Các Dạng Toán Về Thể Tích Khối Lăng Trụ Lớp 11 Giải Chi Tiết

Các dạng toán về thể tích khối lăng trụ lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Thể tích của khối lăng trụ đứng

Phương pháp:

+ Thể tích khối lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đa giác đáy, $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.

+ Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy.

+ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA’ = \sqrt 2 a$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải

Ta có: $A’A \bot (ABC)$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.

Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và góc giữa$A’B$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng ${30^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

Lời giải

Ta có: $A’A \bot (ABC)$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ $ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(cạnh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $

Ta có: $AB$ là hình chiếu của $A’B$ lên $(ABC)$

$ \Rightarrow \left( {\widehat {A’B,\,(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {A’B,\,AB}} \right) = \widehat {A’BA} = {30^0}$

Tam giác $A’AB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat {A’BA} = \frac{{A’B}}{{AB}} \Rightarrow A’B = AB.\tan \widehat {A’BA}$

$ = 2a.\tan {30^0} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = {a^2}\sqrt 3 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = 2{a^3}$.

Câu 3. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $B$; $BA = a;\,BC = a\sqrt 3 $ và $AA’ = a\sqrt 2 $. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải

Ta có: $A’A \bot (ABC)$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$.

Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có $AA’ = a\sqrt 3 $; $CA = a;\,CB = 2a$ và $\widehat {ACB} = {120^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải

Ta có: $A’A \bot (ABC)$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat {ACB}$

$ = \frac{1}{2}.a.2a.\sin {120^0} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{2}$.

Câu 5. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $BB’ = a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ $ \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$.

Suy ra: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}$.

Khi đó: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.BB’ = \frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{2}$.

Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$ và $A’B = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải

Ta có $AA’ = \sqrt {A'{B^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 $, ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V = AA’.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.

Câu 7. Tính thể tích $V$của khối lập phương$ABCD.A’B’C’D’$, biết $AC’ = 2a\sqrt 3 $.

Lời giải

Gọi $x$ là độ dài cạnh của khối lập phương $\left( {x > 0} \right)$

Tam giác $AA’C’$ vuông tại $A’$, ta có

$A{C’^2} = A'{A^2} + A'{C’^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} = {x^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2}$

$ \Rightarrow x = 2a$.

Thể tích của khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$là $V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}$.

Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $AA’ = \frac{{3a}}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đó.

Lời giải

Ta có: $A’H \bot (ABC)$

$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’H$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ với $AH$ là trung tuyến$ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tam giác $HAA’$ vuông tại $H$ có $A’H = \sqrt {A{{A’}^2} – A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $

$ = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} – \frac{{3{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{6{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$.

Câu 9. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$, các cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

Lời giải

Kẻ $AH’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {A’A,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {A’AH} = 60^\circ .$

Xét $\Delta AHA’$ có $\sin 60^\circ = \frac{{A’H}}{{AA’}} \Rightarrow A’H = AA’.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}.$

Câu 10. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,\;AC = 2\sqrt 2 $, biết góc giữa $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$ và $AC’ = 4$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

Lời giải

Gọi $H$ là hình chiếu của $C’$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, khi đó $C’H$ là đường cao $ \Rightarrow \left( {\widehat {AC’,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {C’AH} = {60^0}$

Xét tam giác vuông $AC’H$ ta có $C’H = C’A.\sin {60^0} = 2\sqrt 3 $

Khi đó ${V_{ABC.A’B’C}} = {S_d}.C’H = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $.