Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Thể Tích Khối Chóp Lớp 11 Giải Chi Tiết

Các dạng toán trắc nghiệm thể tích khối chóp lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Lý thuyết

Câu 1: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là

A. $V = \frac{1}{2}Bh$. B. $V = \frac{1}{6}Bh$. C. $V = Bh$. D. $V = \frac{1}{3}Bh$.

Lời giải

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$ là: $V = \frac{1}{3}Bh$.

Chọn D

Câu 2: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao bằng $4a$. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. $16{a^3}$. B. $\frac{{16}}{3}{a^3}$. C. $4{a^3}$. D. $\frac{4}{3}{a^3}$.

Lời giải

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$$ = \frac{1}{3}{a^2}.4a$$ = \frac{4}{3}{a^3}$.

Chọn D

Câu 3: Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là

A. $12$. B. $48$. C.$16$. D. $24$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.8.6 = 16$.

Chọn B

Câu 4: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $2a$ và chiều cao bằng $3a$. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. $16{a^3}$ B. $\frac{{16}}{3}{a^3}$ C. $4{a^3}$ D. $\frac{4}{3}{a^3}$

Lời giải

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3}B.h$$ = \frac{1}{3}{\left( {2a} \right)^2}.3a$$ = 4{a^3}$.

Chọn C

Câu 5: Khối chóp có một nửa diện tích đáy là $S$, chiều cao là $2h$ thì có thể tích là

A. $V = S.h$. B. $V = \frac{1}{3}S.h$. C. $V = \frac{4}{3}S.h$. D. $V = \frac{1}{2}S.h$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.2S.2h = \frac{4}{3}S.h$.

Chọn C

Câu 6: Khối chóp có thể tích $V$, diện tích đáy là $S$, chiều cao $h$ là

A. $h = \frac{V}{S}$. B. $h = \frac{{3V}}{S}$. C. $h = \frac{S}{{3V}}$. D. $h = \frac{S}{V}$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S}$.

Chọn B

Câu 7: Khối chóp có thể tích $V = 10\,c{m^3}$, diện tích đáy là $S = 6\,c{m^2}$, chiều cao $h$ là

A. $h = 8\,cm$. B. $h = 7\,cm$. C. $h = 6\,cm$. D. $h = 5\,cm$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3.10}}{6} = 5\,cm$.

Chọn D

Câu 8: Khối chóp có thể tích $V$, chiều cao $h$, diện tích đáy $S$ của khối chóp là

A. $S = \frac{V}{h}$. B. $S = \frac{{3V}}{h}$. C. $S = \frac{h}{{3V}}$. D. $S = 3Vh$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h}$.

Chọn B

Câu 9: Khối chóp có thể tích $V = 6\,c{m^3}$, chiều cao $h = 9\,cm$, diện tích đáy $S$của khối chóp là

A. $S = 2\,c{m^2}$. B. $S = 1\,c{m^2}$. C. $S = 3\,c{m^2}$. D. $S = 4\,c{m^2}$.

Lời giải

Ta có: $V = \frac{1}{3}S.h \Rightarrow S = \frac{{3V}}{h} = \frac{{3.6}}{9} = 2\,c{m^2}$.

Chọn A

Câu 10: Nếu chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần

A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..

Lời giải

Ta có: ${V_1} = \frac{1}{3}S.h$.

Chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp là ${V_2} = \frac{1}{3}S.(3h) = S.h$

Suy ra, $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{S.h}}{{\frac{1}{3}S.h}} = 3$

Vậy, chiều cao của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.

Chọn C

Câu 11: Nếu diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng bao nhiêu lần

A. $27$ lần. B. $9$ lần.. C. $3$ lần. D. $6$ lần..

Lời giải

Ta có: ${V_1} = \frac{1}{3}S.h$.

Diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp là ${V_2} = \frac{1}{3}3S.h = S.h$

Suy ra, $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{S.h}}{{\frac{1}{3}S.h}} = 3$

Vậy, diện tích đáy của khối chóp tăng lên 3 lần thì thể tích khối chóp tăng $3$lần.

Chọn C

Dạng 2. Thể tích có cạnh bên vuông góc với đáy:

a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác

Câu 12: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB = a,AC = 2a.SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

A. $V = {a^3}\sqrt 3 $.

B. $V = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.

C. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.

D. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}$.

Lời giải

Do $SA \bot (ABC) \Rightarrow h = SA = a\sqrt 3 $. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ${S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = {a^2}$

Ta có: ${V_{S \cdot ABC}}\frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot SA = = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}$.

Chọn C

Câu 13: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S A B C$.

A. $V = 3{a^3}$.

B. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$.

C. $V = {a^3}\sqrt 3 $.

D. $V = {a^3}$.

Lời giải

Ta có $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}},SA = a\sqrt 3 $ và ${S_{ABC}} = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4}$

$ \Rightarrow V = \frac{1}{3}a\sqrt 3 \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^3}$.

Vậy $V = {a^3}$.

Chọn D

Câu 14: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 4,AB = 6,BC = 10$ và $CA = 8$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABC$.

A. $V = 40$. B. $V = 192$. C. $V = 32$. D. $V = 24$.

Lời giải

Ta có $A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} = B{C^2}$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$, do đó diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 24 = 32$.

Chọn C

Câu 15: Cho khối chóp $S \cdot ABC$ có $SA$ vuông góc với $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,BC = 2a$, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là ${30^\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S \cdot ABC$

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}$. B. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$. C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$.

Lời giải

Ta có $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ suy ra góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat {SBA} = {30^\circ }$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,BC = 2a \Rightarrow AB = AC = a\sqrt 2 $.

Xét $\vartriangle SAB$ vuông tại $A$ có $SA = AB \cdot \tan {30^\circ } = a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Ta có ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = {a^2}$.

Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}$.

Chọn A

b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

A. $\frac{{4{a^3}}}{3}$. B. $2{a^3}$. C. $\frac{{{a^3}}}{3}$. D. $\frac{{2{a^3}}}{3}$.

Lời giải

Ta có ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}.2a = \frac{{2{a^3}}}{3}$.

Chọn D

Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$của hình chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}$ . B. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}$. C. $V = \sqrt 2 {a^3}$. D. $V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Lời giải

Ta có $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$

Chọn D

Câu 18: Cho khối chóp$S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt 3 $, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$và $SB$ tạo với đáy một góc $60^\circ $. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = 9{a^3}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = \frac{{9{a^3}}}{2}$. D. $V = 3{a^3}$.

Lời giải

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

$ \Rightarrow \widehat {\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ $.

Trong tam giác vuông $SAB$,

$SA = \tan 60^\circ .AB = \sqrt 3 .a\sqrt 3 = 3a$.

${S_{ABCD}} = A{B^2} = {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3{a^2}$.

Vậy thể tích $V$của khối chóp $S.ABCD$ là$V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.3{a^2}.3a = 3{a^{.3}}$.

Chọn D

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat {BAD} = {120^0}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$ và $SD$ tạo với đáy $\left( {ABCD} \right)$ một góc ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$. D. $V = {a^3}$.

Lời giải

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên ta có $\left( {\widehat {SD,\left( {ABCD} \right)}} \right) = (SD;AD) = \widehat {SDA} = {60^0}.$

Tam giác vuông $SAD$, có $SA = AD.\tan \widehat {SDA} = a\sqrt 3 .$

Diện tích hình thoi ${S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta BAD}} = AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy thể tích khối chop ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}}}{2}.$

Chọn C.

Dạng 3. Thể tích có mặt bên vuông góc với đáy:

a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác

Câu 20: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có $AB = a$, $BC = a\sqrt 3 $. Mặt bên $\left( {SAB} \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$. C. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.

Lời giải

Ta có: $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$

Kẻ $SH \bot AB$ tại$H$

$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH$

Tam giác $SAB$ là đều cạnh $AB = a$ nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác vuông $ABC$, có $AC = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 $.

Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.$

Chọn A.

Câu 21: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AC = 2a$, $AB = SA = a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABC} \right)$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

A. $V = \frac{{{a^3}}}{4}$. B. $V = \frac{{3{a^3}}}{4}$. C. $V = {a^3}$. D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.

Lời giải

Ta có: $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$

Kẻ $SH \bot AC$ tại$H$

$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH$

Trong tam giác vuông $SAC$, ta có

$SC = \sqrt {A{C^2} – S{A^2}} = a\sqrt 3 $, $SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác vuông $ABC$, có $BC = \sqrt {A{C^2} – A{B^2}} = a\sqrt 3 $.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}}}{4}.$

Chọn A.

b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

Câu 22: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $SA = 2a$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}$. C. $V = 2{a^3}$. D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$.

Lời giải

Ta có: $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$

Kẻ $SI \bot AB$ tại$I$

$ \Rightarrow $ $SI \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SI$

Tam giác vuông $SIA$, có

$SI = \sqrt {S{A^2} – I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} – {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$.

Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = {a^2}.$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.$

Chọn B.

Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt 3 $, tam giác $SBC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng $SD$ tạo với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ một góc ${60^0}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$. B. $V = \sqrt 6 $. C. $V = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$. D. $V = \sqrt 3 $.

Lời giải

Ta có: $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$

Kẻ $SH \bot BC$ tại $H$

$ \Rightarrow $ $SH \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{DC \bot BC} \\
{DC \bot SH}
\end{array}} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $\left( {\widehat {SD,\left( {SBC} \right)}} \right) = \left( {SD,SC} \right) = \widehat {DSC} = {60^0}$.

Từ $DC \bot \left( {SBC} \right)\xrightarrow{{}}DC \bot SC.$

Tam giác vuông $SCD,$ có $SC = \frac{{DC}}{{\tan \widehat {DSC}}} = 1$.

Tam giác vuông $SBC$, có

$SH = \frac{{SB.SC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {B{C^2} – S{C^2}} .SC}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = 3.$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.$

Chọn C.

Dạng 4. Thể tích của khối chóp đều:

a) Thể tích của hình chóp có đáy là tam giác

Câu 24: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{{\sqrt {13} \,{a^3}}}{{12}}.$ B. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.$ C. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{6}.$ D. $V = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{4}.$

Lời giải

Gọi $I$ là tâm tam giác $ABC.$

Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SI \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác $SAI$ vuông tại $I$, có

$SI = \sqrt {S{A^2} – S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.$

Chọn B.

Câu 25: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $\frac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.

Lời giải

Gọi $I$ là tâm tam giác $ABC.$ Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SI \bot \left( {ABC} \right).$

$ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác $SAI$ vuông tại $I$, có

$SI = \sqrt {S{A^2} – A{I^2}} \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}.$

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$

Chọn C.

Câu 26: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}$. C. $V = \frac{{{a^3}}}{8}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

Lời giải

Gọi $O$ là tâm tam giác $ABC$.

Vì $S.ABC$ là khối chóp đều nên suy ra$\,\,SO \bot \left( {ABC} \right).$

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Khi đó $\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {SE,OE} \right) = \widehat {SEO} = {60^0}$.

Tam giác vuông $SOE$, có

$SO = OE.\tan \widehat {SEO} = \frac{{AE}}{3}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}$.

Diện tích tam giác đều $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.$

Chọn A.

b) Thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

Câu 27: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${60^0}$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$. D. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Lời giải

Gọi $O = AC \cap BD.$

Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Suy ra $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên $\left( {ABCD} \right)$.

Khi đó ${60^0}{\text{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}$.

Tam giác vuông $SOB$, có $SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Diện tích hình vuông $ABC$ là ${S_{ABCD}} = A{B^2} = {a^2}.$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.$

Chọn A.

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $2a$. Mặt bên tạo với đáy góc ${60^0}$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SD$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối tứ diện $DKAC$.

A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}$. B. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{5}$. C. $V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}$. D. $V = {a^3}\sqrt 3 $.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm $CD$, suy ra $OM \bot CD$ nên

$\left( {\widehat {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {SM,OM} \right) = \widehat {SMO} = {60^0}$.

Tam giác vuông $SOM$, có $SO = OM.\tan \widehat {SMO} = a\sqrt 3 $.

Kẻ $KH \bot OD \Rightarrow KH\parallel SO$ nên $KH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Tam giác vuông $SOD$, ta có $\frac{{KH}}{{SO}} = \frac{{DK}}{{DS}} = \frac{{D{O^2}}}{{D{S^2}}}$

$ = \frac{{O{D^2}}}{{S{O^2} + O{D^2}}} = \frac{2}{5}\xrightarrow{{}}KH = \frac{2}{5}SO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.$

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{2}AD.DC = 2{a^2}$.

Vậy ${V_{DKAC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ADC}}.KH = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}.$

Chọn C.