35 Câu Trắc Nghiệm Bài Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian Giải Chi Tiết

Bởi

08-11-2023

2196

Các Dạng Bài Tập Chương Quan Hệ Song Song Trong Không Gian Lớp 11 Giải Chi Tiết

35 câu trắc nghiệm bài đường thẳng và mặt phẳng trong không gian giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?

A. $6.$ B. $4.$ C. $3.$ D. $2.$

Câu 3: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.

Câu 4: Cho tứ giác $ABCD$. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD?

A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$ D. $0.$

Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $A,\;B,\;C$ thẳng hàng.

B. Nếu $A,\;B,\;C$ thẳng hàng và $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ có điểm chung là $A$ thì $B,\;C$ cũng là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

C. Nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt thì $A,\;B,\;C$ không thẳng hàng.

D. Nếu$A,\;B,\;C$ thẳng hàng và$A,\;B$ là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $C$cũng là điểm chung của $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$.

Câu 6: Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, cho 4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Có mấy mặt phẳng tạo bởi $S$ và 2 trong 4 điểm nói trên?

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

Câu 7: Cho 5 điểm $A,\;B,\;C,\;D,\;E$ trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?

A. $10.$ B. $12.$ C. $8.$ D. $14.$

Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm $A,\;B,\;C$ không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Câu 9: Cho 3 đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 3 đường thẳng trên đồng quy.

B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.

C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.

D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.

Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:

A. Tam giác. B. Tứ giác.

C. Ngũ giác. D. Tam giác hoặc tứ giác.

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang $ABCD \left( {AB\parallel CD} \right).$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD

Câu 12: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác$BCD.$ Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$là:

A. $AM (M$là trung điểm của$AB).$ B. $AN (N$là trung điểm của $CD).$

C. $AH (H$ là hình chiếu của $B$ trên $CD).$ D. $AK (K$ là hình chiếu của $C$ trên $BD).$

Câu 13: Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa tam giác $BCD.$ Lấy $E,\,\,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,\,\,AC.$ Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I,$ thì $I$ không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?

A. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {DEF} \right).$ B. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABC} \right).$ C. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {AEF} \right).$ D. $\left( {BCD} \right)$ và $\left( {ABD} \right).$

Câu 14: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là:

A. đường thẳng $MN.$

B. đường thẳng $AH (H$ là trực tâm tam giác $ACD).$

C. đường thẳng $BG (G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$

D. đường thẳng $AM.$

Câu 15: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là:

A. $SD.$

B. $SO (O$ là tâm hình bình hành $ABCD).$

C. $SG (G$ là trung điểm $AB).$

D. $SF (F$ là trung điểm $CD).$

Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm $SA, SB.$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. $IJCD$ là hình thang. B. $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$

C. $\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.$ D. $\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO (O$ là tâm $ABCD).$

Câu 17: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD \left( {AD\parallel BC} \right).$ Gọi $M$ là trung điểm $CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là:

A. $SI (I$ là giao điểm của $AC$ và $BM).$

B. $SJ (J$ là giao điểm của $AM$ và $BD).$

C. $SO (O$ là giao điểm của $AC$ và $BD).$

D. $SP (P$ là giao điểm của $AB$ và $CD).$

Câu 18: Cho 4 điểm không đồng phẳng $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.$ Gọi $I,\,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Giao tuyến của $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là:

A. $IK.$ B. $BC.$ C. $AK.$ D. $DK.$

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB\parallel CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Trên cạnh $SB$ lấy điểm $M$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

A. $SI.$

B. $AE$ ($E$ là giao điểm của $DM$ và $SI$).

C. $DM.$

D. $DE$ ($E$ là giao điểm của $DM$ và $SI$).

Câu 20: Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc miền trong của tam giác $ACD\,.$ Gọi $I$ và $J$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $BC$ và $BD$ sao cho $IJ$ không song song với $CD\,.$ Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là giao điểm của $IJ$ với $CD$ của $MH$ và $AC\,.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {IJM} \right)$ là:

A. $KI.$ B. $KJ.$ C. $MI.$ D. $MH.$

Câu 21: Cho bốn điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ không đồng phẳng. Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = 2PD.$ Giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là giao điểm của

A. $CD$ và $NP.$ B. $CD$ và $MN.$ C. $CD$ và $MP.$ D. $CD$ và $AP.$

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là:

A. điểm $F.$

B. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF.$

C. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC.$

D. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD.$

Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $\left( {SBD} \right).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\overrightarrow {IA} = – \,2\overrightarrow {IM} .$ B. $\overrightarrow {IA} = – \,3\overrightarrow {IM} .$ C. $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} .$ D. $IA = 2,5IM.$

Câu 24: Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ giao nhau tại $O$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Trên đoạn $SC$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C$. Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ là:

A. giao điểm của $SD$ và $AB.$

B. giao điểm của $SD$ và $AM$.

C. giao điểm của $SD$ và $BK$ (với $K = SO \cap AM$).

D. giao điểm của $SD$ và $MK$ (với $K = SO \cap AM$).

Câu 25: Cho bốn điểm $N$ không cùng ở trong một mặt phẳng. Gọi $P$ lần lượt là trung điểm của $D$. Trên $MND$ lấy điểm $MND$ sao cho $MN = \frac{{AB}}{2} = a$ không song song với $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $ ($MND$ không trùng với các đầu mút). Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $D$ với mặt phẳng $H$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $E$ nằm ngoài đoạn $BC$ về phía $B.$

B. $E$ nằm ngoài đoạn $BC$ về phía $C.$

C. $E$ nằm trong đoạn $BC.$

D. $E$ nằm trong đoạn $BC$ và $E \ne B, E \ne C.$

Câu 26: Cho tứ diện $ABCD\,.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC,$ $E$ là điểm trên cạnh $CD$ với $ED = 3EC.$ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( {MNE} \right)$ và tứ diện $ABCD$ là:

A. Tam giác $MNE.$

B. Tứ giác $MNEF$ với $F$ là điểm bất kì trên cạnh $BD\,.$

C. Hình bình hành $MNEF$ với $F$ là điểm trên cạnh $BD$ mà $EF$//$BC.$

D. Hình thang $MNEF$ với $F$ là điểm trên cạnh $BD$ mà $EF$//$BC.$

Câu 27: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$. Trên đường thẳng $CD$ lấy điểm $M$ nằm ngoài đoạn $CD$. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( {HKM} \right)$ là:

A. Tứ giác $HKMN$ với $N \in AD.$

B. Hình thang $HKMN$ với $N \in AD$ và $HK\parallel MN.$

C. Tam giác $HKL$ với $L = KM \cap BD.$

D. Tam giác $HKL$ với $L = HM \cap AD.$

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).$ Các điểm $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SB,\,\,SC\,.$ Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:

A. ${a^2}.$ B. $\frac{{{a^2}}}{2}.$ C. $\frac{{{a^2}}}{4}.$ D. $\frac{{{a^2}}}{{16}}.$

Câu 29: Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a\,.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

A. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$ B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$ C. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$ D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Câu 30: Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $2a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$, $BC$; $P$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:

A. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$ B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$ C. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$ D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Câu 31: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MN$ cắt $AD, BC$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I.$ Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. $I, A, C.$ B. $I, B, D.$ C. $I, A, B.$ D. $I, C, D.$

Câu 32: Cho tứ diện $SABC$. Gọi $L, M, N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA, SB$ và $AC$ sao cho $LM$ không song song với $AB$, $LN$ không song song với $SC$. Mặt phẳng $\left( {LMN} \right)$ cắt các cạnh $AB, BC, SC$ lần lượt tại $K, I, J$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. $K, I, J.$ B. $M, I, J.$ C. $N, I, J.$ D. $M, K, J.$

Câu 33: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,$ $M$ là trung điểm $CD,$ $I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,$ $BI$ cắt mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ tại $J.$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. $AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).$ B. $A, J, M$ thẳng hàng.

C. $J$ là trung điểm của $AM.$ D. $DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).$

Câu 34: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E, F, G$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $AB, AC, BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I$, $EG$ cắt $AD$ tại $H$. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. $CD, EF, EG.$ B. $CD, IG, HF.$ C. $AB, IG, HF$. D. $AC, IG, BD.$

Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ không phải là hình thang. Trên cạnh $SC$ lấy điểm $M$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đôi một song song.

B. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đôi một cắt nhau.

C. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đồng quy.

D. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.

ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5
C	B	C	A	D
6	7	8	9	10
C	A	B	A	D
11	12	13	14	15
D	B	D	C	B
16	17	18	19	20
D	A	A	B	A
21	22	23	24	25
A	B	A	C	D
26	27	28	29	30
D	C	C	B	C
31	32	33	34	35
B	B	C	B	C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Lời giải

Chọn C

• A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

• B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

• D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Câu 2: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?

A. $6.$ B. $4.$ C. $3.$ D. $2.$

Lời giải

Chọn B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa $C_4^3 = 4$ mặt phẳng.

Câu 3: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.

Lời giải

Chọn C

• A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

• B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Câu 4: Cho tứ giác $ABCD$. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác ABCD?

A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$ D. $0.$

Lời giải

Chọn A

4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Câu 5: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $A,\;B,\;C$ thẳng hàng.

B. Nếu $A,\;B,\;C$ thẳng hàng và $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ có điểm chung là $A$ thì $B,\;C$ cũng là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

C. Nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt thì $A,\;B,\;C$ không thẳng hàng.

D. Nếu$A,\;B,\;C$ thẳng hàng và$A,\;B$ là 2 điểm chung của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $C$cũng là điểm chung của $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$.

Lời giải

Chọn D

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.

• A sai. Nếu $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận $A,\;B,\;C$ thẳng hàng.

• B sai. Có vô số đường thẳng đi qua $A$, khi đó $B,\;C$ chưa chắc đã thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

• C sai. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm $A,\;B,\;C$ là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì $A,\;B,\;C$ cùng thuộc giao tuyến.

A. 4. B. 5. C. 6. D. 8.

Lời giải

Chọn C

Với điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và 4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, ta có $C_4^2$ cách chọn 2 trong 4 điểm $A,\;B,\;C,\;D$ cùng với điểm $S$ lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.

Câu 7: Cho 5 điểm $A,\;B,\;C,\;D,\;E$ trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?

A. $10.$ B. $12.$ C. $8.$ D. $14.$

Lời giải

Chọn A

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Ta có $C_5^3$ cách chọn 3 điểm trong 5 điểm đã cho để tạo được 1 mặt phẳng xác định. Số mặt phẳng tạo được là 10.

Câu 8: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

D. Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm $A,\;B,\;C$ không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Lời giải

Chọn B

Nếu 2 mặt phẳng trùng nhau, khi đó 2 mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Câu 9: Cho 3 đường thẳng ${d_1},\;{d_2},\;{d_3}$ không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 3 đường thẳng trên đồng quy.

B. 3 đường thẳng trên trùng nhau.

C. 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác.

D. Các khẳng định ở A, B, C đều sai.

Lời giải

Chọn A

• B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

• C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.

Câu 10: Thiết diện của 1 tứ diện có thể là:

A. Tam giác. B. Tứ giác.

C. Ngũ giác. D. Tam giác hoặc tứ giác.

Lời giải

Chọn D

Khi thiết diện cắt 3 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 3 giao tuyến. Ba giao tuyến lập thành 1 hình tam giác.

Khi thiết diện cắt cả 4 mặt của tứ diện thì sẽ tạo thành 4 giao tuyến. Bốn giao tuyến lập thành 1 hình tứ giác.

Thiết diện không thể là ngũ giác vì thiết diện có 4 mặt, số giao tuyến tối đa là 4.

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang $ABCD \left( {AB\parallel CD} \right).$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.

B. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ là SO$(O$ là giao điểm của AC và $BD).$

C. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là SI$(I$ là giao điểm của AD và $BC).$

D. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ là đường trung bình của ABCD

Lời giải

Chọn D

$ \bullet $ Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên: $\left( {SAB} \right),\;\left( {SBC} \right),\;\left( {SCD} \right),\;\left( {SAD} \right).$ Do đó A đúng.

$ \bullet $ $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

$\left\{ \begin{gathered}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

$\xrightarrow{{}}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO.$ Do đó B đúng.

$ \bullet $ Tương tự, ta có $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$ Do đó C đúng.

$ \bullet $ $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA$ mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD

Do đó D sai.

