Các Dạng Bài Tập Về Hai Đường Thẳng Song Song Trong Không Gian

Các dạng bài tập về hai đường thẳng song song trong không gian được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song hoặc đồng quy

1. Phương pháp

– Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng qui hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mp phân biệt lần lượt chứa hai đt song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đt đó hoặc trùng với một trong hai đt đó.

– Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\left\{ \begin{gathered}
a \ne b \hfill \\
a//c \hfill \\
b//c \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow a//b$

2. Các ví dụ 

Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AC$. Trên cạnh $PD$ lấy điểm $P$ sao cho $DP = 2PB$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(ABD),(BCD)$.

b) Trên cạnh $AD$ lấy điểm $Q$ sao cho $DQ = 2QA$. Chứng minh: $PQ$ song song với mặt phẳng $(ABC)$, ba đường thẳng $DC,QN,PM$ đồng quy.

Lời giải

a) Do đó: $\left\{ \begin{gathered}
MN \subset \left( {MNP} \right) \hfill \\
AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \\
MN//AB \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABD} \right) = Px//AB//MN$

Xác định giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$:

Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( {MNP} \right) \hfill \\
M \in BC \subset (BCD) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNP} \right) \cap (BCD)$

Mặt khác: $\left\{ \begin{gathered}
P \in \left( {MNP} \right) \hfill \\
P \in BD \subset (BCD) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap (BCD)$

Vậy $\left( {MNP} \right) \cap (BCD) = MP$ là giao tuyến cần tìm

Chứng minh$PQ$ song song với mặt phẳng $(ABC)$:

Vì $\frac{{DQ}}{{QA}} = \frac{{DP}}{{PB}}$ nên $PQ//AB$. Do đó:$\left\{ \begin{gathered}
PQ//AB \hfill \\
AB \subset (ABC) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow PQ//(ABC)$

b) Ta có: $Q \in \left( {MNP} \right)$. Do đó:

• $(MNP) \cap (ACD) = QN$

• $(MNP) \cap (BCD) = PM$

• $(ACD) \cap (BCD) = CD$

Vì $\frac{{CM}}{{MB}} \ne \frac{{DP}}{{PB}}$ nên $DC$cắt $PM$ tại $I$.

Vậy $DC,QN,PM$ đồng quy

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm $AD$ và $SB$.

a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$

b/ Chứng minh: ON song song với mặt phẳng$\left( {SAD} \right)$

c/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$

Lời giải

a) Xét 2 mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$

Ta có: $S$ là điểm chung của 2 mặt phẳng

Mặt khác:

$\left\{ \begin{gathered}
AB//CD \hfill \\
AB \subset \left( {SAB} \right) \hfill \\
CD \subset \left( {SCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳng$\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$là đường thẳng qua ${S_x}$ qua S và song song với AB và CD.

b) Xét tam giác SBD, ta có:

$ON//SD$ (Vì O,N lần lượt là trung điểm BD và SB)

Mà $SD \subset \left( {SAD} \right)$

Suy ra ON song song mặt phẳng$\left( {SAD} \right)$

c) Xét mặt phẳng$\left( {ABCD} \right)$

Gọi I là giao điểm của AC và BM

Xét 2 mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBM} \right)$

Ta có: $(SAC) \cap (SBM) = SI$

Gọi J là giao điểm của SI và MN

Khi đó:

$\left\{ \begin{gathered}
J \in SI \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow J \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
J \in MN \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy J là giao điểm của MN và mặt phẳng$\left( {SAC} \right)$

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA. CMR nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:

a) PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng qui.

b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng qui.

Lời giải

Theo định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng.

a) Nếu PQ // SR thì PQ // SR // AC.

b) Nếu PQ cắt SR tại I thì AC đi qua I.

Dạng 2. Tìm giao điểm và thiết diện của hình chóp

1. Phương pháp

2. Các ví dụ 

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt là trung điểm của AB, SC và SB. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q.

a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng $\left( {IMP} \right)$ .

b) Xác định thiết diện của $\left( \alpha \right)$và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?

c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng $\left( {SMQ} \right)$ .

Lời giải

a) Có IP là đường trung bình của $\Delta SBC \Rightarrow IP\parallel BC$

mà $IP \subset (IMP) \Rightarrow BC\parallel (IMP)$.

b) Có $\left\{ \begin{gathered}
M \in (\alpha ) \cap (ABC) \hfill \\
(ABC) \supset AC\parallel (\alpha ) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = MQ\parallel AC,Q \in BC$.

Có $\left\{ \begin{gathered}
P \in (\alpha ) \cap (SAC) \hfill \\
(SAC) \supset AC\parallel (\alpha ) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAC) = PN\parallel AC,N \in SA$.

