Các Dạng Toán Bài Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Giải Chi Tiết

Các dạng toán bài Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp:

+ Để chứng minh $a \bot (P)$ ta chứng minh $a$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $b$, $c$ cùng nằm trên mặt phẳng $(P)$.

+ Nếu $a \bot (P)$ thì $a$ vuông góc với mọi đường thẳng $c$ nằm trong $(P)$.

+ Để chứng minh $a \bot b$ ta chứng minh $a$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$chứa $b$.

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O,SA = SC$ và $SB = SD$. Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Lời giải

Ta có:

$SO \bot AC$ ($\Delta SAC$ cân và $SO$ là đường trung tuyến)

$SO \bot BD$ ($\Delta SBD$ cân và $SO$ là đường trung tuyến)

$ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác cân tại $A$ và $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAM} \right)$;

b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$.

Lời giải

a) Vì $BC \bot AM,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$.

b) Có $BC \bot SM,M$ là trung điểm của $BC$ nên $\vartriangle SBC$ cân tại $S$.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $M,N$ tương ứng là hình chiếu của $A$ trên $SB,SD$. Chứng minh rằng:

$AM \bot \left( {SBC} \right),AN \bot \left( {SCD} \right),SC \bot \left( {AMN} \right)$.

Lời giải

Vì $BC \bot SA,BC \bot AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow BC \bot AM$, mà $AM \bot SB \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$.

Tương tự: $AN \bot \left( {SCD} \right)$.

Ta có $AM \bot SC,AN \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right)$.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$;

b) $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

(H.7.4)

Lời giải

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $BC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BC$, mà $BC \bot AB$ và đường thẳng $SA$ cắt đường thẳng $AB$ nên $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $BD \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BD$, mà $BD \bot AC$ và đường thẳng $SA$ cắt đường thẳng $AC$ nên $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 5: Cho hình hộp $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $AA’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right)$;

b) $BB’ \bot \left( {ABCD} \right)$.

Lời giải

a) Vì $AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)//\left( {A’B’C’D’} \right)$ nên $AA’ \bot \left( {A’B’C’D’} \right)$.

b) Vì $AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$ và $AA’//BB’$ nên $BB’ \bot \left( {ABCD} \right)$.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Kẻ $AM$ vuông góc với $SB$ tại $M$ và $AN$ vuông góc với $SC$ tại $N$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAB} \right)$;

b) $AM \bot \left( {SBC} \right)$;

c) $SC \bot \left( {AMN} \right)$.

Lời giải

a) Ta có: $BC \bot AB$ và $SA \bot $ ( $ABC$ ) nên $SA \bot BC$, suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Vì $BC \bot \left( {SAB} \right)$ nên $BC \bot AM$, mà $AM \bot SB$, suy ra $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

c) Vì $AM \bot \left( {SBC} \right)$ nên $AM \bot SC$, mà $AN \bot SC$, suy ra $SC \bot \left( {AMN} \right)$.

Câu 7: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {OAH} \right)$;

b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$;

c) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Lời giải

a) Vì $OA \bot OB,OA \bot OC$ nên $OA \bot \left( {OBC} \right)$, suy ra $OA \bot BC$.

Vì $OH \bot \left( {ABC} \right)$ nên $OH \bot BC$, suy ra $BC \bot \left( {OAH} \right)$.

b) Vì $BC \bot \left( {OAH} \right)$ nên $BC \bot AH$. Tương tự, $CA \bot BH$, do đó $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$, ta có: $OK \bot BC$ và $OA \bot OK$ nên $OK$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác vuông $OAK$.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $OBC$ và $OAK$, ta có:

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$ và $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Từ đó suy ra: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Câu 8: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Chứng minh rằng $AD \bot BC$.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$/

Ta có: $BC \bot AM,BC \bot MD$.

Do đó $BC \bot \left( {AMD} \right)$, suy ra $BC \bot AD$.

Câu 9: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có $AA’$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Chứng minh rằng:

a) $BB’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$;

b) $B’C’ \bot \left( {ABB’A’} \right)$.

Lời giải

a) Vì $AA’ \bot \left( {ABC} \right),AA’//BB’$ và $\left( {ABC} \right)//\left( {A’B’C’} \right)$ nên $BB’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$.

b) Vì $BC \bot AB,BC \bot BB’$ nên $BC \bot \left( {ABB’A’} \right)$, mà $BC//B’C’$, suy ra $B’C’ \bot \left( {ABB’A’} \right)$.

