Đề Thi Giữa Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 2

Đề thi giữa học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:

Câu 1. Một cung tròn có độ dài bằng bán kính. Khi đó số đo bằng radian của cung tròn đó là

A. 1.

B. 2.

C. $\pi $.

D. $2\pi $.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Cho góc lượng giác có tia đầu là $OA$ và số đo là $ – {135^ \circ }$. Tia cuối của góc lượng giác đã cho là tia nào sau đây?

A. $OM$;

B. $ON$;

C. $OP$;

D. $OQ$

Câu 3. Một góc lượng giác $\alpha $ có điểm cuối ở góc phần tư thứ II thì

A. $\left| {sin\alpha } \right| = – sin\alpha $;

B. $\sqrt {si{n^2}\alpha } = sin\alpha $;

C. $\sqrt {co{s^2}\alpha } = cos\alpha $;

D. $tan\alpha > 0$

Câu 4. Giá trị của $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right]$ là

A. $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

B. $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;

C. $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = – \frac{1}{2}$;

D. $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 5. Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $cot\alpha = \frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $P = \frac{{3sin\alpha + 4cos\alpha }}{{2sin\alpha – 5cos\alpha }}$ là

A. $P = – \frac{{15}}{{13}}$

B. $P = \frac{{15}}{{13}}$;

C. $P = – 13$;

D. $P = 13$.

Câu 6. Rút gọn biều thức $M = cos\left( {a + b} \right)cos\left( {a – b} \right) – sin\left( {a + b} \right)sin\left( {a – b} \right)$ ta được

A. $M = 1 – 2co{s^2}a$;

B. $M = 1 – 2si{n^2}a$;

C. $M = 1 – 2co{s^2}b$;

D. $M = 1 – 2si{n^2}b$.

Câu 7. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = sinx$ là hàm số lè;

B. Hàm số $y = cosx$ là hàm số lè;

C. Hàm số $y = tanx$ là hàm số lè;

D. Hàm số $y = cotx$ là hàm số lẻ.

Câu 8. Hàm số $y = – tanx$ tuần hoàn với chu kì

A. $\frac{1}{2}\pi $;

B. $\pi $;

C. $2\pi $;

D. $3\pi $.

Câu 9. Hàm số $y = tanx$ đồng biến trên mỗi khoảng nào sau đây với mọi $k \in \mathbb{Z}$ ?

A. $\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)$.

B. $\left( { – \pi + k\pi ;k\pi } \right)$;

C. $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$;

D. $\left( {\pi + k\pi ;2\pi + k\pi } \right)$.

Câu 10. Tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt {cosx – 2} $ là

A. $D = \mathbb{R}$;

B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$;

C. $D = \left[ { – 1;1} \right]$;

D. $D = \emptyset $.

Câu 11. Cho hàm số $y = si{n^2}x + 2co{s^2}x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho. Giá trị của $M + 2m$ bằng

A. 2 ;

B. 3;

C. 4 ;

D. 5 .

Câu 12. Tất cả nghiệm của phương trình $cos2x = cos\left( {x + {{60}^ \circ }} \right)$ là

A. $x = – {20^ \circ } + k{120^ \circ },k \in \mathbb{Z}$

B. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ },\,k \in \mathbb{Z}$;

C. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ }$ và $x = – {20^ \circ } + k{360^ \circ },\,k \in \mathbb{Z}$.

D. $x = {60^ \circ } + k{360^ \circ }$ và $x = – {20^ \circ } + k{120^ \circ },\,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 13. Công thức nghiệm $x = \alpha + k\pi $ với $k \in \mathbb{Z}$ là công thức nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $tanx = tan{\alpha ^ \circ }$;

B. $sinx = sin\alpha $;

C. $cosx = cos\alpha $;

D. $tanx = tan\alpha $.

Câu 14. Số nghiệm thuộc đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$ của phương trình $sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ là

A. 0 ;

B. 1 ;

C. 2 ;

D. 3 .

Câu 15. Phương trình $cot\left( {3x – 1} \right) = – \sqrt 3 $ có nghiệm là

A. $x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$;

B. $x = \frac{1}{3} + \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\;$

C. $x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$;

D. $x = \frac{1}{3} – \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;$.

Câu 16. Với $n \in {\mathbb{N}^*}$, cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm các số nguyên dương chia hết cho 7 là $7,14,21,28, \ldots $ Công thức số hạng tồng quát của dãy số này là

A. ${u_n} = 7n – 7$;

B. ${u_n} = 7n + 7$;

C. ${u_n} = 7n$;

D. ${u_n} = 7{n^2}$.

Câu 17. Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tồng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào là dãy số giàm?

A. ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$

B. ${u_n} = 3 – \frac{4}{{n + 1}}$

C. ${u_n} = {n^2}$;

D. ${u_n} = \sqrt {n + 2} $.

Câu 18. Trong các dãy số sau, dãy số nào không bị chặn?

A. $\left( {{u_n}} \right):{u_n} = cos\left( {2n} \right)$;

B. $\left( {{v_n}} \right):{v_n} = \frac{{2n + 5}}{{5n + 2}}$;

C. $\left( {{k_n}} \right):{k_n} = {n^2} + 4n + 9$;

D. $\left( {{a_n}} \right):{a_n} = {( – 1)^n}$.

Câu 19. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?

A. $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$;

B. $1;1;1;1;1$;

C. $ – 8; – 6; – 4; – 2;0$;

D. $3;1; – 1; – 2; – 4$.

Câu 20. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 5$ và $d = 3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ${u_{15}} = 34$;

B. ${u_{15}} = 45$;

C. ${u_{13}} = 31$;

D. ${u_{10}} = 35$

Câu 21. Giả của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 700 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 50 triệu đồng. Giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng là

A. 400 triệu đồng;

B. 450 triệu đồng;

C. 500 triệu đồng;

D. 650 triệu đồng.

Câu 22. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Điểm $O$ không thuộc mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {SAC} \right)$;

B. $\left( {SBD} \right)$;

C. $\left( {SAB} \right)$;

D. $\left( {ABCD} \right)$

Câu 23. Cho 4 điểm không đồng phẳng $A,B,C,D$. Khi đó giao tuyến của $mp$ $\left( {ABC} \right)$ và mp$\left( {BCD} \right)$ là

A. Đường thẳng $AB$;

B. Đường thẳng $CD$;

C. Đường thẳng $BD$;

D. Đường thẳng $BC$.

Câu 24. Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là

A. 5 mặt, 5 cạnh;

B. 5 mặt, 10 cạnh;

C. 6 mặt, 5 cạnh;

D. 6 mặt, 10 cạnh.

Câu 25. Trong các hình vẽ dưới đây, hình vẽ nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện?

A. Chỉ có hình a;

B. Có hai hình a và b.

C. Cả ba hình $a,b$ và $c$;

D. Có hai hình b và c.

Câu 26. Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Gọi $I$ là giao điểm của $NG$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $I \in AM$;

B. $I \in BC$;

C. $I \in AC$;

D. $I \in AB$.

Câu 27. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD\left( {AD//BC} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là

A. $SI$ ( $I$ là giao điểm của $AC$ và $BM$ );

B. $SJ$ ( $J$ là giao điểm của $AM$ và $BD$ );

C. $SO$ ( $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD)$;

D. $SP$ ( $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ ).

Câu 28. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$ trong đó $a//b$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $a//c$ thì $b//c$;

B. Nếu $c$ cắt $a$ thì $c$ cắt $b$;

C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a,b,AB$ cùng ở trên một mặt phẳng;

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua $a$ và $b$.

Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau?

A. $AB$ và $CD$;

B. $AC$ và $BD$;

C. $SB$ và $CD$;

D. $SD$ và $BC$.

Câu 30. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau;

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau;

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau;

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.

Câu 31. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn là $CD$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA,N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $\left( {MCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $MN$ và $SD$ cắt nhau;

B. $MN//CD$;

C. $MN$ và $SC$ cắt nhau;

D. $MN$ và $CD$ chéo nhau.

Câu 32. Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$ ?

A. 0 ;

B. 1;

C. 2;

D. Vô số.

Câu 33. Cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $d \not\subset \left( \alpha \right)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu $d//\left( \alpha \right)$ thì trong $\left( \alpha \right)$ tồn tại đường thẳng $\Delta $ sao cho $\Delta //d$;

B. Nếu $d//\left( \alpha \right)$ và $b \subset \left( \alpha \right)$ thì $b//d$;

C. Nếu $d \cap \left( \alpha \right) = A$ và $d’ \subset \left( \alpha \right)$ thì $d$ và $d’$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau;

D. Nếu $d//c;c \subset \left( \alpha \right)$ thì $d//\left( \alpha \right)$.

Câu 34. Cho tứ điện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng

A. $\left( {ACD} \right)$;

B. $\left( {ABD} \right)$;

C. $\left( {BCD} \right)$;

D. $\left( {ABC} \right)$.

Câu 35. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$. Trên đoạn $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 2MC$. Nhận định nào dưới đây là đúng?

A. $MG//\left( {ACD} \right)$;

B. $MG$ cắt $\left( {ACD} \right)$;

C. $MG//\left( {BCD} \right)$;

D. $MG$ thuộc $\left( {BCD} \right)$.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1. (1,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác:

a) $cos\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) – sin\left( {\frac{\pi }{3} – 3x} \right) = \sqrt 3 $;

b) $sinx + sin2x + sin3x = 0$.

Bài 2. (1,0 điểm) Cho tứ diện $SABC$. Gọi $M,N,E$ lần lượt là trung điềm của $AC$, $BC,SB$. Gọi $H,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAC$ và $SBC$.

a) Chứng minh $HK//\left( {SAB} \right)$.

b) Chứng minh $HK$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MNE} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

Bài 3. (1,0 điểm) Cáo Bắc Cực là loại động vật phổ biến ở vùng đồng hoang Bắc Cực. Giả sử số lượng cáo ở Bắc Manitoba, Canada được biểu diễn theo hàm $f\left( t \right) = 500sin\frac{{\pi t}}{{12}} + 1000$ trong đó $t$ là thời gian, tính bằng tháng $\left( {1 \leqslant t \leqslant 12,t \in \;} \right)$. Hỏi vào thời điểm nào trong năm thì số lượng cáo đạt 1250 con?

—HẾT—

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Bảng đáp án trắc nghiệm:

1	2	3	4	5	6	7
A	C	B	B	D	B	B
8	9	10	11	12	13	14
B	C	D	C	D	D	A
15	16	17	18	19	20	21
A	C	A	C	D	C	C
22	23	24	25	26	27	28
C	D	D	C	A	A	B
29	30	31	32	33	34	35
B	C	B	D	B	C	A

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1.

Đáp án đúng là: ${\mathbf{A}}$

Theo định nghĩa 1 rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính.

Câu 2.

Đáp án đúng là: C

Từ đường tròn lượng giác ta có: góc lượng giác có số đo $ – {135^ \circ }$ là góc có tia đầu là tia $OA$, tia cuối là tia $OP$ và quay theo chiều âm (chiều kim đồng hồ).

Câu 3.

Đáp án đúng là: B

Góc lượng giác $\alpha $ có điềm cuối ở góc phần tư thứ II thì

$sin\alpha > 0,cos\alpha < 0,tan\alpha < 0,cot\alpha < 0$

Do đó $\left| {sin\alpha } \right| = sin\alpha ;\sqrt {si{n^2}\alpha } = \left| {sin\alpha } \right| = sin\alpha ;\sqrt {co{s^2}\alpha } = \left| {cos\alpha } \right| = – cos\alpha $.

