Trắc Nghiệm Bài Phép Chiếu Vuông Góc-Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Trắc nghiệm bài Phép chiếu vuông góc-Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?

A. $SB$ và $AB$.

B. $SB$ và $SC$.

C. $SA$ và $SB$.

D. $SB$ và $BC$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: Hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $AB$ nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AB$.

Câu 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$; tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA = a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

A. ${60^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${135^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SCA}$.

Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ nên góc $\widehat {SCA} = {45^ \circ }$.

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ cạnh $a$, SA vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3 $. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng:

A. ${90^0}$.

B. ${45^0}$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Lời giải

Chọn C

Vì $SA \bot ABCD$ nên góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SDA}$.

Trong tam giác vuông $SDA$ ta có: $tan\widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = {60^ \circ }$.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a,SA \bot \left( {ABCD} \right),SA = a\sqrt 2 $. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

A. ${30^ \circ }$.

B. ${45^0}$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

$\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$

Trong tam giác vuông $SAC$ có $SA = AC = a\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^ \circ }$.

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right).SA = \sqrt 2 a$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB = a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

A. ${45^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Suy ra góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\widehat {SCA} = \varphi $.

Ta có $AC = a\sqrt 2 ,SA = a\sqrt 2 $ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $A \Rightarrow \varphi = {45^ \circ }$.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Hãy chọn khẳng định đúng.

A. $BC \bot SC$.

B. $BC \bot AH$.

C. $BC \bot AB$.

D. $BC \bot AC$.

Lời giải

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot SH} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot AH} \right.$.

Câu 7: Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng 2 , cạnh bên $SA$ bằng 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh bên $SB$ và $N$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SO$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $AC \bot \left( {SDO} \right)$.

B. $AM \bot \left( {SDO} \right)$.

C. $SA \bot \left( {SDO} \right)$.

D. $AN \bot \left( {SDO} \right)$.

Lời giải

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AC} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \supset AN \Rightarrow AN \bot BC} \right.$.

Theo giả thiết: $AN \bot SO$.

Vậy $AD \bot \left( {SDO} \right)$.

Câu 8: Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $SB$ và $SC$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $AM \bot SC$.

B. $AM \bot MN$.

C. $AN \bot SB$.

D. $SA \bot BC$.

Lời giải

Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right),AM \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$.

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AM \bot SB} \\
{AM \bot BC}
\end{array} \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SC \Rightarrow } \right.$ Đáp án $AM \bot SC$ đúng.

Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AM \bot \left( {SBC} \right)} \\
{MN \subset \left( {SBC} \right)}
\end{array} \Rightarrow AM \bot MN \Rightarrow } \right.$ Đáp án $AM \bot MN$ đúng.

$SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC \Rightarrow $ Đáp án $SA \bot BC$ đúng.

Vậy $AN \bot SB$ sai.

Câu 9: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),SA = 2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B,AB = a$ và $BC = \sqrt 3 a$ (minh họa như hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

A. ${90^ \circ }$.

B. ${30^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Chọn D

Vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, suy ra góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\widehat {SCA}$.

Mà $tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = 1$.

Vậy $\widehat {SCA} = {45^ \circ }$.

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),SA = 2a$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AB = a\sqrt 2 $ (minh họa như hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên đường thẳng $AC$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Do đó, $\alpha = \left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ ).

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC = AB\sqrt 2 = 2a$.

Suy ra $tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1$ nên $\alpha = {45^ \circ }$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB = 2a$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${90^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Chọn A

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat {SBA}$.

Ta có $cos\widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SB$ và và mặt phẳng đáy bằng bằng ${60^ \circ }$.

Câu 12: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $C,AC = a,BC = \sqrt 2 a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${90^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Chọn C

Có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SA$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

$ \Rightarrow \left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA}$

Mặt khác có $\vartriangle ABC$ vuông tại $C$ nên $AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} = a\sqrt 3 $.

Khi đó $tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ nên $\left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = {30^ \circ }$.

