50 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Lôgarit Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết

50 câu trắc nghiệm Phương trình lôgarit mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. PHƯƠNG PHÁP

+ Dạng cơ bản: ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$

+ Đưa về cùng cơ số: ${\log _a}x = {\log _a}y \Leftrightarrow x = y$

II. CÁC VÍ DỤ

Câu 1: Nghiệm của phương trình $lo{g_7}x = 2$ là:

A. $x = 32$.

B. $x = 9$.

C. $x = 8$.

D. $x = 49$.

Lời giải

Chọn D

$lo{g_7}x = 2 \Leftrightarrow x = {7^2} \Leftrightarrow x = 49\;$

Câu 2: Nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 5 }}x = 2$ là:

A. $x = 32$.

B. $x = 9$.

C. $x = 5$.

D. $x = 49$.

Lời giải

Chọn C

$lo{g_{\sqrt 5 }}x = 2 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 5\;$

Câu 3: Nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt[3]{7}}}x = 3$ là:

A. $x = 1$.

B. $x = 7$.

C. $x = 5$.

D. $x = 49$.

Lời giải

Chọn B

$lo{g_{\sqrt[3]{7}}}x = 3 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt[3]{7}} \right)^3} \Leftrightarrow x = 7$

Câu 4: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:

A. $x = \frac{8}{5}$.

B. $x = \frac{9}{5}$.

C. $x = 8$.

D. $x = 9$.

Lời giải

Chọn A

$lo{g_2}\left( {5x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5x = {2^3} \Leftrightarrow 5x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{5}\;(nhan).\;$

Câu 5: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x} \right) – 2 = 0$ là

A. $x = \frac{9}{2}$.

B. $x = 9$.

C. $x = 4$.

D. $x = 8$.

Lời giải

Chọn A

$lo{g_3}\left( {2x} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow 2x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}.$

Câu 6: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x – 1} \right) = 2$ là:

A. $x = 3$.

B. $x = 5$.

C. $x = \frac{9}{2}$.

D. $x = \frac{7}{2}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $lo{g_3}\left( {2x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x – 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$.

Câu 7: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 2$ là

A. $x = 8$.

B. $x = 9$.

C. $x = 7$.

D. $x = 10$.

Lời giải

Chọn D.

$lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x – 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 10$

Câu 8: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 9} \right) = 5$ là

A. $x = 41$.

B. $x = 23$.

C. $x = 1$.

D. $x = 16$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $lo{g_2}\left( {x + 9} \right) = 5 \Leftrightarrow x + 9 = {2^5} \Leftrightarrow x = 23$.

Câu 9: Nghiệm của phương trình $5 – lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 0$ bằng

A. $x = 17$.

B. $x = 24$.

C. $x = 2$.

D. $x = 40$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $5 – lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 8} \right) = 5$

$ \Leftrightarrow x + 8 = {2^5} \Leftrightarrow x = 24$.

Câu 10: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x = – 1$ bằng

A. $x = 1$.

B. $x = \frac{1}{2}$.

C. $x = 2$.

D. $x = 0$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $lo{g_2}x = – 1 \Leftrightarrow x = {2^{ – 1}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Câu 11: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x – 7} \right) = – 2$ là

A. $x = 41$.

B. $x = \frac{{15}}{4}$.

C. $x = 1$.

D. $x = \frac{{64}}{9}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $lo{g_3}\left( {x – 7} \right) = – 2 \Leftrightarrow x – 7 = {3^{ – 2}} \Leftrightarrow x – 7 = \frac{1}{9} \Leftrightarrow x = \frac{{64}}{9}$.

Câu 12: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1$ là :

A. $\left\{ 0 \right\}$

B. $\left\{ {0;1} \right\}$

C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$

D. $\left\{ 1 \right\}$

Lời giải

Chọn B

$lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$

Câu 13: Giải phương trình $lo{g_4}\left( {x – 1} \right) = 3$.

A. $x = 65$

B. $x = 80$

C. $x = 82$

D. $x = 63$

Lời giải

Chọn B

Phương trình $lo{g_4}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {4^3} \Leftrightarrow x = 65$.

Câu 14: Tìm nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {1 – x} \right) = 2$.

