- Các Dạng Toán Bài Hai Đường Thẳng Vuông Góc Lớp 11 Giải Chi Tiết
- 30 Câu Trắc Nghiệm Bài Hai Đường Thẳng Vuông Góc Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- 20 Câu Trắc Nghiệm Bài Hai Đường Thẳng Vuông Góc Mức Vận Dụng Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Giải Chi Tiết
- 20 Câu Trắc Nghiệm Bài Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- Trắc Nghiệm Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Mức Vận Dụng Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Phép Chiếu Vuông Góc-Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
- Trắc Nghiệm Bài Phép Chiếu Vuông Góc-Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
- 50 Câu Trắc Nghiệm Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Mức Vận Dụng
- Các Dạng Toán Bài Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Giải Chi Tiết
- 20 Câu Trắc Nghiệm Lý Thuyết Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Giải Chi Tiết
- 30 Câu Trắc Nghiệm Bài Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Khoảng Cách Lớp 11 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Bài Khoảng Cách Lớp 11 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Về Thể Tích Khối Chóp Lớp 11 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Thể Tích Khối Chóp Lớp 11 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Về Thể Tích Khối Lăng Trụ Lớp 11 Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Thể Tích Khối Lăng Trụ Lớp 11 Giải Chi Tiết
Các dạng toán về thể tích khối lăng trụ lớp 11 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Thể tích của khối lăng trụ đứng
Phương pháp:
+ Thể tích khối lăng trụ $V = S.h$ với $S$ là diện tích đa giác đáy, $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.
+ Lăng trụ đứng là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy.
+ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $AA’ = \sqrt 2 a$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.
Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ và góc giữa$A’B$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng ${30^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ $ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(cạnh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 $
Ta có: $AB$ là hình chiếu của $A’B$ lên $(ABC)$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {A’B,\,(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {A’B,\,AB}} \right) = \widehat {A’BA} = {30^0}$
Tam giác $A’AB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat {A’BA} = \frac{{A’B}}{{AB}} \Rightarrow A’B = AB.\tan \widehat {A’BA}$
$ = 2a.\tan {30^0} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = {a^2}\sqrt 3 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = 2{a^3}$.
Câu 3. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $B$; $BA = a;\,BC = a\sqrt 3 $ và $AA’ = a\sqrt 2 $. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
Câu 4. Cho khối lăng trụ đứng$ABC.A’B’C’$ có $AA’ = a\sqrt 3 $; $CA = a;\,CB = 2a$ và $\widehat {ACB} = {120^0}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có: $A’A \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’A$
${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CA.CB.\sin \widehat {ACB}$
$ = \frac{1}{2}.a.2a.\sin {120^0} = {a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Vậy, thể tích của khối lăng trụ đã cho là: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.AA’ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}}}{2}$.
Câu 5. Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $BB’ = a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt 2 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ $ \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a$.
Suy ra: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}$.
Khi đó: ${V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{ABC}}.BB’ = \frac{1}{2}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{2}$.
Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = a$ và $A’B = a\sqrt 3 $. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Ta có $AA’ = \sqrt {A'{B^2} – A{B^2}} = a\sqrt 2 $, ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V = AA’.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$.
Câu 7. Tính thể tích $V$của khối lập phương$ABCD.A’B’C’D’$, biết $AC’ = 2a\sqrt 3 $.
Lời giải
Gọi $x$ là độ dài cạnh của khối lập phương $\left( {x > 0} \right)$
Tam giác $AA’C’$ vuông tại $A’$, ta có
$A{C’^2} = A'{A^2} + A'{C’^2}$
$ \Leftrightarrow {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2} = {x^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2}$
$ \Leftrightarrow 12{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2}$
$ \Rightarrow x = 2a$.
Thể tích của khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$là $V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}$.
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên
Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $AA’ = \frac{{3a}}{2}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đó.
Lời giải
Ta có: $A’H \bot (ABC)$
$ \Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’H$
Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$$ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(canh)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ với $AH$ là trung tuyến$ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
Tam giác $HAA’$ vuông tại $H$ có $A’H = \sqrt {A{{A’}^2} – A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} – \frac{{3{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{6{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$.
Câu 9. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$, các cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ $. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Lời giải
Kẻ $AH’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {A’A,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {A’AH} = 60^\circ .$
Xét $\Delta AHA’$ có $\sin 60^\circ = \frac{{A’H}}{{AA’}} \Rightarrow A’H = AA’.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là $V = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}.$
Câu 10. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,\;AC = 2\sqrt 2 $, biết góc giữa $AC’$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$ và $AC’ = 4$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu của $C’$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, khi đó $C’H$ là đường cao $ \Rightarrow \left( {\widehat {AC’,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {C’AH} = {60^0}$
Xét tam giác vuông $AC’H$ ta có $C’H = C’A.\sin {60^0} = 2\sqrt 3 $
Khi đó ${V_{ABC.A’B’C}} = {S_d}.C’H = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $.