Đề Ôn Thi Giữa Học Kỳ 1 Toán 11 Cánh Diều Giải Chi Tiết-Đề 1

Đề ôn thi giữa học kỳ 1 Toán 11 Cánh diều giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Hãy khoanh tròn vào phưong án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:

Câu 1. Nếu một góc lượng giác có số đo bằng radian là $\frac{{5\pi }}{4}$ thì số đo bằng độ của góc lượng giác đó là
A. ${5^ \circ }$.
B. ${15^ \circ }$.
C. ${172^ \circ }$.
D. ${225^ \circ }$.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.

Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là $ – {90^ \circ }$ ?
A. $\left( {OA,OB} \right)$.
B. $\left( {OA,OA’} \right)$.
C. $\left( {OA,OB’} \right)$.
D. $\left( {OA,OA} \right)$.

Câu 3. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. $ – 1 \leqslant sin\alpha \leqslant 1; – 1 \leqslant cos\alpha \leqslant 1$
B. $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}\left( {cos\alpha \ne 0} \right)$.
C. $cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}\left( {sin\alpha \ne 0} \right)$.
D. $si{n^2}\left( {2\alpha } \right) + co{s^2}\left( {2\alpha } \right) = 2$

Câu 4. Cho $cos\alpha = \frac{1}{3}$. Khi đó $sin\left( {\alpha – \frac{{3\pi }}{2}} \right)$ bằng
A. $ – \frac{2}{3}$
B. $ – \frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{2}{3}$.

Câu 5. Cho góc thỏa mãn $sin\alpha = \frac{{12}}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Giá trị của là
A. $cos\alpha = \frac{1}{{13}}$.
B. $cos\alpha = \frac{5}{{13}}$.
C. $cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.
D. $cos\alpha = – \frac{1}{{13}}$.

Câu 6. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $sin\left( {2030a} \right) = 2030sina \cdot cosa$.
B. $sin\left( {2030a} \right) = 2030sin\left( {1015a} \right) \cdot cos\left( {1015a} \right)$.
C. $sin\left( {2030a} \right) = 2sinacosa$.
D. $sin\left( {2030a} \right) = 2sin\left( {1015a} \right) \cdot cos\left( {1015a} \right)$.

Câu 7. Trong các hàm số $y = sinx,y = cosx,y = tanx,y = cotx$, có bao nhiêu hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. 0 .
B. 1.
C. 2.
D. 3 .

Câu 8. Hàm số $y = sinx$ là hàm số tuần hoàn với chu kì
A. $\pi $ .
B. $2\pi $ .
C. $\frac{1}{2}\pi $.
D. $3\pi $

Câu 9. Cho hàm số $y = cosx$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Hàm số $y = cosx$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( {0;\pi } \right)$
B. $\left( { – \frac{{3\pi }}{2}; – \frac{\pi }{2}} \right)$.
C. $\left( { – 3\pi ; – 2\pi } \right)$
D. $\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)$

Câu 10. Tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt {sinx + 2} $ là
A. $D = R$.
B. $D = \left[ { – 2; + \infty } \right)$.
C. $D = \left[ {0;2\pi } \right]$.
D. $D = \emptyset $.

Câu 11. Tập giá trị $T$ của hàm số $y = 5 – 3sinx$ là
A. $T = \left[ { – 1;1} \right]$.
B. $T = \left[ { – 3;3} \right]$.
C. $T = \left[ {2;8} \right]$.
D. $T = \left[ {5;8} \right]$.

Câu 12. Tất cả nghiệm của phương trình $tanx = tan\frac{\pi }{{11}}$ là
A. $x = \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = – \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = – \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Câu 13. Nghiệm của phương trình $cos\frac{x}{2} = 1$ là
A. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
C. $x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
D. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 14. Giá trị của tham số $m$ để phương trình $sinx – m = 0$ có nghiệm là
A. $m \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
B. $m \in \left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[1; + \infty } \right)$.
C. $m \in \left[ { – 1;1} \right]$.
D. $m \in \left( { – 1;1} \right)$.

Câu 15. Nghiệm của phương trình $cot\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ là
A. $x = – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
B. $x = – \pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
C. $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
D. $x = – \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 16. Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 theo thứ tự tăng dần?
A. $0;1;2;3;5;7$.
B. $1;2;3;5;7$.
C. $2;3;5;7$.
D. $1;3;5;7$.

Câu 17. Với $n \in {\mathbb{N}^*}$, trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A. ${u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}$
B. ${u_n} = \frac{3}{n}$.
C. ${u_n} = {2^n}$.
D. ${u_n} = {( – 2)^n}$

Câu 18. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = – {n^2} + n + 1$. Số -19 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7.

Câu 19. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. $1; – 2; – 4; – 6; – 8$.
B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12$.
C. $1; – 3; – 7; – 11; – 15$.
D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9$.

Câu 20. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 0,1$ và $d = 0,1$. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng là
A. 0,5 .
B. 0,6 .
C. 1,6 .
D. 6 .

Câu 21. Tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng $1; – 1; – 3; \ldots $ bằng -9800 ?
A. 98 .
B. 99 .
C. 100 .
D. 101 .

Câu 22. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên $AB,AD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ cắt $BD$ tại $I$. Điểm $I$ không thuộc mặt phẳng nào sao đây?
A. $\left( {BCD} \right)$.
B. $\left( {ABD} \right)$.
C. $\left( {CMN} \right)$.
D. $\left( {ACD} \right)$

Câu 23. Cho hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau và không đi qua điểm $A$. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi $a,b$ và $A$ ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Câu 24. Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt bên?
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7.

Câu 25. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
A. 2 .
B. 3.
C. 4 .
D. 6 .

Câu 26. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,BC$, điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao điểm của đường thẳng $MG$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là
A. giao điểm của $MG$ và $BC$.
B. giao điểm của $MG$ và $AC$.
C. giao điểm của $MG$ và $AN$.
D. giao điểm của $MG$ và $AB$.

Câu 27. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$, có $ABCD$ là tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song, $M$ là trung điểm $SA$. Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $CD,K$ là giao điểm của $AD$ và $CB$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {MCD} \right)$ là
A. $MI$.
B. $MK$.
C. $IK$.
D. $SI$.

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hỏi cạnh $CD$ chéo với tất cả các cạnh nào của hình chóp?
A. $SA;AB$.
B. $SA;SB$.
C. $SB;AB$.
D. $SB;AD$

Câu 29. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.

Câu 30. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $IJ$ song song với $CD$.
B. $IJ$ song song với $AB$.
C. $IJ$ chéo $CD$.
D. $IJ$ cắt $AB$.

Câu 31. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $d$ qua $S$ và song song với $BC$.
B. $d$ qua $S$ và song song với $DC$.
C. $d$ qua $S$ và song song với $AB$.
D. $d$ qua $S$ và song song với $BD$.

Câu 32. Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của $a$ và $\left( P \right)$ ?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Câu 33. Trong không gian, cho đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ qua $d$ cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $d’$. Khi đó
A. $d//d’$
B. $d$ cắt $d’$.
C. $d$ và $d’$ chéo nhau.
D. $d \equiv d’$.

Câu 34. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB$. Gọi $P,Q$ lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh $SA$ và $SB$ sao cho $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $PQ$ cắt $\left( {ABCD} \right)$.
B. $PQ \subset \left( {ABCD} \right)$.
C. $PQ//\left( {ABCD} \right)$.
D. $PQ$ và $CD$ chéo nhau.

Câu 35. Cho tứ diện $ABCD$, gọi ${G_1},{G_2}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ${G_1}{G_2}//\left( {ABD} \right)$.
B. Ba đường thẳng $B{G_1},A{G_2}$ và $CD$ dồng quy.
C. ${G_1}{G_2}//\left( {ABC} \right)$.
D. ${G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB$.

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác:
a) $sin\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + cosx = 0$.
b) $\frac{3}{{co{s^2}x}} – 2\sqrt 3 tanx – 6 = 0$

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang (hai đáy $AB > CD$ ). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$.

a) Tìm giao điểm $P$ của $SC$ và $mp\left( {ADN} \right)$.

b) Biết $AN$ cắt $DP$ tại $I$. Chứng minh $SI//AB$. Tứ giác $SABI$ là hình gì?

Bài 3. Cho phương trình $\left( {2sinx – 1} \right)\left( {3cos2x + 2sinx – m} \right) = 3 – 4co{s^2}x$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

PHẦN I. TRÁC NGHIỆM

Bảng đáp án trắc nghiệm:

1	D	6	D	11	C
2	C	7	D	12	B
3	D	8	B	13	A
4	C	9	C	14	C
5	C	10	A	15	D
16	C	21	C	26	C
17	C	22	D	27	A
18	B	23	C	28	B
19	C	24	C	29	D
20	A	25	B	30	A
31	A
32	C
33	A
34	C
35	D

Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{5\pi }}{4}\left( {rad} \right) = \frac{{{{180}^ \circ }}}{\pi } \cdot \frac{{5\pi }}{4} = {225^ \circ }$.

Câu 2.

Đáp án đúng là: $C$

Chiều âm là chiều kim đồng hồ nên ta có số đo góc lượng giác $\left( {OA,OB’} \right) = – {90^ \circ }$.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $si{n^2}\left( {2\alpha } \right) + co{s^2}\left( {2\alpha } \right) = 1$ nên phương án $D$ là sai.

Câu 4.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $sin\left( {\alpha – \frac{{3\pi }}{2}} \right) = cos\left( {\frac{\pi }{2} – \alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = cos\left( {2\pi – \alpha } \right) = cos\left( { – \alpha } \right) = cos\alpha = \frac{1}{3}$.

Câu 5.

Đáp án đúng là: $C$

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $ nên $cos\alpha < 0$

Ta có $co{s^2}\alpha = 1 – si{n^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow cos\alpha = – \frac{5}{{13}}$.

Câu 6.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức $sin2\alpha = 2sin\alpha \cdot cos\alpha $ ta được

$sin\left( {2030a} \right) = 2sin\left( {1015a} \right) \cdot cos\left( {1015a} \right).$

Câu 7.

Đáp án đúng là: D

Các hàm số $y = sinx,y = tanx,y = cotx$ là các hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số $y = cosx$ là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Vậy có 3 hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Câu 8.

Đáp án đúng là: $B$

Hàm số $y = sinx$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi $.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị nhận thấy hàm số $y = cosx$ đồng biến trên $\left( { – 3\pi ; – 2\pi } \right)$.

Câu 10.

Đáp án đúng là: A

Ta có $ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \leqslant sinx + 2 \leqslant 3,\forall x \in R$.

Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của $sinx + 2$ với mọi $x \in R$.

Vậy tập xác định $D = R$.

Câu 11.

Đáp án đúng là: $C$

Ta có $ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Leftrightarrow 3 \geqslant – 3sinx \geqslant – 3$

$ \Leftrightarrow 8 \geqslant 5 – 3sinx \geqslant 2 \Leftrightarrow 2 \leqslant y \leqslant 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right]$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: B

$tanx = tan\frac{\pi }{{11}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Câu 13.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $cos\frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 14.

Đáp án đúng là: C

Phương trình $sinx – m = 0 \Leftrightarrow sinx = m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \leqslant 1$, tức $m \in \left[ { – 1;1} \right]$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $cot\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = – \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Câu 16.

Đáp án đúng là: C

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2,3,5, 7 .

Câu 17.

Đáp án đúng là: C

Do là các dãy dương và tăng nên $\frac{1}{{{2^n}}};\frac{1}{n}$ là các dãy giảm, do đó loại các phương án A, B.

Xét phương án C: ${u_n} = {2^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = {2^{n + 1}} – {2^n} = {2^n} > 0$. Do đó dãy số ${u_n} = {2^n}$ là dãy số tăng.

Xét phương án D: ${u_n} = {( – 2)^n}$ có ${u_2} = 4;{u_5} = – 8$ nên ${u_2} > {u_5}$, do đó ${u_n}$ không là dãy số tăng.

Câu 18.

Đáp án đúng là: B

Giả sử ${u_n} = – 19,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Suy ra

$ – {n^2} + n + 1 = – 19 \Leftrightarrow – {n^2} + n + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5} \\
{n = – 4\left( l \right).}
\end{array}} \right.$

Vậy số -19 là số hạng thứ 5 của dãy số.

Câu 19.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy dãy số $1; – 3; – 7; – 11; – 15$ là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là -4 .

Câu 20.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${u_7} = {u_1} + 6d = – 0,1 + 6 \cdot 0,1 = 0,5$.

Câu 21.

Đáp án đúng là: C

${S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow – 9800 = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {n – 1} \right)\left( { – 2} \right)} \right]}}{2}$

$ \Leftrightarrow 2{n^2} – 4n – 19600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{n = 100\left( {tm} \right)} \\
{n = – 98\left( {ktm} \right)}
\end{array}} \right.$

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng bằng -9800 .

Câu 22.

Đáp án đúng là: D

$I \in BD \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right),\left( {ABD} \right)$.

$I \in MN \Rightarrow I \in \left( {CMN} \right)$.

Vậy điểm $\;I$ không thuộc mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

Câu 23.

Đáp án đúng là: C

Có nhiều nhất 3 mặt phẳng được tạo là $\left( {a,b} \right),\left( {A,a} \right)$ và $\left( {A,b} \right)$.

Câu 24.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy hình chóp lục giác đều có 6 mặt bên.

Câu 25.

Đáp án đúng là: B Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.

Câu 26.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy $MG \subset \left( {ADN} \right)$ và $\frac{{DM}}{{MA}} \ne \frac{{DG}}{{GN}}$ nên $MG,AN$ cùng thuộc một mặt phẳng và không song song với nhau.

Gọi $I$ là giao điểm của $MG$ và $AN$.

Do $I \in AN \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: A

Trong $\left( {ABCD} \right),AB$ cắt $CD$ tại $I$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{I \in CD \subset \left( {MCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\left( 1 \right)} \right.$

Lại có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M \in AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{M \in \left( {MCD} \right)}
\end{array} \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\left( 2 \right)} \right.$

Từ (1) và (2). suy ra $MI$ là giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {MCD} \right)$.

Câu 28.

Đáp án đúng là: B

Theo hình vẽ ta có $CD$ chéo với $SA;SB$.

Câu 29.

Đáp án đúng là: D

Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng đồng phẳng nên không chéo nhau.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,BD$, ta có $MN//CD\left( 1 \right)$

Xét $\;\Delta AMN$ có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN$

Câu 31.

Đáp án đúng là: A

Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d} \\
{AD//BC}
\end{array} \Rightarrow d//BC} \right.$

Câu 32.

Đáp án đúng là: C

Có $\;3$ vị trí tương đối của $\;a$ và $\left( P \right)$, đó là:

$a$ nằm trong $\left( P \right),\,a$ song song với $\left( P \right)$ và $\;a$ cắt $\left( P \right)$.

Câu 33.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d’ = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$. Do $\;d$ và $d’$ cùng thuộc $\left( \beta \right)$ nên $\;d$ cắt $d’$ hoặc $d//d’$.

Nếu $d$ cắt $d’$, khi đó $\;d$ cắt $\left( \alpha \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy $d//d’$.

