50 Câu Trắc Nghiệm Bất Phương Trình Lôgarit Theo Dạng Giải Chi Tiết

50 câu trắc nghiệm bất phương trình lôgarit theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Phương pháp

• Nếu $a > 1$ thì $lo{g_a}f\left( x \right) > lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\,$ (cùng chiều)

• Nếu $0 < a < 1$ thì $lo{g_a}f\left( x \right) > lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ (ngược chiều)

• Nếu a chứa ẩn thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}B > 0 \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {B – 1} \right) > 0} \\
{\frac{{lo{g_a}A}}{{lo{g_a}B}} > 0 \Leftrightarrow \left( {A – 1} \right)\left( {B – 1} \right) > 0}
\end{array}} \right.$.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_5}\left( {x + 1} \right) > 2$ là

A. $\left( {9; + \infty } \right)$.

B. $\left( {25; + \infty } \right)$.

C. $\left( {31; + \infty } \right)$.

D. $\left( {24; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_5}\left( {x + 1} \right) > 2 \Leftrightarrow x + 1 > {5^2} \Leftrightarrow x + 1 > 25 \Leftrightarrow x > 24$.

Vậy tập nghiệp của bất phương trình là $\left( {24; + \infty } \right)$.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {36 – {x^2}} \right) \geqslant 3$ là

A. $\left( { – \infty ; – 3\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;3} \right]$.

C. $\left[ { – 3;3} \right]$.

D. $\left( {0;3} \right]$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $lo{g_3}\left( {36 – {x^2}} \right) \geqslant 3 \Leftrightarrow 36 – {x^2} \geqslant 27 \Leftrightarrow 9 – {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.

Câu 3. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right) < 0$ là

A. $S = \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$

B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right)\left\langle {0 \Leftrightarrow 2x – 1} \right\rangle {(0,8)^0} \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x > 1$.

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {2x – 1} \right) < 0$ là $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {18 – {x^2}} \right) \geqslant 2$ là

A. $\left( { – \infty ;3} \right]$.

B. $\left( {0;3} \right]$.

C. $\left[ { – 3;3} \right]$.

D. $\left( { – \infty ; – 3\left] \cup \right[3; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $18 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right)\left( * \right)$.

Khi đó ta có: $lo{g_3}\left( {18 – {x^2}} \right) \geqslant 2 \Leftrightarrow 18 – {x^2} \geqslant 9 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập ngiệm của bất phương trình đã cho là $\left[ { – 3;3} \right]$.

Câu 5. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $ln{x^2} < 0$.

A. $S = \left( { – 1;1} \right)$.

B. $S = \left( { – 1;0} \right)$.

C. $S = \left( { – 1;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}$.

D. $S = \left( {0;1} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: $ln{x^2} < 0 \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{ – 1 < x < 1}
\end{array}} \right.$.

Vậy $S = \left( { – 1;1} \right) \setminus \left\{ 0 \right\}$.

Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0,5}}\left( {x – 1} \right) > 1$ là

A. $\left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right)$.

B. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.

C. $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.

D. $\left[ {1;\frac{3}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Bất phương trình $ \Leftrightarrow 0 < x – 1 < 0,5 \Leftrightarrow 1 < x < \frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là: $S = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.

Câu 7. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right)$.

A. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

B. $S = \left( { – 1;2} \right)$.

C. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$.

D. $S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 2x – 1} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2} \right.$.

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0.3}}\left( {5 – 2x} \right) > lo{g_{\frac{3}{{10}}}}9$ là

A. $\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

C. $\left( { – 2;\frac{5}{2}} \right)$.

D. $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_{0.3}}\left( {5 – 2x} \right) > lo{g_{\frac{3}{{10}}}}9 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5 – 2x > 0} \\
{5 – 2x < 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < \frac{5}{2}} \\
{x > – 2}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 < x < \frac{5}{2}} \right.} \right.$.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S = \left( { – 2;\frac{5}{2}} \right)$.

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right)$ là

A. $\left( { – 1;6} \right)$

B. $\left( {\frac{5}{2};6} \right)$

C. $\left( {6; + \infty } \right)$

D. $\left( { – \infty ;6} \right)$

Lời giải

Chọn C.

Do $\frac{\pi }{4} < 1$ nên $lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {x + 1} \right) > lo{g_{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x – 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x + 1 < 2x – 5}
\end{array} \Leftrightarrow x > 6} \right.$.

