Các Dạng Toán Bài Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Giải Chi Tiết

Các dạng toán bài lũy thừa với mũ số thực giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 5 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Thực hiện phép tính (sử dụng biến đổi công thức lũy thừa)

Câu 1. Tính:

a) $\sqrt[3]{{ – 125}}$;

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}}$

Lời giải

a) $\sqrt[3]{{ – 125}} = \sqrt[3]{{{{( – 5)}^3}}} = – 5$.

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}} = \sqrt[4]{{\frac{1}{{{3^4}}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^4}}} = \frac{1}{3}$.

Câu 2. Tính:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}}$;

b) $\sqrt[5]{{ – 25\sqrt 5 }}$

Lời giải

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}} = \sqrt[3]{{\frac{5}{{625}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{125}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{{5^3}}}}} = \frac{1}{5}$.

b) $\sqrt[3]{{ – 25\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{ – {{(\sqrt 5 )}^4}\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{( – \sqrt 5 )}^5}}} = – \sqrt 5 $.

Câu 3. Tính:

a) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – 2}}$;

b) ${4^{\frac{3}{2}}}$;

c) ${\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$;

d) ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}}$.

Lời giải

a) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – 2}} = 25$

b) ${4^{\frac{3}{2}}} = 8$.

c) ${\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{{ – 2}}{3}}} = 4$

d) ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} = 8$.

Câu 4. Thực hiện phép tính:

a) ${27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}$;

b) ${4^{2 – 3\sqrt 7 }} \cdot {8^{2\sqrt 7 }}$.

Lời giải

a) ${27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ – 0,75}} – {25^{0,5}} = 9 + \frac{1}{{27}} – 5 = \frac{{109}}{{27}}$.

b) ${4^{2 – 3\sqrt 7 }} \cdot {8^{2\sqrt 7 }} = {2^{2\left( {2 – 3\sqrt 7 } \right)}} \cdot {2^{6\sqrt 7 }} = {2^{2\left( {2 – 3\sqrt 7 } \right) + 6\sqrt 7 }} = {2^4} = 16$.

Câu 5. Chứng minh rằng: $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2$.

Lời giải

$\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} – \sqrt {3 – 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} $ $ = \left| {\sqrt 3 + 1\left| – \right|\sqrt 3 – 1} \right| = \sqrt 3 + 1 – \left( {\sqrt 3 – 1} \right) = 2$.

Câu 6. (Tính toán biểu thức số) Thực hiện phép tính sau:

$A = {27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {36^{0,5}} + {(\sqrt 2 )^0}$

Lời giải

Ta tính lần lượt các luỹ thừa như sau:

${27^{\frac{2}{3}}} = {\left( {{3^3}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {3^2} = 9;\;{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} = {\left( {{2^{ – 4}}} \right)^{ – 0,75}} = {2^3} = 8$

${36^{0.5}} = {\left( {{6^2}} \right)^{0,5}} = 6;\;{(\sqrt 2 )^0} = 1$.

Do đó $A = 9 + 8 – 6 + 1 = 12$.

Câu 7. Tính:

a) $\sqrt[3]{{ – 27}}$;

b) ${25^{\frac{3}{2}}}$;

c) ${32^{ – \frac{2}{5}}}$;

d) ${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}}$.

Lời giải

a) $\sqrt[3]{{ – 27}} = \sqrt[3]{{{{( – 3)}^3}}} = – 3$

b) ${25^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = {5^3} = 125$.

c) ${32^{ – \frac{2}{5}}} = {\left( {{2^5}} \right)^{ – \frac{2}{5}}} = {2^{ – 2}} = \frac{1}{4}$

d) ${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{{3 \cdot 2}}{3}}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$.

Câu 8. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{{27}}$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{128}}}}{{\sqrt[3]{2}}}$

c) $\sqrt[5]{{3\sqrt[3]{9}}}$

d) $\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{{162}} – \sqrt[4]{{32}}$

e) ${(\sqrt[5]{3})^6} + \sqrt[4]{{\sqrt[5]{{81}}}}$

Lời giải

a) $\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{{27}} = \sqrt[5]{{{3^2}}} \cdot \sqrt[5]{{{3^3}}} = \sqrt[5]{{{3^2} \cdot {3^3}}} = \sqrt[5]{{{3^5}}} = 3$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{128}}}}{{\sqrt[3]{2}}} = \sqrt[3]{{\frac{{128}}{2}}} = \sqrt[3]{{64}} = \sqrt[3]{{{4^3}}} = 4$

