Đề Ôn Thi Giữa Học Kỳ 1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 2

Bởi

12-10-2023

3418

Bộ Đề Kiểm Tra Giữa Học Kỳ 1 Môn Toán 11 Có Đáp Án Và Lời Giải

Đề ôn thi giữa học kỳ 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Cho góc lượng giác $\alpha = {45^ \circ }$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $sin\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
B. $sin\alpha = cos\alpha $.
C. $tan\alpha = – 1$.
D. $cot\alpha = 1$.

Câu 2. Một cung của đường tròn bán kính $R$ và có số đo $\alpha $ rad thì có độ dài là
A. $l = \frac{1}{2}R\alpha $.
B. $l = {R^2}\alpha $.
C. $l = R{\alpha ^2}$.
D. $l = R\alpha $.

Câu 3. Chọn khẳng định đúng.
A. $sinxcosy = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {x – y} \right) + sin\left( {x + y} \right)} \right]$.
B. $sinxcosy = – \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {x – y} \right) + sin\left( {x + y} \right)} \right]$.
C. $sinxcosy = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {x – y} \right) – sin\left( {x + y} \right)} \right]$.
D. $sinxcosy = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {x + y} \right) – sin\left( {x – y} \right)} \right]$.

Câu 4. Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
A. $sin2a = \frac{{2tana}}{{1 – ta{n^2}a}}$.
B. $cos2a = \frac{{1 – ta{n^2}a}}{{1 + ta{n^2}a}}$.
C. $tan2a = \frac{{2tana}}{{1 – ta{n^2}a}}$.
D. $cot2a = \frac{{1 – ta{n^2}a}}{{2tana}}$.

Câu 5. Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
B. Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
C. Các hàm số $y = sinx$ và $y = cosx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
D. Các hàm số $y = tanx$ và $y = cotx$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{2}$.

Câu 6. Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{{co{s^2}x}}$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = sinx$.
B. $y = cosx$.
C. $y = tanx$.
D. $y = cotx$.

Câu 8. Phương trình $\frac{{x – 2}}{{x + 2}} = 0$ tương đương với phương trình nào trong các phương trình dưới đây.
A. ${x^2} – 4 = 0$.
B. $2x – 4 = 0$.
C. $\frac{{3x – 6}}{{x – 2}} = 0$.
D. $4x + 8 = 0$.

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = \pi – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

B. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

C. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = \pi – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

D. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Câu 10. $x = \frac{{2\pi }}{3}$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. $sinx = – \frac{1}{2}$.
B. $cotx = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
C. $tanx = \sqrt 3 $.
D. $cosx = – \frac{1}{2}$.

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = \frac{{ – 1}}{n}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 5 số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là $ – 1;\frac{{ – 1}}{2};\frac{{ – 1}}{3};\frac{{ – 1}}{4};\frac{{ – 1}}{5}$.

B. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số $M = – 1$.

C. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số $M = 0$.

D. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi số $m = – 1$.

Câu 12. Cho dãy số có các số hạng là $8,13,18,23,28, \ldots $ Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. ${u_n} = 5n – 3$.
B. ${u_n} = 5n + 2$.
C. ${u_n} = 5n + 3$.
D. ${u_n} = 5n – 1$.

Câu 13. Dãy số này dưới đây là một cấp số cộng?
A. $1;4;7;13;16$.
B. $2;4;6;8;12$.
C. 0,$1;0,01;0,001;0,0001$.
D. $3;5;7;9;11$.

Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 5$ và $d = 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${u_{13}} = 34$.
B. ${u_{13}} = 45$.
C. ${u_{13}} = 27$.
D. ${u_{13}} = 35$.

Câu 15. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = u_n^2}
\end{array}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 1} \\
{{u_{n + 1}} = 3{u_n}}
\end{array}} \right.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1}
\end{array}} \right.$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = {2^n} \cdot {u_n}}
\end{array}} \right.$

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_1} = \frac{1}{3}$ và ${u_2} = 3$. Công bội $q$ của cấp số nhân đó là
A. 2 .
B. -2 .
C. -9 .
D. 9 .

Câu 17. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm	[50;52)	[52;54)	[54;56)	[56;58)	[58;60)	[60;62)	[62;68)
Tần số	5	10	45	20	16	3	1

Mệnh đề đúng là
A. Giá trị 54 thuộc vào nhóm $\left[ {52;54} \right)$.
B. Tần số của nhóm $\left[ {58;60} \right)$ là 3 .
C. Tần số của nhóm $\left[ {54;56} \right)$ là 45 .
D. Giá trị 45 thuộc vào nhóm $\left[ {54;56} \right)$.

Câu 18. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của một số con gấu trúc vừa chào đời.

Cân nặng (gam)	[150;200)	[200;250)	[250;300)	[350;400)
Tần số	1	3	5	1

Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .

Câu 19. Khảo sát thời gian tự học ở nhà của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian tự học ở nhà (giờ)	[1;2)	[2;3)	[3;4)	[4;5)
Số học sinh	10	30	7	3

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
A. $\left[ {1;2} \right)$.
B. $\left[ {2;3} \right)$.
C. $\left[ {3;4} \right)$.
D. $\left[ {4;5} \right)$.

Câu 20. Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu ở Câu 19 là
A. $\left[ {1;2} \right)$.
B. $\left[ {2;3} \right)$.
C. $\left[ {3;4} \right)$.
D. $\left[ {4;5} \right)$.

Câu 21. Rút gọn biểu thức $A = sin\alpha + sin\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) – cos\alpha + cos\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$ ta được kết quả là
A. $A = 4$.
B. $A = 2$.
C. $A = 0$.
D. $A = – 1$.

Câu 22. Nếu $sinx + cosx = \frac{1}{2}$ thì $sin2x$ bằng
A. $\frac{3}{4}$.
B. $\frac{3}{8}$.
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{ – 3}}{4}$.

Câu 23. Thu gọn biểu thức $P = \frac{{1 + cosx + cos2x + cos3x}}{{cosx + cos2x}}$ ta được kết quả là $a \cdot cosbx$, $a \in \mathbb{Q},b \in \mathbb{Q}$. Khi đó $T = a – b$ có kết quả là
A. $T = 0$.
B. $T = 1$.
C. $T = – 1$.
D. $T = 3$.

Câu 24. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = tanx$.
B. $y = {x^2}tanx$.
C. $y = xsinx$
D. $y = xcosx$.

Câu 25. Tập giá trị của hàm số $f\left( x \right) = si{n^2}2x + 1$ là
A. ${{\left[ { – 1;1} \right]}}$.
B. $\left[ {0;1} \right]$.
C. $\left[ { – 1;0} \right]$.
D. $\left[ {1;2} \right]$.

Câu 26. Tất cả nghiệm của phương trình $cos\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = cos\frac{\pi }{8}$ là

A. $x = – \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$
B. $x = \pm \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$
C. $x = – \frac{\pi }{8} + k2\pi $ và $x = – \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = – \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}$ và $x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$.

Câu 27. Tại các giá trị nào của $x$ thì đồ thị hàm số $y = cosx$ và $y = sinx$ giao nhau?
A. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;.\;$
D. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 28. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là dãy số bị chặn?
A. $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = \frac{{2n + 1}}{n}$.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = cos\left( {n\pi } \right)$.
C. $\left( {{b_n}} \right):1,2,3,4,5,6,7$.
D. $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = n$.

Câu 29. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + a}}{n}$, $a$ là số thực. Tìm một giá trị của $a$ để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.
A. $a = \frac{1}{2}$.
B. $a = 1$.
C. $a = 0$.
D. $a = – 1$.

Câu 30. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17 ; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14 . Tìm công sai $d$ của cấp số cộng đã cho.
A. $d = 2$.
B. $d = 3$.
C. $d = 4$.
D. $d = 5$.

Câu 31. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống $50\;m$ mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. 5.250 .000 đồng.
B. 10.125 .000 đồng.
C. 4.000 .000 đồng.
D. 4.245 .000 đồng.

Câu 32. Tổng 7 số hạng đầu cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ là
A. $\frac{{381}}{{64}}$.
B. $\frac{{189}}{{32}}$.
C. $\frac{{63}}{{32}}$.
D. $\frac{{889}}{{64}}$.

