Đề Kiểm Tra Giữa Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 3

Đề kiểm tra giữa học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 3 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Nếu một góc lượng giác có số đo là $\alpha = – {45^ \circ }$ thì số đo radian của nó là

A. $ – \frac{\pi }{2}$.

B. $ – \frac{\pi }{4}$.

C. $\frac{\pi }{4}$.

D. $\frac{\pi }{2}$.

Câu 2. Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha $ ở góc phần tư thứ mấy nếu $sin\alpha $, tan $\alpha $ trái dấu?

A. Thứ I.

B. Thứ II hoặc IV.

C. Thứ II hoặc III.

D. Thứ I hoặc IV.

Câu 3. Giả sử các biểu thức đều có nghĩa. Công thức nào sau đây là đúng?

A. $1 + co{t^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$

B. $1 + ta{n^2}x = – \frac{1}{{si{n^2}x}}$

C. $tanx \cdot cotx = – 1$.

D. $si{n^2}x + co{s^2}x = 1$.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên đường tròn lượng giác gọi điểm $M$ là điểm biểu diễn của góc $\alpha = \frac{\pi }{3}$. Lấy điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ. Khi đó $N$ là điểm biểu diễn của góc có số đo bằng bao nhiêu?

A. $ – \frac{\pi }{3}$.

B. $\frac{{2\pi }}{3}$

C. $\frac{\pi }{6}$

D. $\frac{{4\pi }}{3}$.

Câu 5. Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $sin\alpha + cos\alpha = \frac{5}{4}$. Giá trị của $P = sin\alpha \cdot cos\alpha $ là

A. $P = \frac{9}{{16}}$

B. $P = \frac{9}{{32}}$.

C. $P = \frac{9}{8}$

D. $P = \frac{1}{8}$.

Câu 6. Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ và $sin\alpha = \frac{4}{5}$. Giá trị của biểu thức $P = sin2\left( {\alpha + \pi } \right)$ là

A. $P = – \frac{{24}}{{25}}$

B. $P = \frac{{24}}{{25}}$.

C. ${\;^P} = – \frac{{12}}{{25}}$

D. $P = \frac{{12}}{{25}}$.

Câu 7. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {sinx} \right|$ đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

B. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = cosx$ đối xứng qua trục $Oy$.

C. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left| {tanx} \right|$ đối xứng qua trục $Oy$.

D. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = tanx$ đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

Câu 8. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định $D$ là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số $T$ khác 0 sao cho $\forall x \in D$ ta có $x + T \in D,x – T \in D$ và

A. $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$.

B. $f\left( {x + T} \right) = – f\left( x \right)$.

C. $f\left( {x + T} \right) = 2\pi f\left( x \right)$.

D. $f\left( {x + T} \right) = – 2\pi f\left( x \right)$.

Câu 9. Trong các hàm số $y = sinx,y = cosx,y = tanx,y = cotx$, có bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng ${\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)_{?\;}}$ ?

A. 0 .

B. 1.

C. 2.

D. 3 .

Câu 10. Tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {1 – sinx} }}$ là

A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$.

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\};$

C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}$.

D. $D = \emptyset $.

Câu 11. Tập giá trị $T$ của hàm số $y = \sqrt {7 – 3co{s^2}x} $ là

A. $T = \left[ {2;\sqrt {10} } \right]$.

B. $T = \left[ {2;\sqrt 7 } \right]$.

C. $T = \left[ {\sqrt 7 ;\sqrt {10} } \right]$.

D. $T = \left[ {0;1} \right]$.

Câu 12. Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai?

A. $cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B. $sinx = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C. $sinx = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. $sinx = – 1 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 13. Cho đồ thị hàm số $y = tanx$ trên $\left( { – \frac{{3\pi }}{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị của $x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thỏa mãn $tanx = 0$ ?

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 14. Phương trình $sin2x = sin3x$ có nghiệm là

A. $x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}$ .

B. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

C. $x = k2\pi $ và $x = \frac{\pi }{5} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$. .

D. $x = k2\pi $ và $x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}$.

Câu 15. Phương trình $cot3x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ có nghiệm là

A. $x = – \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

B. $x = – \frac{\pi }{9} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = – \frac{\pi }{9} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

D. $x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$

Câu 16. Với $n \in {\mathbb{N}^*}$, cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ các số tự nhiên chia hết cho $3:0,3,6,9, \ldots $ Số hạng đầu tiên của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là

A. ${u_1} = 6$.

B. ${u_1} = 0$.

C. ${u_1} = 3$.

D. ${u_1} = 9$.

Câu 17. Với $n \in {\mathbb{N}^*}$, trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào là dãy số giảm ?

A. ${u_n} = \frac{1}{n}$

B. ${u_n} = {n^2}$

C. ${u_n} = {( – 3)^n}$.

D. ${u_n} = {n^2} – 6n + 3$.

Câu 18. Với $n \in {\mathbb{N}^*}$, cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm tất cả các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là

A. ${u_n} = \frac{{3n}}{2}$

B. ${u_n} = 1 + \frac{2}{n}$

C. ${u_n} = 3n – 2$.

D. ${u_n} = 3n + 2$.

Câu 19. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2$ và ${u_2} = 8$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. -6 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 10 .

Câu 20. Cho cấp số cộng có ${u_1} = – 3$ và $d = \frac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right)$

B. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{4}\left( {n + 1} \right)$.

C. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)$.

D. ${u_n} = – 3 + \frac{1}{4}\left( {n – 1} \right)$.

Câu 21. Bà chủ quán trà sữa $X$ muốn trang trí cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên? (hình ảnh dưới đây là hình ảnh minh họa hàng gạch dưới cùng có 5 viên)

A. 25250 .

B. 250500 .

C. 12550 .

D. 125250 .

Câu 22. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểm $A,B,C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $A,B,C$ thẳng hàng.

B. Nếu $A,B,C$ thẳng hàng và $\left( P \right),\left( Q \right)$ có điểm chung là $A$, thì $B,C$ cũng là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

C. Nếu 3 điểm $A,B,C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt thì $A,B,C$ không thẳng hàng.

D. Nếu $A,B,C$ thẳng hàng và $A,B$ là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $C$ cũng là điểm chung của $(P)$ và $(Q)$.

Câu 23. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ là

A. $AB$.

B. $AC$.

C. $BC$.

D. $AD$.

Câu 24. Một hình chóp có đáy là ngũ giác thì số cạnh của hình chóp là

A. 5 cạnh.

B. 6 cạnh.

C. 9 cạnh.

D. 10 cạnh.

Câu 25. Khẳng định nào sau đây là đúng về hình tứ diện đều?

A. Mặt đáy là hình thoi.

B. Mặt đáy là hình vuông.

C. Mặt bên là tam giác cân.

D. Mặt bên luôn là tam giác đều.

Câu 26. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD;G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là

A. Điểm $F$.

B. Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF$.

C. Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC$.

D. Giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD$.

Câu 27. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. $I,A,C$.

B. $I,B,D$.

C. $\;I,A,B$.

D. $\;I,C,D$.

Câu 28. Cho đường thẳng $a$ chứa trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Có bao nhiêu đường thẳng chứa trong $\left( P \right)$ và song song với đường thẳng $a$ ?

A. 0 .

B. 1 .

C. 2.

D. Vô số.

Câu 29. Trong không gian cho các mệnh đề sau:

(I) Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì song song với nhau.

(II) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

(III) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau.

(IV) Qua điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$, kẻ được đúng một đường thẳng song song với $d$.

Số mệnh đề đúng là

A. 0 .

B. 1.

C. 2.

D. 3 .

Câu 30. Trong không gian, cho ba đường thẳng $a,b,c$. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Nếu $a$ và $b$ không cắt nhau thì $a$ và $b$ song song.

B. Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.

C. Nếu $a$ và $b$ cùng chéo nhau với $c$ thì $a$ song song với $b$.

$D$. Nếu $a$ và $b$ cắt nhau, $b$ và $c$ cắt nhau thì $a$ và $c$ cắt nhau.

Câu 31. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SIJ} \right)$ là một đường thẳng song song với

A. đường thẳng $AD$.

B. đường thẳng $AB$.

C. đường thẳng $AC$.

D. đường thẳng $BD$.

Câu 32. Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Nếu mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ và $a$ là hai đường thẳng

A. cắt nhau.

B. trùng nhau.

C. chéo nhau.

D. song song với nhau.

Câu 33. Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\left( P \right)$ song song với $a$ thì $\left( P \right)$ cũng song song với $b$.

B. Nếu $\left( P \right)$ cắt $a$ thì $\left( P \right)$ cũng cắt $b$.

C. Nếu $\left( P \right)$ chứa $a$ thì $\left( P \right)$ cũng chứa $b$.

D. Nếu $\left( P \right)$ chứa $a$ thì $\left( P \right)$ song song với $b$.

Câu 34. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình bình hành. Các điểm $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác và $SAB$ và $SAD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. $IJ//\left( {SCD} \right)$.