c) $\sqrt[3]{{3\sqrt[3]{9}}} = \sqrt[3]{{\sqrt[3]{{{3^3} \cdot {3^2}}}}} = \sqrt[5]{{\sqrt[3]{{{3^5}}}}} = \sqrt[5]{5}\sqrt[3]{{{3^5}}} = \sqrt[3]{{{3^5}}} = \sqrt[3]{{\sqrt[5]{{{3^5}}}}} = \sqrt[3]{3}$

d) $\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{{162}} – \sqrt[4]{{32}} = \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{{{3^4} \cdot 2}} – \sqrt[4]{{{2^5}}} = \sqrt[4]{2} + 3\sqrt[4]{2} – 2\sqrt[4]{2} = 2\sqrt[4]{2}$

e) ${(\sqrt[5]{3})^6} + \sqrt[4]{{\sqrt[5]{{81}}}} = \sqrt[5]{{{3^6}}} + \sqrt[4]{{\sqrt[5]{{{3^4}}}}} = 3\sqrt[5]{3} + \sqrt[5]{3} = 4\sqrt[5]{3}$

Câu 9. Biết rằng ${4^x} = 5$. Tính giả trị của biểu thức $\frac{{{8^x} – {8^{ – x}}}}{{{2^x} – {2^{ – x}}}}$.

Lời giải

$\frac{{{8^x} – {8^{ – x}}}}{{{2^x} – {2^{ – x}}}} = \frac{{{2^{3x}} – {2^{ – 3x}}}}{{{2^x} – {2^{ – x}}}}$

$ = \frac{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)\left( {{2^{2 \cdot x}} + {2^x}{2^{ – x}} + {2^{ – 2x}}} \right)}}{{{2^x} – {2^{ – x}}}} = {2^{2x}} + {2^x}{2^{ – x}} + {2^{ – 2x}}$

$ = {4^x} + 1 + {4^{ – x}} = {4^x} + 1 + \frac{1}{{{4^x}}} = 5 + 1 + \frac{1}{5} = \frac{{31}}{5}$

Câu 10. Biết rằng ${5^x} = {10^y} = 2$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} – \frac{1}{y}$.

Lời giải

Ta có: ${5^x} = 2 \Rightarrow 5 = {2^{\frac{1}{x}}};{10^y} = 2 \Rightarrow 10 = {2^{\frac{1}{y}}}$.

Từ đó, ${2^{\frac{1}{x} – \frac{1}{y}}} = {2^{\frac{1}{x}}}:{2^{\frac{1}{y}}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = {2^{ – 1}} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{y} = – 1$.

Câu 11. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}} \right)^0}$

b) ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ – 2}}$;

c) ${\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{ – 4}}$

d) ${( – 55)^0}$;

e) ${2^{ – 8}} \cdot {2^5}$;

g) $\frac{{{3^4}}}{{{{\left( {{3^{ – 2}}} \right)}^{ – 3}}}}$

Lời giải

a) 1 ;

b) $\frac{{25}}{4}$;

c) 81 ;

d) 1 ;

e) $\frac{1}{8}$

g) $\frac{1}{9}$.

Câu 12. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{{0,001}}$;

b) $\sqrt[5]{{ – 32}}$;

c) $\sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}}$

d) $ – \sqrt[6]{{{{100}^3}}}$;

e) $\sqrt[4]{{{{(\sqrt 3 – 2)}^4}}}$;

g) $\sqrt[5]{{{{(2 – \sqrt 5 )}^5}}}$.

Lời giải

a) 0,1 ; b) -2 ;

c) $\frac{3}{2}$;

d) -10 ;e) $2 – \sqrt 3 $;

g) $2 – \sqrt 5 $.

Câu 13. Tính giả trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[4]{{125}} \cdot \sqrt[4]{5}$

b) $\frac{{\sqrt[4]{{243}}}}{{\sqrt[4]{3}}}$

c) $\frac{{\sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[3]{{24}}}}$

d) $\sqrt {\sqrt[3]{{64}}} $;

e) $\sqrt[4]{{3\sqrt[3]{3}}}$

g) ${( – \sqrt[6]{4})^3}$

Lời giải

a) $\sqrt[4]{{125}} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{{{5^3} \cdot 5}} = \sqrt[4]{{{5^4}}} = 5$;

b) $\frac{{\sqrt[4]{{243}}}}{{\sqrt[4]{3}}} = \sqrt[4]{{\frac{{243}}{3}}} = \sqrt[4]{{81}} = \sqrt[4]{{{3^4}}} = 3$;

c) $\frac{{\sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[3]{{24}}}} = \sqrt[3]{{\frac{3}{{24}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^3}}}}} = \frac{1}{2}$

d) $\sqrt {\sqrt[3]{{64}}} = \sqrt[{2 – 3}]{{{2^6}}} = \sqrt[6]{{{2^6}}} = 2$;

e) $\sqrt[4]{{3\sqrt[3]{3}}} = \sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{3^3} \cdot 3}}}} = \sqrt[3]{{\sqrt[4]{{{3^4}}}}} = \sqrt[3]{3}$

g) ${( – \sqrt[6]{4})^3} = – \sqrt[6]{{{4^3}}} = – \sqrt[6]{{{2^{2.3}}}} = – \sqrt[6]{{{2^6}}} = – 2$

Câu 14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{{135}} – 5\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{81}}}} + 3\sqrt[3]{3}$

c) $\sqrt[4]{{\sqrt[5]{{16}}}} + \sqrt[5]{{64}} + 2\sqrt[5]{2}$

d) ${(\sqrt[4]{5})^5} – \sqrt {\sqrt[4]{{25}}} $

Lời giải

a) $\sqrt[3]{{135}} – 5\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{{3^3} \cdot 5}} – 5\sqrt[3]{5} = 3\sqrt[3]{5} – 5\sqrt[3]{3} = – 2\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{81}}}} + 3\sqrt[3]{3} = \sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{3^4}}}}} + 3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{\sqrt[4]{{{3^4}}}}} + 3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}$

c) $\sqrt[4]{{\sqrt[5]{{16}}}} + \sqrt[5]{{64}} + 2\sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{{\sqrt[4]{{{2^4}}}}} + \sqrt[5]{{{2^6}}} + 2\sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2} = 5\sqrt[5]{2}$

d) ${(\sqrt[4]{5})^5} – \sqrt {\sqrt[4]{{25}}} = \sqrt[4]{{{5^5}}} – \sqrt[4]{{\sqrt {{5^2}} }} = 5\sqrt[4]{5} – \sqrt[4]{5} = 4\sqrt[4]{5}$.

Câu 15. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${8^{ – \frac{2}{3}}}$; b) ${32^{ – \frac{2}{5}}}$; c) ${81^{1,25}}$; d) ${1000^{ – \frac{5}{3}}}$ e) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ – \frac{1}{4}}}$g) ${\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$.

Lời giải

a) ${8^{ – \frac{2}{3}}} = {\left( {{2^3}} \right)^{ – \frac{2}{3}}} = {2^{ – 2}} = \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}$;

b) ${32^{ – \frac{2}{5}}} = {\left( {{2^5}} \right)^{ – \frac{2}{5}}} = {2^{ – 2}} = \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}$;

c) ${81^{1,25}} = {\left( {{3^4}} \right)^{\frac{5}{4}}} = {3^5} = 243$;

d) ${1000^{ – \frac{2}{3}}} = {\left( {{{10}^3}} \right)^{ – \frac{2}{3}}} = {10^{ – 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} = \frac{1}{{100}} = 0,01$;

e) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ – \frac{1}{4}}} = {\left( {\frac{{{2^4}}}{{{3^4}}}} \right)^{ – \frac{1}{4}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4\left( { – \frac{1}{4}} \right)}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – 1}} = \frac{3}{2}$

g) ${\left( {\frac{8}{{27}}} \right)^{ – \frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{{{2^3}}}{{{2^3}}}} \right)^{ – \frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – 2}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$.

Câu 16. Biết rằng ${5^{2x}} = 3$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{{{5^{3x}} + {5^{ – 3x}}}}{{{5^x} + {5^{ – x}}}}$.

Lời giải

$\frac{{{5^{3x}} + {5^{ – 3x}}}}{{{5^x} + {5^{ – x}}}} = \frac{{\left( {{5^x} + {5^{ – x}}} \right)\left( {{5^{2x}} – {5^x}{5^{ – x}} + {5^{ – 2x}}} \right)}}{{{5^x} + {5^{ – x}}}}$

$ = {5^{2x}} – 1 + {5^{ – 2x}} = 3 – 1 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Câu 17. Biết rằng ${3^\alpha } + {3^{ – \alpha }} = 3$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{\frac{{ – \alpha }}{2}}}$ b) ${3^{2\alpha }} + {3^{ – 2\alpha }}$.

Lời giải

a) ${\left( {{3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{ – \frac{\alpha }{2}}}} \right)^2} = {3^\alpha } + 2 \cdot {3^{\frac{\alpha }{2}}} \cdot {3^{ – \frac{\alpha }{2}}} + {3^{ – \alpha }}$

$ = {3^\alpha } + {3^{ – \alpha }} + 2 = 3 + 2 = 5$.

Suy ra ${3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{ – \frac{\alpha }{2}}} = \sqrt 5 $ (do $\left. {{3^{\frac{\alpha }{2}}} + {3^{ – \frac{\alpha }{2}}} > 0} \right)$.

b) ${3^{2\alpha }} + {3^{ – 2\alpha }} = {\left( {{3^\alpha } + {3^{ – \alpha }}} \right)^2} – 2 \cdot {3^\alpha } \cdot {3^{ – \alpha }} = {3^2} – 2 = 7$.

Câu 18. Biết rằng ${4^x} = {25^y} = 10$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Lời giải

${4^x} = 10 \Rightarrow {10^{\frac{1}{x}}} = 4;{25^y} = 10 \Rightarrow {10^{\frac{1}{y}}} = 25$.

Suy ra ${10^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}} = 4.25 = 100 = {10^2} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2$.

Câu 19. Tính:

a) ${\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$

b) $\left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right) \cdot {2^{ – 2\sqrt 3 }}$.

Lời giải

a) ${\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}} = {\left( {{4^{ – 4}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {{3^{ – 3}}} \right)^{ – \frac{4}{3}}} = {4^3} + {3^4} = 145$

b) $\left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right) \cdot {2^{ – 2\sqrt 3 }} = \left[ {{2^{2\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}} – {2^{2\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}} \cdot {2^{ – 2\sqrt 3 }}} \right.$

$ = \left( {{2^{6 + 2\sqrt 3 }} – {2^{2\sqrt 3 – 2}}} \right) \cdot {2^{ – 2\sqrt 3 }}$

$ = {2^{6 + 2\sqrt 3 – 2\sqrt 3 }} – {2^{2\sqrt 3 – 2 – 2\sqrt 3 }} = {2^6} – {2^{ – 2}} = \frac{{255}}{4}$.

Câu 20. Viết các biểu thức sau về luỹ thừa cơ số $a$, biết:

a) $A = \sqrt[7]{{3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}}}$ với $a = 3$

b) $B = \frac{{25\sqrt[3]{5}}}{{\sqrt {125} }}$ với $a = \sqrt 5 $.

Lời giải

a) $A = \sqrt[7]{{3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[7]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{ – 1}}}}}} = \sqrt[7]{{3 \cdot {3^{ – \frac{1}{3}}}}}$

$ = \sqrt[7]{{{3^{1 – \frac{1}{3}}}}} = \sqrt[7]{{{3^{\frac{2}{3}}}}} = {3^{\frac{2}{3}:7}} = {3^{\frac{2}{{21}}}}$.

b) $B = {a^{\frac{5}{3}}}$.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức (sử dụng biến đổi công thức lũy thừa)

Câu 21. Rút gọn biều thức: $A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}(x,y > 0)$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}} = xy$.

Câu 22. Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5 – 1}} \cdot {a^{3 – \sqrt 5 }}}}(a > 0)$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5 – 1}} \cdot {a^{3 – \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 1 + 3 – \sqrt 5 }}}} = \frac{a}{{{a^2}}} = \frac{1}{a}$.

Câu 23. Rút gọn các biểu thửc sau:

a) $A = \frac{{{x^5}{y^{ – 2}}}}{{{x^3}y}}\left( {x,y \ne 0} \right)$

b) $B = \frac{{{x^2}{y^{ – 3}}}}{{{{\left( {{x^{ – 1}}{y^4}} \right)}^{ – 3}}}}\left( {x,y \ne 0} \right)$.

Lời giải

a) $A = \frac{{{x^5}{y^{ – 2}}}}{{{x^3}y}} = \frac{{{x^{5 – 3}}}}{{{y^{1 + 2}}}} = \frac{{{x^2}}}{{{y^3}}}$.

b) $B = \frac{{{x^2}{y^{ – 3}}}}{{{{\left( {{x^{ – 1}}{y^4}} \right)}^{ – 3}}}} = \frac{{{x^2}{y^{ – 3}}}}{{{x^3}{y^{ – 12}}}} = {x^{2 – 3}}{y^{ – 3 + 12}} = {x^{ – 1}}{y^9} = \frac{{{y^9}}}{x}$.