Câu 34.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $\;$ có $\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}$ nên $PQ//AB$ (theo định lý Thalès đảo).

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{PQ//AB} \\
{AB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow PQ//\left( {ABCD} \right)} \\
{PQ \not\subset \left( {ABCD} \right)}
\end{array}} \right.$.

Câu 35.

Đáp án đúng là: D

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Xét $\Delta ABM$

$\frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{G_1}{G_2}//AB\;} \\
{{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\;\;\;}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow $ D sai.

Vì ${G_1}{G_2}//AB \Rightarrow {G_1}{G_2}//\left( {ABD} \right) \Rightarrow $ A đúng.

Vì ${G_1}{G_2}//AB \Rightarrow {G_1}{G_2}//\left( {ABC} \right) \Rightarrow $ C dúng.

Ba đường $B{G_1},A{G_2},CD$, đồng quy tại $M \Rightarrow B$ đúng.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Bài 1.

a) $sin\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + cosx = 0$

$ \Leftrightarrow sin\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + sin\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow sin\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = – sin\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$

$ \Leftrightarrow sin\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = sin\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + \frac{\pi }{4} = x – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{2x + \frac{\pi }{4} = \pi – x + \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $\frac{3}{{co{s^2}x}} – 2\sqrt 3 tanx – 6 = 0$

Điều kiện: $cosx \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$Pt \Leftrightarrow 3.\left( {1 + ta{n^2}x} \right) – 2\sqrt 3 tanx – 6 = 0$

$ \Leftrightarrow 3ta{n^2}x – 2\sqrt 3 tanx – 3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{tanx = \sqrt 3 } \\
{tanx = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} + k\pi } \\
{x = – \frac{\pi }{6} + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

(thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Bài 2.

a) Ta có $N$ là điểm chung thứ nhất. $E = BC \cap AD \Rightarrow E$ là điểm chung thứ 2 $ \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADN} \right) = NE$.

Gọi $P = SC \cap NE$. Khi đó $P = SC \cap \left( {ADN} \right)$.

b) Ta có : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \\
{AB \subset \left( {SAB} \right)} \\
{CD \subset \left( {SCD} \right)} \\
{AB//CD}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow SI//AB//CD$.

Mà $MN//AB$ (do $MN$ là đường trung bình của $\vartriangle SAB$ )

$ \Rightarrow MN//SI$, lại có $M$ là trung điểm của $SA$

$ \Rightarrow N$ là trung điểm của $AI$

Tứ giác $SABI$ có $N$ là trung điểm của $SB,AI$ nên $SABI$ là hình bình hành.

Bài 3.

Ta có: $\left( {2sinx – 1} \right)\left( {3cos2x + 2sinx – m} \right) = 3 – 4co{s^2}x$

$ \Leftrightarrow \left( {2sinx – 1} \right)\left( {3cos2x + 2sinx – m} \right) = 4si{n^2}x – 1$

$ \Leftrightarrow \left( {2sinx – 1} \right)\left( {3cos2x + 2sinx – m} \right) = \left( {2sinx – 1} \right)\left( {2sinx + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {2sinx – 1} \right)\left( {3cos2x – m – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{sinx = \frac{1}{2}} \\
{cos2x = \frac{{m + 1}}{2}}
\end{array}} \right.$

Xét $sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \;,\;\;v\`i \;}
\end{array}\left( {k \in Z} \right)\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]} \right.$

nên phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{\pi }{6}$.

Do đó để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình $cos2x = \frac{{m + 1}}{2}$ phải có đúng hai nghiệm phân biệt khác $\frac{\pi }{6}$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Xét hàm số $y = cos2x$ có bảng biến thiên trên $\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ như sau:

Từ BBT suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 \leqslant \frac{{m + 1}}{2} < 1} \\
{\frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1 \leqslant m < 1} \\
{m \ne 0}
\end{array}} \right.$

Vậy $m \in \left[ { – 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.