B. $IJ//\left( {SBM} \right)$.

C. $IJ//\left( {SBD} \right)$.

D. $IJ//\left( {SBC} \right)$.

Câu 35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ và $I$ là trung điểm của $AB$. Lấy điểm $M$ trên đoạn $AD$ sao cho $AD = 3AM$. Đường thẳng qua $M$ và song song với $AB$ cắt $CI$ tại $J$. Đường thẳng $GJ$ không song song với mặt phẳng dưới đây?

A. $\left( {SCD} \right)$.

B. $\left( {SBC} \right)$.

C. $\left( {SAC} \right)$.

D. $\left( {SAD} \right)$.

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác:

a) $sinx + \sqrt 3 cosx = \sqrt 2 $.

b) $\frac{1}{{co{s^2}x}} + 3co{t^2}x = 5$.

Bài 2. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua trung điểm $M$ của cạnh $SB$, song song với cạnh $AB$ và cắt các cạnh $SA,SD$, $SC$ lần lượt tại các điểm $Q,P,N$. Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Bài 3. (1,0 điểm) Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $A$ trong ngày thứ $t$ của năm 2023 (có 365 ngày) được cho bởi một hàm số $y = 4sin\left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t – 60} \right)} \right] + 10$, với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \leqslant 365$. Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Bảng đáp án trắc nghiệm:

1	2	3	4	5	6	7
B	C	D	D	B	A	A
8	9	10	11	12	13	14
A	C	C	B	A	B	D
15	16	17	18	19	20	21
D	B	A	D	C	C	D
22	23	24	25	26	27	28
D	B	D	D	B	B	D
29	30	31	32	33	34	35
B	B	C	D	B	C	D

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: $\alpha = – {45^ \circ } = – \frac{{45\pi }}{{180}}rad = – \frac{\pi }{4}rad$

Câu 2.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$

Nếu $sin\alpha ,tan\alpha $ trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha $ ở góc phần tư thứ II hoặc III.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$1 + co{t^2}x = \frac{1}{{si{n^2}x}}$ nên phương án A sai.

$1 + ta{n^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$ nên phương án $B$ sai.

$tanx \cdot cotx = 1$ nên phương án $D$ sai.

Câu 4.

Đáp án đúng là: D

Điểm $N$ là điểm biểu diễn của góc $\beta $ trên đường tròn lượng giác, do điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ nên $\beta = \alpha + \pi = \frac{\pi }{3} + \pi = \frac{{4\pi }}{3}$.

Câu 5.

Đáp án đúng là: $B$

Từ giả thiết, ta có ${(sin\alpha + cos\alpha )^2} = \frac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow 1 + 2sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{{25}}{{16}}$

$ \Rightarrow P = sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{9}{{32}}$.

Câu 6.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có $P = sin2\left( {\alpha + \pi } \right) = sin\left( {2\alpha + 2\pi } \right) = sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha $.

Từ hệ thức $si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$, suy ra $cos\alpha = \pm \sqrt {1 – si{n^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}$.

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên ta chọn $cos\alpha = – \frac{3}{5}$.

Thay $sin\alpha = \frac{4}{5}$ và $cos\alpha = – \frac{3}{5}$ vào $P$, ta được $P = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left( { – \frac{3}{5}} \right) = – \frac{{24}}{{25}}$.

Câu 7.

Đáp án đúng là: $A$

Với $\forall x \in \mathbb{R}$ thì $ – x \in \mathbb{R}$ và $f( – x) = \left| {\sin ( – x)} \right| = \left| { – \sin x} \right| = \left| {\sin x} \right| = f(x)$

Nên $f(x) = \left| {\sin x} \right|$ là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$.

Do đó phương án $A$ là sai.

Câu 8.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{A}}$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định $D$ là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số $T$ khác 0 sao cho $\forall x \in D$ ta có $x + T \in D,x – T \in D$ và $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$.

Câu 9.

Đáp án đúng là: $C$

Các hàm số $y = sinx,y = tanx$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Các hàm số $y = cosx,y = cotx$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 10.

Đáp án đúng là: $C$

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1 – sinx > 0 \Leftrightarrow sinx < 1\;\left( * \right)$

Mà $ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1$ nên $\left( * \right) \Leftrightarrow sinx \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$.

Vậy tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z} \right\}$.

Câu 11.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $ – 1 \leqslant cosx \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant co{s^2}x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \geqslant – 3co{s^2}x \geqslant – 3$

$ \Leftrightarrow 4 \leqslant 7 – 3co{s^2}x \leqslant 7 \Leftrightarrow 2 \leqslant \sqrt {7 – 3co{s^2}x} \leqslant \sqrt 7 $.

Vậy tập giá trị của hàm số là $T = \left[ {2;\sqrt 7 } \right]$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có: $cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Q}} \right)$.

Câu 13.

Đáp án đúng là: $B$

Quan sát đồ thị $y = tanx$ ta thấy $tanx = 0$ với $x = 0 \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 14.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$sin2x = sin3x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x = 2x + k2\pi } \\
{3x = \pi – 2x + k2\pi }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k2\pi } \\
{x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\;}
\end{array}} \right.} \right.$

Câu 15.

Đáp án đúng là: D

Ta có $cot3x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow 3x = – \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Câu 16.

Đáp án đúng là: $B$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu tiên là ${u_1} = 0$.

Câu 17.

Đáp án đúng là: $A$

Với ${u_n} = {n^2} – 6n + 3$ thì ${u_1} = – 2,{u_2} = – 5,{u_3} = – 6,{u_4} = – 5$ suy ra ${u_2} > {u_3} < {u_4}$ nên đây là dãy số không tăng, không giảm.

Với ${u_n} = {n^2}$ thì nên đây là dãy số tăng.

Với ${u_n} = {( – 3)^n}$ thì ${u_1} = – 3,{u_2} = 9,{u_3} = – 27$ suy ra ${u_1}\left\langle {{u_2}} \right\rangle {u_3}$ nên đây là dãy số không tăng, không giảm

Với ${u_n} = \frac{1}{n}$ thì ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} – \frac{1}{n} = \frac{{n – \left( {n + 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = – \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0\;\forall n \in {\mathbb{Q}^*}$ nên đây là dãy số giảm.

Câu 18.

Đáp án đúng là: $D$

Các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần là $5,8,11,14, \ldots $

Ta có $5 = 3.1 + 2,8 = 3.2 + 2,11 = 3.3 + 2,14 = 3.4 + 2, \ldots $

Vậy ${u_n} = 3n + 2$.

Câu 19.

Đáp án đúng là: $C$

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng nên ta có ${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow d = {u_2} – {u_1} = 8 – 2 = 6$.

Câu 20.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có ${u_1} = – 3$ và $d = \frac{1}{2}$ nên ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = – 3 + \frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)$.

Câu 21.

Đáp án đúng là: D

Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng: $500;499;498;..;2;1$.

Khi đó tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng:

${S_{500}} = \frac{{\left( {500 + 1} \right) \cdot 500}}{2} = 501.250 = 125250$ (viên).

Câu 22.

Đáp án đúng là: $D$

• Phương án A sai. Nếu $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận $A,B,C$ thẳng hàng

• Phương án $B$ sai. Có vô số đường thẳng đi qua $A$, khi đó $B,C$ chưa chắc đã thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

• Phương án $C$ sai. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 1 điểm $A,B,C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì $A,B,C$ cùng thuộc giao tuyến.

Câu 23.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có: $A \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ và $C \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ nên $AC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right)$.

Câu 24.

Đáp án đúng là: D

Một hình chóp có đáy là ngũ giác thì số cạnh đáy và số bên đều là 5 .

Vậy có tất cả 10 cạnh.

Câu 25.

Đáp án đúng là: $D$

Tứ diện đều có tất cả các mặt đều là hình tam giác đều.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 26.

Đáp án đúng là: $B$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,F$ là trung điểm của $CD \Rightarrow G \in \left( {ABF} \right)$.

Ta có $E$ là trung điểm của $AB \Rightarrow E \in \left( {ABF} \right)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $EG$ và $AF$ mà $AF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $M \in \left( {ACD} \right)$.

Vậy giao điểm của $EG$ và $mp\left( {ACD} \right)$ là giao điểm $M = EG \cap AF$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: $B$

Ta có $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$.

Lại có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in MP \subset \left( {ABD} \right)} \\
{I \in NQ \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow I} \right.$ thuộc giao tuyến của $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$

$ \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I,B,D$ thẳng hàng.

Câu 28.

Đáp án đúng là: $D$

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ có vô số đường thẳng song song với $a$.

Câu 29.

Đáp án đúng là: $B$

Mệnh đề I sai vì hai đường thẳng có thể cắt nhau.

