Đề Kiểm Tra Giữa HK 1 Toán 11 Kết Nối Tri Thức Giải Chi Tiết-Đề 4

Đề kiểm tra giữa HK 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 4 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Đổi số đo của góc $\alpha = {60^ \circ }$ sang rađian.

A. $\alpha = \frac{\pi }{2}$.

B. $\alpha = \frac{\pi }{4}$.

C. $\alpha = \frac{\pi }{6}$.

D. $\alpha = \frac{\pi }{3}$.

Câu 2. Cho $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $cot\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0$.

B. $cot\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \geqslant 0$.

C. $tan\left( {\alpha + \pi } \right) < 0$.

D. $tan\left( {\alpha + \pi } \right) > 0$.

Câu 3. Công thức nào dưới đây SAI?

A. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 + tanatanb}}$.

B. $cosacosb = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.

C. $sinacosb = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) + sin\left( {a + b} \right)} \right]$.

D. $sinasinb = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.

Câu 4. Rút gọn $M = sin\left( {x + y} \right)cosy – cos\left( {x + y} \right)siny$ ?

A. $M = cosx$.

B. $M = sinx$.

C. $M = sin\left( {x + 2y} \right)$.

D. $M = cos\left( {x + 2y} \right)$.

Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = tanx$.

B. $y = sinx$.

C. $y = cosx$.

D. $y = cotx$.

Câu 6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. Tập xác định của hàm số $y = cotx$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$

B. Tập xác định của hàm số $y = sinx$ là $\mathbb{R}$.

C. Tập xác định của hàm số $y = cosx$ là $\mathbb{R}$.

D. Tập xác định của hàm số $y = tanx$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.

Câu 7. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. $y = tanx$.

B. $y = {x^2} + tanx$.

C. $y = {x^2}$.

D. $y = {x^2}tanx$.

Câu 8. Phương trình $tanx = \sqrt 3 $ có tập nghiệm là

A. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

B. $\emptyset $.

C. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

D. $\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Câu 9. Nghiệm của phương trình $cosx = – \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.

B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $.

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

D. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

Câu 10. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình $x + 1 = 0$ ?

A. ${x^2} – 1 = 0$.

B. $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 0$.

C. ${x^2} – 2x + 1 = 0$.

D. $\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0$.

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần và ${u_1} = 3$. Năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là:

A. $1;3;5;7;9$.

B. $1,2,3,4,5$.

C. $3,5,7,9,11$.

D. $0,1,3,5,7$.

Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} – 2}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

B. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

C. $\left( {{u_n}} \right)$ không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm .

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không đổi.

Câu 13. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$

B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12;$

C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8;$

D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9;$

Câu 14. Cho dãy số $\frac{1}{2};0; – \frac{1}{2}; – 1; – \frac{3}{2}; \ldots \ldots $ là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$, công sai là $\frac{1}{2}$.

B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$, công sai là $ – \frac{1}{2}$.

C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là $\frac{1}{2}$.

D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là $ – \frac{1}{2}$.

Câu 15. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $1;2;4;8;$.

B. $3;{3^2};{3^3};{3^4};$.

C. $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4};$

D. $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};$

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 2$ và $q = – 5$. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A. $ – 2;10;50; – 250$.

B. $ – 2;10; – 50;250$.

C. $ – 2; – 10; – 50; – 250$.

D. $ – 2;10;50;250$.

Câu 17. Bảng thống kê sau cho biết tốc độ $\left( {km/h} \right)$ của một số xe máy khi đi qua vị trí có cảnh sát giao thông đang làm nhiệm vụ.

Quan sát mẫu số liệu trên và cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Số xe được đo tốc độ là 100 xe.

B. Mẫu số liệu đã cho gồm 5 nhóm có độ dài bằng nhau.

C. Tổng độ dài các nhóm là 80 .

D. Số xe máy thuộc nhóm $\left[ {60;70} \right)$ là ít nhất.

Câu 18. Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 10 trường THPT Lý Thường Kiệt, ta được kết quả:

Số học sinh có chiều cao từ $156\;cm$ trở lên là

A. 37.

B. 77.

C. 12 .

D. 25 .

Câu 19. Cho bảng phân phối tần số ghép lớp:

Mệnh đề nào sau đúng là

A. Giá trị đại diện của lớp $\left[ {50;52} \right)$ là 53 .

B. Tần số của lớp $\left[ {58;60} \right)$ là 95 .

C. Tần số của lớp $\left[ {52;54} \right)$ là 35 .

D. Số 50 không phụ thuộc lớp [54;56).

Câu 20. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trong câu 19 là

A. $\left[ {54;56} \right)$.

B. $\left[ {50;52} \right)$.

C. $\left[ {52;54} \right)$.

D. $\left[ {58;60} \right)$.

Câu 21. Cho $cos\alpha = \frac{4}{5}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$. Tính $sin\alpha $.

A. $sin\alpha = \frac{1}{5}$.

B. $sin\alpha = – \frac{1}{5}$.

C. $sin\alpha = \frac{3}{5}$.

D. $sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$.

Câu 22. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{sinx + sin2x + sin3x}}{{cosx + cos2x + cos3x}}$.

A. $A = tan6x$.

B. $A = tan3x$.

C. $A = tan2x$.

D. $A = tanx + tan2x + tan3x$.

Câu 23. Cho $sina = \frac{3}{5},\frac{\pi }{2} < a < \pi $. Tính giá trị biểu thức $M = sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$.

A. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

B. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

C. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

D. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

Câu 24. Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 1 – 2\left| {cos3x} \right|$.

A. $M = 3,m = – 1$.

B. $M = 0,m = – 2$.

C. $M = 1,m = – 1$.

D. $M = 2,m = – 2$.

Câu 25. Hàm số $f\left( x \right) = 2023sin3x$ tuần hoàn với chu kì bằng

A. $2\pi $.

B. $2023\pi $.

C. $\frac{{2\pi }}{{2023}}$.

D. $\frac{{2\pi }}{3}$

Câu 26. Tất cả nghiệm của phương trình $sin\left( {x – \frac{\pi }{5}} \right) = sin\frac{{2\pi }}{5}$ là

A. $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \;\mathbb{Z}$

B. $x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi $ và $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

D. $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi $ và $x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \;\mathbb{Z}\;$.

Câu 27. Phương trình $sinx = cosx$ có số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ là

A. 3 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 4 .

Câu 28. Biết năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là $1,2,2,4,8,32$. Tìm một công thức truy hồi của dãy số trên.

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}}.{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = 2 \cdot {u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = 4{u_n} – 2n}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} – 2{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

Câu 29. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = 3 + {u_n}}
\end{array},\forall n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left( {{u_n}} \right)$.

A. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

B. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

C. $\;{u_n} = {3^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

D. ${u_n} = {2^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Câu 30. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 5,{u_{10}} = 15$. Khi đó ${u_7}$ bằng

A. ${u_7} = 12$.

B. ${u_7} = 8$.

C. ${u_7} = 7$.

D. ${u_7} = 9$.

Câu 31. Tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng $1; – 1; – 3; \ldots $ bằng -9800.

A. 100 .

B. 99 .

C. 101 .

D. 98 .

Câu 32. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $x;12;y;192$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x = 1;y = 144$.

B. $x = 2;y = 72$.

C. $x = 3;y = 48$.

D. $x = 4;y = 36$.

Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $3;9;27;81; \ldots $. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số nhân đã cho.

A. ${u_n} = {3^{n – 1}}$.

B. ${u_n} = {3^n}$.

C. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.

D. ${u_n} = 3 + {3^n}$.

Câu 34. Tìm hiểu thời gian chạy cự li $1000\;m$ (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:

Thời gian (giây) chạy trung bình cự li $1000\;m$ của các bạn học sinh là

A. 130,35 .

B. 131,03 .

C. 130,4 .

D. 132,5 .

Câu 35. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong Câu 34 là

A. ${M_e} = \frac{{392}}{3}$.

B. ${M_e} = \frac{{394}}{3}$.

C. ${M_e} = \frac{{391}}{3}$.

D. ${M_e} = \frac{{395}}{3}$.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {2si{n^2}x + 4sinxcosx – \left( {3 + 2m} \right)co{s^2}x + 2} $ xác định với mọi $x$.

