30 Câu Trắc Nghiệm Về Hai Đường Thẳng Song Song Trong Không Gian Giải Chi Tiết

30 câu trắc nghiệm về hai đường thẳng song song trong không gian giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.

B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.

C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Lấy $A,\;B$ thuộc $a$ và $C,\;D$ thuộc $b$. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng $AD$ và $BC$?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.

C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.

Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha \right),\; \left( \beta \right), \;\left( \gamma \right)$ có $\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}$; $\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}$; $\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}$. Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$:

A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.

C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.

Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a,\;b,\;c$, biết $a\,\parallel \,b$, $a$ và $c$ chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng $b$ và $c$:

A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.

Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a,\;b,\;c$ trong đó $a\,\parallel \,b$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $a\,\parallel \,c$ thì $b\,\parallel \,c$.

B. Nếu $c$ cắt $a$ thì $c$ cắt $b$.

C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a,\;b,\;AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua $a$ và $b$.

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,\;b$ và điểm $M$ ở ngoài $a$ và ngoài $b$. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a,\;b,\;c$ chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Câu 11: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $IJ$ song song với $CD.$

B. $IJ$ song song với $AB.$

C. $IJ$ chéo $CD.$

D. $IJ$ cắt$AB.$

Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC.$ Gọi $M,N,$ $P,Q,R,T$ lần lượt là trung điểm $AC,BD,BC,CD,SA,SD.$ Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. $MP$ và $RT.$ B. $MQ$ và $RT.$ C. $MN$ và $RT.$ D. $PQ$ và $RT.$

Câu 13: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J,E,F$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC,SD.$ Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ?$

A. $EF.$ B. $DC.$ C. $AD.$ D. $AB.$

Câu 14: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB;P,Q$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $CD.$ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $MP,NQ.$

A. $MP\parallel NQ.$ B. $MP \equiv NQ.$

C. $MP$ cắt $NQ.$ D. $MP,NQ$ chéo nhau.

Câu 15: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$và $\left( {SBC} \right).$Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $BC.$ B. $d$ qua $S$ và song song với $DC.$

C. $d$ qua $S$ và song song với $AB.$ D. $d$ qua $S$ và song song với $BD.$

Câu 16: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $J$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $AC,G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GIJ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$là đường thẳng:

A. qua $I$ và song song với $AB.$ B. qua $J$ và song song với $BD.$

C. qua $G$ và song song với $CD.$ D. qua $G$ và song song với $BC.$

Câu 17: Cho hình chóp$S.ABCD$ có đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $\left( {ACI} \right)$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB.$ Giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $S, SB = 8.$ là

A. $SC.$

B. đường thẳng qua $S$ và song song với $AB.$

C. đường thẳng qua $G$ và song song với $DC.$

D. đường thẳng qua $G$ và cắt $BC.$

Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ là:

A. Tam giác $IBC.$

B. Hình thang $IBCJ$ ($J$ là trung điểm $SD$).

C. Hình thang $IGBC$ ($G$ là trung điểm $SB$).

D. Tứ giác $IBCD.$

Câu 19: Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AC.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt tứ diện $ABCD$ theo thiết diện là đa giác $\left( T \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( T \right)$ là hình chữ nhật.

B. $\left( T \right)$ là tam giác.

C. $\left( T \right)$ là hình thoi.

D. $\left( T \right)$ là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.

Câu 20: Cho hai hình vuông $ABCD$ và $CDIS$ không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng $4.$ Biết tam giác $SAC$ cân tại $S, SB = 8.$ Thiết diện của mặt phẳng $\left( {ACI} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ có diện tích bằng:

A. $6\sqrt 2 .$ B. $8\sqrt 2 .$ C. $10\sqrt 2 .$ D. $9\sqrt 2 .$

Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ đáy nhỏ $CD.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB.$ Gọi $P$ là giao điểm của $SC$ và $\left( {AND} \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DP.$ Hỏi tứ giác $SABI$ là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông. D. Hình thoi.

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD.$ Các điểm $P,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD;$ điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC.$ Gọi $S$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( {PQR} \right)$ và cạnh $AD.$ Tính tỉ số $\frac{{SA}}{{SD}}.$

A. $2\,.$ B. $1\,.$ C. $\frac{1}{2}\,.$ D. $\frac{1}{3}\,.$

Câu 23: Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P,\,\,Q,\,\,R$ lần lượt lấy trên ba cạnh $AB,\,\,CD,\,\,BC.$ Cho $PR$//$AC$ và $CQ = 2QD.$ Gọi giao điểm của $AD$ và $\left( {PQR} \right)$ là $S\,.$ Chọn khẳng định đúng?

A. $AD = \,3DS.$ B. $AD = 2\,DS.$ C. $AS = 3\,DS.$ D. $AS = DS.$

Câu 24: Gọi $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD.$ Gọi $A’$ là trọng tâm của tam giác $BCD\,.$ Tính tỉ số $\frac{{GA}}{{GA’}}.$

A. $2\,.$ B. $3.$ C. $\frac{1}{3}.$ D. $\frac{1}{2}.$

Câu 25: Cho tứ diện $ABCD$ trong đó có tam giác $BCD$ không cân. Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN.$ Gọi ${A_1}$ là giao điểm của $AG$ và $\left( {BCD} \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${A_1}$ là tâm đường tròn tam giác $BCD\,.$

B. ${A_1}$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD\,.$

C. ${A_1}$ là trực tâm tam giác $BCD\,.$

D. ${A_1}$ là trọng tâm tam giác $BCD\,.$

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5
A	D	C	B	D
6	7	8	9	10
D	B	B	A	D
11	12	13	14	15
A	B	C	D	A
16	17	18	19	20
C	C	B	D	B
21	22	23	24	25
A	A	A	B	D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

Lời giải

Chọn A

Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng).

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thằng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác.

B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không điểm chung.

C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Lời giải

Chọn D

• A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

• B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phằng và không có điểm chung.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì trùng nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song.

Lời giải

Chọn C

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng có điểm chung.

B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.

D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau.

Lời giải

Chọn B

• A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.

• C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau.

• D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song.

Câu 5: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Lấy $A,\;B$ thuộc $a$ và $C,\;D$ thuộc $b$. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng $AD$ và $BC$?

A. Có thể song song hoặc cắt nhau. B. Cắt nhau.

C. Song song với nhau. D. Chéo nhau.

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết, $a$ và $b$ chéo nhau $ \Rightarrow $ $a$ và $b$ không đồng phẳng.

Giả sử $AD$ và $BC$ đồng phẳng.

• Nếu $AD \cap BC = I \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a;b} \right)$. Mà $a$ và $b$ không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm $I$.

• Nếu $AD\,\parallel \,BC$$ \Rightarrow $ $a$ và $b$ đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy điều giả sử là sai. Do đó $AD$ và $BC$ chéo nhau.

Câu 6: Cho ba mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha \right),\; \left( \beta \right), \;\left( \gamma \right)$ có $\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}$; $\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}$; $\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}$. Khi đó ba đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$:

A. Đôi một cắt nhau. B. Đôi một song song.

C. Đồng quy. D. Đôi một song song hoặc đồng quy.

Lời giải

Chọn D

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Câu 7: Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a,\;b,\;c$, biết $a\,\parallel \,b$, $a$ và $c$ chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng $b$ và $c$:

A. Trùng nhau hoặc chéo nhau. B. Cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. Chéo nhau hoặc song song. D. Song song hoặc trùng nhau.

Lời giải

Chọn B

Giả sử $b\,\parallel \,c \Rightarrow c\,\parallel \,a$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a,\;b,\;c$ trong đó $a\,\parallel \,b$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $a\,\parallel \,c$ thì $b\,\parallel \,c$.

B. Nếu $c$ cắt $a$ thì $c$ cắt $b$.

C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a,\;b,\;AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.

D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua $a$ và $b$.

Lời giải

Chọn B

Nếu $c$ cắt $a$ thì $c$ cắt $b$ hoặc $c$ chéo $b$.

Câu 9: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,\;b$ và điểm $M$ ở ngoài $a$ và ngoài $b$. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Chọn A

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng $a$ và $M$; $\left( Q \right)$ là mặt phẳng tạo bỏi đường thẳng $b$ và $M$.

Giả sử $c$ là đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
c \in \left( P \right) \hfill \\
c \in \left( Q \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow c = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$.

Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua $M$ cắt cả $a$ và $b$.

Câu 10: Trong không gian, cho 3 đường thẳng $a,\;b,\;c$ chéo nhau từng đôi. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.

Lời giải

Chọn D

Gọi $M$ là điểm bất kì nằm trên $a$.

Giả sử $d$ là đường thẳng qua $M$ cắt cả $b$ và $c$. Khi đó, $d$ là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi $M$ và $b$ với mặt phẳng tạo bởi $M$ và $c$.

Với mỗi điểm $M$ ta được một đường thẳng $d$.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng $a,\;b,\;c$.

Câu 11: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $IJ$ song song với $CD.$

B. $IJ$ song song với $AB.$

C. $IJ$ chéo $CD.$

D. $IJ$ cắt$AB.$

Lời giải

Chọn A

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\;BD.$

$ \Rightarrow $ $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ $ \Rightarrow MN//CD\,\,\,\left( 1 \right)$

$I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD$ $ \Rightarrow \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ\parallel MN\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $IJ\parallel CD.$

Câu 12: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC.$ Gọi $M,N,$ $P,Q,R,T$lần lượt là trung điểm $AC,BD,BC,CD,SA,SD.$ Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. $MP$ và $RT.$ B. $MQ$ và $RT.$ C. $MN$ và $RT.$ D. $PQ$ và $RT.$

Lời giải

Chọn B

Ta có: $M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC,CD$

$ \Rightarrow MQ$ là đường trung bình của tam giác $CAD \Rightarrow MQ\parallel AD\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $R,T$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$

$ \Rightarrow RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD \Rightarrow RT\parallel AD\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra: $MQ\parallel RT.$

Câu 13: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J,E,F$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC,SD.$ Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với $IJ?$

A. $EF.$ B. $DC.$ C. $AD.$ D. $AB.$

Lời giải

Chọn C

Ta có $IJ\parallel AB$ (tính chất đường trung bình trong tam giác $SAB$) và $EF\parallel CD$ (tính chất đường trung bình trong tam giác $SCD$).

Mà $CD\parallel AB$ (đáy là hình bình hành) $\xrightarrow{{}}CD\parallel AB\parallel EF\parallel IJ.$

Câu 14: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB;P,Q$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $CD.$ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $MP,NQ.$

A. $MP\parallel NQ.$ B. $MP \equiv NQ.$

C. $MP$ cắt $NQ.$ D. $MP,NQ$ chéo nhau.

Lời giải

Chọn D

Xét mặt phẳng $\left( {ABP} \right).$

Ta có: $M,N$ thuộc $AB \Rightarrow M,N$ thuộc mặt phẳng $\left( {ABP} \right).$

Mặt khác: $CD \cap \left( {ABP} \right) = P.$

Mà: $Q \in CD \Rightarrow Q \notin \left( {ABP} \right) \Rightarrow M,N,P,Q$ không đồng phẳng.

Câu 15: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$và $\left( {SBC} \right).$Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $BC.$ B. $d$ qua $S$ và song song với $DC.$

C. $d$ qua $S$ và song song với $AB.$ D. $d$ qua $S$ và song song với $BD.$

Lời giải

Chọn A

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = S \hfill \\
AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \\
AD\parallel BC \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow{{}}$ $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\parallel AD\parallel BC$ (với $d \equiv Sx$).

Câu 16: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $J$ theo thứ tự là trung điểm của $AD$ và $AC,G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {GIJ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$là đường thẳng:

A. qua $I$ và song song với $AB.$ B. qua $J$ và song song với $BD.$

C. qua $G$ và song song với $CD.$ D. qua $G$ và song song với $BC.$

Lời giải

Chọn C

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = G \hfill \\
IJ \subset \left( {GIJ} \right),\;CD \subset \left( {BCD} \right) \hfill \\
IJ\parallel CD \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\xrightarrow{{}}$ $\left( {GIJ} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Gx\parallel IJ\parallel CD.$

Câu 17: Cho hình chóp$S.ABCD$ có đáy là hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $\left( {ACI} \right)$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB.$ Giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $S, SB = 8.$ là

A. $SC.$

B. đường thẳng qua $S$ và song song với $AB.$

C. đường thẳng qua $G$ và song song với $DC.$

D. đường thẳng qua $G$ và cắt $BC.$

Lời giải

Chọn C

Ta có: $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$

$ \Rightarrow IJ$ là đường trunh bình của hình thang $ABCD \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD.$

Gọi $d = \left( {SAB} \right) \cap \left( {IJG} \right)$

Ta có: $G$ là điểm chung giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$

Mặt khác: $\left\{ \begin{gathered}
\left( {SAB} \right) \supset AB;\left( {IJG} \right) \supset IJ \hfill \\
AB\parallel IJ \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow $Giao tuyến $d$ của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AB$ và $IJ.$

Câu 18: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ là:

A. Tam giác $IBC.$

B. Hình thang $IBCJ$ ($J$ là trung điểm $SD$).

C. Hình thang $IGBC$ ($G$ là trung điểm $SB$).

D. Tứ giác $IBCD.$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
\left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = I \hfill \\
BC \subset \left( {IBC} \right),AD \subset \left( {SAD} \right) \hfill \\
BC\parallel AD \hfill \\
\end{gathered} \right.\xrightarrow{{}}\left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Ix\parallel BC\parallel AD$

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right):$ $Ix\parallel AD,$ gọi $Ix \cap SD = J\xrightarrow{{}}$$IJ\parallel BC$

Vậy thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$là hình thang $IBCJ.$

Câu 19: Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AC.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt tứ diện $ABCD$ theo thiết diện là đa giác $\left( T \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( T \right)$ là hình chữ nhật.

B. $\left( T \right)$ là tam giác.

C. $\left( T \right)$ là hình thoi.

D. $\left( T \right)$ là tam giác; hình thang hoặc hình bình hành.

Lời giải

Chọn D

Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap AD = K$

$\xrightarrow{{}}\left( T \right)$ là tam giác $MNK.$ Do đó A và C sai.

Trường hợp $\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = IJ,$ với $I \in BD,J \in CD;$ $I,J$ không trùng $D.$

$\xrightarrow{{}}\left( T \right)$ là tứ giác. Do đó B đúng.

Câu 20: Cho hai hình vuông $ABCD$ và $CDIS$ không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng $4.$ Biết tam giác $SAC$ cân tại $S, SB = 8.$ Thiết diện của mặt phẳng $\left( {ACI} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ có diện tích bằng:

A. $6\sqrt 2 .$ B. $8\sqrt 2 .$ C. $10\sqrt 2 .$ D. $9\sqrt 2 .$

Lời giải

Chọn B

Gọi $O = SD \cap CI;\;N = AC \cap BD.$

$ \Rightarrow O,N$ lần lượt là trung điểm của $DS,DB \Rightarrow ON = \frac{1}{2}SB = 4.$

Thiết diện của $mp\left( {ACI} \right)$ và hình chóp $S.ABCD$ là tam giác $\Delta OCA.$

Tam giác $\Delta SAC$ cân tại $S \Rightarrow SC = SA \Rightarrow \Delta SDC = \Delta SDA$

$ \Rightarrow CO = AO$ (cùng là đường trung tuyến của 2 định tương ứng) $ \Rightarrow \Delta OCA$ cân tại $O$

$ \Rightarrow {S_{\Delta OCA}} = \frac{1}{2}ON.AC = \frac{1}{2}.4.4\sqrt 2 = 8\sqrt 2 .$

Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ đáy nhỏ $CD.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB.$ Gọi $P$ là giao điểm của $SC$ và $\left( {AND} \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DP.$ Hỏi tứ giác $SABI$ là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông. D. Hình thoi.

Lời giải

Chọn A

Gọi $E = AD \cap BC, P = NE \cap SC$. Suy ra $P = SC \cap \left( {AND} \right)$.

Ta có

$ \bullet $ $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$;

$ \bullet $ $I = DP \cap AN \Rightarrow I$ là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right).$

Suy ra $SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. Mà $AB\parallel CD\xrightarrow{{}}SI\parallel AB\parallel CD.$

Vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác $SAI$ nên suy ra $SI = AB$.

Vậy $SABI$ là hình bình hành.

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD.$ Các điểm $P,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD;$ điểm $R$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BR = 2RC.$ Gọi $S$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( {PQR} \right)$ và cạnh $AD.$ Tính tỉ số $\frac{{SA}}{{SD}}.$

A. $2\,.$ B. $1\,.$ C. $\frac{1}{2}\,.$ D. $\frac{1}{3}\,.$

Lời giải

Chọn A

Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $RQ.$ Nối $P$ với $I,$ cắt $AD$ tại $S\,.$

Xét tam giác $BCD$ bị cắt bởi $IR,$ ta có $\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BR}}{{RC}}.\frac{{CQ}}{{QD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}.$

Xét tam giác $ABD$ bị cắt bởi $PI,$ ta có $\frac{{AS}}{{SD}}.\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BP}}{{PA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}}.\frac{1}{2}.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = 2.$

Câu 23: Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P,\,\,Q,\,\,R$ lần lượt lấy trên ba cạnh $AB,\,\,CD,\,\,BC.$ Cho $PR$//$AC$ và $CQ = 2QD.$ Gọi giao điểm của $AD$ và $\left( {PQR} \right)$ là $S\,.$ Chọn khẳng định đúng?

A. $AD = \,3DS.$ B. $AD = 2\,DS.$ C. $AS = 3\,DS.$ D. $AS = DS.$

Lời giải

Chọn A

Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $RQ.$ Nối $P$ với $I,$ cắt $AD$ tại $S\,.$

Ta có $\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BR}}{{RC}}.\frac{{CQ}}{{QD}} = 1$ mà $\frac{{CQ}}{{QD}} = 2$ suy ra $\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BR}}{{RC}} = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}.\frac{{RC}}{{BR}}\,.$

Vì $PR$ song song với $AC$ suy ra $\frac{{RC}}{{BR}} = \frac{{AP}}{{PB}}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{DI}}{{IB}} = \frac{1}{2}.\frac{{AP}}{{PB}}\,.$

Lại có $\frac{{SA}}{{SD}}.\frac{{DI}}{{IB}}.\frac{{BP}}{{PA}} = 1\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{SA}}{{SD}}.\frac{1}{2}.\frac{{AP}}{{PB}}.\frac{{BP}}{{PA}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{SA}}{{SD}} = 2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,AD = 3\,DS.$

Câu 24: Gọi $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD.$ Gọi $A’$ là trọng tâm của tam giác $BCD\,.$ Tính tỉ số $\frac{{GA}}{{GA’}}.$

A. $2\,.$ B. $3.$ C. $\frac{1}{3}.$ D. $\frac{1}{2}.$

Lời giải

Chọn B

Gọi $E$ là trọng tâm của tam giác $ACD,\,\,\,M$ là trung điểm của $CD\,.$

Nối $BE$ cắt $AA’$ tại $G$ suy ra $G$ là trọng tâm tứ diện.

Xét tam giác $MAB,$ có $\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA’}}{{MB}} = \frac{1}{3}$ suy ra $A’E$//$AB\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{A’E}}{{AB}} = \frac{1}{3}\,.$

Khi đó, theo định lí Talet suy ra $\frac{{A’E}}{{AB}} = \frac{{A’G}}{{AG}} = \frac{1}{3}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{GA}}{{GA’}} = 3\,.$

Câu 25: Cho tứ diện $ABCD$ trong đó có tam giác $BCD$ không cân. Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN.$ Gọi ${A_1}$ là giao điểm của $AG$ và $\left( {BCD} \right).$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${A_1}$ là tâm đường tròn tam giác $BCD\,.$

B. ${A_1}$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD\,.$

C. ${A_1}$ là trực tâm tam giác $BCD\,.$

D. ${A_1}$ là trọng tâm tam giác $BCD\,.$

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng $\left( {ABN} \right)$ cắt mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ theo giao tuyến $BN\,.$

Mà $AG \subset \left( {ABN} \right)$ suy ra $AG$ cắt $BN$ tại điểm ${A_1}\,.$

Qua $M$ dựng $MP$//$A{A_1}$ với $M \in BN\,.$

Có $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $P$ là trung điểm $B{A_1}\, \Rightarrow \,\,BP = P{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Tam giác $MNP$ có $MP$//$G{A_1}$ và $G$ là trung điểm của $MN\,.$

$ \Rightarrow $ ${A_1}$ là trung điểm của $NP\,\, \Rightarrow \,\,P{A_1} = N{A_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $BP = P{A_1} = {A_1}N\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{B{A_1}}}{{BN}} = \frac{2}{3}$ mà $N$ là trung điểm của $CD\,.$

Do đó, ${A_1}$ là trọng tâm của tam giác $BCD\,.$