Câu 33. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = \frac{1}{{32}}$và ${u_5} = \frac{1}{{128}}$ Khi đó, số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là bao nhiêu?
A. ${u_1} = 3,q = – 5$.
B. ${u_1} = – 2,q = \frac{{ – 1}}{4}$.
C. ${u_1} = – 2,q = \frac{1}{2}$.
D. ${u_1} = 2,q = \frac{1}{4}$.

Câu 34. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 cây mít giống như sau:

Chiều cao (cm)	[0;10)	[10;20)	[20;30)	[30;40)	[40;50)
Số cây	4	6	7	5	3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${Q_1} = 13,5$.
B. ${Q_1} = 13,9$.
C. ${Q_1} = 15,75$.
D. ${Q_1} = 13,75$.

Câu 35. Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ruồi giấm cho kết quả như sau:

Tuổi thọ

(ngày)

[40;42)

[42;44)

[44;46)

[46;48)

[48;50)

Số lượng

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
A. 46,64 .
B. 46,34 .
C. 43,64 .
D. 43,46 .

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình:

a) $cosxcos5x = cos2xcos4x$; b)$cosx + \frac{1}{{cosx}} + sinx + \frac{1}{{sinx}} = \frac{{10}}{3}$

Bài 2. (1 điểm) Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho $tan\left( {\frac{\pi }{{12}} – x} \right),tan\frac{\pi }{{12}},tan\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)$ tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự nào đó.

Bài 3. (1 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc đèn tích điện mới, chị Nga thống kê thời gian sử dụng đèn của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:

Thời gian sử dụng

(giờ)

[7;9)

[9;11)

[11;13)

[13;15)

[15;17)

Số lần

a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin.

b) Chị Nga cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không?

—–HẾT—–

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Bảng đáp án trắc nghiệm

1. C	2. C	3. A	4. A	5. D	6. A	7. B
8. B	9. A	10. D	11. B	12. C	13. D	14. C
15. B	16. D	17. C	18. C	19. B	20. B	21. C
22. D	23. B	24. C	25. D	26. D	27. D	28. D
29. D	30. B	31. B	32. A	33. D	34. D	35. B

Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Đáp án đúng là: $C$

Ta có: $sin\alpha = sin{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2};cos\alpha = cos{45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên $sin\alpha = cos\alpha $. Vậy đáp án $A,B$ đúng.

$tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }} = 1;cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }} = 1$. Vậy đáp án D đúng, đáp án C sai.

Đáp án đúng là: $C$

Một cung của đường tròn bán kính $R$ và có số đo $\alpha $ rad thì có độ dài là $l = R\alpha $.

Đáp án đúng là: $A$

Chọn A vì đúng theo công thức biến đổi tích thành tổng.

Đáp án đúng là: $A$

Theo công thức nhân đôi, ta có $tan2a = \frac{{2tana}}{{1 – ta{n^2}a}}$, từ đó suy ra $cot2a = \frac{{1 – ta{n^2}a}}{{2tana}}$, nên đáp án $C$ và $D$ đúng.

Ta có:

đúng. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: $D$

Các đáp án $A,B,C$ đúng theo lý thuyết.

Các hàm số $y = tanx$ và $y = cotx$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.

Vậy đáp án $D$ sai.

Câu 6. Tập xác định của hàm số $\frac{1}{{co{s^2}x}}$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $\frac{1}{{co{s^2}x}}$ xác định khi $co{s^2}x \ne 0 \Leftrightarrow cosx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chã̃n?
A. $y = sinx$.
B. $y = cosx$.
C. $y = tanx$.
D. $y = cotx$.

Đáp án đúng là: $B$

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

• Hàm số $y = sinx$ là hàm số lẻ.

• Hàm số $y = cosx$ là hàm số chẵn.

• Hàm số $y = tanx$ là hàm số lẻ.

• Hàm số $y = cotx$ là hàm số lẻ.

Vậy $B$ là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: $B$

Phương trình $\frac{{x – 2}}{{x + 2}} = 0$ có tập nghiệm là ${S_1} = \left\{ 2 \right\}$.

Phương trình $2x – 4 = 0$ có tập nghiệm là ${S_2} = \left\{ 2 \right\}$.

Vì ${S_1} = {S_2}$ nên hai phương trình $\frac{{x – 2}}{{x + 2}} = 0$ và $2x – 4 = 0$ tương đương.