Vậy ta chọn phương án $B$.

Câu 4.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $cos\left[ {\frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = cos\left( {\frac{\pi }{4} + 2k\pi + \pi } \right) = cos\left( {\frac{\pi }{4} + \pi } \right) = – cos\frac{\pi }{4} = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\;$

Câu 5. Đáp án đúng là: D

Do $cot\alpha = \frac{1}{3}$ nên $sin\alpha \ne 0$, ta chia cả tử và mẫu của $P$ cho $sin\alpha $ thì được

$P = \frac{{3 + 4cot\alpha }}{{2 – 5cot\alpha }} = \frac{{3 + 4 \cdot \frac{1}{3}}}{{2 – 5 \cdot \frac{1}{3}}} = 13$

Câu 6.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức $cosxcosy – sinxsiny = cos\left( {x + y} \right)$, ta được

$M = cos\left( {a + b} \right)cos\left( {a – b} \right) – sin\left( {a + b} \right)sin\left( {a – b} \right)$

$ = cos\left( {a + b + a – b} \right) = cos2a = 1 – 2si{n^2}a$.

Câu 7.

Đáp án đúng là: $B$

Hàm số $y = cosx$ là hàm số chẵn. Do đó phương án $B$ là sai.

Câu 8.

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = – tanx$ tuần hoàn với chu kì $\pi $.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = tanx$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$ với mọi $k \in \;$.

Câu 10.

Đáp án đúng là: D

Ta có $ – 1 \leqslant cosx \leqslant 1 \Leftrightarrow – 3 \leqslant cosx – 2 \leqslant – 1,\forall x \in R$.

Do đó không tồn tại căn bậc hai của $cosx – 2$.

Vậy tập xác định $D = \emptyset $.

Câu 11.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $y = si{n^2}x + 2co{s^2}x = \left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + co{s^2}x = 1 + co{s^2}x$

$ – 1 \leqslant cosx \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant co{s^2}x \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \leqslant 1 + co{s^2}x \leqslant 2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M = 2} \\
{m = 1}
\end{array}} \right.$.

Suy ra $M + 2m = 2 + 2 \cdot 1 = 4$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: D

$cos2x = cos\left( {x + {{60}^ \circ }} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
2x = x + {60^0} + k360 \hfill \\
2x = – \left( {x + {{60}^0}} \right) + k360 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = {60^0} + k{360^0} \hfill \\
x = – {20^0} + k{120^0} \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Câu 13.

Đáp án đúng là: D

Công thức nghiệm $x = \alpha + k\pi $ với $k \in \mathbb{Q}$ là công thức nghiệm của phương trình

$tanx = tan\alpha .$

Câu 14.

Đáp án đúng là: $A$

$sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$Do\;x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right] \Rightarrow \pi \leqslant \frac{\pi }{4} + k2\pi \leqslant 2\pi \Leftrightarrow \frac{3}{8} \leqslant k \leqslant \frac{7}{8}$

Vậy phương trình không có nghiệm trên đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: $A$

Ta có $cot\left( {3x – 1} \right) = – \sqrt 3 \Leftrightarrow cot\left( {3x – 1} \right) = cot\left( { – \frac{\pi }{6}} \right) = cot\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)$

$ \Leftrightarrow 3x – 1 = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} + \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}$

Câu 16.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có ${u_1} = 7 = 7.1,{u_2} = 14 = 7.2,{u_3} = 21 = 7.3,{u_4} = 28 = 7.4, \ldots $

Suy ra ${u_n} = 7n$.

Câu 17.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} < \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = {u_{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}*$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $ – 1 \leqslant cos\left( {2n} \right) \leqslant 1$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

• ${v_n} = \frac{{2n + 5}}{{5n + 2}} = \frac{2}{5} + \frac{{21}}{{5\left( {5n + 2} \right)}}$ khi đó $\frac{2}{5} < {v_n} \leqslant \frac{2}{5} + \frac{{21}}{{5\left( {5.1 + 2} \right)}}$ hay $\frac{2}{5} < {v_n} \leqslant 1$ nên $\left( {{v_n}} \right)$

bị chặn.

${a_n} = {( – 1)^n} = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
1&{\;khi\;n\;chan\;} \\
{ – 1\;khi\;}&{n\;le\;}
\end{array}\;\;} \right.$

$ \Rightarrow – 1 \leqslant {( – 1)^n} \leqslant 1,\;$do đó $\left( {{a_n}} \right)$ bị chặn.

• ${n^2} + 4n + 9 = {(n + 2)^2} + 5 \geqslant 5$ nên dãy số $\left( {{k_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới nhưng khi $n$ càng lớn thì ${k_n}$ càng lớn nên dãy số $\left( {{k_n}} \right)$ không bị chặn trên nên $\left( {{k_n}} \right)$ không bị chặn.

Câu 19.

Phương án A: dãy số $\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}$ là cấp số cộng với ${u_1} = \frac{1}{2};d = 1$.

Phương án B: dãy số $1;1;1;1;1$ là cấp số cộng với ${u_1} = 1;d = 0$.

Phương án C: dãy số $ – 8; – 6; – 4; – ;2;0$ là cấp số cộng với ${u_1} = – 8;d = 2$.

Phương án D: dãy số $3;1; – 1; – 2; – 4$ không là cấp số cộng vì ${u_2} = {u_1} + \left( { – 2} \right)$ và ${u_4} = {u_3} + \left( { – 1} \right)$

Câu 20.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 5} \\
{d = 3}
\end{array} \Rightarrow {u_{13}} = {u_1} + \left( {13 – 1} \right)d = – 5 + 3\left( {13 – 1} \right) = 31} \right.$

Câu 21.

Đáp án đúng là: C

Giá của chiếc xe sau $n$ năm là: ${u_n} = 700 – 50\left( {n – 1} \right)$

Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: ${u_5} = 700 – 50.\left( {5 – 1} \right) = 500$ (triệu đồng).

Câu 22.

Đáp án đúng là: C

Vì $O \in AC \subset \left( {SAC} \right)$ nên $O \in \left( {SAC} \right)$.

Vì $O \in AC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $O \in \left( {ABCD} \right)$.

Vì $O \in BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $O \in \left( {SBD} \right)$.

Câu 23.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \subset \left( {ABC} \right)} \\
{BC \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right)} \right.$

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng $BC$.

Câu 24.

Đáp án đúng là: D

Hình chóp có đáy là ngũ giác có:

• 6 măt gồm 5 mặt bên và 1 mặt đáy.

• 10 cạnh gồm 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.

Câu 25.

Đáp án đúng là: $C$

Cả 3 hình đều là hình biều diễn của hình tứ diện.

Câu 26.

Đáp án đúng là: $A$

Dễ thấy $NG$ và $AM$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {AMD} \right)$.

Mặt khác ta lại có $\frac{{DN}}{{DA}} = \frac{1}{2},\frac{{DG}}{{DM}} = \frac{2}{3}$.

Do đó $NG$ và $AM$ cắt nhau.

Gọi $I = NG \cap AM,AM \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I = NG \cap \left( {ABC} \right)$.

Vậy khẳng định đúng là $I \in AM$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: $A$

• $S$ là điềm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

• Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right)} \\
{I \in \left( {AC} \right) \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow I$ là điềm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Vậy $\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI$.

Câu 28.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $c$ cắt $a$ thì $c$ cắt $b$ hoặc $c$ và $b$ chéo nhau.

Câu 29. Đáp án đúng là: B

$AB//CD,AC$ cắt $BD,SB$ và $CD$ chéo nhau, $SD$ và $BC$ chéo nhau.

Câu 30.