Câu 10: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SA = SC,SB = SD$. Chứng minh rằng:

a) $SO \bot \left( {ABCD} \right)$;

b) $AC \bot \left( {SBD} \right)$ và $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Lời giải

a) Vì $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, suy ra $SO \bot AC,SO \bot BD$. Do đó $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Vì $AC \bot BD,AC \bot SO$ nên $AC \bot \left( {SBD} \right)$. Tương tự, ta được $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAH} \right)$ và các đường thẳng $AH,BC,SK$ đồng quy;

b) $SB \bot \left( {CHK} \right)$ và $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải

a) Vì $BC \bot SA,BC \bot AH$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$, ta có: $BC \bot \left( {SAM} \right)$, suy ra $BC \bot SM$, mà $K$ là trực tâm của tam giác $SBC$ nên $SM$ đi qua $K$. Do đó, $SK,AH,BC$ đồng quy tại $M$.

b) Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot CH$, mà $CH \bot AB$, suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$. Do đó $CH \bot SB$, lại có $SB \bot CK$ nên

$SB \bot \left( {CHK} \right)$. Từ đó ta có $SB \bot HK$, tương tự, ta chứng minh được

$SC \bot \left( {BHK} \right)$, suy ra $SC \bot HK$. Do đó $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

Câu 12: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Kẻ $AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $SA$ vuông góc với các cạnh đáy;

b) $BC \bot \left( {SAB} \right)$;

c) $BI \bot \left( {SAC} \right)$, từ đó suy ra $BI \bot SC$;

d) $AH \bot \left( {SBC} \right)$, từ đó suy ra $AH \bot SC$.

Lời giải

a) Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB,BC,CA$ cùng nằm trong $\left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot AB,SA \bot BC,SA \bot CA$.

b) Ta có $BC \bot AB$ (vì $\vartriangle ABC$ vuông tại $B$ ) và $BC \bot SA$ (chứng minh trên), suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

c) Do $\vartriangle ABC$ vuông cân tại $B$ và $I$ là trung điểm của $AC$ nên $BI \bot AC$ (1).

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $BI \subset \left( {ABC} \right)$, suy ra $SA \bot BI$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BI \bot \left( {SAC} \right)$, suy ra $BI \bot SC$.

d) Theo giả thiết ta có $AH \bot SB$ (3).

Theo câu b) ta có $BC \bot \left( {SAB} \right)$ và $AH \subset \left( {SAB} \right)$, suy ra $BC \bot AH$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$, suy ra $AH \bot SC$.

Câu 13: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $BCD$ là các tam giác cân tại $A$ và $D$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh rằng $BC \bot AD$.

b) Kẻ $AH$ là đường cao của tam giác $ADI$. Chứng minh rằng $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

Lời giải

a) Tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI \bot BC$.(1)

Tam giác $DCB$ cân tại $D$ và $I$ là trung điểm của $BC$ nên $DI \bot BC$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC \bot $ ( $AID$ ), suy ra $BC \bot AD$.

b) Ta có $AH \bot DI$ và $AH \bot BC$ (vì $BC \bot \left( {ADI} \right),AH \subset \left( {ADI} \right)$ ), suy ra $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

Câu 14: Cho tứ diện $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,SB = AB$ và $SB \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $H,I,K$ lần lượt là trung điểm của $SA,BC,AB$. Chứng minh rằng:

a) $AC \bot \left( {SAB} \right)$;

b) $BH \bot \left( {SAC} \right)$;

c) $KI \bot SA$;

d) $AB \bot IH$.

Lời giải

a) Ta có $AC \bot AB$ (vì $\vartriangle ABC$ vuông tại $A$ ) và $AC \bot SB$ (vì $SB \bot \left( {ABC} \right)$ ), suy ra $AC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Vì $SB = AB$ nên $\vartriangle SAB$ cân tại $B$. Mà $H$ là trung điểm của $SA$, suy ra $BH \bot SA$.(1)

Ta cũng có $AC \bot \left( {SAB} \right)$ và $BH \subset \left( {SAB} \right)$, suy ra $AC \bot BH$.(1)

Từ (1) và (2) suy ra $BH \bot \left( {SAC} \right)$.

c) $\vartriangle ABC$ có $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ nên $KI$ là đường trung bình của $\vartriangle ABC$, suy ra $KI//AC$. Ta lại có $AC \bot \left( {SAB} \right)$, suy ra $KI \bot \left( {SAB} \right)$, suy ra $KI \bot SA$.

d) $\vartriangle SAB$ có $H,K$ lần lượt là trung điểm của $SA,AB$ nên $HK$ là đường trung bình của $\vartriangle SAB$, suy ra $HK//SB$.

