50 Câu Trắc Nghiệm Rút Gọn Biểu Thức Lôgarit Giải Chi Tiết

50 câu trắc nghiệm rút gọn biểu thức lôgarit giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho hai số dương $a,b\left( {a \ne 1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây SAI?

A. ${log_a}a = 2a$. .

B. ${log_a}{a^\alpha } = \alpha $.

C. ${log_a}1 = 0$.

D. ${a^{{log_a}b}} = b$.

Lời giải

Chọn A.

${log_a}a = 1 \ne 2a$

Câu 2. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $log\left( {ab} \right) = loga \cdot logb$.

B. $log\frac{a}{b} = logb – loga$. .

C. $log\frac{a}{b} = \frac{{loga}}{{logb}}$.

D. $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.

Lời giải

Chọn D.

Với các số thực dương $a,b$ bất kì ta có:

+) $log\frac{a}{b} = loga – logb$ nên $B,C$ sai.

$ + )log\left( {ab} \right) = loga + logb$ nên $A$ sai, $D$ đúng.

Câu 3. Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${log_a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{log_a}x}}$.

B. ${log_a}\left( {xy} \right) = {log_a}x + {log_a}y$.

C. ${log_b}a \cdot {log_a}x = {log_b}x$.

D. ${log_a}\frac{x}{y} = {log_a}x – {log_a}y$.

Lời giải

Chọn A.

Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ và $a,b \ne 1$.

Ta có: ${log_a}\frac{1}{x} = {log_a}{x^{ – 1}} \ne \frac{1}{{{log_a}x}}$.

Vậy $A$ sai.

Theo các tính chất logarit thì các phương án $B,C$ và $D$ đều đúng.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

B. ${log_a}b = \frac{1}{{{log_b}a}}$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

C. ${log_a}b + {log_a}c = {log_a}bc$ với mọi số $a,b$ dương và $a \ne 1$.

D. ${log_a}b = \frac{{{log_c}a}}{{{log_c}b}}$ với mọi số $a,b,c$ dương và $a \ne 1$.

Lời giải

Chọn A.

Câu 5. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $log\left( {ab} \right) = loga \cdot logb$.

B. $log\frac{a}{b} = \frac{{loga}}{{logb}}$.

C. $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.

D. $log\frac{a}{b} = logb – loga$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có $log\left( {ab} \right) = loga + logb$.

Câu 6. Cho $a,b,c$ là các số dương $\left( {a,b \ne 1} \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. ${log_a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) = \frac{1}{3}{log_a}b$

B. ${a^{{log_b}a}} = b$.

C. ${log_{{a^\alpha }}}b = \alpha {log_a}b\left( {\alpha \ne 0} \right)$.

D. ${log_a}c = {log_b}c \cdot {log_a}b$.

Lời giải

Chọn D.

Câu 7. Cho $a,b,c > 0,a \ne 1$ và số $\alpha \in \mathbb{R}$, mệnh đề nào dưới đây sai?

A. ${log_a}{a^c} = c$

B. ${log_a}a = 1$

C. ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$

D. ${log_a}\left| {b – c} \right| = {log_a}b – {log_a}c$

Lời giải

Chọn D.

Theo tính chất của logarit, mệnh đề sai là ${log_a}\left| {b – c} \right| = {log_a}b – {log_a}c$.

Câu 8. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý và $b \ne 1$.Tìm kết luận đúng.

A. $lna + lnb = ln\left( {a + b} \right)$.

B. $ln\left( {a + b} \right) = lna \cdot lnb$.

C. $lna – lnb = ln\left( {a – b} \right)$.

D. ${log_b}a = \frac{{lna}}{{lnb}}$.

Lời giải

Chọn D.

Theo tính chất làm Mũ-Log.

Câu 9. Với các số thực dương $a,b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $ln\left( {ab} \right) = lna + lnb$

B. $ln\left( {\frac{a}{b}} \right) = \frac{{lna}}{{lnb}}$

C. $ln\left( {ab} \right) = lna \cdot lnb$

D. $ln\left( {\frac{a}{b}} \right) = lnb – lna$

Lời giải

Chọn A.

Câu 10. Với các số thực dương $a$, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{log_2}a + {log_2}b$.

B. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{log_2}a + {log_2}b$.

C. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{log_2}a – {log_2}b$.

D. ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{log_2}a – {log_2}b$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${log_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = {log_2}\left( {2{a^3}} \right) – {log_2}\left( b \right) = {log_2}2 + {log_2}{a^3} – {log_2}b = 1 + 3{log_2}a – logb$.

Câu 11. Cho hai số thực $a$ và $b$, với $1 < a < b$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. ${log_b}a < 1 < {log_a}b$

B. $1 < {log_a}b < {log_b}a$

C. ${log_b}a < {log_a}b < 1$

D. ${log_a}b < 1 < {log_b}a$

Lời giải

Chọn A.

Cách 1- Tự luận: Vì $b > a > 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{log_a}b > {log_a}a} \\
{{log_b}b > {log_b}a}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{log_a}b > 1} \\
{1 > {log_b}a}
\end{array} \Rightarrow {log_b}a < 1 < {log_a}b} \right.} \right.$

Cách 2- Casio: Chọn $a = 2;b = 3 \Rightarrow {log_3}2 < 1 < {log_2}3 \Rightarrow $ Đáp án D.

Câu 12. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $4log\sqrt a $ bằng

A. $ – 2loga$.

B. $2loga$.

C. $ – 4loga$.

D. $8loga$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $4log\sqrt a = 4log{a^{\frac{1}{2}}} = 4 \cdot \frac{1}{2}loga = 2loga$.

Câu 13. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $log\left( {100a} \right)$ bằng

A. $1 – loga$.

B. $2 + loga$.

C. $2 – loga$.

D. $1 + loga$.

Lời giải

Chọn B.

$log\left( {100a} \right) = log\left( {100} \right) + loga = 2 + loga$

Câu 14. Với mọi số thực $a$ dương, ${log_2}\frac{a}{2}$ bằng

A. $\frac{1}{2}{log_2}a$.

B. ${log_2}a + 1$.

C. ${log_2}a – 1$.

D. ${log_2}a – 2$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có ${log_2}\frac{a}{2} = {log_2}a – {log_2}2 = {log_2}a – 1$.

Câu 15. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[4]{a}$ bằng

A. 4 .

B. $\frac{1}{4}$.

C. $ – \frac{1}{4}$.

D. -4 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ${log_a}\sqrt[4]{a} = {log_a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}$.

Câu 16. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng

A. -3 .

B. $\frac{1}{3}$.

C. $ – \frac{1}{3}$.

D. 3 .

Lời giải

Chọn B.

${log_a}\sqrt[3]{a} = {log_a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.

Câu 17. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_5}{a^3}$ bằng

A. $\frac{1}{3}{log_5}a$.

B. $\frac{1}{3} + {log_5}a$.

C. $3 + {log_5}a$.

D. $3{log_5}a$.

Lời giải

Chọn D.

${log_5}{a^3} = 3{log_5}a$

Câu 18. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_2}{a^{2023}}$ bằng:

A. $2023 + {log_2}a$.

B. $\frac{1}{{2023}} + {log_2}a$.

C. $2023{log_2}a$.

D. $\frac{1}{{2023}}{log_2}a$.

Lời giải

Chọn C.

Với $a > 0;b > 0;a \ne 1$. Với mọi $\alpha $.

Ta có công thức: ${log_a}{b^\alpha } = \alpha {log_a}b$.

Vậy: ${log_2}{a^{2023}} = 2023{log_2}a$.

Câu 19. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1,{log_{{a^5}}}b$ bằng:

A. $5{log_a}b$.

B. $\frac{1}{5} + {log_a}b$.

C. $5 + {log_a}b$.

D. $\frac{1}{5}{log_a}b$.

Lời giải

Chọn D.

${log_{{a^5}}}b = \frac{1}{5}{log_a}b$

Câu 20. Cho $a$ là số thực dương $a \ne 1$ và ${log_{\sqrt[3]{a}}}{a^3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = 3$

C. $P = 1$

D. $P = 9$

Lời giải

Chọn D.

${log_{\sqrt[3]{a}}}{a^3} = {log_{{a^{\frac{1}{3}}}}}{a^3} = 9$.

Câu 21. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_3}\left( {\frac{3}{a}} \right)$ bằng:

A. $1 – {log_3}a$

B. $3 – {log_3}a$

C. $\frac{1}{{{log_3}a}}$

D. $1 + {log_3}a$

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${log_3}\left( {\frac{3}{a}} \right) = {log_3}3 – {log_3}a = 1 – {log_3}a$.

Câu 22. Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${log_5}\left( {5a} \right)$ bằng

A. $5 + {log_5}a$.

B. $5 – {log_5}a$.

C. $1 + {log_5}a$.

D. $1 – {log_5}a$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: ${log_5}\left( {5a} \right) = {log_5}5 + {log_5}a = 1 + {log_5}a$.

Câu 23. Với $a,b$ là hai số dương tùy ý, $log\left( {a{b^2}} \right)$ bằng

A. $2\left( {loga + logb} \right)$

B. $loga + \frac{1}{2}logb$

C. $2loga + logb$

D. $loga + 2logb$

Lời giải

Chọn D.

Có $log\left( {a{b^2}} \right) = loga + log{b^2} = loga + 2logb$.

Câu 24. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $ln\left( {7a} \right) – ln\left( {3a} \right)$ bằng

A. $\frac{{ln7}}{{ln3}}$

B. $ln\frac{7}{3}$

C. $ln\left( {4a} \right)$

D. $\frac{{ln\left( {7a} \right)}}{{ln\left( {3a} \right)}}$

Lời giải

Chọn B.

$ln\left( {7a} \right) – ln\left( {3a} \right) = ln\left( {\frac{{7a}}{{3a}}} \right) = ln\frac{7}{3}$.

Câu 25. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $ln\left( {5a} \right) – ln\left( {3a} \right)$ bằng:

A. $ln\frac{5}{3}$

B. $\frac{{ln5}}{{ln3}}$

C. $\frac{{ln\left( {5a} \right)}}{{ln\left( {3a} \right)}}$

D. $ln\left( {2a} \right)$

Lời giải

Chọn A.

$ln\left( {5a} \right) – ln\left( {3a} \right) = ln\frac{5}{3}$.

Câu 26. Cho a là số thực dương khác 2 . Tính $I = {log_{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right)$.

A. $I = 2$

B. $I = – \frac{1}{2}$

C. $I = – 2$

D. $I = \frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn A. $I = {log_{\frac{a}{2}}}\left( {\frac{{{a^2}}}{4}} \right) = {log_{\frac{a}{2}}}{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = 2$

Câu 27. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1,{log_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^3}}}$ bằng

A. $3{log_a}b$.

B. ${log_a}b$.

C. $ – 3{log_a}b$.

D. $\frac{1}{3}{log_a}b$.

Lời giải

Chọn A.

${log_{\frac{1}{a}}}\frac{1}{{{b^3}}} = – {log_a}{b^{ – 3}} = 3{log_a}b$

Câu 28. Với mọi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}a – 3{log_2}b = 2$, khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a = 4{b^3}$.

B. $a = 3b + 4$.

C. $a = 3b + 2$.

D. $a = \frac{4}{{{b^3}}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${log_2}a – 3{log_2}b = 2 \Leftrightarrow {log_2}a – {log_2}{b^3} = 2 \Leftrightarrow {log_2}\frac{a}{{{b^3}}} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{{{b^3}}} = {2^2} \Leftrightarrow a = 4{b^3}$.

Câu 29. Với mọi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 6$, khẳng định nào dưới đây đúng:

A. ${a^3}b = 64$

B. ${a^3}b = 36$

C. ${a^3} + b = 64$.

D. ${a^3} + b = 36$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 6 \Leftrightarrow {a^3}b = {2^6} \Leftrightarrow {a^3}b = 64$

Câu 30. Với moi $a,b$ thỏa mãn ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 8$, khẳng đinh nào dưới đây đúng?

A. ${a^3} + b = 64$.

B. ${a^3}b = 256$.

C. ${a^3}b = 64$.

D. ${a^3} + b = 256$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có ${log_2}{a^3} + {log_2}b = 8 \Leftrightarrow {log_2}{a^3}b = 8 \Leftrightarrow {a^3}b = 256$.

Câu 31. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${log_3}a – 2{log_9}b = 2$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 9{b^2}$.

B. $a = 9b$.

C. $a = 6b$.

D. $a = 9{b^2}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ${log_3}a – 2{log_9}b = 2 \Leftrightarrow {log_3}a – {log_3}b = 2 \Leftrightarrow {log_3}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 2 \Leftrightarrow a = 9b$.

Câu 32. Với $a$, blà các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${log_2}a – 2{log_4}b = 4$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16{b^2}$.

B. $a = 8b$.

C. $a = 16b$.

D. $a = 16{b^4}$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có ${log_2}a – 2{log_4}b = 4$

$ \Leftrightarrow {log_2}a – 2{log_{{2^2}}}b = 4$

$ \Leftrightarrow {log_2}a – 2 \cdot \frac{1}{2}{log_2}b = 4$

$ \Leftrightarrow {log_2}a – {log_2}b = 4$

$ \Leftrightarrow {log_2}\frac{a}{b} = 4$

$ \Leftrightarrow \frac{a}{b} = {2^4}$

$ \Leftrightarrow a = 16b$

Câu 33. Xét tất cả các số dương $a$ và $b$ thỏa mãn ${log_2}a = {log_8}\left( {ab} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = {b^2}$.

B. ${a^3} = b$.

C. $a = b$.

D. ${a^2} = b$.

Lời giải

Chọn D.

Theo đề ta có:

$\begin{array}{*{20}{r}}
{{log_2}a = {log_8}\left( {ab} \right)}&{\; \Leftrightarrow {log_2}a = \frac{1}{3}{log_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow 3{log_2}a = {log_2}\left( {ab} \right)} \\
{}&{\; \Leftrightarrow {log_2}{a^3} = {log_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow {a^3} = ab \Leftrightarrow {a^2} = b}
\end{array}$

Câu 34. Xét số thực $a$ và $b$ thỏa mãn ${log_3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {log_9}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $a + 2b = 2$.

B. $4a + 2b = 1$.

C. $4ab = 1$.

D. $2a + 4b = 1$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

${log_3}\left( {{3^a}{{.9}^b}} \right) = {log_9}3 \Leftrightarrow {log_3}\left( {{3^a} \cdot {3^{2b}}} \right) = {log_{{3^2}}}3$

$ \Leftrightarrow {log_3}{3^{a + 2b}} = {log_3}{3^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a + 4b = 1.$

Câu 35. Với mọi $a,b,x$ là các số thực dương thoả mãn ${log_2}x = 5{log_2}a + 3{log_2}b$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $x = 5a + 3b$

B. $x = {a^5} + {b^3}$

C. $x = {a^5}{b^3}$

D. $x = 3a + 5b$

Lời giải

Chọn C.

Có ${log_2}x = 5{log_2}a + 3{log_2}b = {log_2}{a^5} + {log_2}{b^3} = {log_2}{a^5}{b^3} \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3}$.

Câu 36. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1 , đặt $P = {log_a}{b^3} + {log_{{a^2}}}\,{b^6}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = 6{log_a}b$

B. $P = 27{log_a}b$

C. $P = 15{log_a}b$

D. $P = 9{log_a}b$

Lời giải

Chọn A.

$P = {log_a}{b^3} + {log_{{a^2}}}\,{b^6} = 3{log_a}b + \frac{6}{2}{log_a}b = 6{log_a}b$

Câu 37. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $log\left( {3a} \right) = \frac{1}{3}loga$

B. $log\left( {3a} \right) = 3loga$

C. $log{a^3} = \frac{1}{3}loga$

D. $log{a^3} = 3loga$

Lời giải

Chọn D.

Câu 38. Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý; ${log_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{3}{log_2}a + \frac{1}{4}{log_2}b$

B. $3{log_2}a + 4{log_2}b$

C. $2\left( {{log_2}a + {log_4}b} \right)$

D. $4{log_2}a + 3{log_2}b$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ${log_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right) = {log_2}{a^3} + {log_2}{b^4} = 3{log_2}a + 4{log_2}b$ nên ${\mathbf{B}}$ đúng.

Câu 39. Cho các số dương $a,b,c,d$. Biểu thức $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a}$ bằng

A. 1 .

B. 0 .

C. $ln\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}} \right)$.

D. $ln\left( {abcd} \right)$.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Ta có $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a} = ln\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}} \right) = ln1 = 0$.

Cách 2:

Ta có: $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a} = lna – lnb + lnb – lnc + lnc – lnd + lnd – lna = 0$.

Câu 40. Với các số thực dương $a,b$ bất kỳ $a \ne 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – 2{log_a}b$.

B. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – \frac{1}{2}{log_a}b$.

C. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – \frac{1}{2}{log_a}b$.

D. ${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – 2{log_a}b$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

${log_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = {log_a}\sqrt[3]{a} – {log_a}{b^2}$

$ = {log_a}{a^{\frac{1}{3}}} – 2{log_a}b$

$ = \frac{1}{3}{log_a}a – 2{log_a}b = \frac{1}{3} – 2{log_a}b$

Câu 41. Cho các số thực dương $a,b,c$ với $a$ và $b$ khác 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = {log_a}c$.

B. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = \frac{1}{4}{log_a}c$.

C. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 4{log_a}c$.

D. ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 2{log_a}c$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: ${log_a}{b^2} \cdot {log_{\sqrt b }}c = 2{log_a}b \cdot {log_{{b^{\frac{1}{2}}}}}c = 2{log_a}b \cdot 2{log_b}c = 4{log_a}b \cdot {log_b}c = 4{log_a}c$.

Câu 42. Giả sử $a,b$ là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $log{(10ab)^2} = 2 + log{(ab)^2}$

B. $log{(10ab)^2} = {(1 + loga + logb)^2}$

C. $log{(10ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right)$

D. $log{(10ab)^2} = 2\left( {1 + loga + logb} \right)$

Lời giải

Chọn B.

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + log{(ab)^2} \Rightarrow A$ đúng

$1 + loga + logb = log\left( {10ab} \right) \Rightarrow {(1 + loga + logb)^2} = {log^2}\left( {10ab} \right) \ne log{(10ab)^2} \Rightarrow B$ sai

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right) \Rightarrow C$ đúng

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right) = 2\left( {1 + loga + logb} \right) \Rightarrow D$ đúng

Câu 43. Rút gọn biểu thức $M = 3{log_{\sqrt 3 }}\sqrt x – 6{log_9}\left( {3x} \right) + {log_{\frac{1}{3}}}\frac{x}{9}$.

A. $M = – {log_3}\left( {3x} \right)$

B. $M = 2 + {log_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$

C. $M = – {log_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$

D. $M = 1 + {log_3}x$

Lời giải

Chọn A.

ĐK: $x > 0$.

$M = 3{log_3}x – 3\left( {1 + {log_3}x} \right) – {log_3}x + 2 = – 1 – {log_3}x = – \left( {1 + {log_3}x} \right) = – {log_3}\left( {3x} \right)$.

Câu 44. Cho ${log_{700}}490 = a + \frac{b}{{c + log7}}$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính tổng $T = a + b + c$.

A. $T = 7$.

B. $T = 3$.

C. $T = 2$.

D. $T = 1$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: ${log_{700}}490 = \frac{{log490}}{{log700}} = \frac{{log10 + log49}}{{log100 + log7}}$

$ = \frac{{1 + 2log7}}{{2 + log7}} = \frac{{4 + 2log7 – 3}}{{2 + log7}} = 2 + \frac{{ – 3}}{{2 + log7}}$

Suy ra $a = 2,b = – 3,c = 2$

Vậy $T = 1$.

Câu 45. Cho hai số thực dương $a,b$. Nếu viết ${log_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = 1 + x{log_2}a + y{log_4}b\,\left( {x,y \in \mathbb{Q}} \right)$ thì biểu thức $P = xy$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{2}{3}$

C. $P = – \frac{1}{{12}}$

D. $P = \frac{1}{{12}}$

Lời giải

Chọn B.

Ta có ${log_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = {log_2}{64^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{2}{log_2}a + \frac{1}{3}{log_2}b – {log_2}a – {log_2}b = 1 – \frac{1}{2}{log_2}a – \frac{4}{3}{log_4}b$.

$ \Rightarrow 1 – \frac{1}{2}{log_2}a – \frac{4}{3}{log_4}b = 1 + x{log_2}a + y{log_4}b$

Khi đó $x = – \frac{1}{2};y = – \frac{4}{3} \Rightarrow P = xy = \frac{2}{3}$

Câu 46. Tính giá trị biểu thức $P = {log_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {log_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {log_{\sqrt[3]{b}}}\left( {{b^{ – 2}}} \right)($ với $0 < a \ne 1;0 < b \ne 1)$.

A. $\sqrt 3 $.

B. 1 .

C. $\sqrt 2 $.

D. 2 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $P = {log_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + {log_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + {log_{\sqrt[3]{b}}}\left( {{b^{ – 2}}} \right) = 5 + {log_a}b + 2 – {log_a}b – 6 = 1$.

Câu 47. Đặt $M = {log_6}56,N = a + \frac{{{log_3}7 – b}}{{{log_3}2 + c}}$ với $a,b,c \in R$. Bộ số $a,b,c$ nào dưới đây để có $M = N$ ?

A. $a = 3,b = 3,c = 1$.

B. $a = 3,b = \sqrt 2 ,c = 1$.

C. $a = 1,b = 2,c = 3$.

D. $a = 1,b = – 3,c = 2$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $M = {log_6}56 = \frac{{{log_3}56}}{{{log_3}6}} = \frac{{{log_3}{2^3} \cdot 7}}{{1 + {log_3}2}} = \frac{{3{log_3}2 + {log_3}7}}{{1 + {log_3}2}}$

$ = \frac{{3\left( {1 + {log_3}2} \right) + {log_3}7 – 3}}{{1 + {log_3}2}} = 3 + \frac{{{log_3}7 – 3}}{{{log_3}2 + 1}}$

Vậy $M = N \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 3} \\
{b = 3} \\
{c = 1}
\end{array}} \right.$

Câu 48. Giá trị của biểu thức $M = {log_2}2 + {log_2}4 + {log_2}8 + \ldots + {log_2}256$ bằng

A. 48

B. 56

C. 36

D. $8{log_2}256$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $M = {log_2}2 + {log_2}4 + {log_2}8 + \ldots + {log_2}256 = {log_2}\left( {2.4.8 \ldots 256} \right) = {log_2}\left( {{2^1} \cdot {2^2} \cdot {2^3} \ldots {{.2}^8}} \right)$

$ = {log_2}\left( {{2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 8}}} \right) = \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 8} \right){log_2}2 = 1 + 2 + 3 + \ldots + 8 = 36$.

Câu 49. Tính $T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{2022}}{{2023}} + log\frac{{2023}}{{2024}}$.

A. 2024 .

B. $ – log2024$.

C. $log2024$.

D. 0 .

Lời giải

Chọn B.

$T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{2022}}{{2023}} + log\frac{{2023}}{{2024}}$

$ = log\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{{2022}}{{2023}} \cdot \frac{{2023}}{{2024}}} \right) = log\frac{1}{{2024}} = – log2024$.

Câu 50. Tính giá trị của biểu thức $P = ln\left( {tan{1^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{2^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{3^ \circ }} \right) + \ldots + ln\left( {tan{{89}^ \circ }} \right)$.

A. $P = 1$.

B. $P = \frac{1}{2}$.

C. $P = 0$.

D. $P = 2$.

Lời giải

Chọn C.

$P = ln\left( {tan{1^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{2^ \circ }} \right) + ln\left( {tan{3^ \circ }} \right) + \ldots + ln\left( {tan{{89}^ \circ }} \right)$

$ = ln\left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{2^ \circ } \cdot tan{3^ \circ } \ldots \cdot tan{{89}^ \circ }} \right)$

$\; = ln\left( {tan{1^ \circ } \cdot tan{2^ \circ } \cdot tan{3^ \circ } \ldots \cdot tan{{45}^ \circ } \cdot {\text{cot}}{{44}^ \circ } \cdot {\text{cot}}{{43}^ \circ } \ldots \cdot {\text{cot}}{1^ \circ }} \right)$

$\; = ln\left( {tan{{45}^ \circ }} \right) = ln1 = 0$ (vì $tan\alpha \cdot cot\alpha = 1$)