Phương Pháp Tìm Giao Điểm Của Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Giải Chi Tiết

Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 1 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

1. Phương pháp

Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng a và mặt $\left( \alpha \right)$

phẳng , ta tìm giao điểm của $a$ và một đường thẳng $b$ nằm trong

• Bước 1: Xác định mp $\left( \beta \right)$ chứa $a$.

• Bước 2: Tìm giao tuyến $b = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$.

• Bước 3: Trong $\left( \beta \right):a \cap b = M$, mà $b \subset \left( \alpha \right)$, suy ra $M = a \cap \left( \alpha \right)$.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ (không có cặp cạnh đối nào song song) nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. $S$ là điểm không nằm trên $\left( \alpha \right)$.

a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAB) và $\left( {SCD} \right)$.

b. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SC$ và $SD$. Tìm giao điểm $P$ của đường thẳng $BN$ với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

c. Gọi $Q$ và $R$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,Q,R$ đồng phẳng.

Lời giải

a.

* Giao tuyến của mặt $mp\left( {SAC} \right)$ và $mp\left( {SBD} \right)$ :

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{S \in \left( {SAC} \right)} \\
{S \in \left( {SBD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (1)

Từ (1) suy ra $S$ là điểm chung thứ nhất của $mp\left( {SAC} \right)$ và $mp\left( {SBD} \right)$.

$\left. \begin{gathered}
O \in AC \hfill \\
AC \subset \left( {SAC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)$

$\left. \begin{gathered}
O \in BD \hfill \\
BD \subset \left( {SBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)$

$ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$ (2)

Từ (2) suy ra $O$ là điểm chung thứ hai của $mp\left( {SAC} \right)$ và $mp\left( {SBD} \right)$.

Vậy $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

• Giao tuyến của $mp\left( {SAB} \right)$ và $mp\left( {SCD} \right)$ : Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{S \in \left( {SAB} \right)} \\
{S \in \left( {SCD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ (3)

Từ (3) suy ra $S$ là điểm chung thứ nhất của $mp\left( {SAB} \right)$ và $mp\left( {SCD} \right)$.

$\left. \begin{gathered}
\left. \begin{gathered}
E \in AB \hfill \\
AB \subset \left( {SAB} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \hfill \\
\left. \begin{gathered}
E \in CD \hfill \\
CD \subset \left( {SCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$ (4)

Từ (4) suy ra $E$ là điểm chung thứ hai của $mp\left( {SAB} \right)$ và $mp\left( {SCD} \right)$.

Vậy: $SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

b. Trong $mp\left( {SBD} \right)$, hai đường thẳng $SO,BN$ cắt nhau tại $P$, ta có:

$\left\{ \begin{gathered}
P \in BN \hfill \\
P \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow P \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $ P là giao điểm của BN và (SAC).

Vậy $P$ là giao điểm cần tìm.

c. Chứng minh bốn điểm M, N, Q, R đồng phẳng:

• Trong mp(SCD), gọi T là giao điểm của MN và SE. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD nên $MN\parallel CD$.

Xét tam giác SDE, ta có:

$\left. \begin{gathered}
MN\parallel CD \hfill \\
N\,là \,trung\, điểm\, của\, SD \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow $ T là trung điểm của SE.

• Tương tự, QR là đường trung bình của tam giác SAB nên $QR\parallel AB$.

Xét tam giác SAE, ta có:

$\left. \begin{gathered}
QR\parallel AB \hfill \\
Q \,là \,trung\, điểm\, của\, SA \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow $ QR đi qua trung điểm T của SE.

Như vậy, bốn điểm M, N, Q, R nằm trong mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau TN và TQ nên chúng đồng phẳng.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, cho tứ giác $ABCD$. Gọi $S$ là điểm không thuộc $\left( \alpha \right),M$ là điểm nằm trong tam giác SCD.

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD).

b. Xác định giao điểm của $AM$ và mặt phẳng (SBD).

Lời giải

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBD):

Gọi $N$ là giao điểm của $SM$ và $CD$, gọi $E$ là giao điểm của $AN$ và $BD$.

Ta có $mp\left( {SAM} \right) \equiv mp\left( {SAN} \right)$.

Ta có:

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{E \in AN \Rightarrow E \in \left( {SAM} \right)} \\
{E \in BD \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right)}
\end{array}} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAM} \right) \cap \left( {SBD} \right)$

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra:

b. Xác định giao điểm của $AM$ và mặt phẳng (SBD).

Ta có:

Ví dụ 3. Cho tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$, trên cạnh $SC$ lấy điểm $N$, sao cho $MN$ không song song vói $AC$. Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$. Tìm giao điểm của mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ với các đường thẳng $AC,BC$ và $AB$.

Lời giải

Trong $mp\left( {SAC} \right):MN \cap AC = \left\{ K \right\}$, mà $MN \subset \left( {OMN} \right)$ nên $\left\{ K \right\} = AC \cap \left( {OMN} \right)$.

Trong $mp\left( {ABC} \right)$ : $OK \cap BC = \left\{ H \right\}$, mà $OK \subset \left( {OMN} \right)$ nên $\left\{ H \right\} = BC \cap \left( {OMN} \right)$.

Ta có: $OK \cap AB = \left\{ G \right\}$, mà $OK \subset \left( {OMN} \right)$ nên

$\left\{ G \right\} = AB \cap \left( {OMN} \right)$.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$. Gọi $E$ và $F$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $SB$ và $CD$.

a. Tìm giao điểm của $EF$ với mặt phẳng ( $SAC)$.

b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AEF) với các đường thẳng $BC$ và $SC$.

Lời giải

a. Ta có $EF \subset \left( {SBF} \right)$.

Trong $mp\left( {ABCD} \right):\;BF \cap AC = \left\{ O \right\},\;$ suy $\;$ ra

$\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBF} \right) = SO$.

Trong $mp\left( {SBF} \right):EF \cap SO = \left\{ K \right\}$, mà $SO \subset \left( {SAC} \right)$,

suy ra $\left\{ K \right\} = EF \cap \left( {SAC} \right)$.

b. Trong $mp\left( {ABCD} \right)$ có $AF \cap BC = \left\{ G \right\}$, mà $AF \subset \left( {AEF} \right)$,

suy ra $\left\{ G \right\} = BC \cap \left( {AEF} \right)$.

Khi đó: $\left( {AEF} \right) \equiv \left( {AEG} \right)$.

Trong $mp\left( {SBC} \right)$ : $EG \cap SC = \left\{ H \right\}$, mà $EG \subset \left( {AEF} \right)$, suy ra $\left\{ H \right\} = SC \cap \left( {AEF} \right)$.