Các Dạng Toán Bài Phép Chiếu Song Song Giải Chi Tiết

Các dạng toán bài phép chiếu song song giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian

1. Phương pháp

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta cần chú ý một số điểm sau:

– Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng cùng phương thì trên hình H’ hình chiếu của hai đoạn thẳng đó phải cùng phương.

– Trung điểm của một đoạn thẳng có hình chiếu là trung điểm của đoạn thẳng hình chiếu.

– Trong tam giác có một góc tù, ta cần chú ý chân đường cao kẻ từ đỉnh của góc nhọn không nằm trên cạnh đối diện mà nằm ở trên phần kéo dài của cạnh ấy.

– Một góc bất kì có thể biểu diễn cho mọi góc (nhọn, vuông, tù).

– Một tam giác bất kì có thể là hình biểu diễn của mọi tam giác (cân, đều, vuông).

– Hình bình hành có thể dùng làm hình biểu diễn cho các hình có tính chất của hình bình hành (vuông, thoi, chữ nhật,…)

– Một đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu d để hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) là:

a. Một tam giác cân.

b. Một tam giác vuông.

Lời giải

Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A.

a. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân tại A’. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’.

b. Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông tại A”. Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vuông A”BC.

Ví dụ 2. Vẽ hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)).

Lời giải

Vì phương chiếu d là SA nên SA cắt (P) tại A’. Các đỉnh B, C, D có hình chiếu trên (P) lần lượt là B’, C’, D’ $\left( {BB’\parallel AA’,CC’\parallel AA’,DD’\parallel AA’} \right)$.

Vậy hình chiếu của hình chóp S.ABCD lên (P) là tứ giác A’B’C’D’.

Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn của tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH.

Lời giải

Xem hình vẽ sau:

Ví dụ 4. Vẽ hình biểu diễn của đường tròn có hai đường kính vuông góc.

Lời giải

Giả sử trên hình thật ta có đường tròn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB và CD vuông góc. Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB thì CD sẽ cắt MN tại trung điểm I của MN.

Suy ra cách vẽ hình biểu diễn như sau:

– Vẽ elip (E), tâm O’ và đường kính A’B’ (qua O’) của nó.

– Vẽ dây cung $M’N’\parallel A’B’$.

– Lấy I’ là trung điểm của M’N’.

Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) tại C’, D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu diễn hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.

Ví dụ 5. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Lời giải

Xét hình lục giáo đều ABCDEF, ta thấy:

– Tứ giác OABC là một hình thoi.

– Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O. Suy ra cách vẽ như sau:

+ Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC.

+ Lấy các điểm D’, E’, F’ đối xứng với các điểm A’, B’, C’ qua O’.

+ A’B’C’D’E’F’ là hình cần vẽ.

Ví dụ 6. Vẽ hình biểu diễn của một tam giác đều.

Lời giải

Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác OBDC là hình thoi. Từ đó suy ra cách vẽ như sau:

+ Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC.

+ Lấy điểm A’ là điểm đối xứng của D’ qua O’.

+ Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cần tìm.

Dạng 2. Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song

1. Phương pháp

Các bài toán liên quan đến phép chiếu song song thường là dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh một vấn đề nào đó. Cần chú ý rằng trong các bài toán dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trò khá quan trọng.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.

a. Chứng minh hình chiếu G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD.

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.

Lời giải

a. Chứng minh G’ là trọng tâm của tam giác BCD:

– Gọi I là trung điểm của CD. Qua phép chiếu song song phương AB thì IB là hình chiếu của IA trên mặt phẳng (BCD).

– Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ của G nằm trên BI và ở giữa B và I.

Trong tam giác IAB, ta có:

$\left. \begin{gathered}
\frac{{IG}}{{IA}} = \frac{{IG’}}{{IB}} \hfill \\
\frac{{IG}}{{IA}} = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \frac{{IG’}}{{IB}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra G’ là trọng tâm của tam giác BCD.

b. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song phương AB trên mặt phẳng (BCD). Ta thấy:

– BD là hình chiếu của AD trên mặt phẳng (BCD); M là trung điểm của AD nên M’ là trung điểm của BD.

– BC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (BCD); N là trung điểm của AC nên N’ là trung điểm của BC.

Ví dụ 2. Cho hai hình bình hành ABCD và BCC’B’ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Tìm điểm M trên đoạn DB’, và điểm N trên đường chéo AC sao cho $MN\parallel BC’$.

Lời giải

– Phân tích:

Giả sử đã tìm được $M \in DB’$ và $N \in AC$ sao cho $MN\parallel BC’$.

Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó qua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, B’ lần lượt là D, N, B’’. Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” cũng thẳng hàng. Do đó, N là giao điểm của DB” và AC. Từ đó, ta có cách dựng như sau:

– Cách dựng:

+ Dựng B” là hình chiếu của B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD).

+ Dựng N là giao điểm của DB” và AC.

+ Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ cắt DB’ tại M.

Vậy M và N là các điểm cần tìm.