nên $29 + 3 \cdot \left( { – 1} \right) \leqslant 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 29 + 3.1$

$ \Leftrightarrow 26 \leqslant 29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) \leqslant 32$

$ \Leftrightarrow 26 \leqslant h\left( t \right) \leqslant 32$

Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là ${26^ \circ }C$ khi:

$29 + 3sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = 26$

$ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = – 1$

$ \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = sin\left( { – \frac{\pi }{2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t – 9} \right) = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow t = 3 + 24k,k \in \mathbb{Z}$

Vậy vào thời điểm 3 giờ trong ngày thì nhiệt độ thấp nhất của thành phố là ${26^ \circ }C$.

Bài 2.

Kể từ lúc 1 giờ đến 24 giờ thì số tiếng được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với ${u_1} = 1$, công sai $d = 1$.

Số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

$S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right) = 12\left( {1 + 24} \right) = 300$ (tiếng chuông)

Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.

Bài 3.

a)Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN \subset \left( {MNP} \right)} \\
{AB \subset \left( {ABD} \right)} \\
{MN//AB}
\end{array} \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right) = Px//AB//MN} \right.$

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ là $Px$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( {MNP} \right)} \\
{M \in BC \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow M \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)} \right.$.

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P \in \left( {MNP} \right)} \\
{P \in BD \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right)} \right.$

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là $MP$.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)$ lần lượt là $Px$ và $MP$. b) Vì $\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}$ nên $PQ//AB$

Do đó $PQ$ song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Ta có $Q \in \left( {MNP} \right)$. Do đó:

• $\left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = QN$

• $\left( {MNP} \right) \cap \left( {BCD} \right) = PM$

• $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$

Vì $\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}$ nên cắt tại $I$.

Do đó ba đường thẳng $DC,QN,PM$ đồng quy.