Đáp án đúng là: C

Câu 31.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$MN = \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right))$

$AB \subset \left( {SAB} \right)$

$CD \subset \left( {MCD} \right)$

$AB//CD$

Câu 32.

Đáp án đúng là: D

Vì $a//b$ nên mọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $a$ và không chứa $b$ đều song song với $b$.

Câu 33.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề $B$ sai vì $b$ và $d$ có thể chéo nhau.

Câu 34.

Đáp án đúng là: C

Ta có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$

$ \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow MN//BC$.

Ta có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//BC,BC \subset \left( {BCD} \right)} \\
{MN \not\subset \left( {BCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right)} \right.$

Câu 35.

Đáp án đúng là: A

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$.

Xét tam giác $BCE$ có, $\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}$. Suy ra $MG//CE$.

Vì $CE \subset \left( {ACD} \right)$ và $MG \not\subset \left( {ACD} \right)$ nên $MG//\left( {ACD} \right)$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm)

a) $cos\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) – sin\left( {\frac{\pi }{3} – 3x} \right) = \sqrt 3 \left( * \right)$

Ta thấy $\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {\frac{\pi }{3} – 3x} \right) = \frac{\pi }{2}$ nên $sin\left( {\frac{\pi }{3} – 3x} \right) = cos\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)$

Do đó $(*) \Leftrightarrow 2cos\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow cos\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{3x + \frac{\pi }{6} = – \frac{\pi }{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}\;} \right)} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k2\pi }}{3}} \\
{x = – \frac{\pi }{9} + \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array}(k \in } \right.\mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{k2\pi }}{3};x = – \frac{\pi }{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \nabla } \right)$

b) $sinx + sin2x + sin3x = 0$

$ \Leftrightarrow 2sin2x \cdot cosx + sin2x = 0$

$ \Leftrightarrow sin2x\left( {2cosx + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sin2x = 0} \\
{cosx = \frac{{ – 1}}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = k\pi } \\
{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Q}} \right)} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k\pi }}{2}} \\
{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Q}} \right)} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{k\pi }}{2};x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{B}} \right)$

Bài 2. (1,0 điểm)

a) Tam giác $SAC$ có $H$ là trọng tâm nên $\frac{{SH}}{{SM}} = \frac{2}{3}$.

Tương tự, ta được $\frac{{SK}}{{SN}} = \frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{{SH}}{{SM}} = \frac{{SK}}{{SN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HK//MN$ (định lí Thalèsđảo)

Mà $MN \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow HK//\left( {SAB} \right)\;\left( 1 \right)$

b) Tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$.

$ \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ \Rightarrow MN//AB$.

Ta có $E \in \left( {MNE} \right),E \in \left( {SAB} \right)$

Mà $MN//AB;MN \subset \left( {MNE} \right)$ và $AB \subset \left( {SAB} \right)$

Suy ra giao tuyến của $\left( {MNE} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $E$ và $d//MN//AB$

Trong $\left( {SAB} \right):$ gọi $F = d \cap SA$

Ta có $HK//MN,MN \subset \left( {MNEF} \right)$

$ \Rightarrow HK/\left( {MNEF} \right)$

Mà $\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = EF\;\left( 3 \right)$

Từ (1), (2), (3), ta thu được $HK//EF$.

Bài 3. (1,0 điểm)

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 500sin\frac{{\pi t}}{{12}} + 1000 = 1250 \Leftrightarrow sin\frac{{\pi t}}{{12}} = \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\frac{{\pi t}}{{12}} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
\frac{{\pi t}}{{12}} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 2 + 24k \hfill \\
t = 10 + 24k \hfill \\
\end{gathered} \right.\,(k \in \mathbb{Z})$

Do $1 \leqslant t \leqslant 12,t \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2} \\
{t = 10}
\end{array}} \right.$.

Vậy vào thời điềm tháng 2 hoặc tháng 10 thì số lượng loài cáo đạt 1250 con.