Đề Thi Giữa Học Kỳ 1 Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề thi giữa học kỳ 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trên đường tròn lượng giác gốc $A$, cho góc lượng giác $\left( {OA;OM} \right)$ có số đo $\alpha = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$. Điểm cuối $\;M$ nằm ở góc phần tư nào trong các phần tư sau đây?
A. thứ tư $\left( {IV} \right)$.
B. thứ hai $\left( {II} \right)$.
C. thứ ba $\left( {III} \right)$.
D. thứ nhất $\left( I \right)$.

Câu 2. Trên đường tròn định hướng gốc $A\left( {1;0} \right)$ có bao nhiêu điểm $\;M$ thỏa mãn $\left( {OA;OM} \right) = {30^ \circ } + k{45^ \circ },k \in \mathbb{Z}$ ?
A. 10 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 8 .

Câu 3. Cho $3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $sin\alpha < 0$.
B. $cos\alpha > 0$.
C. $tan\alpha < 0$.
D. $cot\alpha < 0$.

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của $M = si{n^6}x + co{s^6}x$ là
A. 0 .
B. $\frac{1}{4}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. 1 .

Câu 5. Biểu thức $sinxcosy – cosxsiny$ bằng
A. $cos\left( {x – y} \right)$.
B. $cos\left( {x + y} \right)$.
C. $sin\left( {x – y} \right)$.
D. $sin\left( {y – x} \right)$.

Câu 6. Một tam giác $ABC$ có các góc $A,B,C$ thỏa mãn $sin\frac{A}{2}co{s^3}\frac{B}{2} – sin\frac{B}{2}co{s^3}\frac{A}{2} = 0$ thì tam giác đó có gì đặc biệt?
A. Tam giác đó vuông.
B. Tam giác đó đều.
C. Tam giác đó cân.
D. Không có gì đặc biệt.

Câu 7. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {1 – sinx} }}$.
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
D. $D = \mathbb{R}$.

Câu 8. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. $y = 2x + cosx$.
B. $y = cos3x$.
C. $y = {x^2}cos\left( {x + 3} \right)$.
D. $y = \frac{{cosx}}{{{x^3}}}$.

Câu 9. Tất cả các nghiệm của phương trình $tanx = m\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$. là
A. $x = arctanm + k\pi $ hoặc $x = \pi – arctanm + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \pm arctanm + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = arctanm + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = arctanm + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 10. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình $sin4x\left( {2cosx – \sqrt 2 } \right) = 0$ trên đường tròn lượng giác là
A. 4 .
B. 6 .
C. 8 .
D. 10 .

Câu 11. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {2^n}$. Tìm số hạng ${u_{n + 1}}$.
A. ${u_{n + 1}} = {2^n} \cdot 2$.
B. ${u_{n + 1}} = {2^n} + 1$.
C. ${u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right)$.
D. ${u_{n + 1}} = {2^n} + 2$.

Câu 12. Cho tổng: ${S_n} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Tìm ${S_{100}}$.
A. 10201 .
B. 10000 .
C. 10200 .
D. 10202 .

Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. ${u_n} = 3{n^2} + 2023$.
B. ${u_n} = 3n + 2024$.
C. ${u_n} = {3^n}$.
D. ${u_n} = {( – 3)^n}$.

Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 5;d = 2$. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 100 .
B. 50 .
C. 75 .
D. 44 .

Câu 15. Dãy số sau đây là một cấp số nhân?
A. $1;2;3;4; \ldots $.
B. $2;4;8;16; \ldots $.
C. $1;3;5;7; \ldots $.
D. $2;4;6;8; \ldots $.

Câu 16. Cho cấp số nhân biết $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{{u_{n + 1}} = 3{u_n}}
\end{array},\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right.$. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.
A. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.
B. ${u_n} = {n^{n + 1}}$.
C. ${u_n} = {3^n}$.
D. ${u_n} = {3^{n – 1}}$.

Câu 17. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có điều kiện nào sau đây?
A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
B. Ba điểm mà nó đi qua.
C. Ba điểm không thẳng hàng.
D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Câu 18. Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ giao nhau tại $O$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Trên đoạn $SC$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C$. Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là
A. giao điểm của $SD$ và $BK$.
B. giao điểm của $SD$ và $AM$.
C. giao điểm của $SD$ và $AB$.
D. giao điểm của $SD$ và $MK$.

Câu 19. Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,b,c$, biết $a//b,a$ và $\;c$ chéo nhau. Khi đó, hai đường thẳng $b$ và $c$
A. trùng nhau hoặc chéo nhau.
B. cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. chéo nhau hoặc song song.
D. song song hoặc trùng nhau.