Câu 9. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = \pi – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

B. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

C. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = \pi – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

D. $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.

Đáp án đúng là: $A$

Theo lí thuyết ta có $sinu = sinv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = \pi – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}\;} \right)} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = \frac{{2\pi }}{3}$ vào các phương trình đã cho, ta thấy:

$sin\frac{{2\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne – \frac{1}{2}$

$cos\frac{{2\pi }}{3} = – \frac{1}{2}$

$cot\frac{{2\pi }}{3} = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$tan\frac{{2\pi }}{3} = – \sqrt 3 \ne \sqrt 3 $

Vậy $x = \frac{{2\pi }}{3}$ là nghiệm của phương trình $cosx = – \frac{1}{2}$.

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{ – 1}}{n}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 5 số hạng đầu của dãy số ${\left( {{u_n}} \right)_{l\`a \;}} – 1;\frac{{ – 1}}{2};\frac{{ – 1}}{3};\frac{{ – 1}}{4};\frac{{ – 1}}{5}$.

B. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số $M = – 1$.

C. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số $M = 0$.

D. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi số $m = – 1$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có ${u_n} = \frac{{ – 1}}{n}$, do đó ${u_1} = \frac{{ – 1}}{1} = – 1,{u_2} = \frac{{ – 1}}{2},{u_3} = \frac{{ – 1}}{3},{u_4} = \frac{{ – 1}}{4},{u_5} = \frac{{ – 1}}{5}$.

Vì ${u_n} = \frac{{ – 1}}{n} < 0\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi số $M = 0$.

nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi số $m = – 1$.

Đáp án đúng là: $C$

Xét từng đáp án:

• Đáp án A ta có: ${u_1} = 5.1 – 3 = 2 \ne 8$, không thỏa mãn.

• Đáp án B ta có: ${u_1} = 5.1 + 2 = 7 \ne 8$, không thỏa mãn.

• Đáp án C ta có: ${u_1} = 5.1 + 3 = 8$, thỏa mãn.

• Đáp án D ta có: ${u_1} = 5.1 – 1 = 4 \ne 8$, không thỏa mãn.

Câu 13. Dãy số này dưới đây là một cấp số cộng?
A. $1;4;7;13;16$.
B. $2;4;6;8;12$.
C. 0,$1;0,01;0,001;0,0001$.
D. $3;5;7;9;11$.

Đáp án đúng là: D

Dãy số 3; 5; 7; 9 ; 11 là một cấp số cộng.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5} \\
{d = 2}
\end{array}} \right.$.

${u_{13}} = {u_1} + \left( {13 – 1} \right)d = 5 + \left( {13 – 1} \right) \cdot 2 = 27$

Câu 15. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = u_n^2}
\end{array}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 1} \\
{{u_{n + 1}} = 3{u_n}}
\end{array}} \right.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = {2^n} \cdot {u_n}}
\end{array}} \right.$

Đáp án đúng là: $B$ Xét $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 1} \\
{{u_{n + 1}} = 3{u_n}}
\end{array}} \right.$.

Ta có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{u_n}}}{{{u_n}}} = 3$ không đổi với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân.

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = \frac{1}{3}$ và ${u_2} = 3$. Công bội $q$ của cấp số nhân đó là
A. 2 .
B. -2 .
C. -9 .
D. 9 .

Đáp án đúng là: D

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên công bội

$q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{\frac{1}{3}}} = 9$

Câu 17. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm	[50;52)	[52;54)	[54;56)	[56;58)	[58;60)	[60;62)	[62;68)
Tần số	5	10	45	20	16	3	1

Đáp án đúng là: $C$

Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta có:

• Giá trị 54 không thuộc vào nhóm $\left[ {52;54} \right)$.

• Tần số của nhóm $\left[ {58;60} \right)$ là 16 .

• Tần số của nhóm [54;56) là 45.

• Giá trị 45 không thuộc vào nhóm $\left[ {54;56} \right)$.

Câu 18. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của một số con gấu trúc vừa chào đời.

Cân nặng (gam)	[150;200)	[200;250)	[250;300)	[350;400)
Tần số	1	3	5	1

Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
A. 1 .
B. 3.
C. 4 .
D. 5 .

Đáp án đúng là: $C$

Mẫu số liệu đã cho gồm có 4 nhóm: $\left[ {150;200} \right),\left[ {200;250} \right),\left[ {250;300} \right)$ và [350;400).

Câu 19. Khảo sát thời gian tự học ở nhà của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian tự học ở nhà (giờ)	[1;2)	[2;3)	[3;4)	[4;5)
Số học sinh	10	30	7	3

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
A. $\left[ {1;2} \right)$.
B. $\left[ {2;3} \right)$.
C. $\left[ {3;4} \right)$.
D. $\left[ {4;5} \right)$.

Đáp án đúng là: $B$

Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm [2;3).

Câu 20. Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu ở Câu 19 là
A. $\left[ {1;2} \right)$.
B. $\left[ {2;3} \right)$.
C. $\left[ {3;4} \right)$.
D. $\left[ {4;5} \right)$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có cỡ mẫu $n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{50}}$ là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$.

Do ${x_{25}},{x_{26}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {2;3} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $sin\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = sin\left( {\frac{\pi }{2} – \left( { – \alpha } \right)} \right) = cos\left( { – \alpha } \right) = cos\alpha $;

$cos\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} – \left( { – \alpha } \right)} \right) = sin\left( { – \alpha } \right) = – sin\alpha $.

Khi đó $A = sin\alpha + sin\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) – cos\alpha + cos\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$

$ = sin\alpha + cos\alpha – cos\alpha – sin\alpha = 0$.

Câu 22. Nếu $sinx + cosx = \frac{1}{2}$ thì $sin2x$ bằng
A. $\frac{3}{4}$.
B. $\frac{3}{8}$.
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
D. $\frac{{ – 3}}{4}$.

Đáp án đúng là: $D$

Ta có $sinx + cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow si{n^2}x + 2sinxcosx + co{s^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow sin2x = \frac{{ – 3}}{4}$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: $P = \frac{{1 + cosx + cos2x + cos3x}}{{cosx + cos2x}} = \frac{{1 + cosx + 2co{s^2}x – 1 + 4co{s^3}x – 3cosx}}{{cosx + 2co{s^2}x – 1}}$

$ = \frac{{4co{s^3}x + 2co{s^2}x – 2cosx}}{{2co{s^2}x + cosx – 1}} = \frac{{2cosx\left( {2co{s^2}x + cosx – 1} \right)}}{{2co{s^2}x + cosx – 1}} = 2cosx$.

Khi đó $a = 2,b = 1$, vậy $T = a – b = 2 – 1 = 1$.

Câu 24. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = tanx$.
B. $y = {x^2}tanx$.
C. $y = xsinx$.
D. $y = xcosx$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = xsinx$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Với mọi $x \in D \Rightarrow – x \in D$

Ta có $f\left( { – x} \right) = \left( { – x} \right)sin\left( { – x} \right) = xsinx = f\left( x \right)$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = xsinx$ là hàm số chẵn.

Câu 25. Tập giá trị của hàm số $f\left( x \right) = si{n^2}2x + 1$ là
A. ${\;^{\left[ { – 1;1} \right]}}$.
B. $\left[ {0;1} \right]$.
C. $\left[ { – 1;0} \right]$.
D. $\left[ {1;2} \right]$.

Đáp án đúng là: $D$

Vì $0 \leqslant si{n^2}2x \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant si{n^2}2x + 1 \leqslant 2 \Rightarrow 1 \leqslant f\left( x \right) \leqslant 2$

Vậy tập giá trị của hàm số $f\left( x \right) = si{n^2}2x + 1$ là $\left[ {1;2} \right]$.

Câu 26. Tất cả nghiệm của phương trình $cos\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = cos\frac{\pi }{8}$ là

A. $x = – \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

B. $x = \pm \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

C. $x = – \frac{\pi }{8} + k2\pi $ và $x = – \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = – \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}$ và $x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: D

$cos\left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = cos\frac{\pi }{8} \Leftrightarrow 3x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{8} + k2\pi \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}} \\
{x = – \frac{\pi }{8} + k\frac{{2\pi }}{3}\;}
\end{array}} \right.$

Đáp án đúng là: D

$cosx = sinx \Leftrightarrow cosx = cos\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} – x + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{2} + x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $2 \leqslant {a_n} \leqslant 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

$ – 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

$1 \leqslant {b_n} \leqslant 7,\forall n \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$. Suy ra dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Lấy số tự nhiên $N$ bất kỳ, tồn tại $n = N + 1$ sao cho ${v_n} = {v_{N + 1}} = N + 1 \geqslant N$. Suy ra dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ không là dãy số bị chặn trên nên nó không bị chặn.