Mặt khác $SB \bot AB$, suy ra $HK \bot AB$.(3)

Ta có $KI \bot \left( {SAB} \right)$, suy ra $KI \bot AB$.(4)

Từ (3) và (4) suy ra $AB \bot $ (HIK), suy ra $AB \bot IH$.

Câu 15: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a\sqrt 2 $. Biết rằng $SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2 $.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $SAC$.

Lời giải

a) Ta có $SA = SC$, suy ra $\vartriangle SAC$ cân tại $S$, suy ra $SO \bot AC$.(1)

Ta có $SB = SD$, suy ra $\vartriangle SBD$ cân tại $S$, suy ra $SO \bot BD$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Ta có $AC = 2a,OC = a$,

$SC = \sqrt {S{O^2} + O{C^2}} = 3a$.

Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAC$. Ta có:

$AH = \frac{{SO \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 2 \cdot 2a}}{{3a}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}$.

Câu 16: Cho tứ diện $ABCD$ có $DA \bot \left( {ABC} \right),ABC$ là tam giác cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vẽ $AH \bot MD$ tại $H$.

a) Chứng minh rằng $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

b) Gọi $G,K$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $DBC$. Chứng minh rằng $GK \bot \left( {ABC} \right)$.

Lời giải

a) Ta có $BC \bot DA,BC \bot AM$, suy ra

$BC \bot \left( {ADM} \right)$, suy ra $BC \bot AH$. Ta lại có $AH \bot DM$, suy ra $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

b) Ta có $\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{MG}}{{MA}} = \frac{1}{3}$, suy ra $GK//AD$.

Ta lại có $AD \bot \left( {ABC} \right)$, suy ra $GK \bot \left( {ABC} \right)$.

Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi, $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $SA = SC,SB = SD$.

a) Chứng minh rằng $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BA,BC$. Chứng minh rằng $IJ \bot \left( {SBD} \right)$.

c) Chứng minh rằng $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Lời giải

a) Ta có $SA = SC$, suy ra $\vartriangle SAC$ cân tại $S$, suy ra $SO \bot AC$.(1)

Tương tự ta có $SO \bot BD$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Ta có $AC \bot BD$ và $AC \bot SO$, suy ra $AC \bot \left( {SBD} \right)$.

Ta có $IJ$ là đường trung bình của $\vartriangle ABC$ nên suy ra $IJ//AC$, suy ra $IJ \bot \left( {SBD} \right)$.

c) Ta có $BD \bot AC$ và $BD \bot SO$, suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 18: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$. Chứng minh rằng:

a) $BB’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$;

b) $AA’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$.

Lời giải

a) Vì $BB’//AA’$ và $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$ nên $BB’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$.

b) Vì $\left( {A’B’C’} \right)//\left( {ABC} \right)$ và $AA’ \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AA’ \bot \left( {A’B’C’} \right)$.

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng:

a) Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật thì $BC \bot \left( {SAB} \right)$;

a) Nếu $ABCD$ là hình thoi thì $SC \bot BD$.

Lời giải

a) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $BC \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Mà $BC \bot BA$ vì $ABCD$ là hình chữ nhật, $BA$ cắt $SA$ trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$. Suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD \bot AC$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( {ABCD} \right)$. Mà $BD \bot AC$ nên theo định lí ba đường vuông góc, ta có $BD \bot SC$.

Câu 20: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {90^ \circ }$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Lời giải

Gọi $AN,CM$ là hai đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CM$.

Theo giả thiết, $SA \bot SB,SA \bot SC$ mà $SB,SC$ cắt nhau trong mặt phẳng ( $SBC$ ) nên $SA \bot \left( {SBC} \right)$. Mà $BC \subset \left( {SBC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Ngoài ra, $AH \bot BC$ và $SA,AH$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {SAH} \right)$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Mà $SH \subset \left( {SAH} \right)$ nên $BC \bot SH$.

