Phương Pháp Tìm Tập Hợp Giao Điểm Của Hai Đường Thẳng Trong Không Gian

Phương pháp tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng trong không gian giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 1 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

1. Phương pháp

Áp dụng kết quả: $\left. \begin{gathered}
I = a \cap b \hfill \\
a \subset \left( P \right),b \cap \left( Q \right) \hfill \\
\left( P \right) \cap \left( Q \right) = c \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow I \in c$

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên cạnh AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt các cạnh BD và AD lần lượt tại M và N.

a. Giả sử cho trước điểm M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N.

b. Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường HM và KN khi M di động trên canh BD.

Lời giải

a. Trong mp(BCD): $KM \cap CD = \left\{ E \right\}$.

Trong mp(ACD): $HE \cap AD = \left\{ N \right\}$.

Mà $HE \subset \left( P \right)$ nên $N = AD \cap \left( P \right)$ là điểm cần tìm.

b. Ta có:

$\left. \begin{gathered}
I = HM \cap KN \hfill \\
HM \subset (HBD) \hfill \\
KN \subset (AKD) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow I \in (HBD) \cap (AKD)$

Trong mp(ABC): $BH \cap AK = \left\{ F \right\}$$ \Rightarrow F \in \left( {HBD} \right) \cap \left( {AKD} \right)$

Mà $D \in \left( {HBD} \right) \cap \left( {AKD} \right)$, nên $DF = \left( {HBD} \right) \cap \left( {AKD} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra I chạy trên đường thẳng cố định DF.

Giới hạn:

Cho $M \to D$ thì $N \to D$. Khi đó $I \to D$.

Cho $M \to B$ thì $N \to A$. Khi đó $I \to F$.

Vậy tập hợp điểm I là đoạn DF.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và AC, sao cho MN không song song với BC. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F.

a. Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định.

b. Tìm tập hợp giao điểm của ME và NF.

c. Tìm tập hợp giao điểm của MF và NE.

Lời giải

a. Trong mp(ABC): $MN \cap BC = K$.

Khi đó K là điểm chung của (BCD) và (P), mà EF là giao tuyến của (BCD) và (P) nên EF đi qua điểm K cố định.

b. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I là điểm chung của (NBD) và (MCD), suy ra I thuộc giao tuyến DJ của mp(MCD) và (NBD).

Giới hạn: Tậm hợp cần tìm là đoạn DJ.

c. Gọi H là giao điểm của MF và NE thì H là điểm chung của (ABD) và (ACD), suy ra H thuộc giao tuyến AD của mp(ABD) và mp(ACD).

Giới hạn: Tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng AD trừ đi đoạn AD.