Mệnh đề II sai vì giao tuyến có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Mệnh đề III sai vì ba giao tuyến ấy có thể cắt nhau.

Do đó có 1 mệnh đề đúng là mệnh đề IV.

Câu 30.

Đáp án đúng là: $B$

Nếu $b$ và $c$ chéo nhau thì $b$ và $c$ không cùng thuộc một mặt phẳng.

Câu 31.

Đáp án đúng là: $C$

Xét hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SIJ} \right)$ ta có $S$ là điểm chung $IJ//AC$ (đường trung bình trong tam giác). Suy ta giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SIJ} \right)$ là một đường thẳng qua $S$ song song với $AC$.

Câu 32.

Đáp án đúng là: D

$a//\left( \alpha \right),a \subset \left( \beta \right),\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = b$ suy ra $a//b$.

Câu 33.

Đáp án đúng là: $B$

Vì $a//b$ nên nếu $\left( P \right)$ cắt $a$ thì $\left( P \right)$ cũng cắt $b$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: $C$

Gọi $N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$.

Ta có $\frac{{SI}}{{SN}} = \frac{{SJ}}{{SP}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IJ//NP$ mà $NP//BD$ suy ra $IJ//\left( {SBD} \right)$.

Câu 35.

Đáp án đúng là: D

Do $JM//AB$ nên ta có $\frac{{IJ}}{{IC}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}$ mà $\frac{{IG}}{{IS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IG}}{{IS}} = \frac{{IJ}}{{IC}}$ hay $GJ//SC$ (Định lí Thalès đảo).

Vì $SC \subset \left( {SCD} \right)$ và $GJ \not\subset \left( {SCD} \right)$ nên $GJ//\left( {SCD} \right)$.

Vì $SC \subset \left( {SAC} \right)$ và $GJ \not\subset \left( {SAC} \right)$ nên $GJ//\left( {SAC} \right)$.

Vì $SC \subset \left( {SBC} \right)$ và $GJ \not\subset \left( {SBC} \right)$ nên $GJ//\left( {SBC} \right)$.

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

a) $sinx + \sqrt 3 cosx = \sqrt 2 $

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}sinx + \frac{{\sqrt 3 }}{2}cosx = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x + \frac{\pi }{3} = \pi – \frac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array}\;k \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = – \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx \ne 0} \\
{cosx \ne 0}
\end{array} \Leftrightarrow sin2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$, ta có

$\frac{1}{{co{s^2}x}} + 3co{t^2}x = 5$ $ \Leftrightarrow 1 + ta{n^2}x + \frac{3}{{ta{n^2}x}} = 5$

$ \Leftrightarrow ta{n^4}x – 4ta{n^2}x + 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ta{n^2}x = 1} \\
{ta{n^2}x = 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{tanx = 1} \\
{tanx = – 1} \\
{tanx = \sqrt 3 } \\
{tanx = – \sqrt 3 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi } \\
{x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.} \right.$

(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Bài 2. (1,0 điểm)

Ta có $AB//\left( \alpha \right),M \in \left( \alpha \right)$ và $AB \subset \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ$, với $MQ//AB$ và $Q \in SA$

Lại có $CD//AB$ (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành).

$ \Rightarrow CD//MQ$

Mà $MQ \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow CD//\left( \alpha \right)$.

Mặt khác $\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = NP \Rightarrow CD//NP\left( 2 \right)$

Từ (1), (2), suy ra $MQ//NP$.

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Bài 3. (1,0 điểm)

Ta có $sin\left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t – 60} \right)} \right] \leqslant 1$ $ \Leftrightarrow 4sin\left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t – 60} \right)} \right] + 10 \leqslant 14$

$ \Leftrightarrow y \leqslant 14\left( * \right)$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $ Tìm $t$ để $y = 14$, với $0 < t \leqslant 365$.

Ta có dấu “=” của $\left( * \right)$ xảy ra khi và chỉ khi $sin\left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t – 60} \right)} \right] = 1\left( {**} \right)$

$ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t – 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow t – 60 = 89 + 356k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow t = 149 + 356k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $0 < t \leqslant 365$ nên $0 < 149 + 356k \leqslant 365$

$ \Leftrightarrow – \frac{{149}}{{356}} < k \leqslant \frac{{54}}{{89}}$.

Mà $k \in \;\mathbb{Z}\;$ nên $k = 0 \Rightarrow t = 149$

Vậy ngày 29 tháng 5 năm 2023 là ngày thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất.