70 Câu Trắc Nghiệm Lãi Suất Theo Từng Dạng Giải Chi Tiết

Bởi

18-08-2023

2866

Các Dạng Bài Tập Chương Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Lớp 11 Giải Chi Tiết

70 câu trắc nghiệm lãi suất theo từng dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 8 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: BÀI TOÁN VAY VỐN

Phương pháp

1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kỳ hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gởi không đến rút tiền lãi ra.

• Công thức tính: ${A_n} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$

$ + {A_n}$ số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn $\left( {n \in {N^*}} \right)$.

$ + {A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng.

$ + r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất ngân hàng trên kì hạn.

• $n$ là số kì hạn gởi của khách hàng.

• Chứng minh công thức: ${A_n} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$

Gọi ${A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng và $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất trên kì hạn.

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ nhất là ${A_1} = {A_0} + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ hai là ${A_2} = {A_0}\left( {1 + r} \right) + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + 2r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ ba là ${A_3} = {A_0}\left( {1 + 2r} \right) + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + 3r} \right)$ …

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ $n$ là ${A_n} = {A_0}\left[ {1 + \left( {n – 1} \right)r} \right] + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$

Vậy khách hàng gửi vào ngân hàng ${A_0}$ đồng với lãi suất đơn $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ trên kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn $\left( {n \in {N^*}} \right)$ là: ${A_n} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$

2. Lãi kép: là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

• Công thức tính: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$

$ + {A_n}$ số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn $\left( {n \in {N^*}} \right)$.

$ + {A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng. $ + r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất ngân hàng trên kì hạn.

• $n$ là số kì hạn gởi của khách hàng.

• Chứng minh công thức: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$

Cách 1:

Gọi ${A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng và $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất trên kì hạn.

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ nhất là ${A_1} = {A_0} + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ hai là

${A_2} = {A_1} + r{A_1} = {A_1}\left( {1 + r} \right) = {A_0}\left( {1 + r} \right)\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^2}$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ ba là

${A_3} = {A_2} + r{A_2} = {A_2}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^2}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^3}$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ $n$ là

${A_n} = {A_{n – 1}} + r{A_{n – 1}} = {A_{n – 1}}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^{n – 1}}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^n}$

Cách 2:

Gọi ${A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng và $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất trên kì hạn.

Gọi ${A_n}$ là số tiền cả vốn lẫn lãi mà khách hàng nhận được sau $n$ kì hạn.

Theo giả thiết, ta có ${A_{n + 1}} = {A_n} + {A_n} \cdot r = {A_n}\left( {1 + r} \right),\left( {n \in {N^*}} \right)$.

Do đó dãy số $\left( {{A_n}} \right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu ${A_0}$ và công bội $q = 1 + r$. Suy ra ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$

3. Gửi tiền hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.

Công thức tính : Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền ${A_0}$ đồng với lãi kép $r%$ một tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng $\left( {n \in {N^*}} \right)$ là : ${A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$ $ + {A_n}$ số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng $\left( {n \in {N^*}} \right)$.

$ + {A_0}$ là số tiền gởi hàng tháng vào ngân hàng của khách hàng.

$ + r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất ngân hàng trên kì hạn.

• Chứng minh công thức: ${A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$

Tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ nhất là: ${A_1} = {A_0} + {A_0} \cdot r = {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right)$.

Tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ hai là:

${A_2} = {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right) + {A_0} + \left[ {{A_0} \cdot \left( {1 + r} \right) + {A_0}} \right] \cdot r = {A_0} \cdot {(1 + r)^2} + {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right)$

Tương tự tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ $n$ là:

${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} + {A_0}{(1 + r)^{n – 1}} + \ldots + {A_0}\left( {1 + r} \right)$

$ = {A_0}\left( {1 + r} \right)\left( {{{(1 + r)}^{n – 1}} + {{(1 + r)}^{n – 2}} + \ldots + 1} \right)$

$ = {A_0}\left( {1 + r} \right) \cdot \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{{\left( {1 + r} \right) – 1}}$

$ = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$

4. Gửi tiền ngân hàng và rút tiền hàng tháng

Gửi ngân hàng số tiền ${A_0}$ đồng với lãi suất $r%$ một tháng. Mối tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền $X$ đồng. Tính số tiền còn lại sau $n$ tháng là bao nhiêu?

Công thức số tiền còn lại sau n tháng là: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

5. Vay vốn trả góp

Vay ngân hang số tiền là ${A_0}$ đồng với lãi suất $r%$ trên tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng hoàn nợ số tiền là $X$ đồng và trả hết tiền nợ sau đúng $n$ tháng.

Công thức: Cách tính số tiền còn lại sau $n$ tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Câu 1. Bác Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất đơn 7%/năm thì sau 5 năm số tiền Bác Việt nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A.13,5 triệu

B. 16 triệu

C.12 triệu

D. 12,7 triệu

Lời giải
Chọn A.

Gọi ${A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng và $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất trên kì hạn.

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ nhất là ${A_1} = {A_0} + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ hai là ${A_2} = {A_0}\left( {1 + r} \right) + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + 2r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ ba là ${A_3} = {A_0}\left( {1 + 2r} \right) + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + 3r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ $n$ là ${A_n} = {A_0}\left[ {1 + \left( {n – 1} \right)r} \right] + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$

Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}\left( {1 + nr} \right)$ ta tính được số tiền cả gốc lẫn lãi của Bác Việt nhận được sau 5 năm là :

${A_n} = {A_0}(1 + nr) \Rightarrow {A_5} = 10.(1 + 5,7\% ) = 13,5$ triệu đồng

Câu 2. Bác Toàn gửi tiết kiệm 75 triệu vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 tháng và lãi suất $0,59%$ trên tháng. Nếu Bác Toàn không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì sau 3 năm Bác Toàn nhận được số tiền là bao nhiêu :

A. 92576000

B. 80486000

C. 92690000

D. 90930000

Lời giải

Chọn A.

Gọi ${A_0}$ là số tiền gởi vào ngân hàng của khách hàng và $r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất trên kì hạn.

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ nhất là ${A_1} = {A_0} + r{A_0} = {A_0}\left( {1 + r} \right)$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ hai là

${A_2} = {A_1} + r{A_1} = {A_1}\left( {1 + r} \right) = {A_0}\left( {1 + r} \right)\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^2}$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ ba là

${A_3} = {A_2} + r{A_2} = {A_2}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^2}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^3}$

Số tiền khách hàng nhận được sau kì hạn thứ $n$ là

${A_n} = {A_{n – 1}} + r{A_{n – 1}} = {A_{n – 1}}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^{n – 1}}\left( {1 + r} \right) = {A_0}{(1 + r)^n}$

Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ 3 tháng (một quý) lãi suất 3.0,59% = 1,77%.

Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$ ta tính được sau 3 năm (12 quý), số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là :

${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} \Rightarrow {A_{12}} = 75.{(1 + 0,0177)^{12}} \approx 92576000$(đồng)

Câu 3. Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,4%$ / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?

A. 102.16.000 đồng

B. 102.017.000 đồng

C. 102.424.000 đồng

D. 102.423.000 đồng

Lời giải

Chọn C

Đây là bài toán lãi kép, kì hạn 1 tháng lãi suất 0,4%

Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} \Rightarrow {A_6} = 100.000.000{\left( {1 + \frac{{0,4}}{{100}}} \right)^6} = 102.424.128$

Câu 4. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất $6,9%/$ năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn tiền lãi gần với con số nào sau đây?

A. 105370000 đồng

B. 111680000 đồng

C. 107667000 đồng

D. 116570000 đồng

Lời giải

Chọn B.

Đây là bài toán lãi kép, Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$ với $n$ là số kỳ hạn, ${A_0}$ là số tiền ban đầu, ${A_n}$ là số tiền có được sau $n$ kỳ hạn, $r$ là lãi suất.

${A_n} = {A_0}(1 + nr)^n \Rightarrow {A_5} = 80000000.(1 + 6,9\% )^5 \approx 111680799$ (đồng)

Câu 5. Cô Hằng gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để Cô Hằng có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi.

A.19 quý

B. 15 quý

C. 4 năm

D. 5 năm

Lời giải

Chọn C.

Đây là bài toán lãi kép, kì hạn là một quý ( 3 tháng) lãi suất 1,85%

Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$ Theo bài toán ta có ${A_n} \leqslant {A_0}{(1 + r)^n} \Leftrightarrow 36 \leqslant 27{(1 + 0,0185)^n} \Leftrightarrow 1,{0185^n} \geqslant \frac{4}{3} \Leftrightarrow n \geqslant lo{g_{1,0185}}\frac{4}{3} \approx 15,7$

Do đó thời gian nhanh nhất để Cô Hằng có được ít nhất 36 triệu là 16 quý tức là 4 năm

Câu 6. Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

A. 11 năm

B. 12 năm

C. 13 năm

D. 10 năm

Lời giải

Chọn B

Đây là bài toán lãi kép, kì hạn là một năm lãi suất 6,1%

Áp dụng công thức ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$

Theo giả thiết ta có:

$2{A_0} = {A_0}{\left( {1 + \frac{{6,1}}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow 2 = {\left( {1 + \frac{{6,1}}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow 2 = 1,{061^n} \Leftrightarrow n = lo{g_{\left( {1,061} \right)}}2 \approx 11,7$

Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền thỏa yêu cầu.

Câu 7. Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định trong 9 tháng thì lĩnh về được 61758000đ. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.

A. $0,8%$

B. $0,6%$

C. $0,7%$

D. $0,5%$

Lời giải

Chọn C

Suy ra ${A_9} = {A_0}{(1 + r)^9} \Rightarrow r = \sqrt[9]{{\frac{{{A_9}}}{{{A_0}}}}} – 1 = 0,7%$.

Câu 8. Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $0,6%/$ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó được linnh số tiền không ít hơn 110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi?

A. 18 tháng

B. 16 tháng

C. 17 tháng

D. 15 tháng

Lời giải

Chọn B

Sau $n$ tháng, người đó lĩnh được số tiền là: 100.(1+0,6%) (triệu đồng).

Sau $n$ tháng, người đó được lĩnh số tiền không ít hơn 110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi)

$ \Rightarrow 100.{(1 + 0,6{\text{\% }})^n} \geqslant 110 \Leftrightarrow n \geqslant {\text{lo}}{{\text{g}}_{1 + 0,6{\text{\% }}}}\frac{{11}}{{10}} \approx 15,9$.

Câu 9. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi của kỳ trước được cộng vào vốn của kỳ kế tiếp) với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi tiền vào ngân hàng gần bằng với kết quả nào sau đây? Biết rằng trong suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó không rút tiền ra.

A. 212 triệu đồng

B. 216 triệu đồng

C. 210 triệu đồng

D. 220 triệu đồng

Lời giải

Chọn A

Ta có: $r = 2% = 0,02$

• Số tiền 100 triệu đồng gửi lần đầu thì sau 1 năm (4 quý) nhận được cả vốn lẫn lãi là:

${T_1} = 100{(1 + 0,02)^4} = 108,24$ triệu đồng

• Số tiền 100 triệu đồng gửi lần thứ hai thì sau 6 tháng (2 quý) nhận được cả vốn lẫn lãi là:

${T_2} = 100{(1 + 0,02)^2} = 104,04$ triệu đồng

Vậy tổng số tiền nhận được là: $T = {T_1} + {T_2} = 212,28$ triệu đồng.

Câu 10. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 8,4% một năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất, ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là $12%$ một năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là: (làm tròn đến chũ số hàng đơn vị)

A. 62255910 đồng.

B. 59895767 đồng.

C. 59993756 đồng.

C. 63545193 đồng.

Lời giải

Chọn B

Đợt I, ông An gửi số tiền ${P_0} = 50$ triệu, lãi suất 8,4% một năm tức là 2,1% mỗi kỳ hạn. Số tiền cả gốc và lãi ông thu được sau 3 kỳ hạn là: ${P_3} = 50000000.{(1.021)^3}$.

Đợt II, do ông không rút ra nên số tiền ${P_3}$ được xem là số tiền gửi ban đầu của đợt II, lãi suất đợt II là 3% mỗi kỳ hạn. Ông gửi tiếp 12 tháng bằng 4 kỳ hạn nên số tiền thu được cuối cùng là:

$P = {P_3}{(1.03)^4} = 50000000 \cdot {(1.021)^3} \cdot {(1.03)^4} \approx 59895767$ đồng.

Câu 11. Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn là một quý với lãi suất 3% một quý. Sau đúng 6 tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó.Hỏi sau 1 năm số tiền (cả vốn lẫn lãi) anh Nam nhận được là bao nhiêu? ( Giả sử lãi suất không thay đổi).

A. 218, 64 triệu đồng.

B. 208, 25 triệu đồng.

C. 210,45 triệu đồng.

D. 209, 25 triệu đồng.

Lời giải

Chọn A

• Số tiền anh Nam nhận được sau 6 tháng (tức 2 quý) là:

${T_1} = 100{\left( {1 + {3^0}{/_0}} \right)^2} = 106,09$ triệu đồng.

• Số tiền anh Nam nhận được sau một năm (tức 2 quý còn lại của năm) là:

${T_2} = \left( {106,09 + 100} \right){\left( {1 + {3^0}/} \right)^2} \approx 218,64$ triệu đồng.

Câu 12. Ông $A$ gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất $0,5%$ / tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì ông $A$ có được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn 60 triệu đồng? Biết rằng trong suốt thời gian gửi, lãi suất ngân hàng không đổi và ông $A$ không rút tiền ra.

A. 36 tháng.

B. 38 tháng.

C. 37 tháng.

D. 40 tháng.

Lời giải

Chọn C

Theo đề ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} \Leftrightarrow 60 \leqslant 50.{(1,005)^n} \Leftrightarrow n \geqslant lo{g_{1,005}}\frac{6}{5} \approx 36,6$.

Vậy sau ít nhất 37 tháng thì ông A thu được số tiền cả gốc lẫn lãi hơn 60 triệu.

Câu 13. Một ngân hàng $X$, quy định về số tiền nhận được của khách hàng sau $n$ năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức $P\left( n \right) = A{(1 + 8{\text{% }})^n}$, trong đó $A$ là số tiền gửi ban đầu của khách hàng. Hỏi số tiền ít nhất mà khách hàng $B$ phải gửi vào ngân hàng $X$ là bao nhiêu để sau ba năm khách hàng đó rút ra được lớn hơn 850 triệu đồng (Kết quả làm tròn đến hàng triệu)?.

A. 675 triệu đồng.

B. 676 triệu đồng.

C. 677 triệu đồng.

D. 674 triệu đồng.

Lời giải

Chọn A

Ta có $P\left( n \right) = A{(1 + 8{\text{% }})^n}$.

Sau 3 năm số tiền khách hàng rút về lớn hơn 850 triệu đồng là:

$850 < A{(1 + 8{\text{% }})^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{(1 + 8{\text{% }})}^3}}} \approx 674,8$

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng $B$ phải gửi vào ngân hàng $X$ là 675 triệu đồng.

Câu 14. Ông tuấn gửi 100 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất $8%$. Sau 5 năm ông rút toàn bộ tiền và dùng một nữa để sửa nhà, số tiền còn lại ông tiếp tục gửi ngân hàng với lãi suất như lần trước. Số tiền lãi ông tuấn nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 46,933 triệu.

B. 34,480 triệu.

C. 81,413 triệu.

D. 107,946 triệu.

Lời giải

Chọn C

Năm năm đầu ông Tuấn có số tiền cả gốc và lãi là ${T_1} = 100 \cdot {(1 + 0.08)^5} = 146,933$

Sau khi sửa nhà số tiền còn lại gửi vào ngân hàng trong 5 năm thì số tiền cả gốc và lãi là ${T_2} = \frac{{146,932}}{2}{(1 + 0.08)^5} = 107,946$

Số tiền lãi trong 10 năm là $L = \left( {146,933 – 100} \right) + (107,946$ – 73, 466) = 81, 413.

Câu 15. Anh Dũng đem gửi tiết kiệm số tiền là 400 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Anh gửi 250 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất $x%$ một quý. Số tiền còn lại anh gửi theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất $0,25%$ một tháng. Biết rằng nếu không rút lãi thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau một năm số tiền cả gốc và lãi của anh là 416.780 .000 đồng. Tính $x$.

A. 1,2 .

B. 0,8 .

C. 0,9 .

D. 1,5 .

Lời giải

Chọn A

• Xét bài toán ông $B$ gửi tiết kiệm số tiền $A$ đồng với lãi suất $r$ cho 1 kỳ hạn. Biết rằng nếu không rút lãi thì số lãi sẽ được nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Hỏi sau $n$ kỳ hạn số tiền cả gốc và lãi của ông $B$ là bao nhiêu nếu trong thời gian gửi lãi suất không thay đổi?

• Sau 1 kì hạn số tiền cả gốc và lãi mà ông $B$ có được là ${T_1} = A + A \cdot r = A\left( {1 + r} \right)$.

• Sau 2 kì hạn số tiền cả gốc và lãi mà ông B có được là ${T_2} = {T_1} + {T_1} \cdot r = {T_1}\left( {1 + r} \right) = A{(1 + r)^2}$.

• Tổng quát ông B có số tiền cả gốc và lãi sau $n$ kì hạn là ${T_n} = A{(1 + r)^n}\left( 1 \right)$.

• Áp dụng công thức (1) cho bài toán đề cho, gọi $S$ là số tiền cả gốc và lãi anh Dũng có sau một năm gửi, ta có : $S = 250{(1 + x{\text{% }})^4} + 150{(1 + 0,25{\text{% }})^{12}}$ (triệu đồng).

$S = 416,78$ (triệu đồng)$ \Leftrightarrow 250{(1 + x{\text{% }})^4} + 150{(1 + 0,25{\text{% }})^{12}} = 416,78 \Leftrightarrow x \approx 1,2$.

Vậy $x \approx 1,2$.

Câu 16. Ông $A$ có số tiền 100000000 đồng gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép, có hai loại kì hạn: loại kì hạn 12 tháng với lãi suất 12%/năm và loại kì hạn 1 tháng với lãi suất 1%/tháng. Ông $A$ muốn gửi 10 năm. Theo anh chị, kết luận nào sau đây đúng (làm tròn đến hàng nghìn)?

A. Gửi theo kì hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kì hạn 1 năm là 16186000 đồng sau 10 năm.

B. Cả hai loại kì hạn đều có cùng số tiền như nhau sau 10 năm.

C. Gửi theo kì hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kì hạn 1 năm là 19454000 đồng sau 10 năm. D. Gửi theo kì hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kì hạn 1 năm là 15584000 đồng sau 10 năm.

Lời giải

Chọn C

Tổng số tiền ông A nhận được sau 10 năm khi gửi theo kì hạn 12 tháng là:

${T_1} = {T_0} \cdot {\left( {1 + {r_1}} \right)^{{n_1}}} = {10^8} \cdot 1,{12^{10}} \approx 310585000$(đồng)

Tổng số tiền ông ${\text{A}}$ nhận được sau 10 năm khi gửi theo kì hạn 1 tháng là

${T_2} = {T_0} \cdot {\left( {1 + {r_2}} \right)^{{n_2}}} = {10^8} \cdot 1,{01^{120}} \approx 330039000$

Như vậy, sau 10 năm, gửi theo kì hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kì hạn 1 năm là:

$T = {T_2} – {T_1} = 330039000 – 310585000 = 19454000$(đồng)

Câu 17. Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền $T$ theo hình thức lãi kép với lãi suất $0,6%$ mỗi tháng. Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền $T$ gần với số tiền nào nhất trong các số sau.

A. 613.000 đồng

B. 645.000 đồng

C. 635.000 đồng

D. 535.000 đồng

Lời giải

Chọn C

Số tiền nhận được khi gửi khoản tiền $T$ ở tháng đầu tiên là $T{(1 + 0,006)^{15}} = T \cdot 1,{006^{15}}$.

Số tiền nhận được khi gửi khoản tiền $T$ ở tháng thứ 2 là $T{(1 + 0,006)^{14}} = T \cdot 1,{006^{14}}$.

Cứ như vậy, số tiền nhận được khi gửi khoản tiền $T$ ở tháng thứ 14 là $T\left( {1 + 0,006} \right) = T.1,006$.

Vậy tổng số tiền nhận được sau 15 tháng là:

$T\left( {1,{{006}^{15}} + 1,{{006}^{14}} + \ldots + 1,{{006}^2} + 1,006} \right) = T.1,006 \cdot \frac{{1,{{006}^{15}} – 1}}{{0,006}}$.

Theo giả thiết có: $10000000 = T \cdot 1,006 \cdot \frac{{1,{{006}^{15}} – 1}}{{0,006}} \Rightarrow T \simeq 635301,46$.

Câu 18. Vào ngày 15 hàng tháng ông An đều đến gửi tiết kiệm tại ngân hàng SHB số tiền 5 triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn một tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi trong suốt quá trình gửi là 7,2% / năm. Hỏi sau đúng 3 năm kể từ ngày bắt đầu gửi ông An thu được số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng)?.

A. 195251000 (đồng)

B. 201453000 (đồng)

C. 195252000 (đồng)

D. 201452000 (đồng)

Lời giải

Chọn B.

Gọi ${T_n}$ là số tiền cả gốc lẫn lãi sau $n$ tháng, $a$ là số tiền gốc, $r$ là lãi xuất, ta có:

Cuối tháng thứ 1 ông An có số tiền là: ${T_1} = a\left( {1 + r} \right)$

Đầu tháng thứ 2 ông An có số tiền là: ${T_2} = a\left( {1 + r} \right) + a$

Cuối tháng thứ 2 ông An có số tiền là: ${T_2} = a\left( {1 + r} \right) + a + \left( {a\left( {1 + r} \right) + a} \right)r = a\left( {1 + r} \right) + a{(1 + r)^2}$ Cuối tháng thứ $n$ ông An có số tiền là:: ${T_n} = a\left( {1 + r} \right) + a{(1 + r)^2} + \ldots + a{(1 + r)^n}$

$ = a\left( {\left( {1 + r} \right) + {{(1 + r)}^2} + \ldots + {{(1 + r)}^n}} \right) = a \cdot \frac{{\left( {1 + r} \right)\left( {{{(1 + r)}^n} – 1} \right)}}{{1 + r – 1}}$

$ = \frac{{a\left( {1 + r} \right)\left( {{{(1 + r)}^n} – 1} \right)}}{r}\left( 1 \right).$

Với kì hạn một tháng, suy ra 3 năm có 36 kỳ. Lãi xuất của một năm là 7,2%, suy ra lãi xuất của 1 tháng là:

$\frac{{7,2}}{{12}}{\text{% }} = 0.6{\text{% }}$. Áp dụng (1) ta có: $a = 5000000;r = 0.6{\text{% }} = 0.072;n = 36$

$ = > {T_{36}} = \frac{{5000000\left( {1 + 0.6{\text{\% }}} \right)\left( {{{(1 + 0.6{\text{% }})}^{36}} – 1} \right)}}{{0.6{\text{% }}}} \approx 201453000$

Câu 19. Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên 1 tháng (chuyển vào tài khoản ngân hàng của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2019 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi 1% trên 1 tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2019 mẹ đi rút toàn số tiền ( gồm số tiền của tháng 12 và số tiền gửi từ tháng1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).

A. 50970000 đồng.

B. 50560000 đồng.

C. 50670000 đồng.

D. 50730000 đồng.

Lời giải

Chọn D.

Gọi sô tiền mẹ gửi vào ngân hàng vào đầu tháng hàng tháng là $A$ đồng.

Số tiền mẹ lĩnh vào đầu tháng 12 là $T$ đồng.

Lãi suất hàng tháng mẹ gửi tại ngân hàng là $r%$.

Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm 2019 nên thời gian được tính lãi suất là 11 tháng.

Ta có:

+) Đầu tháng 1 mẹ gửi vào $A$ đồng.

$ \Rightarrow $ cuối tháng 1 số tiền của mẹ là: $A + Ar = A\left( {1 + r} \right)$ đồng.

+) Đầu tháng 2 số tiền của mẹ gửi vào là: $A + A\left( {1 + r} \right)$ đồng.

$ \Rightarrow $ cuối tháng 2 số tiền của mẹ là: $\left[ {A + A\left( {1 + r} \right)} \right]\left( {1 + r} \right) = A\left( {1 + r} \right) + A{(1 + r)^2}$ đồng.

+) Đầu tháng 3 số tiền mẹ gửi vào là: $A + A\left( {1 + r} \right) + A{(1 + r)^2}$.

$ \Rightarrow $ cuối tháng 3 số tiền của mẹ là: $\left[ {A + A\left( {1 + r} \right) + A{{(1 + r)}^2}} \right]\left( {1 + r} \right) = A\left( {1 + r} \right) + A{(1 + r)^2} + A{(1 + r)^3}$.

Cứ như vậy đến cuối tháng thứ 11 số tiền của mẹ là:

$A\left( {1 + r} \right) + A{(1 + r)^2} + \ldots + A{(1 + r)^{11}} = A\left[ {\left( {1 + r} \right) + {{(1 + r)}^2} + \ldots + {{(1 + r)}^{11}}} \right] = {T_1}$.

Ta thấy $\left[ {\left( {1 + r} \right) + {{(1 + r)}^2} + \ldots + {{(1 + r)}^{11}}} \right]$ là tổng của 1 cấp số nhân với ${u_1} = 1 + r,n = 11,q = 1 + r$.

$ \Rightarrow {T_1} = A\frac{{{u_1}\left( {1 – {q^{11}}} \right)}}{{1 – q}}$. Ta có: $r = 1% = 0.01$

$ \Rightarrow {T_1} \approx 46730000$ đồng.

Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm $2019 \Rightarrow T = {T_1} + 4000000 = 50730000$ đồng.

Câu 20. Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $6%$ / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi?

A. 11 năm.

B. 12 năm.

C. 13 năm.

D. 14 năm.

Lời giải

Chọn B

Dạng toán lãi kép:

Bài toán tổng quát: gửi $a$ đồng vào ngân hàng với lãi suất $r{\text{\% }}$ (sau mỗi kì hạn không rút tiền lãi ra).

Gọi ${A_n}$ là số tiền có được sau $n$ năm.

Sau 1 năm: ${A_1} = a + r{\text{% }}.a = a\left( {1 + r{\text{% }}} \right)$.

Sau 2 năm: ${A_2} = a\left( {1 + r{\text{% }}} \right) + a\left( {1 + r{\text{% }}} \right) \cdot r{\text{% }} = a{(1 + r{\text{% }})^2}$.

Sau 3 năm: ${A_3} = a{(1 + r{\text{% }})^2} + a{(1 + r{\text{% }})^2} \cdot r{\text{% }} = a{(1 + r{\text{% }})^3}$.

Sau $n$ năm: ${A_n} = a{(1 + r{\text{% }})^n}$.

Người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu. Suy ra:

$50{(1 + 6{\text{% }})^n} > 100$

$ \Leftrightarrow 50.1,{06^n} > 100$

$ \Leftrightarrow 1,{06^n} > 2$

$ \Leftrightarrow n > {\text{lo}}{{\text{g}}_{1,06}}2 = 11,9$

Vậy $n = 12$.

Câu 21. Đầu mỗi tháng anh $A$ gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là $0,6%$ mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có được số tiền cả lãi và gốc nhiều hơn 100 triệu, biết lãi suất không đổi trong qua trình gửi.

A. 31 tháng.

B. 40 tháng.

C. 35 tháng.

D. 30 tháng.

Lời giải

Chọn A

$ + {A_n}$ số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng $\left( {n \in {N^*}} \right)$.

• ${A_0}$ là số tiền gởi hàng tháng vào ngân hàng của khách hàng.

$ + r%\left( {\frac{r}{{100}}} \right)$ là lãi suất ngân hàng trên kì hạn. Tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ nhất là: ${A_1} = {A_0} + {A_0} \cdot r = {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right)$.

Tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ hai là:

${A_2} = {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right) + {A_0} + \left[ {{A_0} \cdot \left( {1 + r} \right) + {A_0}} \right] \cdot r = {A_0} \cdot {(1 + r)^2} + {A_0} \cdot \left( {1 + r} \right)$

Tương tự tiền gốc và lãi khách hàng nhận trong tháng thứ n là:

${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} + {A_0}{(1 + r)^{n – 1}} + \ldots + {A_0}\left( {1 + r} \right)$

$ = {A_0}\left( {1 + r} \right)\left( {{{(1 + r)}^{n – 1}} + {{(1 + r)}^{n – 2}} + \ldots + 1} \right)$

$ = {A_0}\left( {1 + r} \right) \cdot \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{{\left( {1 + r} \right) – 1}}$

$ = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$

$ \Rightarrow {A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$

• Sau tháng thứ $n$ anh $A$ gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất kép là $0,6%$ mỗi tháng và nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu, khi đó ta có:

$\frac{3}{{0,6{\text{% }}}}\left[ {{{(1 + 0,6{\text{% }})}^n} – 1} \right]\left( {1 + 0,6{\text{% }}} \right) > 100 \Leftrightarrow n > 30,3$

Vậy sau ít nhất 31 tháng thì anh A mới có được số tiền nhiều hơn 100 triệu.

Câu 22. Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền $T$ theo hình thức lãi kép với lãi suất $0,6%$ mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền $T$ gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A. 535.000

B. 635.000

C. 613.000

D. 643.000

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức : ${A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$ ta có

$10.000.000 = \frac{T}{{0,6{\text{% }}}}\left[ {{{(1 + 0,6{\text{% }})}^{15}} – 1} \right] \cdot \left( {1 + 0,6{\text{% }}} \right) \Rightarrow T = 635.000$

Câu 23. Đầu mỗi tháng anh $A$ gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất $0,6%$ mỗi tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A được số tiền cả lãi và gốc là 100 triệu trở lên?

A.30 tháng

B. 31 tháng

C. 40 tháng

D. 35 tháng

Lời giải

Chọn B.

Áp dụng công thức : ${A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$ ta có

$100 \leqslant \frac{3}{{0,6{\text{% }}}}\left[ {{{(1 + 0,6{\text{% }})}^n} – 1} \right]\left( {1 + 0,6{\text{% }}} \right)$

$ \Rightarrow n \geqslant {\text{lo}}{{\text{g}}_{1,006}}\left( {\frac{{100 \cdot 0,006}}{{3.1,006}} + 1} \right) \approx 30,3117$

Câu 24. Đầu mỗi tháng Cô Minh gửi vào ngân hàng số tiền 3 tỷ đồng.Sau 1 năm Cô Minh nhận được số tiền cả gốc và lãi là 40 tỷ đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?

A. $1,23%$

B. $1,42%$

C. $1,87%$

D. $1,61%$

Lời giải

Chọn D.

Áp dụng công thức : ${A_n} = \frac{{{A_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$ ta có

$40 = \frac{3}{r}\left[ {{{(1 + r)}^{12}} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.

Giải được $r = 0,016103725$.

Vậy lãi suất là 1,61% mối tháng.

Câu 25. Một thầy giáo cứ đầu mỗi tháng lại gửi ngân hàng với lãi suất 0,5% / tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thầy giáo có thể tiết kiệm tiền để mua được một chiếc xe ô tô trị giá 400000000 ?

A. 60 .

B. 50 .

C. 55 .

D. 45 .

Lời giải

Chọn D.

Đặt $T = 8000000$

Số tiền thầy giáo thu được sau tháng thứ nhất, thứ 2, thứ 3,., thứ $n$ lần lượt là ${T_1},{T_2},{T_3}, \ldots ,{T_n}$

Ta có:

${T_1} = T\left( {1 + r} \right)$

${T_2} = \left[ {{T_1} + T} \right]\left( {1 + r} \right) = T{(1 + r)^2} + T\left( {1 + r} \right)$

${T_3} = \left[ {{T_2} + T} \right]\left( {1 + r} \right) = T{(1 + r)^3} + T{(1 + r)^2} + T\left( {1 + r} \right)$

${T_n} = T{(1 + r)^n} + T{(1 + r)^{n – 1}} + \ldots + T\left( {1 + r} \right) = T\left( {1 + r} \right) \times \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Theo bài ra ta có ${T_n} = 400000000 \Leftrightarrow T\left( {1 + r} \right) \times \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r} = 400000000$

$ \Leftrightarrow {(1 + r)^n} = \frac{{251}}{{201}} \Leftrightarrow n = lo{g_{1.005}}\frac{{251}}{{201}} \approx 44,54$

Vậy sau 45 tháng thầy giáo sẽ mua được một chiếc xe ô tô trị giá 400000000 VNĐ.

Câu 26. Cô Hằng gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất $0,75%$ mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, Cô Hằng đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

A.11 tỷ

B.15 tỷ

C.13 tỷ

D.16 tỷ

Lời giải

Chọn D.

Gửi ngân hàng số tiền ${A_0}$ đồng với lãi suất $r%$ một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền $X$ đồng.

Công thức số tiền còn lại sau $n$ tháng là: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Áp dụng công thức : ${A_{24}} = 20 \cdot {10^9} \cdot {(1,0075)^{24}} – 300 \cdot {10^6} \cdot \frac{{{{(1,0075)}^{24}} – 1}}{{0,0075}} \approx 16,07 \cdot {10^9}$ đồng. Chọn D.

Câu 27. Thầy Huân gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất $0,7%$ mỗi tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi , Thầy Huân rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng Thầy Huân rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

A. $300.000d$

B. 450.000 đ

C.402.000đ

D.409.000đ

Lời giải

Chọn D.

Gửi ngân hàng số tiền ${A_0}$ đồng với lãi suất $r%$ một tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền $X$ đồng.

Công thức số tiền còn lại sau $n$ tháng là: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Áp dụng công thức : $0 = 20 \cdot {10^6}{(1 + 0,7{\text{% }})^{5.12}} – X.\frac{{{{(1 + 0,7{\text{% }})}^{5.12}}}}{{1 + 0,7{\text{% }}}}$

Giải được: $X = 409367,376$.

Câu 28. Mẹ Hiền vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất $1,15%$ trên tháng trong vòng 2 năm thì mỗi tháng Mẹ Hiền phải trả số tiền bao nhiêu?

A.136.200

B.124.000

C. 115.400

D.168.000

Lời giải

Chọn A.

Áp dụng công thức ta được: $X = \frac{{5 \cdot {{10}^7} \cdot {{(1,0115)}^{48}} \cdot 0,0115}}{{{{(1,0115)}^{48}} – 1}} \approx 1361312,802$ đồng

Câu 29. Bố Hiền vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất $0,9%/$ tháng, mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì Bố Hiền trả hết nợ?

A. 40 tháng

B. 50 tháng

C. 45 tháng

D. 48 tháng

Lời giải

Chọn A.

Công thức: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Áp dụng công thức ta được:500.(1,009) ${)^n} – 15 \cdot \frac{{{{(1,009)}^n} – 1}}{{0,009}} = 0$ giải được $n = 39,80862049$.

Câu 30. Ngày 01 tháng 01 năm 2021, ông An đem 800 triệu đồng gửi vào một ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 01tháng 01 năm 2022, sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi

A. 800.(1,005) ${)^{11}} – 72$ (triệu đồng)

B. 1200 – 400.(1, 005) ${^{12}}$ (triệu đồng)

C. 800.(1,005) ${)^{12}} – 72$ (triệu đồng)

D. 1200 – 400.(1,005) ${^{11}}$ (triệu đồng)

Lời giải

Chọn B

Gửi ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$./tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là $X$ đồng. Sô tiền còn lại sau $n$ tháng đươc tính theo công thức:

${S_n} = A{(1 + r)^n} – X\frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r} = 800{(1,005)^{12}} – 6.\frac{{{{(1,005)}^{12}} – 1}}{{0,5{\text{% }}}}$

$ = 775.3288753 = 1200 – 400 \cdot {(1,005)^{12}}$

Câu 31. Một học sinh $A$ khi 15 tuổi được hưởng tài sản thừa kế $200000000VN$. Số tiền này được bảo quản trong ngân hàng $B$ với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh $A$ chỉ nhận được số tiền này khi 18 tuổi. Biết rằng khi 18 tuổi, số tiền mà học sinh $A$ được nhận sẽ là 231525000 VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng $B$ là bao nhiêu?

A. 8% / năm.

B. $7%$ / năm.

C. 6%/ năm.

D. 5% / năm.

Lời giải

Chọn D

Ta có: số tiền nhận được của gốc và lãi là: $200000000{(1 + r)^3} = 231525000$ $ \Leftrightarrow r = 5%/$ năm

Câu 32. Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền $T$ theo hình thức lãi kép với lãi suất $0,6%$ mỗi tháng. Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền $T$ gần với số tiền nào nhất trong các số sau.

A. 613.000 đồng

B. 645.000 đồng

C. 635.000 đồng

D. 535.000 đồng

Lời giải

Chọn C

Ta có: Số tiền cả lãi lẫn gốc sau 15 tháng gửi: ${S_{15}} = \frac{T}{r}\left( {1 + r} \right)\left[ {{{(1 + r)}^{15}} – 1} \right]$

Vậy: $10.000.000 = \frac{T}{{0,006}}\left( {1 + 0,006} \right)\left[ {{{(1 + 0,006)}^{15}} – 1} \right] \Leftrightarrow T \approx 635.301$

Câu 33. Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $0,8%/$ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông gửi them vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông An nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 169.871.000 đồng.