A. $x = 5$.

B. $x = – 3$.

C. $x = – 4$.

D. $x = 3$.

Chọn B

Lời giải

Ta có $lo{g_2}\left( {1 – x} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 – x = 4 \Leftrightarrow x = – 3$.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$ là

A. $\left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$

B. $\left\{ { – 3;3} \right\}$

C. $\left\{ { – 3} \right\}$

D. $\left\{ 3 \right\}$

Lời giải

Chọn B

$lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2$ là

A. $\left\{ 4 \right\}$

B. $\left\{ { – 4} \right\}$

C. $\left\{ { – \sqrt {15} ;\sqrt {15} } \right\}$

D. $\left\{ { – 4;4} \right\}$

Lời giải

Chọn D

$lo{g_3}\left( {{x^2} – 7} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 7 = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x = – 4}
\end{array}} \right.$

Câu 17: Tìm nghiệm của phương trình $lo{g_{25}}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}$.

A. $x = 6$

B. $x = 4$

C. $x = \frac{{23}}{2}$

D. $x = – 6$

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: $x > – 1$

Xét phương trình $lo{g_{25}}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow lo{g_5}\left( {x + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 4$.

Câu 18: Phương trình $lo{g_3}\left( {3x – 2} \right) = 3$ có nghiệm là

A. $x = \frac{{25}}{3}$.

B. $x = 87$.

C. $x = \frac{{29}}{3}$.

D. $x = \frac{{11}}{3}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $lo{g_3}\left( {3x – 2} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x – 2 = {3^3} \Leftrightarrow 3x = 29 \Leftrightarrow x = \frac{{29}}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{{29}}{3}$.

Câu 19: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} – x + 3} \right) = 1$ là

A. $\left\{ 1 \right\}$.

B. $\left\{ {0;1} \right\}$.

C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$.

D. $\left\{ 0 \right\}$.

Lời giải

Ta có: $lo{g_3}\left( {{x^2} – x + 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 3 = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {0;1} \right\}$.

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1$ là:

A. $\left\{ { – 1;0} \right\}$.

B. $\left\{ {0;1} \right\}$.

C. $\left\{ 0 \right\}$

D. $\left\{ { – 1} \right\}$.

Lời giải

$lo{g_3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$

Câu 21: Cho phương trình $lo{g_2}{(2x – 1)^2} = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$. Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

Điều kiện: $x > 2$.

Phương trình đã cho tương đương với: $2lo{g_2}\left( {2x – 1} \right) = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$

$ \Leftrightarrow 2x – 1 = x – 2 \Leftrightarrow x = – 1$

Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 22: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 2x} \right) = 1$ là

A. $\left\{ {1; – 3} \right\}$.

B. $\left\{ {1;3} \right\}$.

C. $\left\{ 0 \right\}$.

D. $\left\{ { – 3} \right\}$.

Lời giải

Phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 2x} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = {3^1}$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 3}
\end{array}} \right.$.

Tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {1; – 3} \right\}$.

Câu 23: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0$ bằng

A. 6

B. 5

C. 13

D. 7

Lời giải

Chọn C

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 7 = 1$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2 \vee {x_2} = 3 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 13$

Câu 24: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1$ là

A. 6

B. 5

C. 4

D. 0

Lời giải

Chọn D

Điều kiện $x \ne 0$.

Ta có có $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}{x^2} = 1 + lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = 2 \cdot lo{g_2}6 \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = lo{g_2}{6^2}$

$ \Leftrightarrow {x^2} = {6^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 6 \hfill \\
x = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Dó đó, tổng các nghiệm sẽ bằng 0

Câu 25: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_{0,25}}\left( {{x^2} – 3x} \right) = – 1$ là:

A. $\left\{ 4 \right\}$.

B. $\left\{ {1; – 4} \right\}$.

C. $\left\{ {\frac{{3 – 2\sqrt 2 }}{2};\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}} \right\}$.

D. $\left\{ { – 1;4} \right\}$.

Lời giải

Ta có: $lo{g_{0,25}}\left( {{x^2} – 3x} \right) = – 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = {(0,25)^{ – 1}}$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { – 1;4} \right\}$.

Câu 26: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là

A. -3 .

B. $a$.

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải

$lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 5$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = 0}
\end{array}} \right.$.

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là 0 .

Câu 27: Số nghiệm dương của phương trình $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0$ là

A. 2 .

B. 4 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Có $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 5} \right| = 1$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5 = 1} \\
{{x^2} – 5 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \sqrt 6 } \\
{x = – \sqrt 6 } \\
{x = 2} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là $x = \sqrt 6 ,x = 2$.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\left( {x + 3} \right)lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0$.

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 3 .

Lời giải

Điều kiện: $5 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow – \sqrt 5 < x < \sqrt 5 $.