Đáp án đúng là: $D$

Ta có:

${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{n + 1 + a}}{{n + 1}} – \frac{{n + a}}{n} = \frac{{ – a}}{{n\left( {n + 1} \right)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\;$

Nếu $a > 0$ thì ${u_{n + 1}} – {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Nếu $a < 0$ thì .

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng. Nếu $a = 0$ thì ${u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ không là dãy số giảm cũng không là dãy số tăng.

Vậy để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng ta chọn một số $a$ sao cho $a < 0$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_6} = 17} \\
{{u_2} + {u_4} = 14}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{u_1} + 5d = 17} \\
{2{u_1} + 4d = 14}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{d = 3}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Đáp án đúng là: $B$

Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 80000,d = 5000$. Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là:

${u_1} + {u_2} + … + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \frac{{50.49}}{2}d = 10.125.000$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

${S_7} = \frac{{3\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^7}} \right]}}{{1 – \frac{1}{2}}} = \frac{{381}}{{64}}$

Câu 33. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = \frac{1}{{32}}$ và ${u_5} = \frac{1}{{128}}$ Khi đó, số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là bao nhiêu ?
A. ${u_1} = 3,q = – 5$.
B. ${u_1} = – 2,q = \frac{{ – 1}}{4}$.
C. ${u_1} = – 2,q = \frac{1}{2}$.
D. $\;{u_1} = 2,q = \frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${u_4} = {u_1} \cdot {q^3}$ và ${u_5} = {u_1} \cdot {q^4}$. Chia vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được $\frac{{{u_4}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1} \cdot {q^4}}} = \frac{1}{q} \Leftrightarrow \frac{{128}}{{32}} = \frac{1}{q} \Rightarrow q = \frac{1}{4}$.

Khi đó,

${u_4} = {u_1} \cdot {q^3} \Leftrightarrow \frac{1}{{32}} = {u_1} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} \Rightarrow {u_1} = 2$

Vậy cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và $q = \frac{1}{4}$.

Câu 34. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 cây mít giống như sau:

Chiều cao (cm)	[0;10)	[10;20)	[20;30)	[30;40)	[40;50)
Số cây	4	6	7	5	3

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A. ${Q_1} = 13,5$.
B. ${Q_1} = 13,9$.
C. ${Q_1} = 15,75$.
D. ${Q_1} = 13,75$.

Đáp án đúng là: $D$

Cỡ mẫu : $n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1} = \frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}$.

Do ${x_6},{x_7}$ đều thuộc nhóm $\left[ {10;20} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó: $p = 2,{a_2} = 10,{m_2} = 6,{m_1} = 4,{a_3} – {a_2} = 10$.

Ta có:

${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} – 4}}{6} \cdot 10 = 13,75$.

Câu 35. Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ruồi giấm cho kết quả như sau:

Tuổi thọ

(ngày)

[40;42)

[42;44)

[44;46)

[46;48)

[48;50)

Số lượng

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
A. 46,64 .
B. 46,34 .
C. 43,64 .
D. 43,46 .

Đáp án đúng là: $B$

Cỡ mẫu $n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100$.

Ta có bảng sau:

Giá trị đại diện tuổi thọ

(ngày)

Số lượng

Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là $\overline x = \frac{{5.41 + 12.43 + 23.45 + 31.47 + 29.49}}{{100}} = 46,34$.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình:

a) $cosxcos5x = cos2xcos4x$;

b) $cosx + \frac{1}{{cosx}} + sinx + \frac{1}{{sinx}} = \frac{{10}}{3}$.