B. 171.761.000 đồng.

C. 173.807.000 đồng.

D. 169.675.000 đồng.

Lời giải

Chọn B

Với 100 triệu ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là

${T_1} = 100 \cdot {(1 + 0,8{\text{% }})^{24}} \cdot {10^6} = 121074524$

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu thì tổng số tiền cả lãi và gốc là

${T_2} = \frac{2}{{0,008}} \cdot \left[ {{{(1 + 0,008)}^{23}} – 1} \right] \cdot \left( {1 + 0,008} \right){10^6} = 50686310$

Vậy tổng số tiền là $T = {T_1} + {T_2} = 171.761.000$

Câu 34. Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng. Cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là $0,9%$ / tháng cho số tiền chưa trả. Với hình thức hoàn nợ như vậy thì sau bao lâu anh Việt sẽ trả hết số nợ ngân hàng?

A. 65 tháng.

B. 66 tháng.

C. 67 tháng.

D. 68 tháng.

Lời giải

Chọn C

Gọi $A$ là số tiền vay ngân hàng; $r$ là lãi suất hàng tháng cho số tiền còn nợ; $m$ là số tiền trả nợ hàng tháng; $n$ là thời gian trả hết nợ.

Để trả hết nợ thì $A{(1 + r)^n} – \frac{m}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow 500{(1 + 0,9{\text{% }})^n} – \frac{{10}}{{0,9{\text{% }}}}\left[ {{{(1 + 0,9{\text{% }})}^n} – 1} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow {(1 + 0,9{\text{% }})^n} = \frac{{20}}{{11}}$

$ \Leftrightarrow n = {\text{lo}}{{\text{g}}_{\left( {1 + 0,9{\text{% }}} \right)}}\frac{{20}}{{11}} \approx 66,72$

Vậy sau 67 tháng anh Việt trả hết nợ.

Câu 35. Ông An dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất không đổi là 7% một năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm kế tiếp. Tính số tiền tối thiểu $x$ (triệu đồng, $x \in \mathbb{N}$ ) ông An gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy giá trị 45 triệu đồng.

A. 200.

B. 190 .

C. 250 .

D. 150 .

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức $P = {P_o}{(1 + r)^n}$.

Số tiền ông An có được sau 3 năm là: $P = x{(1 + 0,07)^3}$.

Tiền lãi ông An có được sau 3 năm là: $P – x = x{(1 + 0,07)^3} – x = x\left( {{{(1 + 0,07)}^3} – 1} \right)$.

Số tiền lãi trên là 45 triệu đồng nên: $x\left( {{{(1 + 0,07)}^3} – 1} \right) = 45 \Leftrightarrow x \simeq 199,96$

Câu 36. Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là $0,7%$ / tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?

A. 21 .

B. 22 .

C. 23 .

D. 24 .

Lời giải

Chọn B

Gọi số tháng là $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$. Đặt $a = 5,q = 1,007$. Đến lần nộp tiền thứ $n$ :

Khoản tiền $a$ đầu tiên trở thành $a \cdot {q^{n – 1}}$. Khoản tiền $a$ thứ hai trở thành $a \cdot {q^{n – 2}} \ldots $ Giả sử khoản tiền cuối cùng vẫn là $a$ thì tổng số tiền đã trả cả vốn lẫn lãi là $a \cdot \frac{{{q^n} – 1}}{{q – 1}} = 5 \cdot \frac{{1,{{007}^n} – 1}}{{0,007}}$.

Số tiền 100 triệu đồng với lãi suất là $0,7%$ / tháng, sau $n$ tháng, sẽ trở thành $100.1,{007^n}$.

Ta có phương trình 5. $\frac{{1,{{007}^n} – 1}}{{0,007}} = 100 \cdot 1,{007^n} \Leftrightarrow n \approx 21,6$.

Theo đề bài, tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu đồng nên số tháng phải làm tròn là 22 tháng.

Câu 37. Một người vay tiền ở một ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất $0,7%$ / tháng với tổng số tiền vay là 1 tỉ đồng. Mỗi tháng người đó đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền gốc và lãi. Biết rằng đúng 25 tháng thì người đó trả hết gốc và lãi cho ngân hàng. Hỏi số tiền của người đó trả cho ngân hàng ở mỗi tháng gần nhất với số nào sau đây?

A. 43.730.000 đồng.

B. 43.720.000 đồng.

C. 43.750.000 đồng.

D. 43.740.000 đồng.

Lời giải

Chọn D

Gọi $M$ là số tiền vay ban đầu.

Gọi $A$ là số tiền mà hàng tháng người đó trả cho ngân hàng.

Sau tháng 1 dư nợ còn lại là: $M.1,007 – A$

Sau tháng 2 dư nợ còn lại là: $\left( {M \cdot 1,007 – A} \right) \cdot 1,007 – A = M \cdot 1,{007^2} – A \cdot 1,007 – A$

Sau tháng 3 dư nợ còn lại là:

$\left( {M \cdot 1,{{007}^2} – A \cdot 1,007 – A} \right) \cdot 1,007 – A = M \cdot 1,{007^3} – A \cdot \left[ {{{(1,007)}^2} + 1,007 + 1} \right]$.

Sau tháng thứ $n$ dư nợ còn lại là: $M \cdot 1,{007^n} – A \cdot \left[ {{{(1,007)}^{n – 1}} + 1,{{007}^{n – 2}} + \ldots + 1,007 + 1} \right]$.

Vì đúng 25 tháng thì trả hết nợ nên:

$1.1,{007^{25}} – A \cdot \left[ {{{(1,007)}^{24}} + 1,{{007}^{23}} + \ldots + 1,007 + 1} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow 1,{007^{25}} = A \cdot \left[ {{{(1,007)}^{24}} + 1,{{007}^{23}} + \ldots + 1,007 + 1} \right] \Leftrightarrow 1,{007^{25}} = A \cdot \frac{{1,{{007}^{25}} – 1}}{{0,007}}$.

$ \Leftrightarrow A = \frac{{1,{{007}^{25}} \cdot 0,007}}{{1,{{007}^{25}} – 1}} \approx 0,04374151341$ tỉ đồng $ \approx 43.741.513$ đồng $ \approx 43.740.000$ đồng.

Câu 38. Một sinh viên ra trường đi làm ngày 1/1/2020 với mức lương khởi điểm là $a$ đồng mỗi tháng và cứ sau 2 năm lại được tăng thêm $10%$ và chi tiêu hàng tháng của anh ta là $40%$ lương. Anh ta dự định mua một căn hộ chung cư giá rẻ có giá trị tại thời điểm 1/1/2020 là 1 tỷ đồng và cũng sau 2 năm thì giá trị căn hộ tăng thêm 5%. Với a bằng bao nhiêu thì sau đúng 10 năm anh ta mua được căn hộ đó, biết rằng mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi ( kết quả quy tròn đến hàng nghìn đồng).

A. 11.487.000 đồng.

B. 14.517.000 đồng.

C. 55.033.000 đồng.

D. 21.776.000 đồng.

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức $P = {P_o}{(1 + r)^n}$.

Ta được giá trị ngôi nhà sau 10 năm là: $P = {10^9}{(1 + 0,05)^5} = {10^9} \cdot {(1,05)^5}$.

Sau khi chi tiêu hàng tháng thì số tiền Người sinh viên còn lại của mỗi tháng là $60%$ lương. Trong hai năm 2020 – 2021, Người sinh viên có được số tiền là: $24 \times 0,6a$.

Trong hai năm 2022 – 2023, anh sinh viên có được số tiền là: $24 \times 0,6a\left( {1 + 0,1} \right)$.

Trong hai năm 2024 – 2025, anh sinh viên có được số tiền là: $24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^2}$.

Trong hai năm 2026 – 2027, anh sinh viên có được số tiền là: $24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^3}$.

Trong hai năm 2028 – 2029, anh sinh viên có được số tiền là: $24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^4}$. Tổng số tiền anh sinh viên có được sau 10 năm là:

$24 \times 0,6a + 24 \times 0,6a\left( {1 + 0,1} \right) + 24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^2} + 24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^3} + 24 \times 0,6a{(1 + 0,1)^4}$

$ = 24 \times 0,6a\left[ {1 + \left( {1 + 0,1} \right) + {{(1 + 0,1)}^2} + {{(1 + 0,1)}^3} + {{(1 + 0,1)}^4}} \right]$

$ = 24 \times 0,6a \times \frac{{1 – {{(1 + 0,1)}^5}}}{{1 – \left( {1 + 0,1} \right)}} = 24 \times 0,6a\frac{{0,61051}}{{0,1}} = 87,91344 \times a$

Số tiền trên bằng giá trị của ngôi nhà sau 10 năm:

${10^9}.{(1,05)^5} = 87,91344 \times a \Leftrightarrow a \simeq 14.517.000$

Câu 39. Một người vay vốn ở ngân hàng với số tiền 50 triệu đồng, thời hạn 50 tháng với lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ trả đúng ngày quy định. Hỏi hàng tháng người đó phải trả đều đặn vào ngân hàng một khoản tiền là bao nhiêu để đến cuối tháng thứ 50 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng (làm tròn đến trăm đồng) ?

A. 1.018 .500 đồng.

B. 1.320 .800 đồng.

C. 1.320 .500 đồng.

D. 1.771.300 đồng.

Lời giải

Chọn C

Gọi $N$ là số tiền vay ban đầu, $r$ là lãi suất theo tháng, $A$ là số tiền phải trả hàng tháng, ta có:

• Số dư nợ sau 1 tháng là: $N + Nr – A = N\left( {1 + r} \right) – A$.

• Số dư nợ sau 2 tháng là: $N\left( {1 + r} \right) – A + \left[ {N\left( {1 + r} \right) – A} \right]r – A = N{(1 + r)^2} – \frac{A}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$.

• Số dư nợ sau 3 tháng là: $N{(1 + r)^3} – \frac{A}{r}\left[ {{{(1 + r)}^3} – 1} \right]$.

• Số dư nợ sau n tháng là: $N{(1 + r)^n} – \frac{A}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]$.

Giả sử sau $n$ tháng thì dư nọ bằng 0 , ta có $N{(1 + r)^n} – \frac{A}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow A = \frac{{N{{(1 + r)}^n} \cdot r}}{{{{(1 + r)}^n} – 1}}$.

Áp dụng với $N = 50.000.000$ đồng, $r = 1,15%$ và $n = 50$ tháng ta có: $A \approx 1.320.500$ đồng.

Câu 40. Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85%/tháng. Nếu sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết rằng phương thức trả lãi và gốc không thay đổi trong suốt quá trình anh An trả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (Tháng cuối có thể trả dưới 10 triệu đồng).

A. 68

B. 66

C. 65

D. 67

Lời giải

Chọn B

Giả sử anh An vay số tiền là $A$ với lãi suất $r$ trên tháng và trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là x. Anh An sau các tháng còn nợ ngân hàng với số tiền là:

Tháng thứ 1: $A\left( {1 + r} \right) – x$

Tháng thứ 2: $\left[ {A\left( {1 + r} \right) – x} \right]\left( {1 + r} \right) – x = A{(1 + r)^2} – \left[ {1 + \left( {1 + r} \right)} \right]x = A{(1 + r)^2} – x \cdot \frac{{{{(1 + r)}^2} – 1}}{r}$

Tháng thứ $3:A{(1 + r)^3} – x \cdot \frac{{{{(1 + r)}^3} – 1}}{r}$

Tháng thứ $n:A{(1 + r)^n} – x \cdot \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$

Áp dụng công thức ta có: $A = 500;r = 0,0085;x = 10$ và sau $n$ tháng trả hết nợ ta có:

$500 \cdot {(1 + 0,0085)^n} – 10 \cdot \frac{{{{(1 + 0,0085)}^n} – 1}}{{0,0085}} = 0$

$ \Leftrightarrow 50.{(1,0085)^n} = \frac{{{{(1,0085)}^n} – 1}}{{0,0085}} \Leftrightarrow {(1,0085)^n} = \frac{{40}}{{23}} \Leftrightarrow n = lo{g_{1,0085}}\frac{{40}}{{23}} \approx 65,4$

Câu 41. Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo và từ năm thứ 2 trở đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng. Hỏi sau 18 năm số tiền ông Chính nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông Chính không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 1.686.898.000 VNĐ.

B. 743.585.000 VNĐ.

C. 739.163.000 VNĐ.

D. 1.335.967.000 VNĐ.

Lời giải

Chọn D

Gọi $a = 200$ triệu; $b = 20$ triệu; $\alpha = 7%$.

Số tiền sau 1 năm: $a\left( {1 + \alpha } \right)$.

Số tiền sau 2 năm: $a{(1 + \alpha )^2} + b\left( {1 + \alpha } \right)$.

Số tiền sau 3 năm: $a{(1 + \alpha )^3} + b{(1 + \alpha )^2} + b\left( {1 + \alpha } \right)$.

Số tiền sau 18 năm: $a{(1 + \alpha )^{18}} + b\left[ {{{(1 + \alpha )}^{17}} + {{(1 + \alpha )}^{16}} + \ldots + \left( {1 + \alpha } \right)} \right]$

$ = a{(1 + \alpha )^{18}} + b\left[ {\left( {1 + \alpha } \right) \cdot \frac{{{{(1 + \alpha )}^{17}} – 1}}{\alpha }} \right]$

Vậy số tiền ông Chính nhận sau 18 năm là: 1.335.967.000 VNĐ.

Câu 42. Một người muốn có 1 tỉ tiền tiết kiệm sau 6 năm gửi ngân hàng bằng cách bắt đầu từ ngày 01/01/2019 đến 31/12/2024, vào ngày 01/01 hàng năm người đó gửi vào ngân hàng một số tiền bằng nhau với lãi suất ngân hàng là 7% / 1 năm (tính từ ngày $01/01$ đến ngày 31/12) và lãi suất hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng hàng năm là bao nhiêu (với giả thiết lãi suất không thay đổi và số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?

A. 130650280 (đồng).

B. 130650000 (đồng).

C. 139795799 (đồng).

D. 139795800 (đồng).

Lời giải

Chọn A

Gọi ${T_0}$ là số tiền người đó gửi vào ngân hàng vào ngày $01/01$ hàng năm, ${T_n}$ là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được ở cuối năm thứ $n$, với $n \in {\mathbb{N}^*},r$ là lãi suất ngân hàng mỗi năm.

Ta có: ${T_1} = {T_0} + r{T_0} = {T_0}\left( {1 + r} \right)$.

Đầu năm thứ 2 , người đó có tổng số tiền là:

${T_0}\left( {1 + r} \right) + {T_0} = {T_0}\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right] = \frac{{{T_0}}}{{\left[ {\left( {1 + r} \right) – 1} \right]}}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right] = \frac{{{T_0}}}{r}\left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right]$.

Do đó: ${T_2} = \frac{{{T_0}}}{r} \cdot \left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right] + \frac{{{T_0}}}{r} \cdot \left[ {{{(1 + r)}^2} – 1} \right] \cdot r = \frac{{{T_0}}}{r} \cdot \left[ {\left( {1 + {r^2}} \right) – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.

Ta có: ${T_n} = \frac{{{T_0}}}{r} \cdot \left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)$.

Áp dụng vào bài toán, ta có: ${10^9} = \frac{{{T_0}}}{{0,07}} \cdot \left[ {{{(1 + 0,07)}^6} – 1} \right]\left( {1 + 0,07} \right) \Rightarrow {T_0} \approx 130650280$ đồng.

Câu 43. Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là $0,7%/$ tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.

A. 22 .

B. 23 .

C. 24 .

D. 21 .

Lời giải

Chọn A

Gọi số tiền vay ban đầu là $M$, số tiền hoàn nợ mỗi tháng là $m$, lãi suất một tháng là $r$.

Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn nợ ngân hàng là $M + Mr = M\left( {1 + r} \right)$ (triệu đồng).

Sau khi hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ là $M\left( {1 + r} \right) – m$ (triệu đồng).

Sau khi hoàn nợ lần thứ hai, số tiền còn nợ là

$M\left( {1 + r} \right) – m + \left[ {M\left( {1 + r} \right) – m} \right]r – m = M{(1 + r)^2} – m\left( {1 + r} \right) – m$ (triệu đồng).

Sau khi hoàn nợ lần thứ ba, số tiền còn nợ là

$M{(1 + r)^2} – m\left( {1 + r} \right) – m + \left[ {M{{(1 + r)}^2} – m\left( {1 + r} \right) – m} \right]r – m$

$ = M{(1 + r)^3} – m{(1 + r)^2} – m\left( {1 + r} \right) – m$(triệu đồng)

Lập luận tương tự, sau khi hoàn nợ lần thứ $n$, số tiền còn nợ là

$M{(1 + r)^n} – m{(1 + r)^{n – 1}} – m{(1 + r)^{n – 2}} – \ldots – m\left( {1 + r} \right) – m$

$ = M{(1 + r)^n} – \frac{{m\left[ {{{(1 + r)}^{n – 1}} – 1} \right]}}{r}.$

Sau tháng thứ $n$ trả hết nợ thì ta có

$M{(1 + r)^n} – \frac{{m\left[ {{{(1 + r)}^{n – 1}} – 1} \right]}}{r} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{Mr{{(1 + r)}^n}}}{{{{(1 + r)}^n} – 1}}$

$ \Leftrightarrow m = \left( {m – Mr} \right){(1 + r)^n} \Leftrightarrow {(1 + r)^n} = \frac{m}{{m – Mr}} \Leftrightarrow n = lo{g_{\left( {1 + r} \right)}}\left( {\frac{m}{{m – Mr}}} \right)$

Thay số với $M = 100.000.000,r = 0,7%,m = 5.000.000$ ta tính được $n \approx 21,62$ (tháng).

Vậy sau 22 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.

Câu 44. Anh Bình gửi 200 triệu vào ngân hàng VB với kì hạn cố định 12 tháng và hưởng lãi suất 0,65% / tháng. Tuy nhiên sau khi gửi được tròn 8 tháng anh phải dùng đến 200 triệu trên. Anh đến ngân hàng định rút tiền thì được nhân viên ngân hàng tư vấn: “Nếu rút tiền trước kì hạn, toàn bộ số tiền anh gửi chỉ có lãi suất không kỳ hạn là $0,02%$ / thángAnh nên thế chấp sổ tiết kiệm đó tại ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất $0,7%$ / tháng. Khi sổ của anh đến kì hạn, anh có thể rút tiền để trả nợ ngân hàng”. Nếu làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng anh Bình sẽ đỡ thiệt một số tiền gần nhất với con số nào dưới đây (biết ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép).

A. 10, 85 triệu đồng.

B. 10,51 triệu đồng.

C. 10,03 triệu đồng.

D. 10,19 triệu đồng.

Lời giải

Chọn D

Số tiền trả cho ngân hàng nếu vay 200 triệu trong 4 tháng

$N = 200 \cdot {(1 + 0,7{\text{% }})^4} – 200 \approx 5,65907$

Tổng số tiền lãi nếu anh Bình gửi đúng kì hạn là

${L_1} = 200.{(1 + 0,65{\text{% }})^{12}} – 200 \approx 16,16996$

Số tiền lãi nếu anh Bình làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng

$L = 16,16996 – 5,65907 = 10,51089$.

Số tiền lãi nếu gửi 8 tháng theo hình thức lãi suất không kì hạn

${L_2} = 200 \cdot {(1 + 0,02{\text{% }})^8} – 200 \approx 0,32022$.

Số tiền anh Bình đỡ thiệt nếu làm theo tư vấn của nhân viên ngân hàng $16,16996 – 5,65907 – 0,32022 \approx 10,19067$.

Câu 45. Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là $1%$ mỗi tháng. Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Biết lãi suất không đổi suốt quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn).

A. 2.921 .000 .

B. 3.387 .000 .

C. 2.944 .000 .

D. 7.084 .000 .

Lời giải

Chọn B

Cuối tháng thứ nhất, tiền gốc và lãi là $400 \cdot 1,01$ triệu đồng. Sau khi trả 10 triệu thì số tiền người đó còn nợ ngân hàng là $\left( {400 \cdot 1,01 – 10} \right)$ triệu đồng.

Cuối tháng thứ hai, tiền gốc và lãi là: $\left( {400 \cdot 1,{{01}^2} – 10 \cdot 1,01} \right)$ triệu đồng. Sau khi trả 10 triệu thì số tiền người đó còn nợ ngân hàng là $\left( {400 \cdot 1,{{01}^2} – 10 \cdot 1,01 – 10} \right)$ triệu đồng.

Như vậy ở cuối tháng thứ $n\left( {n \geqslant 1} \right)$ người đó nếu còn nợ thì số tiền nợ là:

$\left( {400 \cdot 1,{{01}^n} – 10 \cdot 1,{{01}^{n – 1}} – 10 \cdot 1,{{01}^{n – 2}} – \ldots – 10} \right)$ triệu đồng.

Xét $400 \cdot 1,{01^n} – 10 \cdot 1,{01^{n – 1}} – 10 \cdot 1,{01^{n – 2}} – \ldots – 10 = 0$

$ \Leftrightarrow 400 \cdot 1,{01^n} – 10 \cdot \frac{{1,{{01}^n} – 1}}{{0,01}} = 0 \Leftrightarrow 600 \cdot 1,{01^n} = 1000 \Leftrightarrow n = lo{g_{1,01}}\frac{5}{3} \simeq 51,33$

Do vậy kỳ cuối cùng người đó phải trả tiền là tháng thứ 52 . Cuối tháng thứ 51, số tiền còn nợ lại là $400 \cdot 1,{01^{51}} – 10 \cdot \frac{{1,{{01}^{51}} – 1}}{{0,01}} \simeq 3,3531596$ triệu đồng.

Vậy kỳ cuối người đó phải trả số tiền là 3,3531596 •1, 01=3,386647 triệu đồng $ \simeq 3387000$ đồng.

Câu 46. Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $0,5%$ / tháng và ông ta rút đều đặn mỗi tháng một triệu đồng kể từ sau ngày gửi một tháng cho đến khi hết tiền ( tháng cuối cùng có thể không còn đủ một triệu đồng). Hỏi ông ta rút hết tiền sau bao nhiêu tháng?

A. 139 .

B. 140 .

C. 100 .

D. 138 .

Lời giải

Chọn A

Gọi số tiền lúc đầu người đó gửi là $A$ (triệu đồng), lãi suất gửi ngân hàng một tháng là $r,{S_n}$ là số tiền còn lại sau $n$ tháng.

Sau 1 tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại của người đó là:

${S_1} = A\left( {1 + r} \right) – 1$.

Sau 2 tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại của người đó là:

${S_2} = \left[ {A\left( {1 + r} \right) – 1} \right]\left( {1 + r} \right) – 1 = A{(1 + r)^2} – \left( {1 + r} \right) – 1$.

Sau $n$ tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại của người đó là:

${S_n} = A{(1 + r)^n} – {(1 + r)^{n – 1}} – {(1 + r)^{n – 2}} – \cdots – \left( {1 + r} \right) – 1 = A{(1 + r)^n} – \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$. Giả sử sau $n$ tháng người đó rút hết tiền. Khi đó ta có

${S_n} = 0 \Leftrightarrow A{(1 + r)^n} – \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r} = 0 \Leftrightarrow {(1 + r)^n}\left( {Ar – 1} \right) + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow n = lo{g_{\left( {1 + r} \right)}}\frac{1}{{1 – Ar}} \Leftrightarrow n = – lo{g_{\left( {1 + r} \right)}}\left( {1 – Ar} \right).$

Câu 47. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền $m$ mà ông $A$ sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông $A$ hoàn nợ.

A. $m = \frac{{120 \cdot {{(1,12)}^3}}}{{{{(1,12)}^3} – 1}}$ (triệu đồng)

B. $m = \frac{{100 \cdot {{(1,01)}^3}}}{3}$ (triệu đồng)

C. $m = \frac{{{{(1,01)}^3}}}{{{{(1,01)}^3} – 1}}$ (triệu đồng)

D. $m = \frac{{100.1,03}}{3}$ (triệu đồng)

Lời giải

Chọn C

Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông $A$ hoàn nợ 3 lần

Với lãi suất $12%$ /năm suy ra lãi suất một tháng là $1%$

Hoàn nợ lần 1:

-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0, 01+ 100 = 100.1, 01 (triệu đồng)

• Số tiền dư : 100.1,01-m(triệu đồng)

Hoàn nợ lần 2:

• Tổng tiền cần trả (gốc và lãi)

là : $\left( {100 \cdot 1,01 – m} \right) \cdot 0,01 + \left( {100 \cdot 1,01 – m} \right) = \left( {100 \cdot 1,01 – m} \right) \cdot 1,01 = 100 \cdot {(1,01)^2} – 1,01 \cdot m$ (triệu đồng)

• Số tiền dư:100.(1,01) $ – 1,01.m – m$ (triệu đồng)

Hoàn nợ lần 3:

• Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :

$\left[ {100 \cdot {{(1,01)}^2} – 1,01 \cdot m – m} \right] \cdot 1,01 = 100 \cdot {(1,01)^3} – {(1,01)^2}m – 1,01m$ (triệu đồng)

• Số tiền dư:100.(1,01) $ – {(1,01)^2}m – 1,01m – m$ (triệu đồng)

$ \Rightarrow 100 \cdot {(1,01)^3} – {(1,01)^2}m – 1,01m – m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{100 \cdot {{(1,01)}^3}}}{{{{(1,01)}^2} + 1,01 + 1}}$

$ \Leftrightarrow m = \frac{{100 \cdot {{(1,01)}^3} \cdot \left( {1,01 – 1} \right)}}{{\left[ {{{(1,01)}^2} + 1,01 + 1} \right] \cdot \left( {1,01 – 1} \right)}} = \frac{{{{(1,01)}^3}}}{{{{(1,01)}^3} – 1}}$ (triệu đồng).

Câu 48. Ông $A$ vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng năm năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngâng hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngâng hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 2,20 triệu đồng

B. 2,22 triệu đồng

C. 3,03 triệu đồng

D. 2, 25 triệu đồng

Lời giải

Chọn B

Ta xây dựng bài toán tổng quát như sau

Gọi số tiền ngươi đó vay ngâng hàng là ${V_0}$ triệu đồng

Số tiền hàng tháng nguời đó phải trả là a triệu đồng

Lãi suất là $r$ %/ tháng

Vậy số tiền nợ ngân hàng sau tháng thứ nhất là ${V_0}\left( {1 + 0,0r} \right)$

Số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau khi trả tiền tháng 1 là

${T_1} = {V_0}\left( {1 + 0,0r} \right) – a$

Số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau khi trả tiền tháng 2 là

${T_2} = {T_1}\left( {1 + 0,0r} \right) – a$

$ = \left[ {{V_o}\left( {1 + 0,0r} \right) – a} \right]\left( {1 + 0,0r} \right) – a$

$ = {V_o}{(1 + 0,0r)^2} – a\left( {1 + 0,0r} \right) – a$

Số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau tháng thứ $n$ là ${T_n} = {V_o}{(1 + 0,0r)^n} – a{(1 + 0,0r)^{n – 1}} – \ldots – a\left( {1 + 0,0r} \right) – a$

${T_n} = 0 \Leftrightarrow {V_o}{(1 + 0,0r)^n} – a{(1 + 0,0r)^{n – 1}} – \ldots – a\left( {1 + 0,0r} \right) – a = 0$

$ \Leftrightarrow {V_o}{(1 + 0,0r)^n} = a\left[ {{{(1 + 0,0r)}^{n – 1}} + \ldots + \left( {1 + 0,0r} \right) + 1} \right]$

Vì sau n tháng thì trả hết tiền nên ta có

$ \Leftrightarrow {V_o}{(1 + 0,0r)^n} = a\frac{{{{(1 + 0,0r)}^n} – 1}}{{\left( {1 + 0,0r} \right) – 1}}$

$ \Leftrightarrow a = \frac{{{V_o} \cdot 0,0r \cdot {{(1 + 0,0r)}^n}}}{{{{(1 + 0,0r)}^n} – 1}}$

Áp dụng

$a = \frac{{100.0,01\left( {1,{{01}^{60}}} \right)}}{{1,{{01}^{60}} – 1}} \approx 2,224444768$

Câu 49. Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, vì hoàn cảnh gia đình khó khăn nên được ngân hàng cho vay vốn trong 4 năm học đại học, mỗi năm 10 triệu đồng vào đầu năm học để nạp học phí với lãi suất 7,8% /năm (mỗi lần vay cách nhau đúng 1 năm). Sau khi tốt nghiệp đại học đúng 1 tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số tiền là $m$ đồng/tháng với lãi suất $0,7%/$ tháng trong vòng 4 năm. Số tiền $m$ mỗi tháng Nam cần trả cho ngân hàng gần nhất với số nào sau đây (ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế).

A. 1.468.000 (đồng).

B. 1.398.000 (đồng).

C. 1.191 .000 (đồng).

D. 1.027.000 (đồng).

Lời giải

Chọn C

Bài toán được chia làm hai giai đoạn

• Giai đoạn 1: vay vốn để học đại học trong 4 năm. Đặt $r = \frac{{7,8}}{{100}} = 0,078$

Ở năm thứ nhất: ${M_1} = 10{(1 + r)^4}$ (triệu đồng)

Ở năm thứ hai: ${M_2} = 10{(1 + r)^3}$ (triệu đồng)

Ở năm thứ ba: ${M_3} = 10{(1 + r)^2}$ (triệu đồng)

Ở năm thứ tư: ${M_4} = 10{(1 + r)^1}$ (triệu đồng)

Như vậy tổng số tiền mà Nam đã vay trong 4 năm là (triệu đồng)

• Giai đoạn 2: trả góp cho ngân hàng số tiền đã vay hàng tháng

Sau tháng thứ nhất, người đó còn số nợ là: ${P_1} = {M_o}\left( {1 + \frac{{0,7}}{{100}}} \right) – M$. Đặt $Y = 1 + \frac{{0,7}}{{100}}$ Sau tháng thứ hai người đó còn nợ:

${P_2} = {P_1}y – m = \left( {{M_o}y – m} \right)y – m = {M_o}{y^2} – m\left( {y + 1} \right) = {M_a}{y^2} – m\frac{{{y^2} – 1}}{{y – 1}}$

Sau tháng thứ ba người đó còn nợ:

${P_3} = {P_2}Y – M = {M_o}{Y^3} – M\left( {{Y^2} + Y + 1} \right) = {M_o}{Y^3} – M\frac{{{Y^3} – 1}}{{Y – 1}}$

Bằng phương pháp quy nạp, sau $n$ tháng số tiền trả hết sẽ là

${M_o}y’’ – M\frac{{{Y^n} – 1}}{{Y – 1}} = 0 \Rightarrow M = \frac{{{M_o}{Y^n}\left( {Y – 1} \right)}}{{{Y^n} – 1}}$

Đồng thời ta có: $n = 48$ tháng và $Y = 1 + \frac{{0,7}}{{100}} = 1,007$ suy ra $M \approx 1,914$ (triệu đồng).

Câu 50. Bạn ${\mathbf{H}}$ trúng tuyển vào trường Đại học Ngoại Thương nhưng vì do không đủ tiền nộp học phí nên ${\mathbf{H}}$ quyết định vay ngân hàng trong bốn năm mỗi năm 4 triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 3%/năm (theo thể thức lãi suất kép) biết rằng tiền vay mỗi năm ${\mathbf{H}}$ nhận được từ ngày đầu tiên của năm học và trong suốt bốn năm học ${\mathbf{H}}$ không trả tiền cho ngân hàng. Ngay sau khi tốt nghiệp Đại học (tròn 4 năm kể từ khi bạn ${\mathbf{H}}$ bắt đầu vay ngân hàng) bạn ${\mathbf{H}}$ thực hiện trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (không đổi và tiền trả vào ngày cuối của tháng) với lãi suất theo cách tính mới là $0,25%/$ tháng và lãi suất được tính theo dư nợ thực tế, bạn ${\mathbf{H}}$ trả đúng 5 năm thì hết nợ. Tính số tiền hàng tháng mà bạn ${\mathbf{H}}$ phải trả cho ngân hàng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 323.582 (đồng).

B. 398.402 (đồng).

C. 309.718 (đồng.

D. 312.518 (đồng).

Lời giải

Chọn C

Xét bài toán 1: Vay nhận vốn định kì lãi suất kép.

Gọi $A$ là số tiền mỗi năm bạn ${\mathbf{H}}$ vay ngân hàng, ${r_1}$ là lãi suất theo năm.

Cuối năm thứ nhất, ${\mathbf{H}}$ nợ ngân hàng với số tiền là $A.\left( {1 + {r_1}} \right)$.

Đầu năm thứ hai, H nợ ngân hàng với số tiền là $A + A.\left( {1 + {r_1}} \right)$.

Cuối năm thứ hai, ${\mathbf{H}}$ nợ ngân hàng với số tiền là

$A + A \cdot \left( {1 + {r_1}} \right) + \left[ {A + A\left( {1 + {r_1}} \right)} \right]{r_1} = A\left( {1 + {r_1}} \right) + A{\left( {1 + {r_1}} \right)^2}.$

Tiếp tục như vậy, cuối năm thứ $n$ số tiền mà ${\mathbf{H}}$ nợ ngân hàng là:

$B = A\left( {1 + {r_1}} \right) + A{\left( {1 + {r_1}} \right)^2} + \ldots + A{\left( {1 + {r_1}} \right)^n} = \frac{{A\left( {1 + {r_1}} \right)\left[ {{{\left( {1 + {r_1}} \right)}^n} – 1} \right]}}{{{r_1}}}.$

Xét bài toán 2: Vay trả góp, lãi suất dư nợ thực tế.

Gọi $a$ là số tiền mà bạn ${\mathbf{H}}$ phải trả hàng tháng sau khi ra trường, ${r_2}$ là lãi suất mỗi tháng, số tiền ${\mathbf{H}}$ nợ ngân hàng là

$B.$

Cuối tháng thứ nhất bạn ${\mathbf{H}}$ còn nợ ngân hàng số tiền là:

$B + B.{r_2} – a = B.\left( {1 + {r_2}} \right) – a.$

Cuối tháng thứ hai bạn ${\mathbf{H}}$ còn nợ ngân hàng số tiền là:

$B.\left( {1 + {r_2}} \right) – a + \left[ {B.\left( {1 + {r_2}} \right) – a} \right]{r_2} – a = B.{\left( {1 + {r_2}} \right)^2} – \left[ {a + a\left( {1 + {r_2}} \right)} \right].$

Cứ tiếp tục như vậy ta có công thức tổng quát.

Cuối tháng thứ $m$ bạn ${\mathbf{H}}$ còn nợ ngân hàng số tiền là

$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{B.{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^m} – \left[ {a + \left( {1 + {r_2}} \right)a + {{\left( {1 + {r_2}} \right)}^2}a + \ldots + {{\left( {1 + {r_2}} \right)}^{m – 1}}a} \right]} \\
{}&{ = B.{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^m} – a\frac{{{{\left( {1 + {r_2}} \right)}^m} – 1}}{{{r_2}}}.}
\end{array}$

Áp dụng 2 bài toán trên vào câu 42 , ta có phương trình.

$\frac{{4 \cdot 1,03\left[ {1,{{03}^4} – 1} \right]}}{{0,03}}1,{0025^{60}} – a \cdot \frac{{1,{{0025}^{60}} – 1}}{{0,0025}} = 0 \Leftrightarrow a \approx 0,309718$(triệu đồng)

Vậy số tiền mà ${\mathbf{H}}$ cần phải trả hàng tháng là 309.718 triệu đồng.

Câu 51. Ông A muốn mua một chiếc ôtô trị giá 1 tỉ đồng nhưng vì chưa đủ tiền nên chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp mỗi tháng như nhau) với lãi suất $12%$ /năm và trả trước 500 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng ông phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm, kể từ ngày mua xe, ông trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiên sau ngày mua ôtô đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó?

A. 23537000 đồng

B. 24443000 đồng

C. 22703000 đồng

D. 23573000 đồng

Lời giải

Chọn A

Gọi $a$ là số tiền trả hàng tháng.

Sau tháng thứ 1 , số tiền còn lại: ${P_1} = 500\left( {1 + r} \right) – a$.

Sau tháng thứ 2, số tiền còn lại: ${P_2} = {P_1}\left( {1 + r} \right) – a = 500{(1 + r)^2} – a\left( {1 + r} \right) – a$.

Sau tháng thứ $n$, số tiền còn lại: ${P_n} = 500{(1 + r)^n} – a{(1 + r)^{n – 1}} – \ldots – a\left( {1 + r} \right) – a$.

Vậy sau 24 tháng: $500{(1 + r)^{24}} – a\frac{{{{(1 + r)}^{24}} – 1}}{r} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{500{{(1 + r)}^{24}} \cdot r}}{{{{(1 + r)}^{24}} – 1}}$

$ \Leftrightarrow a = \frac{{500{{(1 + 1{\text{% }})}^{24}} \cdot 1{\text{% }}}}{{{{(1 + 1{\text{% }})}^{24}} – 1}} \approx 23,537$ triệu đồng.

Câu 52. Một người vay ngân hàng 50 triệu đồng, mỗi tháng trả ngân hàng 4 triệu đồng và phải trả lãi suất cho số tiền còn nợ là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép. Giả sử sau $n$ tháng người đó trả hết nợ. Khi đó $n$ gần nhất với số nào sau?

A. 14 .

B. 13 .

C. 16 .

D. 15 .

Lời giải

Chọn A

Phương pháp:Sử dụng công thức trả góp $P{(1 + r)^n} = \frac{M}{r}\left[ {{{(1 + r)}^n} – 1} \right]$, trong đó:

$P$ : là số tiền phải trả sau $n$ tháng

$r$ : Lãi suất/ tháng

$M$ : số tiền phải trả mỗi tháng

Áp dụng công thức ta có:

${\text{P}}{(1 + {\text{r}})^{\text{n}}} = \frac{{\text{M}}}{{\text{r}}}\left[ {{{(1 + {\text{r}})}^{\text{n}}} – 1} \right]$

$ \Leftrightarrow 50{(1 + 1,1{\text{% }})^{\text{n}}} = \frac{4}{{1,1{\text{% }}}}\left[ {{{(1 + 1,1{\text{% }})}^{\text{n}}} – 1} \right]$

$ \Leftrightarrow 50{(1 + 1,1{\text{% }})^{\text{n}}} = \frac{4}{{1,1{\text{% }}}}{(1 + 1,1{\text{% }})^{\text{n}}} – \frac{4}{{1,1{\text{% }}}}$

$ \Leftrightarrow \frac{4}{{1,1{\text{% }}}} = \frac{{3450}}{{11}}{(1 + 1,1{\text{% }})^{\text{n}}}$

$ \Leftrightarrow {(1 + 1,1{\text{% }})^{\text{n}}} = \frac{{80}}{{69}} \Rightarrow {\text{n}} = {\text{lo}}{{\text{g}}_{1 + 1,8}}\frac{{80}}{{69}} \approx 13,52$

Câu 53. Ông $A$ vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và sau đúng một năm kể từ ngày vay ông A còn nợ ngân hàng tổng số tiền 50 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 4,95 triệu đồng

B. 4,42 triệu đồng

C. 4, 5 triệu đồng

D. 4,94 triệu đồng

Lời giải

Chọn D

Gọi $X$ là số tiền mỗi tháng ông $A$ trả cho ngân hàng.

Số tiền còn nợ sau $n$ kì hạn là ${T_n} = T \cdot {(1 + r)^n} – X \cdot \frac{{{{(1 + r)}^n} – 1}}{r}$ (triệu đồng), trong đó $T = 100$ (triệu đồng) là số tiền mà ông $A$ vay.

Sau đúng một năm, số tiền ông còn nợ là 50 triệu đồng nên ta có

$50 = 100 \cdot {(1 + 0,01)^{12}} – X \cdot \frac{{{{(1 + 0,01)}^{12}} – 1}}{{0,01}} \Leftrightarrow X = \frac{{\left( {100 \cdot 1,{{01}^{12}} – 50} \right) \cdot 0,01}}{{1,{{01}^{12}} – 1}} \approx 4,94$ (triệu đồng).

Vậy mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền 4,94 triệu đồng.

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Phương Pháp

1. Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là ${A_0}$ đồng/tháng. Cứ $k$ tháng thì lương người đó được tăng thêm $r%$ trên tháng. Hỏi sau $n$ tháng người đó được lĩnh tất cả bao nhiêu?

Công thức tính: ${A_n} = {A_0}\frac{n}{k} \cdot \frac{{{{(1 + r)}^{\frac{n}{k}}} – 1}}{r}$

2. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính tăng trưởng dân số ${X_m} = {X_n} \cdot {(1 + r)^{m – n}}\left( {m,n \in {\mathbb{Z}^ + },m \geqslant n} \right)$

Trong đó:

$r$ % là tỉ lệ tăng dân số từ năm $n$ đến năm $m$

${X_m}$ dân số năm $m$

${X_n}$ dân số năm $n$

3. Bài toán tăng trưởng mũ

Chú ý Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi suất $r\% $thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$năm $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ là: ${A_n} = {A_0}{(1 + r)^n}$. Giả sử ta chia mỗi năm thành $m$ kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r}{m}%$ thì số tiền thu được sau $n$ năm là ${A_n} = {A_0}{\left( {1 + \frac{r}{m}} \right)^{m \cdot n}}$

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là $m \to + \infty $, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: $A = {A_0}{e^{nr}}$

Công thức $A = {A_0}{e^{nr}}$ gọi là công thức tăng trưởng mũ.

Câu 54. Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm 7%/ tháng. Hỏi sau 36 tháng thì người đó lãnh được tất cả bao nhiêu?

A.Gần 644 triệu

B.Gần 623 triệu

C. Gần 954 triệu

D. Gần 700 triệu

Lời giải

Chọn A

${A_n} = {A_0}\frac{n}{k} \cdot \frac{{{{(1 + r)}^{\frac{n}{k}}} – 1}}{r}$

$ \Rightarrow {A_{36}} = 3 \cdot {10^6} \cdot \frac{{36}}{3} \cdot \frac{{{{(1,07)}^{\frac{{36}}{3}}} – 1}}{{0,07}} \approx 643984245,8$ đồng.

Câu 55. Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong ba năm đầu tiên là 6 triệu đồng/ tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 16 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?

A. 6.1,1 ${^4}$ (triệu đồng).

B. $6.1,{1^6}$ (triệu đồng).

C. $6.1,{1^5}$ (triệu đồng).

D. $6.1,{1^{16}}$ (triệu đồng).

Lời giải

Chọn C

Sau 3 năm, bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 4 số tiền lương người đó nhận được sau mỗi tháng là $6 + 6.10% = 6.1,1$ (triệu đồng).

Sau 6 năm ( 2.3 năm), bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 7 số tiền lương người đó nhận được sau mỗi tháng là 6.1,1+6.1,1.10% = 6.1,1.(1+10%) = 6.1,1 ${1^2}$ (triệu đồng).

Tương tự như vậy sau 15 năm (5.3 năm), bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 16 số tiền người đó nhận được sau mỗi tháng là 6.1,15 (triệu đồng).

Vậy tháng đầu tiên của năm thứ 16, người đó nhận được mức lương là 6.1,15 (triệu đồng).

Câu 56. Anh $C$ đi làm với mức lương khởi điểm là $x$ (triệu đồng)/ tháng, và số tiền lương này được nhận vào ngày đầu tháng. Vì làm việc chăm chỉ và có trách nhiệm nên sau 36 tháng kể từ ngày đi làm, anh C được tăng lương thêm 10% . Mỗi tháng, anh ta giữ lại 20% số tiền lương để gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn 1 tháng và lãi suất là $0,5%/$ tháng, theo hình thức lãi kép (tức tiền lãi của tháng này được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo). Sau 48 tháng kể từ ngày đi làm, anh $C$ nhận được số tiền cả gốc và lãi là 100 triệu đồng. Hỏi mức lương khởi điểm của người đó là bao nhiêu?

A. 8.991.504 đồng.

B. 9.991 .504 đồng.

C. 8.981.504 đồng.

D. 9.881.505 đồng.

Lời giải

Chọn A

Gọi số tiền mỗi tháng anh gửi tiết kiệm ngân hàng trong 36 tháng đầu là $A$; số tiền mỗi tháng anh gửi tiết kiệm sau tháng thứ 36 là $B$.

Đặt $q = 1 + 0,5% = 1,005$

Gọi ${S_n}$ là số tiền sau tháng thứ $n$ ta có

${S_1} = A + A.0,5% = A.q$

${S_2} = \left( {{S_1} + A} \right) + \left( {{S_1} + A} \right) \cdot 0,5% = \left( {{S_1} + A} \right) \cdot q = A{q^2} + Aq$.

${S_{36}} = \left( {{S_{35}} + A} \right) + \left( {{S_{35}} + A} \right) \cdot 0,5% = \left( {{S_{35}} + A} \right) \cdot q = A{q^{36}} + A{q^{35}} + \ldots + Aq = Aq \cdot \frac{{{q^{36}} – 1}}{{q – 1}}$

${S_{37}} = \left( {{S_{36}} + B} \right) + \left( {{S_{36}} + B} \right) \cdot 0,5% = \left( {{S_{36}} + B} \right) \cdot q = {S_{36}} \cdot q + B \cdot q \cdot $ ${S_{38}} = \left( {{S_{37}} + B} \right) + \left( {{S_{37}} + B} \right) \cdot 0,5% = \left( {{S_{37}} + B} \right) \cdot q = {S_{36}}{q^2} + B{q^2} + Bq$.

${S_{48}} = {S_{36}} \cdot {q^{12}} + B{q^{12}} + B{q^{11}} + \ldots + Bq = A{q^{13}} \cdot \frac{{{q^{36}} – 1}}{{q – 1}} + Bq \cdot \frac{{{q^{12}} – 1}}{{q – 1}}.$

Theo giả thiết ta có $A = 20%x = 0,2x;B = 20%\left( {x + 10%x} \right) = 0,22x;{S_{48}} = {10^8}$.

Vậy $0,2x{q^{13}} \cdot \frac{{{q^{36}} – 1}}{{q – 1}} + 0,22x \cdot q \cdot \frac{{{q^{12}} – 1}}{{q – 1}} = {10^8} \Leftrightarrow x = {10^8}:\left( {0,2{q^{13}} \cdot \frac{{{q^{36}} – 1}}{{q – 1}} + 0,22 \cdot q \cdot \frac{{{q^{12}} – 1}}{{q – 1}}} \right) \Leftrightarrow x \approx 8991504$ đồng.

Câu 57. Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A \cdot {e^{ni}}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc, $S$ là dân số sau $n$ năm, $i$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số Việt Nam năm 2019 là 95, 5triệu người, tỉ lệ tăng dân số hằng năm từ 2009 đến nay là 1,14%. Hỏi dân số Việt Nam năm 2009 gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 94, 4 triệu người.

B. 85, 2 triệu người.

C. 86, 2 triệu người.

D. 83, 9 triệu người.

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức $S = A.{e^{ni}}$ trong đó: $S = 95,5$ triệu người, $n = 10$ năm, $i = 1,14%$

Ta có số dân Việt Nam năm 2009 là: $A = \frac{S}{{{e^{ni}}}} = \frac{{95,5}}{{{e^{10.1,14{\text{% }}}}}} \approx 85,2$ triệu người

Câu 58. Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A \cdot {e^{ni}}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy mốc, $S$ là dân số sau $n$ năm, $i$ là tỷ lệ tăng dân số hàng năm. Biết năm 2005 dân số của thành phố Tuy Hòa là khoảng 202.300 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi với mức tăng dân số không đổi thì đến năm bao nhiêu dân số thành phố Tuy Hòa đạt được 255.000 người?

A. 2020 .

B. 2021.

C. 2023 .

D. 2022 .

Lời giải

Chọn B

Lấy năm 2005 làm mốc, khi đó $A = 202.300$.

Giả sử sau $n$ năm thì dân số thành phố Tuy Hòa đạt được 255.000 người, tức là ta có $255.000 = 202.300 \cdot {e^{\frac{{1,47n}}{{100}}}} \Leftrightarrow n = 100 \cdot ln\frac{{255000}}{{202300}} \approx 15,75$ năm.

Vậy đến năm 2021 thì dân số thành phố Tuy Hòa đạt được 255.000 người.

Câu 59. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức $S = A{e^{nr}}$; trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $n$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2017 , dân số Việt nam là 93.671.600 người. Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là $0,81%$, dự báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?

A. 109.256 .100 .

B. 108.374 .700 .

C. 107.500 .500 .

D. 108.311 .100 .

Lời giải

Chọn B

Lấy năm 2017 làm mốc, ta có $A = 93.671.600;n = 2035 – 2017 = 18$

$ \Rightarrow $ Dân số Việt Nam vào năm 2035 là $S = 93.671.600.{e^{18 \cdot \frac{{0,81}}{{100}}}} \approx 108.374.700$

Câu 60. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức $S = A \cdot {e^{Nr}}$ (trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $N$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?

A. $\left( {1.281.600;1.281.700} \right)$.

B. $\left( {1.281.700;1.281.800} \right)$.

C. $\left( {1.281.800;1.281.900} \right)$.

D. $\left( {1.281.900;1.282.000} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức $S = A \cdot {e^{Nr}}$ từ đầu năm 2010 đến đầu năm 2015 ta có:

$1153600 = 1038229.{e^{5r}} \Leftrightarrow r = \frac{1}{5}ln\frac{{1153600}}{{1038229}}$.

Đầu năm 2020 dân số của tỉnh Bắc Ninh là $S = 1038229.{e^{10 \cdot \frac{1}{5}ln\frac{{1153600}}{{1038229}}}} \approx 1281792$ người.

Câu 61. Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng mới của tỉnh $A$ là 900 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh $A$ mỗi năm tiếp theo đều tăng $6%$ so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên của tỉnh $A$ có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1700 ha?

A. Năm 2029.

B. Năm 2051.

C. Năm 2030.

D. Năm 2050 .

Lời giải

Chọn C.

Trong năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh

${\text{A}}$ là $A = 900$ ha.

Trong năm 2020, diện tích rừng trồng mới của tỉnh ${\text{A}}$ là ${A_1} = A + 6{\text{% }}A = A\left( {1 + 6{\text{% }}} \right)$ ha.

Trong năm 2021, diện tích rừng trồng mới của tỉnh ${\text{A}}$ là

${A_2} = {A_1} + 6{\text{% }}{A_1} = {A_1}\left( {1 + 6{\text{% }}} \right) = A\left( {1 + 6{\text{% }}} \right)\left( {1 + 6{\text{% }}} \right) = A{(1 + 6{\text{% }})^2}{\text{\;ha}}{\text{.}}$

Trong năm 2022, diện tích rừng trồng mới của tỉnh ${\text{A}}$ là

${A_3} = {A_2} + 6{\text{% }}{A_2} = {A_2}\left( {1 + 6{\text{% }}} \right) = A{(1 + 6{\text{% }})^2}\left( {1 + 6{\text{% }}} \right) = A{(1 + 6{\text{% }})^3}{\text{\;ha}}{\text{.\;}}$

Trong năm $2019 + n$, diện tích rừng trồng mới của tỉnh ${\text{A}}$ là ${A_n} = A{(1 + 6{\text{% }})^n}$ ha.

Khi đó, diện tích rừng trồng mới đạt trên 1700 ha khi

${A_n} > 1700 \Leftrightarrow A{(1 + 6{\text{% }})^n} > 1700 \Leftrightarrow 900.1,{06^n} > 1700 \Leftrightarrow 1,{06^n} > \frac{{17}}{9}$

$ \Leftrightarrow n > {\text{lo}}{{\text{g}}_{1,06}}\frac{{17}}{9} \approx 10,9 \Rightarrow {n_{{\text{min\;}}}} = 11$.

Vậy năm 2030 là năm đầu tiên của tỉnh ${\text{A}}$ có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1700 ha.

Câu 62. Năm 2020 một hãng xe niêm yết giá bán loại xe $X$ là 750.000 .000 đồng và dự định trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2% giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu ( kết quả làm tròn đến hàng nghìn )?

A. 677.941.000 đồng.

B. 675.000.000 đồng.

C. 664.382.000 đồng.

D. 691.776.000 đồng.

Lời giải

Chọn A

Giá xe năm 2020 là $A$

Giá xe năm 2021 là ${A_1} = A – A \cdot r = A\left( {1 – r} \right)$.

Giá xe năm 2022 là ${A_2} = {A_1} – {A_1} \cdot r = A{(1 – r)^2}$.

Giá xe năm 2023 là ${A_3} = {A_2} – {A_2} \cdot r = A{(1 – r)^3}$.

Giá xe năm 2024 là ${A_4} = {A_3} – {A_3} \cdot r = A{(1 – r)^4}$.

Giá xe năm 2025 là ${A_5} = {A_4} – {A_4} \cdot r = A{(1 – r)^5} = 750.000.000{\left( {1 – \frac{2}{{100}}} \right)^5} \approx 677.941.000$ đồng.

Câu 63. Số ca nhiễm Covid – 19 trong cộng đồng ở một tỉnh vào ngày thứ $x$ trong một giai đoạn được ước tính theo công thức $f\left( x \right) = A \cdot {e^{rx}}$ trong đó $A$ là số ca nhiễm ở ngày đầu của giai đoạn, $r$ là tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày của giai đoạn đó và trong cùng một giai đoạn thì $r$ không đổi. Giai đoạn thứ nhất tính từ ngày tỉnh đó có 9 ca bệnh đầu tiên và không dùng biện pháp phòng chống lây nhiễm nào thì đến ngày thứ 6 số ca bệnh của tỉnh là 180 ca. Giai đoạn thứ hai (kể từ ngày thứ 7 trở đi) tỉnh đó áp dụng các biện pháp phòng chống lây nhiễm nên tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày giảm đi 10 lần so với giai đoạn trước. Đến ngày thứ 6 của giai đoạn hai thì số ca mắc bệnh của tỉnh đó gần nhất với số nào sau đây?

A. 242 .

B. 16 .

C. 90 .

D. 422 .

Lời giải

Chọn A

• Giai đoạn 1:

Ta có: $180 = 9.{e^{r6}} \Rightarrow r = \frac{1}{6}ln20$

• Giai đoạn 2:

Đến ngày thứ 6 số ca mắc bệnh của tỉnh là $f\left( x \right) = 180 \cdot {e^{\frac{r}{{10}} \cdot 6}} = 242$

Câu 64. COVID19 là một loại bệnh viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona (nCoV) bắt nguồn từ Trung Quốc (đầu tháng 12/2019) gây ra với tốc độ truyền bệnh rất nhanh (tính đến 7/4/2020 đã có 1360039 người nhiễm bệnh). Giả sử ban đầu có 1 người bị nhiễm bệnh và cứ sau 1 ngày sẽ lây sang

4 người khác. Tất cả những người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang những người khác với tốc độ như trên (1 người lây 4 người). Hỏi sau 7 ngày sẽ có tổng cộng bao nhiêu người nhiễm bệnh? (Biết rằng những người nhiễm bệnh không phát hiện bản thân bị bệnh và không phòng tránh cách li, do trong thời gian ủ bệnh vẫn lây bệnh sang người khác).

A. 77760 người.

B. 16384 người.

C. 62500 người.

D. 78125 người.

Lời giải

Chọn D

Sau 1 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là $1 + 4 = 5$ người.

Sau 2 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là $\left( {1 + 4} \right) + \left( {1 + 4} \right) \cdot 4 = {(1 + 4)^2}$ người.

Sau 3 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là ${(1 + 4)^2} + {(1 + 4)^2} \cdot 4 = {(1 + 4)^3}$ người.

$ \Rightarrow $ Sau 7 ngày, tổng số người nhiễm bệnh là ${(1 + 4)^7} = 78125$ người.

Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng công thức lãi kép để tính nhanh:

${S_n} = A{(1 + r)^n} = 1 \cdot {(1 + 4)^7} = 78125$, với $A = 1,r = 4,n = 7$.

Câu 65. Để quảng bá cho sản phẩm $A$, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau $n$ lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức $P\left( n \right) = \frac{1}{{1 + 49{e^{ – 0,015n}}}}$. Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%?

A. 202 .

B. 203 .

C. 206 .

D. 207 .

Lời giải

Chọn B

Theo bài ra ta có $\frac{1}{{1 + 49{e^{ – 0,015n}}}} > 0,3$

$ \Leftrightarrow 1 + 49{e^{ – 0,015n}} < \frac{{10}}{3}$

$ \Leftrightarrow {e^{ – 0,015n}} < \frac{7}{{147}}$

$ \Leftrightarrow – 0,015n < ln\frac{7}{{147}}$

$ \Leftrightarrow n > – \frac{1}{{0,015}}ln\frac{7}{{147}} \approx 202,97$.

Vậy ít nhất 203 lần quảng cáo.

Câu 66. Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau $x$ lần quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là $P\left( x \right) = \frac{{100}}{{1 + 49{e^{ – 0.015x}}}},x \geqslant 0$. Hãy tính số lần quảng cáo được phát tối thiểu để số $%$ người xem mua sản phẩm đạt hơn $75%$.

A. 323 .

B. 343 .

C. 330 .

D. 333 .

Lời giải

Chọn D

Theo yêu cầu bài toán ta có:

$P\left( x \right) = \frac{{100}}{{1 + 49{e^{ – 0.015x}}}} > 75 \Leftrightarrow 1 + 49{e^{ – 0.015x}} < \frac{4}{3} \Leftrightarrow {e^{ – 0.015x}} < \frac{1}{{147}}$

$ \Leftrightarrow – 0.015x\left\langle {ln\left( {\frac{1}{{147}}} \right) \Leftrightarrow x} \right\rangle \frac{{ln\left( {\frac{1}{{147}}} \right)}}{{ – 0.015}} \approx 332.7$

Vậy số lần quảng cáo tối tiểu là 333 lần.

Câu 67. Cường độ ánh sáng đi qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức $I = {I_0}{e^{ – \mu x}}$, với ${I_0}$ là cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào môi trường nước biển và $x$ là độ dày của môi trường đó ( $x$ tính theo đơn vị mét). Biết rằng môi trường nước biển có hằng số hấp thụ là $\mu = 1,4$. Hỏi ở độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước biển?

A. ${e^{ – 21}}$ lần.

B. ${e^{42}}$ lần.

C. ${e^{21}}$ lần.

D. ${e^{ – 42}}$ lần

Lời giải

Chọn B

Khi mới bắt đầu đi vào môi trường nước biển thì $x = 0 \Rightarrow {I_1} = {I_o} \cdot {e^o}$

Ở độ sâu 30 mét thì ${I_2} = {I_o} \cdot {e^{ – \mu \cdot 30}}$

Vậy ta có: $\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}} = \frac{{{I_o} \cdot {e^{ – \mu .30}}}}{{{I_0} \cdot {e^o}}} = > {I_2} = {e^{ – 42}} \cdot {I_1}$,

vậy ${I_2}$ tăng ${e^{ – 42}}$ lần so với ${I_1}$, nói cách khác, ${I_2}$ giảm ${e^{42}}$ lần so với ${I_1}$

Câu 68. Một người thả một lá bèo vào một chậu nước. Sau 12 giờ, bèo sinh sôi phủ kín mặt nước trong chậu. Biết rằng sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt nước trong chậu (kết quả làm tròn đến 1 chữ số phần thập phân).

A. 9,1 giờ.

B. 9,7 giờ.

C. 10, 9 giờ.

D. 11,3 giò̀.

Lời giải

Chọn D

Gọi $S$ là diện tích lá bèo thả ban đầu. Vì sau mỗi giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó nên sau 12 giờ, tổng diện tích các lá bèo trong chậu là ${10^{12}}S$.

Theo đề bài: Sau 12 giờ, bèo phủ kín mặt nước trong chậu nên diện tích mặt nước trong chậu là ${10^{12}}S$. Giả sử sau $x$ giờ thì bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt nước trong chậu.

Ta có: ${10^x}S = \frac{1}{5} \cdot {10^{12}}S \Leftrightarrow {10^{12 – x}} = 5 \Leftrightarrow x = 12 – log5 \simeq 11,3$.

Vậy sau 11,3 giờ thì bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt nước trong chậu.

Câu 69. Áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao $x$ (so với mặt nước biển)(đo bằng mét) theo công thức $P = {P_0} \cdot {e^{xi}}$, trong đó ${P_0} = 760mmHg$ là áp suất ở mực nước biển $\left( {x = 0} \right)$, i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao $1000M$ thì áp suất của không khí là 672,71mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3343m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. $505,45mmHg$.

B. $530,23mmHg$.

C. $485,36mmHg$.

D. $495,34mmHg$.

Lời giải

Chọn A

Ở độ cao ${x_1} = 1000M$ thì áp suất không khí ${P_1} = 672,71mmHg$. Suy ra

${P_1} = {P_0} \cdot {e^{{x_1}i}} \Leftrightarrow {x_1}i = ln\left( {\frac{{{P_1}}}{{{P_0}}}} \right) \Leftrightarrow i = \frac{{ln\left( {\frac{{{P_1}}}{{{P_0}}}} \right)}}{{{x_1}}} = – 1,22 \cdot {10^{ – 4}}$.

Áp suất không khí ${P_2}$ ở độ cao ${x_2} = 3343M$ là: ${P_2} = {P_0} \cdot {e^{{x_2}i}} = 760 \cdot {e^{3343 \cdot \left( { – 1.22 \cdot {{10}^{ – 4}}} \right)}} = 505,46mmHg$.

Câu 70. Số lượng loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s\left( t \right) = s\left( 0 \right) \cdot {2^t}$, trong đó $s\left( 0 \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s\left( t \right)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn $A$ là 20 triệu con.

A. 7 phút.

B. 12 phút.

C. 48 phút.

D. 8 phút.

Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết ta có: $s\left( 3 \right) = 625000 \Leftrightarrow s\left( 0 \right) \cdot {2^3} = 625000 \Leftrightarrow s\left( 0 \right) = 78125$.

Số lượng loại vi khuẩn $A$ là 20 triệu con khi

$s\left( t \right) = 20000000 \Leftrightarrow s\left( 0 \right) \cdot {2^t} = 20000000 \Leftrightarrow {2^t} = \frac{{20000000}}{{s\left( 0 \right)}} = \frac{{20000000}}{{78125}} = 256 \Leftrightarrow t = 8$.

Vậy, sau 8 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 20 triệu con.

XEM NHIỀU

TÀI LIỆU HOT

BÀI VIẾT TIÊU BIỂU

BÀI VIẾT PHỔ BIẾN

MỤC XEM NHIỀU