Kết luận thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ. Thật vậy dễ dàng chứng minh Q, N lần lượt là trung điểm của BC và SA. Do đó $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $

c) Chọn mặt phẳng (SAC) chứa NC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMQ):

Có $\left\{ \begin{gathered}
S \in (SAC) \cap (SMQ) \hfill \\
AC\parallel MQ;AC \subset (SAC),MQ \subset (SMQ) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow (SAC) \cap (SMQ) = Sx\parallel AC\parallel MQ$

Trong mp(SAC) gọi $J = CN \cap Sx$, có $\left\{ \begin{gathered}
J \in CN \hfill \\
J \in Sx \subset (SMQ) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)$.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và CD. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua M, N và song song với đường thẳng AC.

a) Tìm giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ với $mp\left( {ABCD} \right)$ .

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với $mp\left( \alpha \right)$ .

c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng$\left( \alpha \right)$.

Lời giải

a) Có $\left\{ \begin{gathered}
N \in (\alpha ) \cap (ABCD) \hfill \\
(\alpha )\parallel AC \subset (ABCD) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = NE\parallel AC;E \in AD$.

b) Có MN là đường trung bình của $\Delta SCD \Rightarrow MN\parallel SD$.

Trong mp(ABCD) gọi $F = BD \cap NE$.

Có $\left\{ \begin{gathered}
F \in (\alpha ) \cap (SBD) \hfill \\
MN\parallel SD;MN \subset (\alpha ),SD \subset (SBD) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow (\alpha ) \cap (SBD) = Fx\parallel MN\parallel SD$

Trong mp(SBD) gọi $H = Fx \cap SB$, vì $\left\{ \begin{gathered}
H \in SB \hfill \\
H \in Fx \subset (\alpha ) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow H = SB \cap (\alpha )$.

c) Có $\left\{ \begin{gathered}
E \in (\alpha ) \cap (SAD) \hfill \\
MN\parallel SD;MN \subset (\alpha ),SD \subset (SAD) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAD) = EK\parallel SD;K \in SA$.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNEKH.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với $AB\parallel CD$. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, BC, SA.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB).

b) Tìm giao điểm của SB và (IMN).

c) Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD.

Lời giải

a) Có $I \in (IMN) \cap (SAC)$ (1).

Trong mp(ABCD) gọi

$E = MN \cap AC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
E \in MN \subset (IMN) \hfill \\
E \in AC \subset (SAC) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow E \in (IMN) \cap (SAC)$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $(IMN) \cap (SAC) = EI$.

b) Có MN là đường trung bình của hình thang ABCD $ \Rightarrow MN\parallel AB\parallel CD$.

Có $\left\{ \begin{gathered}
I \in (IMN) \cap (SAB) \hfill \\
MN\parallel AB \hfill \\
MN \subset (IMN);AB \subset (SAB) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow (IMN) \cap (SAB) = Ix\parallel MN\parallel AB$.

c) Trong mp(SAB) gọi $J = Ix \cap SB \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
J \in SB \hfill \\
J \in Ix \subset (IMN) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow J = SB \cap (IMN)$.

$I \in (IDN) \cap (SAB)$ (3)

Trong mp(ABCD) gọi $K = DN \cap AB \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
K \in DN \subset (IDN) \hfill \\
K \in AB \subset (SAB) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow K \in (IDN) \cap (SAB)$(4).

Từ (3) và (4) suy ra $(IDN) \cap (SAB) = IK$

Trong mp(SAB) gọi $P = IK \cap SB \Rightarrow $ thiết diện cần tìm là tứ giác MNPI.

Câu 4: Cho chóp tứ giác $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $N$là trung điểm$SA$.

a) Tìm giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

b) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {NBC} \right)$. Thiết diện là hình gì?

Lời giải

a) Gọi $O$ là giao điểm giữa $AC$ và $BD$. Khi đó:

$\left\{ \begin{gathered}
O \in AC \hfill \\
O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy $O$ là giao điểm của $AC$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

b) Ta có:

+ $\left( {NBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC$

+ $\left( {NBC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC$

+ $\left( {NBC} \right) \cap \left( {SAB} \right) = NB$

+ $\left\{ \begin{gathered}
N \in \left( {NBC} \right) \hfill \\
N \in \left( {SAD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\left( {NBC} \right) \supset BC||AD \subset \left( {SAD} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ & $\left( 2 \right)$ $ \Rightarrow \left( {NBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = NM||AD||BC$

+ $\left( {NBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MC$

Vậy thiết diện là hình thang $MNCD$