Câu 24. Cho $x,y$ là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}}$

b) $B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}} \cdot \frac{{{x^{ – \sqrt 3 – 1}}}}{{{y^{ – 2}}}}$

Lời giải

a) $A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}}$

$ = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}} = {x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{{xy}}$

b) $B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}} \cdot \frac{{{x^{ – \sqrt 3 – 1}}}}{{{y^{ – 2}}}}$

$ = \frac{{{x^{\sqrt 3 – \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}{{{y^{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}} \cdot \frac{{{x^{ – \sqrt 3 – 1}}}}{{{y^{ – 2}}}}$

$ = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{y^2}}} \cdot \frac{{{x^{ – \sqrt 3 – 1}}}}{{{y^{ – 2}}}} = \frac{{{x^2}}}{{{y^0}}} = {x^2}$.

Câu 25. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}}$;

b) $6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}}$

Lời giải

a) $\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}} = \sqrt[5]{{{2^5} \cdot {{\left( {{x^3}} \right)}^5} \cdot {{\left( {{y^4}} \right)}^5}}} = 2{x^3}{y^4}$.

b) $6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}} = 18\sqrt[3]{{9{x^2} \cdot 24x}} = 18\sqrt[3]{{{6^3} \cdot {x^3}}} = 18 \cdot 6 \cdot x = 108x$

Câu 26. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt {12} – 3\sqrt {27} + 2\sqrt {48} $;

b) $8xy – \sqrt {25{x^2}{y^2}} + \sqrt[3]{{8{x^3}{y^3}}}(x > 0,y > 0)$.

Lời giải

a) $2\sqrt {12} – 3\sqrt {27} + 2\sqrt {48} = 2\sqrt {3 \cdot {2^2}} – 3\sqrt {3 \cdot {3^2}} + 2\sqrt {3 \cdot {4^2}} $

$ = 4\sqrt 3 – 9\sqrt 3 + 8\sqrt 3 = 3\sqrt 3 $.

b) $8xy – \sqrt {25{x^2}{y^2}} + \sqrt[3]{{8{x^3}{y^3}}} = 8xy – 5xy + 2xy = 5xy$.

Câu 27. Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left( {{a^{\sqrt 6 }}} \right)^{\sqrt {24} }}$;

b) ${a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}$;

c) ${a^{ – \sqrt 3 }}:{a^{{{(\sqrt 3 – 1)}^2}}}$;

d) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[{12}]{{{a^5}}}$

Lời giải

a) ${\left( {{a^{\sqrt 6 }}} \right)^{\sqrt {24} }} = {a^{\sqrt {6 \cdot 24} }} = {a^{12}}$.

b) ${a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}} = {a^{\sqrt 2 }} \cdot {a^{1 – \sqrt 2 }} = a$.

c) ${a^{ – \sqrt 3 }}:{a^{{{(\sqrt 3 – 1)}^2}}} = {a^{ – \sqrt 3 }}:{a^{4 – 2\sqrt 3 }} = {a^{ – 4 + \sqrt 3 }}$

d) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[{12}]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{{12}}}} = a$

Câu 28. Cho $a$ và $b$ là hai số dương, $a \ne b$. Rút gọn biểu thức sau:

$A = \left[ {\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$.

Lời giải

Vì $\frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{a – b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}$ nên

$B = \frac{{a – b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}$

$ = \frac{{a – b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} – \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{a – b – {a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}$

$ = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} – b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}$.

Ta có ${a^{\frac{1}{2}}} – {b^{\frac{1}{2}}} = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$ nên

$B = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right)$

Do đó $A = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \frac{1}{{{a^{\frac{1}{4}}} – {b^{\frac{1}{4}}}}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.

Câu 29. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{{{3^{\pi + 1}}}}{{{3^{\pi – 1}}}}$

b) ${\left( {{4^{\sqrt {27} }}} \right)^{ – \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$

c) ${3^{2 + 2\sqrt 3 }} \cdot {3^{2 – 2\sqrt 3 }}$

d) ${\left( {{a^{\sqrt 3 }}{b^{ – \frac{6}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}(a > 0,b > 0)$.

Lời giải

a) $\frac{{{3^{\pi + 1}}}}{{{3^{\pi – 1}}}} = {3^{\pi + 1 – \left( {\pi – 1} \right)}} = {3^2} = 9$

b) ${\left( {{4^{\sqrt {27} }}} \right)^{ – \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {\left( {{4^{3\sqrt 3 }}} \right)^{ – \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {4^{ – 3}} = \frac{1}{{{4^3}}} = \frac{1}{{64}}$;

c) ${3^{2 + 2\sqrt 3 }} \cdot {3^{2 – 2\sqrt 3 }} = {3^{2 + 2\sqrt 3 + 2 – 2\sqrt 3 }} = {3^4} = 81$;

d) ${\left( {{a^{\sqrt 3 }}{b^{ – \frac{6}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {a^{\sqrt 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{b^{ – \frac{6}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a{b^{ – 2}} = \frac{a}{{{b^2}}}$.

Câu 30. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${2^{\sqrt 3 + 1}}:{2^{\sqrt 3 – 1}}$

b) ${\left( {{3^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}$

c) ${\left[ {{{(\sqrt 7 )}^{\sqrt 2 }}} \right]^{\sqrt 8 }}$

d) ${a^{2\sqrt 5 + 1}}:{a^{2\sqrt 5 – 2}}$

e) ${3^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {3^{ – 1 + \sqrt 2 }} \cdot {9^{1 – \sqrt 2 }}$

g) ${\left( {{a^{ – \sqrt 3 }}{b^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$.

Lời giải

a) ${2^{\sqrt 3 + 1}}:{2^{\sqrt 3 – 1}} = {2^{\sqrt 3 + 1 – \left( {\sqrt 3 – 1} \right)}} = {2^2} = 4$;

b) ${\left( {{3^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = {3^{\sqrt 2 \cdot \sqrt 8 }} = {3^{\sqrt {16} }} = {3^4} = 81$;

c) ${\left[ {{{(\sqrt 7 )}^{\sqrt 2 }}} \right]^{\sqrt 8 }} = {\left( {{7^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\sqrt {16} }} = {7^{\frac{1}{2} \cdot 4}} = {7^2} = 49$;

d) ${a^{2\sqrt 5 + 1}}:{a^{2\sqrt 5 – 2}} = {a^{2\sqrt 5 + 1 – \left( {2\sqrt 5 – 2} \right)}} = {a^3}$;

e) ${3^{3 + \sqrt 2 }} \cdot {3^{ – 1 + \sqrt 2 }} \cdot {9^{1 – \sqrt 2 }} = {3^{3 + \sqrt 2 – 1 + \sqrt 2 }} \cdot {\left( {{3^2}} \right)^{1 – \sqrt 2 }}$

$ = {3^{2 + 2\sqrt 2 }} \cdot {3^{2 – 2\sqrt 2 }} = {3^4} = 81$;

g) ${\left( {{a^{ – \sqrt 3 }}{b^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}} \right)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {a^{ – \sqrt 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \cdot {b^{\frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = {a^{ – 1}}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{{\sqrt[3]{b}}}{a}$.

Câu 31. Cho $a > 0,b > 0$. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{ – \frac{1}{2}}}} \right)$

b) $\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} – {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)$.

Lời giải

a) $\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{ – \frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} – {b^{ – \frac{1}{2}}}} \right) = {\left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} – {\left( {{b^{ – \frac{1}{2}}}} \right)^2}$$ = {a^1} – {b^{ – 1}} = a – \frac{1}{b}$

b) $a + b$.

Câu 32. Cho $a,b$ là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

a) ${a^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt a $

b) ${b^{\frac{1}{2}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{b}$

c) ${a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}$

d) $\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}}$

Lời giải

a) ${a^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt a = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}}$.

b) ${b^{\frac{1}{2}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{b} = {b^{\frac{1}{2}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = b$.

c) ${a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{4}{3}}}:{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{4}{3} – \frac{1}{3}}} = a$

d) $\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{3}}}:{b^{\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{3}\frac{1}{6}}} = {b^{\frac{1}{6}}}$.

Câu 33. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\frac{{{a^{\frac{7}{3}}} – {a^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{4}{3}}} – {a^{\frac{1}{3}}}}}(a > 0,a \ne 1)$

b) $\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}(a > 0,b > 0)$.

Lời giải

a) $\frac{{{a^{\frac{7}{3}}} – {a^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{4}{3}}} – {a^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^2} – 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {a – 1} \right)}} = a + 1$

b) $\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }} = \sqrt[6]{{{{\left( {{a^2}b} \right)}^6}}} = {a^2}b$.

Câu 34. Cho $a > 0,b > 0$. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $A = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}$

b) $B = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}$

Lời giải

a) $A = ab$.

b) $B = \sqrt[3]{{ab}}$.

Dạng 3. So sánh biểu thức lũy thừa

Câu 35. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) ${5^{6\sqrt 3 }}$ và ${5^{3\sqrt 6 }}$;

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}$ và $\sqrt 2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}}$.

Lời giải

a) Do $5 > 1$ và $6\sqrt 3 = \sqrt {36} \sqrt 3 = \sqrt {108} > 3\sqrt 6 = \sqrt {54} $ nên ${5^{6\sqrt 3 }} > {5^{3\sqrt 6 }}$.

b) Ta có: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{4}{3}}} = {2^{\frac{4}{3}}}$ và $\sqrt 2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2}}} \cdot {2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{7}{6}}}$.

Do $2 > 1$ và $\frac{4}{3} = \frac{8}{6} > \frac{7}{6}$ nên ${2^{\frac{4}{3}}} > {2^{\frac{7}{6}}}$, tức là ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{4}{3}}} > \sqrt 2 \cdot {2^{\frac{2}{3}}}$.

Câu 36. (Rút gọn biểu thức) Cho $a$ và $b$ là hai số dương. Rút gọn biểu thức sau:

$A = {\left( {\frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{b^{\sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} \cdot \frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 2 }}}}{{{b^{ – 1}}}}$

Lời giải

Ta có: ${\left( {\frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{b^{\sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }}} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}}{{{{\left( {{b^{\sqrt 2 – 1}}} \right)}^{\sqrt 2 + 1}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}}}{b}$.

Thay vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{{a^{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}}}{b} \cdot \frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 2 }}}}{{{b^{ – 1}}}} = {a^{2 + \sqrt 2 }} \cdot {a^{ – 1 – \sqrt 2 }} = {a^{\left( {2 + \sqrt 2 } \right) + \left( { – 1 – \sqrt 2 } \right)}} = a$.

Vậy $A = a$.

Câu 37. So sánh cơ số $a(a > 0)$ với 1 , biết rằng:

a) ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}$;

b) ${a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}$.

Lời giải

a) Do $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ và ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}$ nên $a < 1$.

b) Do $\frac{{11}}{6} < \frac{{15}}{8}$ và ${a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}$ nên $a > 1$.

Câu 38. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số:

a) ${16^{\sqrt 3 }}$ và ${4^{3\sqrt 2 }}$;

b) ${(0,2)^{\sqrt {16} }}$ và ${(0,2)^{\sqrt[3]{{60}}}}$.

Lời giải

a) Ta có: ${16^{\sqrt 3 }} = {4^{2\sqrt 3 }}$. Do $2\sqrt 3 = \sqrt {12} ,3\sqrt 2 = \sqrt {18} ,\sqrt {12} < \sqrt {18} $ và $4 > 1$ nên ${4^{2\sqrt 3 }} < {4^{3\sqrt 2 }}$ hay ${16^{\sqrt 3 }} < {4^{3\sqrt 2 }}$

b) Ta có: ${(0,2)^{\sqrt {16} }} = {(0,2)^4}$. Do $4 = \sqrt[3]{{64}} > \sqrt[3]{{60}}$ và $0,2 < 1$ nên ${(0,2)^4} < {(0,2)^{\sqrt[3]{{60}}}}$ hay ${(0,2)^{\sqrt {16} }} < {(0,2)^{\sqrt[3]{{60}}}}$

Câu 39. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số:

a) ${2^{300}}$ và ${3^{200}}$;

b) ${(\sqrt 5 )^{ – \frac{2}{3}}}$ và $\sqrt[3]{4}$.

Lời giải

a) Ta có: ${2^{300}} = {\left( {{2^3}} \right)^{100}} = {8^{100}};{3^{200}} = {\left( {{3^2}} \right)^{100}} = {9^{100}}$.

Do $8 < 9$ và $100 > 0$ nên ${8^{100}} < {9^{100}}$ hay ${2^{300}} < {3^{200}}$.

b) Ta có: $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{{{2^2}}} = {2^{\frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$.

Do $\sqrt 5 > 1 > \frac{1}{2}$ và $ – \frac{2}{3} < 0$ nên ${(\sqrt 5 )^{ – \frac{2}{3}}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{2}{3}}}$ hay ${(\sqrt 5 )^{ – \frac{2}{3}}} < \sqrt[3]{4}$.

Câu 40. Cho $x,y$ là các số thực dương và số thực $a$ thoả mãn:

$a = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} $. Chứng minh rằng: ${a^{\frac{2}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {y^{\frac{2}{3}}}$.

Lời giải

Ta có:

$a = \sqrt {\sqrt[3]{{{x^6}}} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{y^6}}} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}} $

$ = \sqrt {\sqrt[3]{{{x^4}}}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right.)} + \sqrt {\sqrt[3]{{{y^4}}}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right.} $

$ = \left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} = {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + {y^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{3}{2}}}$

Suy ra ${a^{\frac{2}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {y^{\frac{2}{3}}}$.