Câu 20. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM = 3MC,N$ là giao điểm của $SD$ và $\left( {MAB} \right)$. Khi đó, hai đường thẳng $CD$ và $MN$ là hai đường thẳng
A. cắt nhau.
B. song song.
C. chéo nhau.
D. có hai điểm chung.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. Giải phương trình:
a) $cot\frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 $;
b) $sin\left( {\pi – x} \right) – cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = 0$.
Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số $\;({u_n})$ biết ${u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình bình hành tâm $O$. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD$.
a) Tìm giao điểm $J$ của $SA$ với $\left( {CKB} \right)$.
b) Tìm giao tuyến của $\left( {OIA} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.
c) Chứng minh $DC//\left( {IJK} \right)$.

Bài 4. Từ độ cao 55,8 $m$ của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{{10}}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Hỏi tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là bao nhiêu?

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Bảng đáp án trắc nghiệm

1	2	3	4	5
C	D	A	B	C
6	7	8	9	10
C	A	D	D	C
11	12	13	14	15
A	A	B	D	B
16	17	18	19	20
C	C	A	B	B

Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: $C$

Theo định nghĩa, ta có số ${360^ \circ }$. đo cung lượng giác $AM$ bằng số đo góc $\alpha $ nên điểm cuối $M$ nằm ở góc phần tư thứ ba $\left( {III} \right)$.

Câu 2.

Đáp án đúng là: D

Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn các góc có số đo ${30^ \circ } + k{45^ \circ }$, trong khoảng ${0^ \circ }$ đến ${360^ \circ }$.

Có 8 điểm $M$ biểu diễn.

Câu 3.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có $3\pi < \alpha < \frac{{10\pi }}{3} \Leftrightarrow 2\pi + \pi < \alpha < 2\pi + \pi + \frac{\pi }{3}$ nên thuộc cung phần tư thứ III.

Do đó $sin\alpha < 0$.

Câu 4.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $M = si{n^6}x + co{s^6}x = 1 – \frac{3}{4}si{n^2}2x \geqslant 1 – \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ bằng $\frac{1}{4}$. Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

Câu 5.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức cộng lượng giác ta có

$sinxcosy – cosxsiny = sin\left( {x – y} \right)$.

Câu 6.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $sin\frac{A}{2}co{s^3}\frac{B}{2} – sin\frac{B}{2}co{s^3}\frac{A}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow sin\frac{A}{2}co{s^3}\frac{B}{2} = sin\frac{B}{2}co{s^3}\frac{A}{2}$

$ \Leftrightarrow \frac{{sin\frac{A}{2}}}{{co{s^3}\frac{A}{2}}} = \frac{{sin\frac{B}{2}}}{{co{s^3}\frac{B}{2}}}$

$ \Leftrightarrow tan\frac{A}{2}\left( {1 + ta{n^2}\frac{A}{2}} \right) = tan\frac{B}{2}\left( {1 + ta{n^2}\frac{B}{2}} \right)$

$ \Leftrightarrow tan\frac{A}{2} = tan\frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{A}{2} = \frac{B}{2} \Leftrightarrow A = B$

Vậy tam giác $ABC$ cân.

Câu 7.

Đáp án đúng là: $A$

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 – sinx > 0 \Leftrightarrow sinx < 1.\left( * \right)$

Mà $sinx \leqslant 1,\,\forall x$nên $\left( * \right)$$ \Leftrightarrow sinx \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Câu 8.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{cosx}}{{{x^3}}}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$ là tập đối xứng.

Khi đó $f\left( { – x} \right) = \frac{{cos\left( { – x} \right)}}{{{{( – x)}^3}}} = – \frac{{cosx}}{{{x^3}}} = – f\left( x \right)$.

Do đó hàm số $y = \frac{{cosx}}{{{x^3}}}$ là hàm số lẻ.

Câu 9.

Đáp án đúng là: D

Ta có $tanx = m \Leftrightarrow x = arctanm + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 10.

Đáp án đúng là: $C$

$sin4x\left( {2cosx – \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{sin4x = 0} \\
{2cosx – \sqrt 2 = 0}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x = k\pi } \\
{cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{k\pi }}{4}} \\
{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).} \right.$

Vậy có 8 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Câu 11.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2^n} \cdot 2$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có ${S_{100}} = 1 + 3 + 5 + \cdots + 201$.

Suy ra $2{S_{100}} = \left( {1 + 201} \right) + \left( {3 + 199} \right) + \cdots + \left( {201 + 1} \right)$.

Vậy ${S_{100}} = \frac{{101\left( {201 + 1} \right)}}{2} = 10201$.

Câu 13.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có ${u_{n + 1}} – {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2024 – \left( {3n + 2024} \right) = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3$.

Vậy dãy số ${u_n} = 3n + 2024$ là cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Câu 14.

Đáp án đúng là: $D$

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = – 5 + \left( {n – 1} \right)2 \Leftrightarrow n = 44$.

Vậy 81 là số hạng thứ 44.

Câu 15.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $2;4;8;16; \cdots $ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 2$.

Câu 16.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có ${u_3}=3$ và $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3$.

Suy ra dãy số là cấp số nhân với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{q = 3}
\end{array}} \right.$.

Do đó ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}} = 3 \cdot {3^{n – 1}} = {3^n}$.

Câu 17.

Đáp án đúng là: $C$

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu có ba điểm không thẳng hàng.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ có $SO \cap AM = K$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, kéo dài $BK$ cắt $SD$ tại $N$.

Do đó $\;N$ giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

Vậy giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là giao điểm của $SD$ và $BK$.

Câu 19.

Đáp án đúng là: $B$

Nếu $b//c$ thì $c//a$.

Câu 20.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \\
{AB \subset \left( {MAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)} \\
{AB//CD}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ với $Mx//CD//AB$.

Gọi $N = Mx \cap SD$ trong $\left( {SCD} \right)$ nên $N = SD \cap \left( {MAB} \right)$.

Vậy $CD$ song song $MN$.

Giải chi tiết tự luận

Bài 1.

a) $cot\frac{{2x}}{3} = \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\frac{{2x}}{3} = cot\frac{\pi }{6}$
$ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k3\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b)

$sin\left( {\pi – x} \right) – cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow sinx – sin2x = 0 \Leftrightarrow sin2x = sinx$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = x + k2\pi } \\
{2x = \pi – x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Bài 2.

Xét $\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{\left( {k – 1} \right)k}} = \frac{1}{{k – 1}} – \frac{1}{k},\forall k \geqslant 2$

Suy ra ${u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}$

$ < \frac{1}{2} + \left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\frac{1}{{n – 1}} – \frac{1}{n}} \right) = \frac{3}{2} – \frac{1}{n} < \frac{3}{2}$.

$ \Rightarrow 0 < {u_n} < \frac{3}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Bài 3.

a) Tứ giác$ABCD$ là hình bình hành nên nên $AB//CD;AD//BC$.

Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AD//CB} \\
{AD \subset \left( {SAD} \right)} \\
{BC \subset \left( {SBC} \right)} \\
{K \in \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{Kx = \left( {KBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)} \\
{Kx//AD//BC}
\end{array}} \right.$

Trong $\left( {SAD} \right)$ gọi $J = Kx \cap SA$ có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{J \in SA} \\
{J \in Kx \subset \left( {BKC} \right)}
\end{array} \Rightarrow J = SA \cap \left( {BKC} \right)} \right.$

b) Ta có $OI$ là đường trung bình của $\vartriangle SBD \Rightarrow OI//SD$.

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OI//SD} \\
{OI \subset \left( {OIA} \right)} \\
{SD \subset \left( {SCD} \right)} \\
{C \in \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{Cy = \left( {OIA} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \\
{Cy//SD//OI}
\end{array}} \right.} \right.$

c) Ta có

• $IJ//AB$ ( $IJ$ là đường trung bình của $\vartriangle SAB$ )

• $AB//CD$ (tứ giác $ABCD$ là hình bình hành)

Do đó $CD//IJ$.

Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD//IJ\; \Rightarrow CD//\left( {IJK} \right)} \\
{CD \not\subset \left( {IJK} \right)} \\
{IJ \subset \left( {IJK} \right)}
\end{array}} \right.$

Bài 4. Gọi ${h_n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

${l_n}$ là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề bài, ta có ${h_1} = 55,8;{l_1} = \frac{1}{{10}} \cdot 55,8 = 5,58$ và các dãy số $\left( {{h_n}} \right),\left( {{l_n}} \right)$ là các cấp số

nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{{10}}$.

Từ đó suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:

$S = \frac{{{h_1}}}{{1 – \frac{1}{{10}}}} + \frac{{{l_1}}}{{1 – \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\left( {{h_1} + {l_1}} \right) = 68,2\left( {\;m} \right)$

Vậy tổng độ dài đường đi của quả bóng là $68,2\;m$.