Câu 12: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác$BCD.$ Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right)$là:

A. $AM (M$là trung điểm của$AB).$ B. $AN (N$là trung điểm của $CD).$

C. $AH (H$là hình chiếu của$B$ trên $CD).$ D. $AK (K$là hình chiếu của$C$trên $BD).$

Lời giải

Chọn B

$ \bullet $ $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

$ \bullet $ Ta có $BG \cap CD = N\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{gathered}
N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right) \hfill \\
N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.$

Lời giải

Chọn D

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ mà $\left\{ \begin{gathered}
EF \subset \left( {DEF} \right) \hfill \\
EF \subset \left( {ABC} \right) \hfill \\
EF \subset \left( {AEF} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right) \hfill \\
I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right) \hfill \\
I = \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\,.$

Câu 14: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right)$ là:

A. đường thẳng $MN.$

B. đường thẳng $AH (H$ là trực tâm tam giác $ACD).$

C. đường thẳng $BG (G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$

D. đường thẳng $AM.$

Lời giải

Chọn C

$ \bullet $ $B$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$

$ \bullet $ Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC, CD$ nên suy ra $AN, DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$ Gọi $G = AN \cap DM$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right) \hfill \\
G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow G$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$

Vậy $\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.$

A. $SD.$

B. $SO (O$ là tâm hình bình hành $ABCD).$

C. $SG (G$ là trung điểm $AB).$

D. $SF (F$ là trung điểm $CD).$

Lời giải

Chọn B

$ \bullet $ $S$là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

$ \bullet $ Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm của hình hình hành.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $T = AC \cap MN$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Vậy $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.$

Câu 16: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm $SA, SB.$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. $IJCD$ là hình thang. B. $\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$

C. $\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.$ D. $\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO (O$ là tâm $ABCD).$

Lời giải

Chọn D

$ \bullet $ Ta có $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ $ \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD \Rightarrow IJ\parallel CD$

$ \Rightarrow IJCD$ là hình thang. Do đó A đúng.

$ \bullet $ Ta có $\left\{ \begin{gathered}
IB \subset \left( {SAB} \right) \hfill \\
IB \subset \left( {IBC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$ Do đó B đúng.

$ \bullet $ Ta có $\left\{ \begin{gathered}
JD \subset \left( {SBD} \right) \hfill \\
JD \subset \left( {JBD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {JBD} \right) = JD.$ Do đó C đúng.

$ \bullet $ Trong mặt phẳng $\left( {IJCD} \right)$, gọi $M = IC \cap JD$$ \Rightarrow \left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO.$ Do đó D sai.

A. $SI (I$ là giao điểm của $AC$ và $BM).$

B. $SJ (J$ là giao điểm của $AM$ và $BD).$

C. $SO (O$ là giao điểm của $AC$ và $BD).$

D. $SP (P$ là giao điểm của $AB$ và $CD).$

Lời giải

Chọn A

$ \bullet $ $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

$ \bullet $ Ta có $\left\{ \begin{gathered}
I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right) \hfill \\
I \in \left( {AC} \right) \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Vậy $\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI.$

A. $IK.$ B. $BC.$ C. $AK.$ D. $DK.$

Lời giải

Chọn A

Điểm $K$ là trung điểm của $BC$ suy ra $K \in \left( {IBC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {IBC} \right).$

Điểm $I$ là trung điểm của $AD$ suy ra $I \in \left( {KAD} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {KAD} \right).$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là $IK.$

A. $SI.$

B. $AE$ ($E$ là giao điểm của $DM$ và $SI$).

C. $DM.$

D. $DE$ ($E$ là giao điểm của $DM$ và $SI$).

Lời giải

Chọn B

Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$. Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $E = SI \cap DM$.

Ta có:

● $E \in SI$ mà $SI \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $E \in \left( {SAC} \right)$.

● $E \in DM$ mà $DM \subset \left( {ADM} \right)$ suy ra $E \in \left( {ADM} \right)$.

Do đó $E$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Vậy $AE$ là giao tuyến của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

A. $KI.$ B. $KJ.$ C. $MI.$ D. $MH.$

Lời giải

Chọn A

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$ $IJ$ cắt $CD$ tại $H\,\, \Rightarrow \,\,H \in \left( {ACD} \right).$

Điểm $H \in IJ$ suy ra bốn điểm $M,\,\,I,\,\,J,\,\,H$ đồng phẳng.

Nên trong mặt phẳng $\left( {IJM} \right)$, $MH$ cắt $IJ$ tại $H$ và $MH \subset \left( {IJM} \right).$

Mặt khác $\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( {ACD} \right) \hfill \\
H \in \left( {ACD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\, \Rightarrow \,\,MH \subset \left( {ACD} \right).$ Vậy $\left( {ACD} \right) \cap \left( {IJM} \right) = MH.$

A. $CD$ và $NP.$ B. $CD$ và $MN.$ C. $CD$ và $MP.$ D. $CD$ và $AP.$

Lời giải

Chọn A

Cách 1. Xét mặt phẳng $BCD$ chứa $CD\,.$Do $NP$ không song song $CD$ nên $NP$ cắt $CD$ tại $E\,.$

Điểm $E \in NP\,\, \Rightarrow \,\,E \in \left( {MNP} \right).$ Vậy $CD \cap \left( {MNP} \right)$ tại $E.$

Cách 2. Ta có $\left\{ \begin{gathered}
N \in BC \hfill \\
P \in BD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow NP \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $NP,\,\,CD$ đồng phẳng.

Gọi $E$ là giao điểm của $NP$ và $CD$ mà $NP \subset \left( {MNP} \right)$ suy ra $CD \cap \left( {MNP} \right) = E\,.$

Vậy giao điểm của $CD$ và $mp\;\left( {MNP} \right)$ là giao điểm $E$ của $NP$ và $CD\,.$

A. điểm $F.$

B. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AF.$

C. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $AC.$

D. giao điểm của đường thẳng $EG$ và $CD.$

Lời giải

Chọn B

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,\,\,\,F$ là trung điểm của $CD$$ \Rightarrow \,\,\,G \in \left( {ABF} \right)\,.$

Ta có $E$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow \,\,\,E \in \left( {ABF} \right)\,.$

Gọi $M$ là giao điểm của $EG$ và $AF$ mà $AF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $M \in \left( {ACD} \right)\,.$

Vậy giao điểm của $EG$ và $mp\,\,\left( {ACD} \right)$ là giao điểm $M = EG \cap AF\,.$

A. $\overrightarrow {IA} = – \,2\overrightarrow {IM} .$ B. $\overrightarrow {IA} = – \,3\overrightarrow {IM} .$ C. $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} .$ D. $IA = 2,5IM.$

Lời giải

Chọn A

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ suy ra $O$ là trung điểm của $AC\,.$

Nối $AM$ cắt $SO$ tại $I$ mà $SO \subset \left( {SBD} \right)$ suy ra $I = AM \cap \left( {SBD} \right).$

Tam giác $SAC$ có $M,\,\,O$ lần lượt là trung điểm của $SC,\,\,AC.$

Mà $I = AM \cap SO$ suy ra $I$ là trọng tâm tam giác $SAC\,\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM\,\, \Leftrightarrow \,\,IA = 2IM.$

Điểm $I$ nằm giữa $A$ và $M$ suy ra $\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {MI} = – \,2\overrightarrow {IM} .$

A. giao điểm của $SD$ và $AB.$

B. giao điểm của $SD$ và $AM$.

C. giao điểm của $SD$ và $BK$ (với $K = SO \cap AM$).

D. giao điểm của $SD$ và $MK$ (với $K = SO \cap AM$).

Lời giải

Chọn C

● Chọn mặt phẳng phụ $\left( {SBD} \right)$ chứa $SD$.

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.

Ta có $B$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABM} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $O = AC \cap BD$. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, gọi $K = AM \cap SO$. Ta có:

▪ $K \in SO$ mà $SO \in (SBD)$ suy ra $K \in (SBD)$.

▪ $K \in AM$ mà $AM \subset (ABM)$ suy ra $K \in (ABM)$.

Suy ra $K$ là điểm chung thứ hai của $(SBD)$ và $(ABM)$.

Do đó $(SBD) \cap (ABM) = BK$.

Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $N = SD \cap BK$. Ta có:

▪ $N \in BK$ mà $BK \subset (ABM)$ suy ra $N \in (ABM)$.

▪ $N \in SD$.

Vậy $N = SD \cap (ABM)$.

A. $E$ nằm ngoài đoạn $BC$ về phía $B.$

B. $E$ nằm ngoài đoạn $BC$ về phía $C.$

C. $E$ nằm trong đoạn $BC.$

D. $E$ nằm trong đoạn $BC$ và $E \ne B, E \ne C.$

Lời giải

Chọn D

● Chọn mặt phẳng phụ $\left( {ABC} \right)$ chứa $BC$.

● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $DH \bot MN$ và ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} – M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$.

Ta có $H$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$, do $IK$ không song song với $AC$ nên gọi $F = IK \cap AC$. Ta có

▪ $F \in AC$ mà $AC \subset \left( {ABC} \right)$ suy ra $F \in \left( {ABC} \right)$.

▪ $F \in IK$ mà $IK \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $F \in \left( {IHK} \right)$.

Suy ra $F$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {IHK} \right)$.

Do đó $\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF$.

● Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, gọi $E = HF \cap BC$. Ta có

▪ $E \in HF$ mà $HF \subset \left( {IHK} \right)$ suy ra $E \in \left( {IHK} \right)$.

▪ $E \in BC$.

Vậy $E = BC \cap \left( {IHK} \right)$.

A. Tam giác $MNE.$

B. Tứ giác $MNEF$ với $F$ là điểm bất kì trên cạnh $BD\,.$

C. Hình bình hành $MNEF$ với $F$ là điểm trên cạnh $BD$ mà $EF$//$BC.$

D. Hình thang $MNEF$ với $F$ là điểm trên cạnh $BD$ mà $EF$//$BC.$

Lời giải

Chọn D

Tam giác $ABC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC\,.$

Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $ \Rightarrow \,\,MN$//$BC\,.$

Từ $E$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $BC$ và cắt $BD$ tại $F\,\, \Rightarrow \,\,EF$//$BC.$

Do đó $MN$//$EF$ suy ra bốn điểm $M,\,\,N,\,\,E,\,\,F$ đồng phẳng và $MNEF$ là hình thang.

Vậy hình thang $MNEF$ là thiết diện cần tìm.

A. Tứ giác $HKMN$ với $N \in AD.$

B. Hình thang $HKMN$ với $N \in AD$ và $HK\parallel MN.$

C. Tam giác $HKL$ với $L = KM \cap BD.$

D. Tam giác $HKL$ với $L = HM \cap AD.$

Lời giải

Chọn C

Ta có $HK$, $KM$ là đoạn giao tuyến của $\left( {HKM} \right)$ với $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, do $KM$ không song song với $BD$ nên gọi $L = KM \cap BD$.

Vậy thiết diện là tam giác $HKL$.

A. ${a^2}.$ B. $\frac{{{a^2}}}{2}.$ C. $\frac{{{a^2}}}{4}.$ D. $\frac{{{a^2}}}{{16}}.$

Lời giải

Chọn C

Gọi $Q$ là trung điểm của $SD\,.$

Tam giác $SAD$có $M,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SD$ suy ra $MQ$//$AD\,.$

Tam giác $SBC$ có $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,\,\,SC$ suy ra $NP$//$BC\,.$

Mặt khác $AD$//$BC$ suy ra $MQ$//$NP$ và $MQ = NP\,\, \Rightarrow \,\,MNPQ$ là hình vuông.

Khi đó $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q$ đồng phẳng $ \Rightarrow \,\,\left( {MNP} \right)$ cắt $SD$ tại $Q\,$ và $MNPQ$ là thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với $mp\,\,\left( {MNP} \right).$

Vậy diện tích hình vuông $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}.$

A. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$ B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$ C. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$ D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Lời giải

Chọn B

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ suy ra $AN \cap MC = G.$

Dễ thấy mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ cắt đường thắng $AB$ tại điểm $M.$

Suy ra tam giác $MCD$ là thiết diện của mặt phẳng $\left( {GCD} \right)$ và tứ diện $ABCD\,.$

Tam giác $ABD$ đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Tam giác $ABC$đều, có $M$ là trung điểm $AB$ suy ra $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Gọi $H$ là trung điểm của $CD\,\, \Rightarrow \,\,MH \bot CD\,\, \Rightarrow \,\,{S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.MH.CD$

Với $MH = \sqrt {M{C^2} – H{C^2}} = \sqrt {M{C^2} – \frac{{C{D^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy ${S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\,.$

A. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{2}.$ B. $\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$ C. $\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$ D. $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Lời giải

Chọn C

Trong tam giác $BCD$ có: $P$ là trọng tâm, $N$ là trung điểm $BC$. Suy ra $N$, $P$, $D$ thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác $MND$.

Xét tam giác $MND$, ta có $MN = \frac{{AB}}{2} = a$; $DM = DN = \frac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $.

Do đó tam giác $MND$ cân tại $D$.

Gọi $H$ là trung điểm $MN$ suy ra $DH \bot MN$.

Diện tích tam giác ${S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} – M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}$.