Tương tự, ta có: $AB \bot SH$.

Bên cạnh đó, $AB,BC$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Câu 21: Cho hình tứ diện đều $ABCD$. Chứng minh $AB \bot CD$.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Vì $ABCD$ là hình tứ diện đều nên hai tam giác $ACD$ và $BCD$ là các tam giác đều.

Suy ra $AM \bot CD,BM \bot CD$.

Mà $AM,BM$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ nên $CD \bot \left( {ABM} \right)$. Ngoài ra, $AB \subset \left( {ABM} \right)$. Do đó, ta có $AB \bot CD$.

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm của ba tam giác $SAB,SBC,SCA$. Chứng minh rằng $SA \bot \left( {MNP} \right)$.

Lời giải

Gọi $H,K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Theo giả thiết ta có:

$\frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SN}}{{SK}} = \frac{{SP}}{{SI}} = \frac{2}{3}$. Do đó, trong tam giác $SHK$ có $MN//HK$, trong tam giác $SHI$ có $MP//HI$. Mà $HK \subset \left( {ABC} \right),HI \subset \left( {ABC} \right)$ nên $MN//\left( {ABC} \right),MP//\left( {ABC} \right)$.

Ngoài ra, $MN,MP$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ nên $\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)$. Mà $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Vậy $SA \bot \left( {MNP} \right)$.

DẠNG 2. ỨNG DỤNG

Câu 23: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó. Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Lời giải

Điều này được giải thích bởi tính chất của đường thẳng và góc vuông. Một đường thẳng là đường đi qua hai điểm bất kỳ trên không gian và tạo thành một góc 180 độ. Trong khi đó, một góc vuông là một góc có độ lớn là 90 độ. Vì vậy, nếu ta đặt cột treo lên sao cho nó vuông góc với đường thẳng trên sàn nhà, thì chắc chắn cột treo sẽ đứng vuông góc với sàn nhà.

Bẳng cách này, ta có thể đảm bảo rằng cột treo sẽ được đặt đúng vị trí và đứng thẳng đứng góc với sàn nhà, giúp cho quá trình sử dụng cột treo quần áo được dễ dàng hơn và tiện lợi hơn.

Câu 24: Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho các đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng vuông góc với một mặt phẳng $\left( P \right)$. Chứng minh rằng ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Lời giải

Các đường thẳng $AB,AC$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mặt khác, qua điểm $A$ có duy nhất đường thẳng vuông góc với $\left( P \right)$. Do đó hai đường thẳng $AB,AC$ trùng nhau. Vậy $A,B,C$ thẳng hàng.

Câu 25: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Lời giải

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt và cùng vuông góc với một đường thẳng, đường thẳng đó là đường thẳng chứa một trong các chân bàn.

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp $S.ABCD$ là các tam giác vuông.

Lời giải

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB,SA \bot AD,SA \bot BC,SA \bot CD$.

Mặt khác, $BC \bot AB,CD \bot AD \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right),CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SB,CD \bot SD$.

Vậy các mặt bên $SAD,SDC,SBC,SAB$ là các tam giác vuông.

Câu 27: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Lời giải

Quả dọi vuông góc với mặt phẳng nước.

Câu 28: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột $1{\text{\;m}}$ đến một điểm trên cột, cách chân cột $1{\text{\;m}}$ được kết quả là $1,5m$. Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Lời giải

Đo chính xác thì cột không vuông góc với mặt sân vì nếu vuông góc với mặt sân thì theo định lí Pythagore, cạnh huyền bằng $\sqrt 2 m$, không phải $1,5m$.

Câu 29: Một chiếc cột được dựng trên nền sân phẳng. Gọi $O$ là điểm đặt chân cột trên mặt sân và $M$ là điểm trên cột cách chân cột $40{\text{\;cm}}$. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ đều cách $O$ là $30{\text{\;cm}}$ ( $A,B,O$ không thẳng hàng). Người ta đo độ dài $MA$ và $MB$ đều bằng $50{\text{\;cm}}$. Hỏi theo các số liệu trên, chiếc cột có vuông góc với mặt sân hay không?

Lời giải

Ta có: ${50^2} = {40^2} + {30^2}$ nên $M{A^2} = M{O^2} + O{A^2}$ và $M{B^2} = M{O^2} + O{B^2}$.