Câu 10. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{0,8}}\left( {15x + 2} \right) > lo{g_{0,8}}\left( {13x + 8} \right)$ là

A. Vô số.

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $x > – \frac{2}{{15}}$.

Khi đó, $lo{g_{0,8}}\left( {15x + 2} \right) > lo{g_{0,8}}\left( {13x + 8} \right) \Leftrightarrow 15x + 2 < 13x + 8 \Leftrightarrow 2x < 6 \Leftrightarrow x < 3$.

Tập nghiệm bất phương trình là: $T = \left( { – \frac{2}{{15}};3} \right) \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Câu 11. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {3x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {6 – 5x} \right)$ được tập nghiệm là $\left( {a;b} \right)$. Hãy tính tổng $S = a + b$.

A. $S = \frac{{26}}{5}$.

B. $S = \frac{{11}}{5}$.

C. $S = \frac{{28}}{{15}}$.

D. $S = \frac{8}{3}$.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 > 0} \\
{6 – 5x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{2}{3}} \\
{x < \frac{6}{5}}
\end{array} \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}} \right.} \right.$.

Ta có: $lo{g_2}\left( {3x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {6 – 5x} \right) \Leftrightarrow 3x – 2 > 6 – 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1$.

Kết hợp với điều kiện, ta được $1 < x < \frac{6}{5}$.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {1;\frac{6}{5}} \right)$. Từ đó, $S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}$.

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình $ln3x < ln\left( {2x + 6} \right)$ là:

A. $\left[ {0;6} \right)$.

B. $\left( {0;6} \right)$.

C. $\left( {6; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ;6} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Bất phương trình $ln3x < ln\left( {2x + 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x > 0} \\
{3x < 2x + 6}
\end{array} \Leftrightarrow 0 < x < 6} \right.$.

Câu 13. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {2x – 5} \right) \geqslant lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {x – 1} \right)$ là

A. $\frac{5}{2} < x \leqslant 4$.

B. $1 < x \leqslant 4$.

C. $\frac{5}{2} \leqslant x \leqslant 41$.

D. $x \geqslant 4$.

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {2x – 5} \right) \geqslant lo{g_{2 – \sqrt 3 }}\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 5 \leqslant x – 1} \\
{2x – 5 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 4} \\
{x > \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $\frac{5}{2} < x \leqslant 4$.

Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{0,5}}\left( {5x + 14} \right) \leqslant lo{g_{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)$ là

A. $\left( { – 2;2} \right]$.

B. $\left( { – \infty ;2} \right]$.

C. $\mathbb{R} \setminus \left[ { – \frac{3}{2};0} \right]$.

D. $\left[ { – 3;2} \right]$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x + 14 > 0} \\
{{x^2} + 6x + 8 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > – 2} \right.$

Ta có: $lo{g_{0,5}}\left( {5x + 14} \right) \leqslant lo{g_{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right) \Leftrightarrow 5x + 14 \geqslant {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 2$

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right)$ ta được $ – 2 < x \leqslant 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – 2;2} \right]$.

Câu 15. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $ln{x^2} > ln\left( {4x – 4} \right)$.

A. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

C. $S = R \setminus \left\{ 2 \right\}$.

D. $S = \left( {1; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.

Lời giải

Chọn D.

$ln{x^2} > ln\left( {4x – 4} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} > 4x – 4} \\
{4x – 4 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4x + 4 > 0} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{x > 1}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1; + \infty } \right) \setminus \left\{ 2 \right\}$.

Câu 16. Giải bất phương trình $log\left( {3{x^2} + 1} \right) > log\left( {4x} \right)$.

A. $x < \frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$.

B. $0 < x < \frac{1}{3}$ hoặc $x > 1$.

C. $0 < x < 1$.

D. $\frac{1}{3} < x < 1$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

$\log (3{x^2} + 1) > \log (4x)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} + 1 > 4x \hfill \\
4x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
3{x^2} – 4x + 1 > 0 \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x < \frac{1}{3} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
0 < x < \frac{1}{3} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Câu 17. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 2x – 8} \right) \geqslant – 4$ là

A. 6 .

B. Vô số.

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 2x – 8} \right) \geqslant – 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 2x – 8 > 0} \\
{{x^2} + 2x – 8 \leqslant {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 4}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 2} \\
{x < – 4}
\end{array}} \right.} \\
{{x^2} + 2x – 24 \leqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2} \\
{x < – 4} \\
{ – 6 \leqslant x \leqslant 4}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 \leqslant x < – 4} \\
{2 < x \leqslant 4}
\end{array}} \right.} \right.$.

Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $ – 6; – 5;3;4$.

Câu 18. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {lo{g_2}\left( {4 – x} \right) – 1} $ là

A. $\left( { – \infty ;4} \right)$.

B. $\left[ {2;4} \right)$.

C. $\left( { – \infty ;2} \right]$.

D. $\left( { – \infty ;2} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {4 – x} \right) – 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}\left( {4 – x} \right) \geqslant 1} \\
{4 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 – x \geqslant 2} \\
{4 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant 2} \\
{x < 4}
\end{array} \Leftrightarrow x \leqslant 2} \right.} \right.} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { – \infty ;2} \right]$.

Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \geqslant 0$ là

A. $T = \left( { – 2;\frac{1}{3}} \right]$

B. $T = \left[ { – 2;\frac{1}{3}} \right]$

C. $T = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$

D. $T = \left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right]$.

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 < \frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} \leqslant 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x + 2}}{{3 – 2x}} > 0} \\
{\frac{{3x – 1}}{{3 – 2x}} \leqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right)} \\
{x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( { – 2;\frac{1}{3}} \right]} \right.} \right.$

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_3}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1$ là

A. $\left( {0;1} \right)$.

B. $\left( {\frac{1}{8};3} \right)$.

C. $\left( {\frac{1}{8};1} \right)$.

D. $\left( {\frac{1}{8}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $lo{g_3}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}x} \right)\left\langle {1 \Leftrightarrow 0\left\langle {lo{g_{\frac{1}{2}}}x\left\langle {{3^1} \Leftrightarrow {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^0}} \right\rangle x} \right\rangle {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} \Leftrightarrow 1} \right\rangle x > \frac{1}{8}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{1}{8};1} \right)$.

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( { – lo{g_2}x} \right) < 0$ là

A. $\left( {0;5} \right)$.

B. $\left( {1;2} \right)$.

C. $\left( {\frac{1}{4};4} \right)$.

D. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{ – lo{g_2}x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x < 1}
\end{array} \Rightarrow 0 < x < 1} \right.} \right.$

$lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( { – lo{g_2}x} \right)\left\langle {0 \Leftrightarrow – lo{g_2}x} \right\rangle 1 \Leftrightarrow lo{g_2}x < – 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$

So sánh điều kiện, suy ra $S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Câu 22. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$ ?

A. Vô số.

B. 1 .

C. 0 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$

$ \Leftrightarrow 0 < lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right) < 1$

$ \Leftrightarrow 1 < 2 – {x^2} < 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2 – {x^2} < 2} \\
{2 – {x^2} > 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} > 0} \\
{{x^2} < 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{ – 1 < x < 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Kết hợp với giả thiết $x$ là số nguyên ta thấy không có số nguyên $x$ nào thỏa mãn bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {lo{g_2}\left( {2 – {x^2}} \right)} \right] > 0$.

Câu 23. Bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}}} \right) \geqslant 0$ có tập nghiệm là $\left( {a;b} \right]$. Tính giá trị $P = 3a – b$.

A. $P = 5$.

B. $P = 4$.

C. $P = 10$.

D. $P = 7$.

Lời giải

Chọn B.

$lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}}} \right) \geqslant 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \geqslant 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} < 1} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \leqslant \frac{1}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} \leqslant \frac{1}{3}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3x – 7}}{{x + 3}} > 0} \\
{\frac{{8\left( {x – 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}} \leqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {\frac{7}{3}; + \infty } \right)} \\
{\frac{{8\left( {x – 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}} < 0x \in \left[ { – 3;3} \right]}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{7}{3};3} \right]} \right.$.

Suy ra $a = \frac{7}{3},b = 3$;

Vậy $P = 3a – b = 3 \cdot \frac{7}{3} – 3 = 4$.

Câu 24. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {lo{g_2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \geqslant 0$.