A. $I, A, C.$ B. $I, B, D.$ C. $I, A, B.$ D. $I, C, D.$

Lời giải

Chọn B

Ta có $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$.

Lại có $\left\{ \begin{gathered}
I \in MP \subset \left( {ABD} \right) \hfill \\
I \in NQ \subset \left( {BCD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$

$ \Rightarrow I \in BD \Rightarrow I, B, D$ thẳng hàng.

A. $K, I, J.$ B. $M, I, J.$ C. $N, I, J.$ D. $M, K, J.$

Lời giải

Chọn B

Ta có

● $M \in SB$ suy $M$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

● $I$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

● $J$ là điểm chung của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

Vậy $M, I, J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của $\left( {LMN} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

A. $AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).$ B. $A, J, M$ thẳng hàng.

C. $J$ là trung điểm của $AM.$ D. $DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).$

Lời giải

Chọn C

Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

Do $BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right) \hfill \\
M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

$ \Rightarrow \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM\xrightarrow{{}}$A đúng.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
BI \subset \left( {ABG} \right) \hfill \\
AM \subset \left( {ABM} \right) \hfill \\
\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AM,BI$ đồng phẳng.

$ \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M$ thẳng hàng$\xrightarrow{{}}$ B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}
DJ \subset \left( {ACD} \right) \hfill \\
DJ \subset \left( {BDJ} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right)\xrightarrow{{}}$ D đúng.

Điểm $I$ di động trên $AG$ nên $J$ có thể không phải là trung điểm của $AM$

$\xrightarrow{{}}$ C sai.

A. $CD, EF, EG.$ B. $CD, IG, HF.$ C. $AB, IG, HF$. D. $AC, IG, BD.$

Lời giải

Chọn B

Phương pháp: Để chứng minh ba đường thẳng ${d_1}, {d_2}, {d_3}$ đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$; đồng thời ${d_3}$ là giao tuyến $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$.

Gọi $O = HF \cap IG$. Ta có

● $O \in HF$ mà $HF \subset \left( {ACD} \right)$ suy ra $O \in \left( {ACD} \right)$.

● $O \in IG$ mà $IG \subset \left( {BCD} \right)$ suy ra $O \in \left( {BCD} \right)$.

Do đó $O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)$. $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in CD$.

Vậy ba đường thẳng $CD, IG, HF$ đồng quy.

A. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đôi một song song.

B. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đôi một cắt nhau.

C. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đồng quy.

D. Ba đường thẳng $AB, CD, MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải

Chọn C

Gọi $I = AD \cap BC.$ Trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$, gọi $K = BM \cap SI$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi $N = AK \cap SD$.

Khi đó $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $\left( {AMB} \right)$.

Gọi $O = AB \cap CD$. Ta có:

● $O \in AB$ mà $AB \subset \left( {AMB} \right)$ suy ra $O \in \left( {AMB} \right)$.

● $O \in CD$ mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$ suy ra $IJ,MN,SE$.

Do đó $O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$. $\left( 1 \right)$

Mà $\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O \in MN$. Vậy ba đường thẳng $AB, CD, MN$ đồng quy.

1	2	3	4	5
C	B	C	A	D
6	7	8	9	10
C	A	B	A	D
11	12	13	14	15
D	B	D	C	B
16	17	18	19	20
D	A	A	B	A
21	22	23	24	25
A	B	A	C	D
26	27	28	29	30
D	C	C	B	C
31	32	33	34	35
B	B	C	B	C

1	2	3	4	5
C	B	C	A	D
6	7	8	9	10
C	A	B	A	D
11	12	13	14	15
D	B	D	C	B
16	17	18	19	20
D	A	A	B	A
21	22	23	24	25
A	B	A	C	D
26	27	28	29	30
D	C	C	B	C
31	32	33	34	35
B	B	C	B	C

XEM NHIỀU

TÀI LIỆU HOT

BÀI VIẾT TIÊU BIỂU

BÀI VIẾT PHỔ BIẾN

MỤC XEM NHIỀU

1	2	3	4	5
C	B	C	A	D
6	7	8	9	10
C	A	B	A	D
11	12	13	14	15
D	B	D	C	B
16	17	18	19	20
D	A	A	B	A
21	22	23	24	25
A	B	A	C	D
26	27	28	29	30
D	C	C	B	C
31	32	33	34	35
B	B	C	B	C