Lời giải:

a) $cosxcos5x = cos2xcos4x$

$ \Leftrightarrow cos6x + cos4x = cos6x + cos2x$

$ \Leftrightarrow cos4x = cos2x$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x = 2x + k2\pi } \\
{4x = – 2x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi } \\
{x = k\frac{\pi }{3}}
\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

b) $cosx + \frac{1}{{cosx}} + sinx + \frac{1}{{sinx}} = \frac{{10}}{3}$

Điều kiện $sinx \ne 0$ và $cosx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Phương trình được biến đổi $sinx + cosx + \frac{{sinx + cosx}}{{sinx \cdot cosx}} = \frac{{10}}{3}$.

Đặt $t = sinx + cosx = \sqrt 2 sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\left| t \right| \leqslant \sqrt 2 $. Thì $sinx \cdot cosx = \frac{{{t^2} – 1}}{2}$.

Và phương trình trở thành: $3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {3{t^2} – 4t – 5} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2} \\
{t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}} \\
{t = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp điều kiện, chọn $t = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = sin\alpha $

$ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi $hoặc $x + \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow x = \alpha – \frac{\pi }{4} + k2\pi $ hoặc $x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình:

$x = \alpha – \frac{\pi }{4} + k2\pi \;x = \frac{{3\pi }}{4} – \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Bài 2. (1 điểm) Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho $tan\left( {\frac{\pi }{{12}} – x} \right),tan\frac{\pi }{{12}},tan\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)$ tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự nào đó.

Lời giải:

Đặt $a = tan\frac{\pi }{{12}}$ và $y = tanx$. Xét ba trường hợp của 3 thứ tự:

Trường hợp 1:

$tan\left( {\frac{\pi }{{12}} – x} \right) \cdot tan\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = ta{n^2}\frac{\pi }{{12}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{a – y}}{{1 + ay}} \cdot \frac{{a + y}}{{1 – ay}} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} – {y^2} = {a^2}\left( {1 – {a^2}{y^2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {{a^4} – 1} \right){y^2} = 0$. Vì $a \ne \pm 1$ ta có $y = 0$

Do đó $tanx = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: $tan\frac{\pi }{{12}} \cdot tan\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right) = ta{n^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} – x} \right)$

$ \Leftrightarrow a\frac{{a + y}}{{1 – ay}} = {\left( {\frac{{a – y}}{{1 + ay}}} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right)y\left[ {a{y^2} + \left( {{a^2} – 1} \right)y + 3a} \right] = 0$

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Khi $a{y^2} + \left( {{a^2} – 1} \right)y + 3a = 0$ vì $a = tan\frac{\pi }{{12}} = tan\left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{6}} \right) = 2 – \sqrt 3 $

nên ${y^2} – 2\sqrt 3 y + 3 = 0$, suy ra ${y_1} = {y_2} = \sqrt 3 $.

Do đó $tanx = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ là nghiệm của bài toán.

Trường hợp 3: $tan\frac{\pi }{{12}} \cdot tan\left( {\frac{\pi }{{12}} – x} \right) = ta{n^2}\left( {\frac{\pi }{{12}} + x} \right)$

Thay $x$ bởi $ – x$, dựa vào kết qyả trên thì nghiệm bài toán là: $x = – \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \;\mathbb{Z}$

Vậy các số cần tìm là $x = k\pi $ và $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Thời gian sử dụng

(giờ)

[7;9)

[9;11)

[11;13)

[13;15)

[15;17)

Số lần

a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin.

b) Chị Nga cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không?

Lời giải:

a) Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê thời gian sử dụng đèn của chị Nga từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin theo giá trị đại diện như sau:

Giá trị đại diện

thời gian sử dụng

(giờ)

Số lần

Cỡ mẫu $n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23$.

Thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị Nga sạc đầy pin đèn cho tới khi hết pin là:

$\overline x = \frac{{2.8 + 5.10 + 7.12 + 6.14 + 3.16}}{{23}} \approx 12,26$ (giờ).

b) Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{23}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là ${x_6} \in \left[ {9;11} \right)$.

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.23}}{4} – 2}}{5} \cdot \left( {11 – 9} \right) = 10,5$.

Do ${Q_1}$ gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.

XEM NHIỀU

TÀI LIỆU HOT

BÀI VIẾT TIÊU BIỂU

BÀI VIẾT PHỔ BIẾN

MỤC XEM NHIỀU