A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. Vô số nghiệm.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2x + 3}}{{x + 1}} > 1} \\
{\frac{{2x + 3}}{{x + 1}} > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 2} \\
{x > – 1}
\end{array}} \right.} \right.$.
Ta có $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {lo{g_2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 3}}{{x + 1}} \leqslant 2 \Leftrightarrow x < – 1$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}} \right) > 1$ là

A. $\left( {\frac{1}{2};\frac{{13}}{{14}}} \right)$

B. $\left( {\frac{1}{2};2} \right)$.

C. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$.

D. $\left( {\frac{{13}}{{14}}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}} \right) > 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{2}{3}}}\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} > 2$

$ \Leftrightarrow 0 < \frac{{2x – 1}}{{x + 1}} < \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
0 < \frac{{2x – 1}}{{x + 1}} \hfill \\
\frac{{2x – 1}}{{x + 1}} < \frac{4}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x > \frac{1}{2} \hfill \\
x < – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
– 1 < x < \frac{{13}}{{14}} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < \frac{{13}}{{14}}$

Câu 26. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right)} \right) \leqslant 2$.

A. $x \geqslant 0$.

B. $lo{g_2}\frac{{15}}{{16}} < x < lo{g_2}\frac{{31}}{{16}}$.

C. $0 \leqslant x < lo{g_2}\frac{{31}}{{16}}$.

D. $lo{g_2}\frac{{15}}{{16}} < x \leqslant 0$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $lo{g_2}\left( {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right)} \right) \leqslant 2 \Leftrightarrow 0\left\langle {lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} – \frac{{15}}{{16}}} \right) \leqslant 4 \Leftrightarrow 1} \right\rangle {2^x} – \frac{{15}}{{16}} \geqslant \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{31}}{{16}} > {2^x} \geqslant 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{31}}{{16}} > x \geqslant 0$

DẠNG 2: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình: $lo{g_2}\left( {7 – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0$ là

A. $S = \left( {1;4} \right]$.

B. $S = \left( { – \infty ;4} \right]$.

C. $S = \left[ {4; + \infty } \right)$.

D. $S = \left[ {4;7} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: $1 < x < 7$.

Ta có:

$lo{g_2}\left( {7 – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {7 – x} \right) – lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{7 – x}}{{x – 1}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{7 – x}}{{x – 1}} \leqslant 1 \Leftrightarrow \frac{{ – 2x + 8}}{{x – 1}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 1} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là $\left[ {4;7} \right)$.

Câu 28. Bất phương trình $1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)$ có các nghiệm là

A. $S = \left( {3; + \infty } \right)$.

B. $S = \left( {1;3} \right)$.

C. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( {2;3} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: $x > 2$.

$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) > lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) < 1} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – 1} \right) < 1 \Leftrightarrow x < 3.}
\end{array}$

Đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm là $S = \left( {2;3} \right)$.

Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant 0$ là:

A. $S = \left( { – \infty ;4} \right]$.

B. $S = \left( {1;4} \right)$.

C. $S = \left( {1;4} \right]$.

D. $S = \left( {3;\frac{{11}}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) \geqslant 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {11 – 2x} \right) \geqslant lo{g_3}\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{11 – 2x \geqslant x – 1} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow 1 < x \leqslant 4} \right.$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;4} \right]$.

Câu 30. Giải bất phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 2} \right) > 1$ được tập nghiệm là

A. $x > 2$.

B. $x > 3$.

C. $x < – 1$.

D. $2 < x < 3$.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện $x > 2$

$lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 2} \right) > 1 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 > 0 \Leftrightarrow x\left\langle { – 1 \vee x} \right\rangle 3$

So với điều kiện suy ra $x > 3$.

Câu 31. Tìm tập nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x – 3} \right) + lo{g_2}x \geqslant 2$.

A. $\left( {3; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – 1\left] \cup \right[4; + \infty } \right)$.

C. $\left[ {4; + \infty } \right)$.

D. $\left( {3;4} \right]$

Lời giải

Chọn C.

ĐK: $x > 3$. Bất phương trình đã cho trở thành

$lo{g_2}\left( {x – 3} \right) \cdot x \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x \geqslant 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – 1} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$.

Kết hợp điều kiện Suy ra $x \geqslant 4$.

Câu 32. Giải bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > 1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$.

A. $1 < x < 2$.

B. $ – 4 < x < 3$.

C. $2 < x < 5$.

D. $2 < x < 3$.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.$.

$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > 1 + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) > lo{g_2}2\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow x + 1 > 2\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow x < 5$.

So với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $2 < x < 5$.