Phương trình $\left( {x + 3} \right)lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 3 = 0} \\
{lo{g_2}\left( {5 – {x^2}} \right) = 0}
\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 3} \\
{5 – {x^2} = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3} \\
{x = \pm 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Đối chiếu điều kiện ta có $x = \pm 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 29: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( {2{x^2} – 5x + 2} \right)\left[ {lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2} \right] = 0$ bằng

A. $\frac{{17}}{2}$.

B. 9 .

C. 8 .

D. $\frac{{19}}{2}$.

Lời giải

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x \ne 1} \\
{x > \frac{6}{7}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \ne 1\left( * \right)} \right.$.

Phương trình $\left( {2{x^2} – 5x + 2} \right)\left[ {lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} – 5x + 2 = 0} \\
{lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2 = 0}
\end{array}} \right.$.

• Phương trình $2{x^2} – 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 2$.

• Phương trình $lo{g_x}\left( {7x – 6} \right) – 2 = 0 \Leftrightarrow 7x – 6 = {x^2}$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right) \Rightarrow x = 6$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 2;x = 6$ suy ra tổng các nghiệm bằng 8 .

Câu 30: Hàm số $y = lo{g_a}x$ và $y = lo{g_b}x$ có đồ thị như hình bên.

Đường thẳng $y = 3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là ${x_1};{x_2}$. Biết rằng ${x_1} = 2{x_2}$. Giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$.

B. $\sqrt 3 $.

C. 2 .

D. $\sqrt[3]{2}$.

Lời giải

Chọn D

Xét phương trình hoành độ giao điểm $lo{g_a}x = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {a^3}$, và $lo{g_b}x = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {b^3}$.

Ta có ${x_1} = 2{x_2} \Leftrightarrow {a^3} = 2{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}$.

Câu 31: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 3$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$

B. $S = \left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$

C. $S = \left\{ { – 3;3} \right\}$

D. $S = \left\{ 4 \right\}$

Lời giải

Chọn A

Điều kiện $\left\{ \begin{gathered}
x – 1 > 0 \hfill \\
x + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > 1 \hfill \\
x > – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 1$.

Phương trình đã cho trở thành $lo{g_2}\left[ {\left( {x – 1} \right)(x + 1)} \right] = 3 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 3 \Rightarrow S = \left\{ 3 \right\}$

Câu 32: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$ à

A. $x = 1$.

B. $x = 2$.

C. $x = – 1$.

D. $x = 3$.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện phương trình: $x > \frac{1}{3}$.

$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$

$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}2 = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$ (Lưu ý: $\alpha = {\log _a}{a^\alpha }$)

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {\left( {x + 1} \right) \cdot 2} \right] = lo{g_2}\left( {3x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3x – 1 \Leftrightarrow x = 3$ (nhận)

Vậy nghiệm phương trình là $x = 3$.

Câu 33: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$

B. $S = \left\{ 4 \right\}$

C. $S = \left\{ 1 \right\}$

D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$

Lời giải

Chọn B

ĐК: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{{ – 1}}{2}} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.

Ta có $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa)

Câu 34: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$

A. $x = 4$.

B. $x = 2$.

C. $x = 3$.

D. $x = – 3$.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered}
x + 1 > 0 \hfill \\
4x + 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > – \frac{1}{4}$.

Ta có:

$lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + {\log _3}3 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x + 1} \right)3} \right] = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow 3\left( {x + 1} \right) = 4x + 1 \Leftrightarrow x = 2$ (nhận)

Vậy: Nghiệm của phương trình là $x = 2$.

Câu 35: Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = 1 + lo{g_3}\left( {x – 1} \right)$ là

A. $x = 4$.

B. $x = – 2$.

C. $x = 1$.

D. $x = 2$.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.

Ta có: $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = 1 + lo{g_3}\left( {x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left[ {3 \cdot \left( {x – 1} \right)} \right]$

$ \Leftrightarrow 2x + 1 = 3x – 3$

$ \Leftrightarrow x = 4$ (nhận).

Câu 36: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1 + lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$ là

A. $x = 3$.

B. $x = 2$.

C. $x = 1$.

D. $x = – 2$.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.

Phương trình đã cho tương đương với

$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1 + lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$.

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}2.\left( {x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow x + 1 = 2x – 2 \Leftrightarrow x = 3$ (Thỏa mãn).

Câu 37: Số nghiệm của phương trình $ln\left( {x + 1} \right) + ln\left( {x + 3} \right) = ln\left( {x + 7} \right)$ là

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: $x > – 1$

$PT \Leftrightarrow ln\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] = ln\left( {x + 7} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = x + 7$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}&{\left( {nhan} \right)} \\
{x = – 4}&{\left( {loai} \right)}
\end{array}} \right.$

Câu 38: Tìm số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$

A. 0 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: $x > 1$

Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 4$

$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt {17} }}{2}} \\
{x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.$

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}$.

Câu 39: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$.

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

+) Điều kiện $x > 0$

+) Phương trình

$lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9 + {\log _3}x – 5 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + 2 + {\log _3}x – 5 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}x = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}x\left( {6 + x} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 27 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = – 9\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình là 1 .

Câu 40: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình: $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$.

B. $S = \left\{ 1 \right\}$.

C. $S = \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \left\{ 4 \right\}$.

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.

Với điều kiện trên, $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) = lo{g_3}\left( {3x – 3} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = 3x – 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tập nghiệm $S = \left\{ 4 \right\}$.

Câu 41: Phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1$ có tập nghiệm là

A. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.

B. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.

C. $S = \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \left\{ 1 \right\}$.

Lời giải

Điều kiện: $x > 1$.

Với điều kiện trên, ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1$

$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta được: $x = 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$.

Câu 42: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125$ là

A. $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

B. $\frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}$.

C. 3 .

D. $\sqrt {33} $.

Lời giải

Điều kiện: $x > 2$

$lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\,\,(nhận)} \\
{x = \frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}\,\,(loại)}
\end{array}} \right.$

Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm $x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$ thỏa mãn.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

Câu 43: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 3} \right) = 2$ là

A. $S = \left\{ 4 \right\}$

B. $S = \left\{ { – 1,4} \right\}$

C. $S = \left\{ { – 1} \right\}$

D. $S = \left\{ {4,5} \right\}$

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: $x \geqslant 3$.

$PT \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 3} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$.

So sánh điều kiện ta được $x = 4$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 4 \right\}$.

Câu 44: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Chọn C

Đk: $x > 6$

Ta có: $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {x\left( {x – 6} \right)} \right] = lo{g_3}7$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\,\,(loại)} \\
{x = 7\,\,\,(nhận)}
\end{array}} \right.$

Câu 45: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$

B. $S = \left\{ {2 – \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\}$

C. $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

D. $S = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}$

Lời giải

Chọn ${\mathbf{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{C} }}$

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$

Phương trình $ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) – lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}2$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} = lo{g_2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right]$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 2x + 2$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – \sqrt 5 \left( L \right)} \\
{x = 2 + \sqrt 5 }
\end{array}} \right.$.

Vậy tập nghiệm phương trình $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

Câu 46: Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$ là

A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Viết lại phương trình ta được

$lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = lo{g_3}\left( {2x + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 3 > 0} \\
{{x^2} + 4x = 2x + 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – \frac{3}{2}} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = – 3}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.} \right.$.

Câu 47: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}x \cdot lo{g_9}x \cdot lo{g_{27}}x \cdot lo{g_{81}}x = \frac{2}{3}$ bằng

A. 0 .

B. $\frac{{80}}{9}$.

C. 9 .

D. $\frac{{82}}{9}$.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện $x > 0$.

Phương trình đã cho tương đương với

$lo{g_3} \cdot \frac{1}{2} \cdot lo{g_3}x \cdot \frac{1}{3}lo{g_3}x \cdot \frac{1}{4}lo{g_3}x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_3}x} \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_3}x = 2} \\
{lo{g_3}x = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{x = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right.} \right.$

Câu 48: Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là

A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

B. $x = \sqrt[3]{3}$.

C. $x = \frac{1}{3}$.

D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Lời giải

Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

Câu 49: Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$. Số phần tử của tập $S$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải

ĐК: $x > – 1$

$lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$

$ \Rightarrow {(x + 1)^2} = \frac{{{x^2} + 2}}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0\left( {TM} \right)} \\
{x = – 4\left( L \right)}
\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm có một phần tử

Câu 50: Số nghiệm thục của phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$ là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: $x > 5$

$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$

$ \Leftrightarrow 3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + 3lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 $

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt 7 $

Câu 51: Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ là $S = a + b\sqrt 2 $ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q = a.b$ bằng

A. 0 .

B. 3 .

C. 9 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn D

Điều kiện: $2 < x \ne 4$.

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

$2lo{g_3}\left( {x – 2} \right) + 2lo{g_3}\left| {x – 4} \right| = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 1$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = 1} \\
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 6x + 7 = 0} \\
{{x^2} – 6x + 9 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 \pm \sqrt 2 } \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$

So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm ${x_1} = 3 + \sqrt 2 ;{x_2} = 3$

Ta được: $S = {x_1} + {x_2} = 6 + \sqrt 2 \Rightarrow a = 6;b = 1$.

Vậy $Q = a \cdot b = 6$.