Câu 13: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB = a$ và $SB = 2a$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy bằng.

A. ${60^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải.

Chọn A

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ tại $A$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy.

Suy ra góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là $\widehat {SBA}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại A nên $cos\widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }$.

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt 2 a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng

A. ${45^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Chọn A

Do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat {SCA}$.

Ta có $SA = \sqrt 2 a,AC = \sqrt 2 a \Rightarrow tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^ \circ }$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và và mặt phẳng đáy bằng bằng ${45^ \circ }$.

Câu 15: Cho hình chóp $S.ABC$ tam giác $ABC$ vuông tại $B$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABC} \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Mệnh đề nào sau đây ${\mathbf{SAI}}$ ?

A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông

B. $\vartriangle SBC$ vuông.

C. $AH \bot SC$

D. Góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SCB}$

Lời giải

Chọn D

Ta có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABC} \right)$.

Nên hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng đáy $\left( {ABC} \right)$ là $AC$

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SCA}$

Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = a,AD = 2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),SA = 3a$. Gọi $\varphi $ là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ (tham khảo hình vẽ bên). Khi đó tan $\varphi $ bằng

A. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

B. $\frac{3}{5}$.

C. $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

D. $\frac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $\left( {ABCD} \right)$ nên $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \angle SCA = \varphi $

Ta có: $AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = \sqrt 5 a$.

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $tan\varphi = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 a}} = \frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$.

Câu 17: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Gọi $\alpha $ là số đo của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Tính $tan\alpha $.

A. 1 .

B. $\sqrt 3 $.

C. 0 .

D. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Lời giải

Chọn A

$AH$ là hình chiếu của $SA$ trên $\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,AH} \right) = \widehat {SAH} = \alpha $.

$\vartriangle SBC = \vartriangle ABC \Rightarrow SH = AH \Rightarrow \vartriangle SAH$ vuông cân tại $H \Rightarrow \alpha = \widehat {SAH} = {45^ \circ }$.

Vậy $tan\alpha = 1$.

Câu 18: Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặt phẳng $\left( {A’B’C’} \right)$ bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${90^ \circ }$.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết của bài toán suy ra: $A’B’$ là hình chiếu vuông góc của $AB’$ trên $\left( {A’B’C’} \right)$.

Do đó, $\overline {\left( {AB’,\left( {A’B’C’} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AB’,A’B’} \right)} = \widehat {AB’A’}$.

Tam giác $AB’A’$ vuông tại $A’$ có $AA’ = A’B’ = a \Rightarrow {\text{\Delta }}AA’B’$ vuông cân tại $A’$.

Suy ra $\widehat {\left( {AB’,\left( {A’B’C’} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AB’,A’B’} \right)} = \widehat {AB’A’} = {45^ \circ }$.

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc mặt đáy và $SA = a$. Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Xác định $cot\varphi $ ?

A. $cot\varphi = 2$.

B. $cot\varphi = \frac{1}{2}$.

C. $cot\varphi = 2\sqrt 2 $.

D. $cot\varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {SB,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,BA}} \right) = \widehat {SBA}$

$ \Rightarrow {\text{cot}}\varphi = \frac{{AB}}{{SA}} = \frac{{2a}}{a} = 2$.

Câu 20: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SB$ vuông góc $\left( {ABC} \right)$. Góc giữa $SC$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa

A. $SC$ và $AC$.

B. $SC$ và $AB$.

C. $SC$ và $BC$.

D. $SC$ và $SB$.

Lời giải

Chọn C

Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( {ABC} \right)$ là $BC$ nên góc giữa $SC$ với $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $SC$ và $BC$.

Câu 21: Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ có $BD = 4a,AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $tan\widehat {SBO} = \frac{1}{2}$. Tính số đo góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.

A. ${60^ \circ }$.

B. ${75^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Chọn D

Góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SCO}$.

$BD = 4a \Rightarrow BO = 2a$

$SO = BO \cdot tan\widehat {SBO} = 2a \cdot \frac{1}{2} = a$

$AC = 2a \Rightarrow OC = a$

Vậy $\widehat {SCO} = {45^ \circ }$.

Câu 22: Cho hình chóp $S.MNP$ có đáy là tam giác đều, $MN = a,SM$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SP = 2a$, với $0 < a \in \mathbb{R}$. Tính góc giữa đường thẳng $SN$ và mặt phẳng đáy.

A. ${45^ \circ }$.

B. ${90^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $SN = SP = 2a$

Vì $SM \bot \left( {MNP} \right) \to \left( {\overline {SN,\left( {MNP} \right)} } \right) = \widehat {SNM}$

$cos\widehat {SNM} = \frac{{MN}}{{SN}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \to \widehat {SNM} = {60^ \circ }$

Câu 23: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là:

A. ${90^0}$

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải.

• Nhận thấy $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên góc giữa $SC$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $\widehat {SCA}$.

• Do $\vartriangle SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {SCA} = {45^ \circ }$.

Câu 24: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\sqrt 3 $. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

A. ${75^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${60^ \circ }$.

D. ${30^ \circ }$.

Lời giải

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {\widehat {SB,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBA}$

Suy ra $tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^ \circ }$.

Câu 25: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$ Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $ABCD$ là $\alpha $. Khi đó $tan\alpha $ bằng

A. $\sqrt 2 $.

B. $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

C. 2 .

D. $2\sqrt 2 $.

Lời giải

$tan\alpha = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $.

Câu 26: Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a,H$ là hình chiếu của $S$ lên $AB$, tam giác $SAB$ vuông cân tại $S,SH$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$. Góc giữa cạnh $SC$ và mặt đáy bằng:

A. ${60^ \circ }$.

B. ${30^ \circ }$.

C. ${90^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Do tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AB$ và ta có $SH = \frac{1}{2}AB = a$.

Góc giữa cạnh $SC$ và mặt đáy là góc $\widehat {SCH}$.

Xét tam giác vuông $HSC$ có $HC = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ,SH = a$ nên $tan\widehat {SCH} = \frac{{HS}}{{HC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

$ \Rightarrow \widehat {SCH} = {30^ \circ }$.

Câu 27: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $H$ là trung điểm của cạnh $AB$.

B. $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

C. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

D. $H$ là trung điểm của cạnh $AC$.

Lời giải

Do $SA = SB = SC$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ trên $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm $H$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Mặt khác tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $H$ là trung điểm của $AB$.

Câu 28: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right),SA = 2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B,AB = a\sqrt 3 $ và $BC = a$ (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng

A. ${90^ \circ }$.

B. ${45^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${60^ \circ }$.

Lời giải

Chọn B

Ta thấy hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( {ABC} \right)$ là $AC$ nên $\left( {\widehat {SC,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SCA}$.

Mà $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a$ nên $tan\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1$.

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^ \circ }$.

Câu 29: Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a,\widehat {ADC} = {60^ \circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,SO \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SO = a$. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng

A. ${60^ \circ }$.

B. ${75^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${45^ \circ }$.

Lời giải

Ta có $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$, và $\widehat {ADC} = {60^ \circ }$ nên $\vartriangle ACD$ đều và $OD = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SDO}$ và tan $\widehat {SDO} = \frac{{SO}}{{DO}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

suy ra $\widehat {SDO} = {30^ \circ }$.

Câu 30: Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có $AB = \sqrt 3 $ và $AA’ = 1$. Góc tạo bởi giữa đường thẳng $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng

A. ${45^ \circ }$.

B. ${60^ \circ }$.

C. ${30^ \circ }$.

D. ${75^ \circ }$.

Lời giải

Ta có $\left( {\widehat {A{C^\prime },(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {A{C^\prime },AC}} \right) = \widehat {CA{C^\prime }}$

$\tan \widehat {{C^\prime }AC} = \frac{{C{C^\prime }}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {{C^\prime }AC} = {30^\circ }$