Bài 2. (1 điểm) Một hãng taxi áp dụng mức giá đối với khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: Mỗi bậc áp dụng cho $10\;km$. Bậc 1 (áp dụng cho $10\;km$ đầu) có giá trị 10000 đồng $/1\;km$, giá mỗi $km$ ở các bậc tiếp theo giảm $5\% $ so với giá của bậc trước đó. Bạn $An$ thuê hãng taxi đó để đi quãng đường $114\;km$, nhưng khi đi được $50\;km$ thì bạn Bình đi chung hết quãng đường còn lại. Tính số tiền mà bạn An phải trả, biết rằng mức giá áp dụng từ lúc xe xuất phát và số tiền trên quãng đường đi chung bạn An chỉ phải trả $20\% $ (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Bài 3. (1 điểm) Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Hãy cho biết ngưỡng thời gian để xác định $25\% $ học sinh hoàn thành bài tập với thời gian lâu nhất.

—–HẾT—–

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1. D	2. D	3. D	4. B	5. B	6. A	7. A
8. C	9. A	10. B	11. C	12. B	13. A	14. B
15. D	16. B	17. C	18. A	19. D	20. A	21. C
22. C	23. A	24. C	25. D	26. D	27. C	28. A
29. A	30. D	31. A	32. C	33. B	34. A	35. C

Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1. Đổi số đo của góc $\alpha = {30^ \circ }$ sang rađian.

A. $\alpha = \frac{\pi }{2}$.

B. $\alpha = \frac{\pi }{4}$.

C. $\alpha = \frac{\pi }{6}$.

D. $\alpha = \frac{\pi }{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\alpha = {60^ \circ } = \frac{{60\pi }}{{180}}rad = \frac{\pi }{3}rad$.

Câu 2. Cho $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $cot\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0$.

B. $cot\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \geqslant 0$.

C. $tan\left( {\alpha + \pi } \right) < 0$.

D. $tan\left( {\alpha + \pi } \right) > 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \alpha + \frac{\pi }{2} < \pi \Rightarrow cot\left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0} \\
{0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \pi < \alpha + \pi < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow tan\left( {\alpha + \pi } \right) > 0}
\end{array}} \right.$

Câu 3. Công thức nào dưới đây SAI?

A. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 + tanatanb}}$.

B. $cosacosb = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.

C. $sinacosb = \frac{1}{2}\left[ {sin\left( {a – b} \right) + sin\left( {a + b} \right)} \right]$.

D. $sinasinb = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) + cos\left( {a + b} \right)} \right]$.

Đáp án đúng là: D

$sinasinb = \frac{1}{2}\left[ {cos\left( {a – b} \right) – cos\left( {a + b} \right)} \right]$

Câu 4. Rút gọn $M = sin\left( {x + y} \right)cosy – cos\left( {x + y} \right)sin{y_{?\;}}$

A. $M = cosx$.

B. $M = sinx$.

C. $M = sin\left( {x + 2y} \right)$.

D. $M = cos\left( {x + 2y} \right)$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có:

$M = sin\left( {x + y} \right)cosy – cos\left( {x + y} \right)siny = sin\left[ {\left( {x + y} \right) – y} \right] = sinx$.

Câu 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = tanx$.

B. $y = sinx$.

C. $y = cosx$.

D. $y = cotx$.

Đáp án đúng là: $B$

Từ đồ thị suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$ nên loại đáp án $A$ và $D$.

Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ và tuần hoàn với chu kì $2\pi $ nên đồ thị trên là của hàm số $f\left( x \right) = sinx$.

Câu 6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. Tập xác định của hàm số $y = cotx$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$

B. Tập xác định của hàm số $y = sinx$ là $\mathbb{R}$.

C. Tập xác định của hàm số $y = cosx$ là $\mathbb{R}$.

D. Tập xác định của hàm số $y = tanx$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{A}}$

Hàm số $y = cotx$ xác định khi $sinx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ nên có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.

Câu 7. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. $y = tanx$.

B. $y = {x^2} + tanx$.

C. $y = {x^2}$.

D. $y = {x^2}tanx$.

Đáp án đúng là: A

Câu 8. Phương trình $tanx = \sqrt 3 $ có tập nghiệm là

A. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

B. $\emptyset $.

C. $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

D. $\left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $tanx = \sqrt 3 \Leftrightarrow tanx = tan\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 9. Nghiệm của phương trình $cosx = – \frac{1}{2}$ là

A. $x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.

B. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi $.

C. $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $.

D. $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi $.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có:

$cosx = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow cosx = cos\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 10. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình $x + 1 = 0$ ?

A. ${x^2} – 1 = 0$.

B. $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 0$

C. ${x^2} – 2x + 1 = 0$.

D. $\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0$.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: $x + 1 = 0$, suy ra $x = 1$, tập nghiệm của phương trình này là $S = \left\{ 1 \right\}$.

Lại có: $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 0$ (điều kiện $x \ne 1$ ), tập nghiệm của phương trình này là $S’ = \left\{ 1 \right\}$.

Vậy hai phương trình $x + 1 = 0$ và $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 0$ có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương.

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần và ${u_1} = 3$. Năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là:

A. $1;3;5;7;9$.

B. $1,2,3,4,5$.

C. $3,5,7,9,11$.

D. $0,1,3,5,7$.

Đáp án đúng là: $C$

Vì dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần và ${u_1} = 3$ nên ${u_2} = 5;{u_3} = 7;{u_4} = 9;{u_5} = 11$.

Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} – 2}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

B. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

C. $\left( {{u_n}} \right)$ không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm .

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không đổi.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = – 2 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Câu 13. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$

B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12;$

C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8;$

D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9;$

Đáp án đúng là: A

Ta kiểm tra ${u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = d$

Xét đáp án A: $1; – 3; – 7; – 11; – 15;$

Ta có: ${u_2} – {u_1} = {u_3} – {u_2} = {u_4} – {u_3} = – 4$$ \Rightarrow $Chọn A.

Xét đáp án B: $1; – 3; – 6; – 9; – 12$

Ta có:${u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 3 = {u_3} – {u_2}$$ \Rightarrow $Loại B.

Xét đáp án $C:1; – 2; – 4; – 6; – 8;$

Ta có:${u_2} – {u_1} = – 3 \ne – 2 = {u_3} – {u_2}$ $ \Rightarrow $Loại $C$.

Xét đáp án D: $1; – 3; – 5; – 7; – 9;$

Ta có:${u_2} – {u_1} = – 4 \ne – 2 = {u_3} – {u_2}$$ \Rightarrow $Loại D.

Câu 14. Cho dãy số $\frac{1}{2};0; – \frac{1}{2}; – 1; – \frac{3}{2}; \ldots \ldots $ là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$, công sai là $\frac{1}{2}$.

B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$, công sai là $ – \frac{1}{2}$.

C. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là $\frac{1}{2}$.

D. Số hạng đầu tiên là 0 , công sai là $ – \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: $B$

Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng thì công sai $d$ của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó.

Ta có $\frac{1}{2};0; – \frac{1}{2}; – 1; – \frac{3}{2}; \ldots ..$. là cấp số cộng $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{2}} \\
{{u_2} – {u_1} = – \frac{1}{2} = d}
\end{array}} \right.$

Câu 15. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $1;2;4;8;$.

B. $3;{3^2};{3^3};{3^4};$.

C. $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4};$

D. $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}};$

Đáp án đúng là: D

Các đáp án $A,B,C$ đều là các cấp số nhân công bội lần lượt là $2,3,\frac{1}{2}$.

Xét đáp án D: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}}$

Ta có: $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$

Chọn D.

Câu 16. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 2$ và $q = – 5$. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A. $ – 2;10;50; – 250$.

B. $ – 2;10; – 50;250$.

C. $ – 2; – 10; – 50; – 250$.

D. $ – 2;10;50;250$.

Đáp án đúng là: $B$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{q = – 5}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{{u_2} = {u_1}q = 10} \\
{{u_3} = {u_2}q = – 50} \\
{{u_4} = {u_3}q = 250}
\end{array}} \right.} \right.$

Chọn B.

Câu 17. Bảng thống kê sau cho biết tốc độ $\left( {km/h} \right)$ của một số xe máy khi đi qua vị trí có cảnh sát giao thông đang làm nhiệm vụ.

Quan sát mẫu số liệu trên và cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Số xe được đo tốc độ là 100 xe.

B. Mẫu số liệu đã cho gồm 5 nhóm có độ dài bằng nhau.

C. Tổng độ dài các nhóm là 80 .

D. Số xe máy thuộc nhóm $\left[ {60;70} \right)$ là ít nhất.

Đáp án đúng là: $C$

Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta thấy:

Số xe được đo tốc độ xe là: $27 + 70 + 8 + 3 + 1 + 1 = 110$ (xe) nên đáp án A sai.

Mẫu số liệu đã cho gồm có 6 nhóm nên đáp án B sai.

Tổng độ dài của các nhóm $100 – 20 = 80$ nên đáp án $C$ đúng.

Số xe máy thuộc nhóm $\left[ {60;70} \right)$ không phải là ít nhất nên đáp án D sai.

Câu 18. Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 10 trường THPT Lý Thường Kiệt, ta được kết quả:

Số học sinh có chiều cao từ $156\;cm$ trở lên là

A. 37 .

B. 77 .

C. 12 .

D. 25 .

Đáp án đúng là: $A$

Số học sinh có chiều cao từ $156\;cm$ trở lên là

$25 + 8 + 3 + 1 = 37\;$(học sinh)

Câu 19. Cho bảng phân phối tần số ghép lớp:

Mệnh đề nào sau đúng là

A. Giá trị đại diện của lớp $\left[ {50;52} \right)$ là 53 .

B. Tần số của lớp $\left[ {58;60} \right)$ là 95 .

C. Tần số của lớp [52;54) là 35 .

D. Số 50 không phụ thuộc lớp [54;56).

Đáp án đúng là: D

Số 50 không nằm trong lớp $\left[ {54;56} \right)$ là mệnh đề đúng.

Câu 20. Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trong Câu 19 là

A. $\left[ {54;56} \right)$.

B. $\left[ {50;52} \right)$.

C. $\left[ {52;54} \right)$.

D. $\left[ {58;60} \right)$.

Đáp án đúng là: $A$

Tần số lớn nhất là 45 nên nhóm chứa mốt là $\left[ {54;56} \right)$.

Câu 21. Cho $cos\alpha = \frac{4}{5}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$. Tính $sin\alpha $.

A. $sin\alpha = \frac{1}{5}$.

B. $sin\alpha = – \frac{1}{5}$.

C. $sin\alpha = \frac{3}{5}$.

D. $sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có:

$si{n^2}\alpha = 1 – co{s^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$

Do $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $sin\alpha > 0$. Suy ra, $sin\alpha = \frac{3}{5}$.

Câu 22. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{sinx + sin2x + sin3x}}{{cosx + cos2x + cos3x}}$.

A. $A = tan6x$.

B. $A = tan3x$.

C. $A = tan2x$.

D. $A = tanx + tan2x + tan3x$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có:

$A = \frac{{sinx + sin2x + sin3x}}{{cosx + cos2x + cos3x}}$

$ = \frac{{\left( {sinx + sin3x} \right) + sin2x}}{{\left( {cosx + cos3x} \right) + cos2x}}$

$\; = \frac{{2sin2x \cdot cosx + sin2x}}{{2cos2x \cdot cosx + cos2x}}$

$ = \frac{{sin2x\left( {2cosx + 1} \right)}}{{cos2x\left( {2cosx + 1} \right)}} = tan2x$

Câu 23. Cho $sina = \frac{3}{5},\frac{\pi }{2} < a < \pi $. Tính giá trị biểu thức $M = sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$.

A. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

B. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

C. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

D. $M = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có $co{s^2}a = 1 – si{n^2}a = \frac{{16}}{{25}}$

Do $\frac{\pi }{2} < a < \pi \Rightarrow cosa < 0 \Rightarrow cosa = – \frac{4}{5}$

Khi đó $M = sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {sina + cosa} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

Câu 24. Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = 1 – 2\left| {cos3x} \right|$.

A. ${\;^{M = 3,m = – 1}}$.

B. $M = 0,m = – 2$.

C. $M = 1,m = – 1$.

D. $M = 2,m = – 2$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Ta có $ – 1 \leqslant cos3x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \left| {cos3x} \right| \leqslant 1 \Rightarrow 1 \geqslant 1 – 2\left| {cos3x} \right| \geqslant – 1$

Vậy $M = 1,m = – 1$.

Câu 25. Hàm số $f\left( x \right) = 2023sin3x$ tuần hoàn với chu kì bằng

A. $2\pi $.

B. $2023\pi $.

C. $\frac{{2\pi }}{{2023}}$.

D. $\frac{{2\pi }}{3}$.

Đáp án đúng là: $D$

Hàm số $y = a\sin \left( {\omega x + b} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$

Suy ra hàm số $f\left( x \right) = 2023sin3x$ tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 3 \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}$.

Câu 26. Tất cả nghiệm của phương trình $sin\left( {x – \frac{\pi }{5}} \right) = sin\frac{{2\pi }}{5}$ là

A. $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \;\mathbb{Z}$

B. $x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi $ và $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

D. $x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi $ và $x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi ,k \in \;\mathbb{Z}\;$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $sin\left( {x – \frac{\pi }{5}} \right) = sin\frac{{2\pi }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x – \frac{\pi }{5} = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \hfill \\
x – \frac{\pi }{5} = \pi – \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \frac{{3\pi }}{5} + k2\pi \hfill \\
x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi \; \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Câu 27. Phương trình $sinx = cosx$ có số nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ là

A. 3 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 4 .

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $sinx = cosx \Leftrightarrow \sqrt 2 sin\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Trong $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ phương trình có hai nghiệm.

Câu 28. Biết năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là $1,2,2,4,8,32$. Tìm một công thức truy hồi của dãy số trên.

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}}.{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = 2 \cdot {u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = 4{u_n} – 2n}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} – 2{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

Đáp án đúng là: A

• Xét công thức $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} \cdot {u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

Ta có: ${u_3} = {u_2} \cdot {u_1} = 2;{u_4} = {u_3} \cdot {u_2} = 4;{u_5} = {u_4} \cdot {u_3} = 8;{u_6} = {u_5} \cdot {u_4} = 32$. Công thức thỏa mãn.

• Xét công thức .

Ta có: ${u_2} = 2 \cdot {u_1} = 2;{u_3} = 2 \cdot {u_2} = 4$. Công thức không thỏa mãn.

• Xét công thức $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = 4{u_n} – 2n}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$

Ta có: ${u_2} = 4{u_1} – 2 = 2;{u_3} = 4{u_2} – 2 \cdot 2 = 4$. Công thức không thỏa mãn.

• Xét công thức $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1;{u_2} = 2} \\
{{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} – 2{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$.

Ta có: ${u_3} = 2{u_2} – 2{u_1} = 2;{u_4} = 2{u_3} – 2{u_2} = 0$. Công thức không thỏa mãn.

Câu 29. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = 3 + {u_n}}
\end{array},\forall n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}} \right.$. Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left( {{u_n}} \right)$.

A. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

B. ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

C. ${u_n} = {3^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

D. ${u_n} = {2^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Đáp án đúng là: $A$

Vì dãy số đã cho có 5 số hạng nên loại đáp án $B$ và $C$.

• Xét ${u_n} = {2^n}$. Ta có: ${u_1} = 2;{u_2} = 4$ suy ra ${u_2} = 2 + {u_1}$ không thỏa mãn công thức đã cho.

• Xét ${u_n} = 3n – 1$ với $n \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$.

Ta có: ${u_1} = 2;{u_2} = 5 = 3 + {u_1};{u_3} = 8 = 3 + {u_2};{u_4} = 11 = 3 + {u_3};{u_5} = 14 = 3 + {u_4}$ thỏa mãn công thức đã cho.

Câu 30. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 5,{u_{10}} = 15$. Khi đó ${u_7}$ bằng

A. ${u_7} = 12$.

B. ${u_7} = 8$.

C. ${u_7} = 7$.

D. ${u_7} = 9$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_5} = 5} \\
{{u_{10}} = 15}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} + 4d = 5} \\
{{u_1} + 9d = 15}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = – 3} \\
{d = 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy ${u_7} = {u_1} + 6d = – 3 + 6.2 = 9$.

Câu 31. Tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng $1; – 1; – 3; \ldots $ bằng -9800.

A. 100 .

B. 99 .

C. 101 .

D. 98 .

Đáp án đúng là: A

Công sai của cấp số cộng $1; – 1; – 3; \ldots $ là $d = – 1 – 1 = – 2$.

Gọi ${S_n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số cộng $1; – 1; – 3; \ldots $ bằng -9800 .

Ta có:

${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] \Leftrightarrow – 9800 = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n – 1} \right) \cdot \left( { – 2} \right)} \right]$

$ \Leftrightarrow 2{n^2} – 4n – 19600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 100\left( n \right)} \\
{n = – 98\left( l \right)}
\end{array}} \right.$

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng -9800 .

Câu 32. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $x;12;y;192$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $x = 1;y = 144$.

B. $x = 2;y = 72$.

C. $x = 3;y = 48$.

D. $x = 4;y = 36$.

Đáp án đúng là: $C$

Cấp số nhân:

$x;12;y;192 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{12}}{x} = \frac{y}{{12}}} \\
{\frac{y}{{12}} = \frac{{192}}{y}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{144}}{y}} \\
{{y^2} = 2304}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm 3} \\
{y = \pm 48}
\end{array}.} \right.} \right.$

Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $3;9;27;81; \ldots $. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số nhân đã cho.

A. ${u_n} = {3^{n – 1}}$.

B. ${u_n} = {3^n}$.

C. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.

D. ${u_n} = 3 + {3^n}$.

Đáp án đúng là: $B$

Cấp số nhân

$3;9;27;81; \ldots \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{q = \frac{9}{3} = 3}
\end{array} \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {{3.3}^{n – 1}} = {3^n}} \right.$

Câu 34. Tìm hiểu thời gian chạy cự li $1000\;m$ (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:

Thời gian (giây) chạy trung bình cự li $1000\;m$ của các bạn học sinh là

A. 130,35 .

B. 131,03 .

C. 130,4 .

D. ${\;^{132,5}}$.

Đáp án đúng là: $A$ Tổng số bạn học sinh được đo thời gian chạy là: $3 + 7 + 15 + 10$ + $5 = 40$ (bạn).

Thời gian chạy trung bình cự li $1000\;m$ của các bạn học sinh là

$\overline x = \frac{{126.3 + 128.7 + 130.15 + 132 \cdot 10 + 134.5}}{{40}} = 130,35$

Câu 35. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong Câu 34 là
A. ${M_e} = \frac{{392}}{3}$.

B. ${M_e} = \frac{{394}}{3}$.

C. ${M_e} = \frac{{391}}{3}$.

D. ${M_e} = \frac{{395}}{3}$.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Cỡ mẫu: $n = 40$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{40}}$ là thời gian chạy trung bình cự li $1000\;m$ của các bạn học sinh và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}$.

Do ${x_{20}},{x_{21}}$ thuộc nhóm $\left[ {129;131} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị. Do đó:

$p = 3,{a_3} = 129,{m_3} = 15,{m_1} + {m_2} = 10,{a_4} – {a_3} = 2$.

Trung vị của mẫu là: ${M_e} = 129 + \frac{{\frac{{40}}{2} – 10}}{{15}} \cdot 2 = \frac{{391}}{3}$.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1 điểm) Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt {2si{n^2}x + 4sinxcosx – \left( {3 + 2m} \right)co{s^2}x + 2} $ xác định với mọi $x$.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi $x$

$ \Leftrightarrow 2si{n^2}x + 4sinxcosx – \left( {3 + 2m} \right)co{s^2}x + 2 \geqslant 0\;\forall x \in \;\mathbb{R}$

$ + \;)\,cosx = 0 \Rightarrow \left( 1 \right)$ đúng

+) $cosx \ne 0$, khi đó ta có: (1) $ \Leftrightarrow 2ta{n^2}x + 4tanx – \left( {3 + 2m} \right) + 2\left( {1 + ta{n^2}x} \right) \geqslant 0$

$ \Leftrightarrow 4ta{n^2}x + 4tanx \geqslant 1 + 2m\;\forall x \in \;\mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow {(2tanx + 1)^2} \geqslant 2 + 2m\;\forall x \in \;\mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow 2 + 2m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant – 1$

Vậy $m \leqslant – 1$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2. (1 điểm) Một hãng taxi áp dụng mức giá đối với khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: Mỗi bậc áp dụng cho $10\;km$. Bậc 1 (áp dụng cho $10\;km$ đầu) có giá trị 10000 đồng $/1\;km$, giá mỗi $km$ ở các bậc tiếp theo giảm $5\% $ so với giá của bậc trước đó. Bạn An thuê hãng taxi đó để đi quãng đường $114\;km$, nhưng khi đi được $50\;km$ thì bạn Bình đi chung hết quãng đường còn lại. Tính số tiền mà bạn An phải trả, biết rằng mức giá áp dụng từ lúc xe xuất phát và số tiền trên quãng đường đi chung bạn An chỉ phải trả $20\% $ (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Lời giải

$10\;km$ đầu, giá ${T_0} = 10000$ đồng cho mỗi km.

$10\;km$ thứ hai (từ km thứ 11 đến 20 ), giá $95\% \cdot {T_0} = 0,95{T_0}$ đồng cho mỗi km.

$10\;km$ thứ ba (từ km thứ 21 đến 30 ), giá $0,{95^2} \cdot {T_0}$ đồng cho mỗi km.

$10\;km$ thứ 11 (từ $km$ thứ 101 đến110), giá $0,{95^{10}} \cdot {T_0}$ đồng cho mỗi km.

$10\;km$ thứ 12 (từ km thứ 111 đến 114 ), giá $0,{95^{11}}{T_0}$ đồng cho mỗi km.

Số tiền bạn An phải trả $50\;km$ đầu là

$10 \cdot {T_0} + 0,95 \cdot 10 \cdot {T_0} + 0,{95^2} \cdot 10 \cdot {T_0} + 0,{95^3} \cdot 10 \cdot {T_0} + 0,{95^4} \cdot 10 \cdot {T_0}$

$ = 10{T_0} \cdot \frac{{1 – 0,{{95}^5}}}{{1 – 0,95}} = 200 \cdot {T_0}\left( {1 – 0,{{95}^5}} \right) = {A_1}$.

Số tiền bạn An phải trả cho quãng đường chung là

$20\% \left( {0,{{95}^5} \cdot 10{T_0} + \ldots + 0,{{95}^{10}} \cdot 10{T_0} + 0,{{95}^{11}} \cdot 4{T_0}} \right)$

$ = 2{T_0} \cdot 0,{95^5} \cdot \frac{{1 – 0,{{95}^6}}}{{1 – 0,95}} + 0,8 \cdot 0,{95^{11}} \cdot {T_0} = 40{T_0} \cdot 0,{95^5}\left( {1 – 0,{{95}^6}} \right) + 0,8 \cdot 0,{95^{11}} \cdot {T_0} = {A_2}$

Vậy số tiền bạn An cần trả là ${A_1} + {A_2} \approx 539000$ (đồng).

Bài 3. (1 điểm) Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Hãy cho biết ngưỡng thời gian để xác định $25\% $ học sinh hoàn thành bài tập với thời gian lâu nhất.

Lời giải:

Cỡ mẫu: $n = 2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là thời gian hoàn thành bài tập của 20 học sinh được điều tra và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$. Do ${x_{15}},{x_{16}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {12;16} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$.

Do đó: $p = 4,{a_4} = 12,{m_4} = 4,{m_1} + {m_2} + {m_3} = 2 + 4 + 7 = 13,{a_5} – {a_4} = 4$.

Ta có: ${Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} – 13}}{4}.4 = 14$.

Vậy ngưỡng thời gian cần tìm là 14 phút.