Do đó, tam giác $MOA$ và tam giác $MOB$ vuông tại $O$, hay $MO \bot OA,MO \bot OB$. Suy ra $MO \bot \left( {OAB} \right)$.

Vậy chiếc cột vuông góc với mặt sân.

Câu 30: Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

Lời giải

Vì dây dọi song song với cây cột và dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn nên cây cột vuông góc với mặt phẳng sàn.

Câu 31: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \bot AB$. Lấy hai điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ và điểm $P$ nằm trên cạnh $SA$. Chứng minh rằng tam giác $MNP$ là tam giác vuông.

Lời giải

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ mà $BC \subset \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot BC$.

Mà $BC \bot AB,AB$ và $SA$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$. Suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SC$ nên $MN//BC$. Suy ra $MN \bot \left( {SAB} \right)$.

Mà $PM \subset \left( {SAB} \right)$ nên $MN \bot PM$.

Vậy tam giác $MNP$ vuông tại $M$.

Câu 32: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \bot \left( {BCD} \right)$, các tam giác $BCD$ và $ACD$ là những tam giác nhọn.

Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $BCD,ACD$. Chứng minh rằng:

a) $CD \bot \left( {ABH} \right)$ và $CD \bot \left( {ABK} \right)$;

b) Bốn điểm $A,B,H,K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Ba đường thẳng $AK,BH,CD$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải

a) Vì $AB \bot \left( {BCD} \right)$ và $CD \subset \left( {BCD} \right)$ nên $AB \bot CD$. Mà $BH \bot CD$ vì $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$ và $AB,BH$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( {ABH} \right)$ nên $CD \bot \left( {ABH} \right)$.

Tương tự ta chứng minh được $CD \bot \left( {ABK} \right)$.

b) Vì hai mặt phẳng $\left( {ABH} \right)$ và $\left( {ABK} \right)$ cùng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $CD$ nên hai mặt phẳng này trùng nhau. Vậy bốn điểm $A,B,H,K$ cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, gọi $I$ là giao điểm của $BH$ và $CD$. Khi đó, ba điểm $A,K,I$ đều thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABHK} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$. Suy ra $A,K,I$ thẳng hàng. Vậy ba đường thẳng $AK,BH,CD$ cùng đi qua một điểm.

Câu 33: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ thoả mãn $SA = SB = SC = SD$. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác $ABCD$.

Lời giải

Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$. Chứng minh tương tự Bài 16 , ta có $OA = OB = OC = OD$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh tứ giác $ABCD$.

Câu 34: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm $A,B$ sao cho $B$ thuộc $\left( P \right)$ và $A$ không thuộc $\left( P \right)$. Điểm $C$ chuyển động trên mặt phẳng $\left( P \right)$ thoả mãn $\widehat {ACB} = {90^ \circ }$. Chứng minh rằng $C$ chuyển động trên một đường tròn cố định trong $\left( P \right)$.

Lời giải

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( P \right)$. Khi đó $H$ cố định và $HC$ là hình chiếu của $AC$ trên $\left( P \right)$. Vì $BC \bot AC$ nên theo Định lí ba đường vuông góc ta có $BC \bot HC$. Do đó $C$ chuyển động trên đường tròn đường kính $HB$ cố định nằm trong $\left( P \right)$.

Câu 35: Cho đoạn thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $\left( P \right) \bot AB$ và $\left( P \right)$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại điểm $H$ thoả mãn $HA = 4{\text{\;cm}},HB = 9{\text{\;cm}}$. Điểm $C$ chuyển động trong mặt phẳng $\left( P \right)$ thoả mãn $\widehat {ACB} = {90^ \circ }$. Chứng minh rằng điểm $C$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính $6{\text{\;cm}}$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Lời giải

Vì $AC \bot CB$ nên $A,B,C$ không thẳng hàng. Do $AB \bot \left( P \right),HC \subset \left( P \right)$ nên $AB \bot HC$. Ta có $\vartriangle HBC$ đồng dạng $\vartriangle HCA$ nên $H{C^2} = HA.HB$, suy ra $HC = \sqrt {4.9} = 6\left( {{\text{\;cm}}} \right)$. Vậy $C$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính $6{\text{\;cm}}$ trong $\left( P \right)$.