Phương Pháp Tìm Thiết Diện Của Mặt Phẳng Với Hình Chóp Giải Chi Tiết

Phương pháp tìm thiết diện của mặt phẳng với hình chóp giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 1 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

1. Phương pháp

Tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt cắt với hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó chính là thiết diện cần tìm. Mỗi đoạn giao tuyến là cạnh của thiết diện.

2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Lời giải

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $Q = NP \cap CD$ và $K = NP \cap BC$

Trong $mp\left( {SBC} \right)$ gọi $E = SB \cap KM$, trong $mp\left( {SAD} \right)$ gọi $F = SD \cap QM.$

Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là ngũ giác NEMFP.

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn $CE = a$. Kéo dài BD một đoạn $DF = a.$ Gọi M là trung điểm của AB.

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( {MEF} \right)$.

b) Tính diện tích của thiết diện.

Lời giải

a) Trong $mp\left( {ABC} \right)$: Dựng ME cắt AC tại I.

Trong $mp\left( {ABD} \right)$: Dựng MF cắt AD tại J.

Từ đó thiết diện của tứ diện với $mp\left( {MEF} \right)$ là $\Delta MIJ$.

b) Theo cách dựng thì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác $ABE$ và ABF

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
AI = \frac{2}{3}AC = \frac{{2a}}{3} \hfill \\
AJ = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a}}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow $ tam giác AIJ đều $ \Rightarrow IJ = \frac{{2a}}{3}.$

Mặt khác $AI = AJ$ nên $\Delta AMI = \Delta AMJ \Rightarrow MI = MJ.$

Trong $\Delta AMI,MI = \sqrt {M{A^2} + I{A^2} – 2MA.IA.\cos A} = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}.$

${S_{\Delta MJI}} = \frac{1}{2}IJ.MK = \frac{1}{2}.\frac{{2a}}{3}.2\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {13} }}{6}} \right)}^2} – {{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2}} = \frac{{{a^2}}}{6}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn AD. Gọi M là một điểm trên cạnh SB. Tìm thiết diện của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng (AMD).

Lời giải

Trong mp(ABCD): $AB \cap CD = \left\{ E \right\}$.

Trong mp(SAB): $AM \cap SE = \left\{ K \right\}$.

Do đó $mp\left( {AMD} \right) \equiv mp\left( {AKD} \right)$.

Trong mp(SCD): $KD \cap SC = \left\{ N \right\}$

Do đó $MN = \left( {AMD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$, $ND = \left( {AMD} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AMND.