Câu 33. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}x > 0$ là

A. $x > 2$.

B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{x > 2}
\end{array}} \right.$

C. $x < 0$.

D. $x > 1$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x > 0} \\
{x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$.

Ta có

$lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}x > 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – x} \right) – lo{g_2}x > 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{{x^2} – x}}{x} > 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – 1} \right) > 0 \Leftrightarrow x – 1 > 1 \Leftrightarrow x > 2$

Câu 34. Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình $lo{g_3}\left( {1 – {x^2}} \right) \leqslant lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {1 – x} \right)$

A. $x = 0$.

B. $x = 1$.

C. $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}$.

D. $x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – {x^2} > 0} \\
{1 – x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 < x < 1} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow – 1 < x < 1} \right.} \right.$.

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình nếu có là $x = 0$.

Kiểm tra lại thấy $x = 0$ thỏa mãn.

Câu 35. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \geqslant 1$ là

A. vô số.

B. 0 .

C. 2 .

D. 1.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > 0$.

Ta có: $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \geqslant 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{1}{2}}}\left[ {x\left( {x + \frac{1}{2}} \right)} \right] \geqslant 1 \Leftrightarrow x\left( {x + \frac{1}{2}} \right) \leqslant \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} + x – 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện: $0 < x \leqslant \frac{1}{2}$.

Câu 36. Giải bất phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}x + 2lo{g_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0$.

A. $x \geqslant 3$

B. $ – 2 \leqslant x \leqslant 3$

C. $1 < x \leqslant 3$

D. $x \leqslant – 2$ hoặc $x \geqslant 3$

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > 1$.

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{r}}
{}&{lo{g_{\frac{1}{2}}}x + 2lo{g_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{1}{2}}}x\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}6 \leqslant 0 \Leftrightarrow lo{g_2}x\left( {x – 1} \right) \geqslant lo{g_2}6} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant 3} \\
{x \leqslant – 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm: $x \geqslant 3$.

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $x$ thỏa mãn bất phương trình.

$log\left( {x – 40} \right) + log\left( {60 – x} \right) < 2$

A. 10.

B. 19.

C. 18.

D. 20.

Lời giải

Chọn C.

ĐK: $40 < x < 60$.

Ta có: $log\left( {x – 40} \right) + log\left( {60 – x} \right) < 2 \Leftrightarrow log\left( {x – 40} \right)\left( {60 – x} \right) < 2 \Leftrightarrow \left( {x – 40} \right)\left( {60 – x} \right) < 100$ $ \Leftrightarrow – {x^2} + 100x – 2500 < 0 \Leftrightarrow {(x – 50)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 50$.

Số giá trị nguyên dương thỏa bpt là $\left( {59 – 41 + 1} \right) = 18$.

Câu 38. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2$.

A. $S = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$.

B. $S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$

C. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.

D. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$.

$2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2 \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} \leqslant 2 + lo{g_3}\left( {2x + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow {(4x – 3)^2} \leqslant 9\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} – 42x – 18 \leqslant 0 \Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right)$.

Câu 39. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_4}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$ là:

A. $ – 1 < x < 5$

B. $1 < x < 5$

C. $x \leqslant – 1,x \geqslant 5$

D. $x\left\langle { – 1,x} \right\rangle 5$

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 6 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.$

Khi đó: $lo{g_4}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right) $
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}\left( {x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {2x + 6} \right) > lo{g_2}{(x – 1)^2} $
$\Leftrightarrow 2x + 6 > {(x – 1)^2} \Leftrightarrow 2x + 6 > {x^2} – 2x + 1 $
$\Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 < 0$
$\Leftrightarrow – 1 < x < 5$

Câu 40. Bất phương trình $lo{g_4}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên

A. 3 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện xác định của bất phương trình là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 7 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 7} \\
{x > – 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > – 1} \right.} \right.$

Ta có $lo{g_4}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right) $
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}\left( {x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 7} \right) > lo{g_2}{(x + 1)^2}$

$ \Leftrightarrow {x^2} + x – 6 < 0 \Leftrightarrow – 3 < x < 2$

Kết hợp điều kiện ta được $ – 1 < x < 2$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên tìm được $x = 0,x = 1$.

Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình $2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant lo{g_2}\left( {5 – x} \right) + 1$ là

A. $\left[ {3;5} \right]$

B. $\left( {1;3} \right]$

C. $\left[ {1;3} \right]$.

D. $\left( {1;5} \right)$

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $1 < x < 5$.

Ta có $2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) \leqslant lo{g_2}\left( {5 – x} \right) + 1 $
$\Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} \leqslant lo{g_2}\left[ {2\left( {5 – x} \right)} \right] $
$\Leftrightarrow {(x – 1)^2} \leqslant 10 – 2x$.
$ \Leftrightarrow {x^2} – 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 3 \leqslant x \leqslant 3$.
Vậy tập nghiệm của bpt là $S = \left( {1;3} \right]$.

Câu 42. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)$.

A. $S = \left[ { – \frac{3}{8};3} \right]$

B. $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right]$.

C. $S = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)$.

D. $S = \left[ {3; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn B.

$2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)\left( * \right)$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4x – 3 > 0} \\
{18x + 27 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}} \right.$.

Với điều kiện trên, $\left( * \right) \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} \leqslant lo{g_3}\left( {18x + 27} \right)$

$ \Leftrightarrow {(4x – 3)^2} \leqslant 18x + 27$

$ \Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$

Kết hợp điều kiện ta được $S = \left( {\frac{3}{4};3} \right]$.

Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $2lo{g_2}\sqrt {x + 1} \leqslant 2 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$ bằng

A. 12

B. 9

C. 5

D. 3

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x > 2}
\end{array} \Leftrightarrow x > 2} \right.} \right.$

$2lo{g_2}\sqrt {x + 1} \leqslant 2 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) $
$\Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) \leqslant lo{g_2}\frac{4}{{\left( {x – 2} \right)}} $
$\Leftrightarrow x + 1 \leqslant \frac{4}{{\left( {x – 2} \right)}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – x – 2 – 4}}{{x – 2}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – x – 6}}{{x – 2}} \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 2\left] \cup \right[2;3} \right]$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x \in \left( {2;3} \right]$.

Nghiệm nguyên là: $x = 3$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là 3

Câu 44. Giải bất phương trình $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{9}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2$.

A. $x > \frac{3}{4}$.

B. $ – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$.

C. $\frac{3}{4} < x \leqslant 3$.

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $x > \frac{3}{4}$.

Ta có: $2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{\frac{1}{9}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2 \Leftrightarrow 2lo{g_3}\left( {4x – 3} \right) + lo{g_{{3^{ – 2}}}}{(2x + 3)^2} \leqslant 2$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}{(4x – 3)^2} – lo{g_3}\left( {2x + 3} \right) \leqslant 2 $
$\Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 2 $
$\Leftrightarrow \frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 9$

Do $x > \frac{3}{4} \Rightarrow 2x + 3 > 0$ nên $\frac{{{{(4x – 3)}^2}}}{{2x + 3}} \leqslant 9 $
$\Leftrightarrow 16{x^2} – 24x + 9 \leqslant 9\left( {2x + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow 16{x^2} – 42x – 18 \leqslant 0 \Leftrightarrow 8{x^2} – 21x – 9 \leqslant 0 $
$\Leftrightarrow – \frac{3}{8} \leqslant x \leqslant 3$.

Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{3}{4} < x \leqslant 3$.

Câu 45. Bất phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\sqrt[3]{3}}}\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3$ có tập nghiệm là

A. $\left( {1;2} \right]$.

B. $\left[ {1;2} \right]$.

C. $\left[ { – \frac{1}{2};2} \right]$.

D. $\left( { – \frac{1}{2};2} \right]$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{2x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x > \frac{1}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.
Ta có

$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\sqrt[3]{3}}}\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow lo{g_3}{(x – 1)^3} + lo{g_3}{(2x – 1)^3} \leqslant lo{g_3}27$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {{{(x – 1)}^3} \cdot {{(2x – 1)}^3}} \right] \leqslant lo{g_3}27 \Leftrightarrow {[\left( {x – 1} \right)\left( {2x – 1} \right)]^3} \leqslant 27$

$ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {2x – 1} \right) \leqslant 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 2$.

Kết hợp điều kiện thì $S = \left( {1;2} \right]$.

Câu 46. Nghiệm của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 1} \right) – 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right) < 1 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$ là:

A. $2 < x < 3$.

B. $ – 4 < x < 3$.

C. $1 < x < 2$.

D. $2 < x < 5$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 1 > 0} \\
{5 – x > 0} \\
{x – 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > – 1} \\
{x < 5} \\
{x > 2}
\end{array} \Leftrightarrow 2 < x < 5} \right.} \right.$.

$lo{g_2}\left( {x + 1} \right) – 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right) < 1 – lo{g_2}\left( {x – 2} \right) $
$\Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) < 1 + 2lo{g_2}\left( {5 – x} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) < lo{g_2}2{(5 – x)^2} $
$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) < 2{(5 – x)^2} $
$\Leftrightarrow {x^2} – 19x + 52 > 0$

$ \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ;\frac{{19 – \sqrt {53} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{19 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right)$.

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $2 < x < 5$.

Câu 47. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant 6lo{g_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x – 5} $.

A. $\left[ { – 2;\frac{5}{3}} \right]$.

B. $\left[ { – 2;\frac{5}{3}} \right]$.

C. $\left( {\frac{5}{3};2} \right]$.

D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 5 > 0} \\
{x + 2 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{5}{3}} \\
{x > – 2}
\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}} \right.} \right.$.

Ta có

$\begin{array}{*{20}{r}}
{lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant 6lo{g_{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x – 5} }&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x + 2} \right) – 2 \geqslant – lo{g_2}\left( {3x – 5} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {3x – 5} \right)} \right] \geqslant 2} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3x – 5} \right) \geqslant {2^2}} \\
{}&{\; \Leftrightarrow 3{x^2} + x – 14 \geqslant 0} \\
{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – \frac{7}{3}} \\
{x \geqslant 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}$

So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là $S = \left[ {2, + \infty } \right)$.

Câu 48. Biết $x = \frac{{15}}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình $2lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)\left( * \right)$. Tập nghiêm T của bất phương trình $\left( * \right)$ là

A. $T = \left( { – \infty ;\frac{{19}}{2}} \right)$

B. $t = \left( {2;19} \right)$

C. $t = \left( {2;8} \right)$

D. $t = \left( {1;\frac{{17}}{2}} \right)$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $2lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_{\sqrt a }}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$
$\Leftrightarrow lo{g_a}\left( {23x – 23} \right) > lo{g_a}\left( {{x^2} + 2x + 15} \right)$
$x = \frac{{15}}{2}$ là một nghiệm của bất phương trình nên $lo{g_a}\frac{{299}}{2} > lo{g_a}\frac{{345}}{4}$.

Do đó $a > 1$ Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow 23x – 23 > {x^2} + 2x + 15 \Leftrightarrow {x^2} – 21x + 38 < 0 \Leftrightarrow 2 < x < 19$

Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{log\left( {{x^2} – 9} \right)}}{{log\left( {3 – x} \right)}} \leqslant 1$ là:

A. $\left( { – 4; – 3} \right)$.

B. $\left[ { – 4; – 3} \right)$.

C. $\left( {3;4} \right]$.

D. $\phi $.

Lời giải

Chọn B.

Với $x < – 3$ suy ra $log\left( {3 – x} \right) > 0$ nên bất phương trình đã cho tương đương với

$log\left( {{x^2} – 9} \right) \leqslant log\left( {3 – x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x – 12 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 4;3} \right]$

Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ { – 4; – 3} \right)$

Câu 50. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\frac{{log\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{log\left( {1 – x} \right)}} \leqslant 1$.

A. $S = \left( { – 2; – 1} \right)$

B. $S = \left[ { – 2; – 1} \right)$

C. $S = \left[ { – 2;1} \right)$.

D. $S = \left[ { – 2; – 1} \right]$.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left\langle { – 1;x} \right\rangle 1} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow x < – 1} \right.$.

$\frac{{log\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{log\left( {1 – x} \right)}} \leqslant 1 \Leftrightarrow lo{g_{\left( {1 – x} \right)}}\left( {{x^2} – 1} \right) \leqslant 1$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – x > 1} \\
{{x^2} + x – 2 \leqslant 0} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 < 1} \\
{{x^2} – x – 2 \geqslant 0}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{ – 2 \leqslant x \leqslant 1} \\
{0 < x < 1} \\
{x \leqslant – 1;x \geqslant 2}
\end{array} \Leftrightarrow – 2 \leqslant x < 0} \right.} \right.$.

Kết hợp với điều kiện ta có $S = \left[ { – 2; – 1} \right)$.