Câu 41. Xác định các giá trị của số thực $a$ thoả mãn:

a) ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\sqrt 3 }}$

b) ${a^{ – \frac{3}{2}}} < {a^{\frac{2}{3}}}$

c) ${(\sqrt 2 )^a} > {(\sqrt 3 )^a}$.

Lời giải

a) $0 < a < 1$.

b) $a > 1$.

c) $a < 0$.

Câu 42. Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số $a$ và $b$, biết:

a) $a = {(\sqrt 3 – 1)^{\sqrt 2 }}$ và $b = {(\sqrt 3 – 1)^{\sqrt 3 }}$;

b) $a = {(\sqrt 2 – 1)^\pi }$ và $b = {(\sqrt 2 + 1)^e}$;

c) $a = \frac{1}{{{3^{400}}}}$ và $b = \frac{1}{{{4^{300}}}}$;

d) $a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}}$ và $b = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}}$.

Lời giải

a) Do $\sqrt 3 – 1 < 1$ và $\sqrt 2 < \sqrt 3 $ nên $a > b$.

b) Ta có: $a = {(\sqrt 2 – 1)^\pi } = {(\sqrt 2 + 1)^{ – \pi }}$. Do $\sqrt 2 + 1 > 1$ và $ – \pi < e$ nên $a < b$.

c) Ta có: $a = \frac{1}{{{3^{400}}}} = {\left( {\frac{1}{{81}}} \right)^{100}},b = \frac{1}{{{4^{300}}}} = {\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{100}}$ mà $\frac{1}{{81}} < \frac{1}{{64}}$ nên $a < b$.

d) Ta có: $a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}} = {\left( {\frac{{16}}{3}} \right)^{\frac{3}{4}}}$ và $\frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1 < \frac{{16}}{3}$ nên $a > b$.

Dạng 4. Ứng dụng giải toán thực tế

Câu 43. Một số dương $x$ được gọi là viết dưới dạng ki hiệu khoa học nếu $x = a \cdot {10^m}$, ở đó $1 \leqslant a < 10$ và $m$ là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng $5980000000000000000000000\;kg$;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 $00000000000000000000000167262\;kg$.

(Theo Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020)

Lời giải

a) $5,98 \cdot {10^{24}}\;kg$.

b) $1,67262 \cdot {10^{ – 27}}\;kg$.

Câu 44. Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiển lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền $P$ với lãi suất $r$ mỗi kì thì sau $N$ kì, số tiển người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau: $A = P{(1 + r)^N}$.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kỉ hạn 12 tháng với lãi suất $6\% $ một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Lời giải

Số tiển cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm là

$100 \cdot {(1 + 6\% )^3} \approx 119,19$ (triệu đồng)

Câu 45. Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ ( $r$ được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thỉ tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức sau: $A = P{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^N}$. Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với läi suất không đổi là $5\% $ một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Lời giải

Do bác An gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên $n = 2$.

Sau 2 năm thì bác An được 4 lần tính lãi.

Số tiền thu được của bác An sau 2 năm là $120 \cdot {\left( {1 + \frac{{5\% }}{2}} \right)^4} \approx 132,46$ (triệu đồng).

Câu 46. Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á khoảng 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot {2^{\frac{t}{{30}}}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ lả bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Lời giải

Sau 20 năm thì dân số nước đó là $19 \cdot {2^{\frac{{20}}{{30}}}} = 19 \cdot {2^{\frac{2}{3}}} \approx 30$ (triệu người).

Câu 47. (Vận dụng thực tiễn) Giả sử cường độ ánh sáng / dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = {I_0} \cdot {a^d}$,

trong đó ${I_0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển,

$a$ là một hằng số dương,

d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét).

a) Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu $1\;m$ bằng $95\% $ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tìm giá trị của hẳng số $a$.

b) Tại độ sâu $15\;m$ ở vùng biển đó, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt nước biển? (Lảm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải

a) Từ giả thiết, ta có $d = 1$ và $I = \frac{{95}}{{100}}{I_0}$.

Thay vào biểu thức $I = {I_0} \cdot {a^d}$, ta được: ${a^d} = \frac{I}{{{I_0}}} = \frac{{95}}{{100}}$.

Mà $d = 1$ nên $a = \frac{{95}}{{100}} = \frac{{19}}{{20}}$.

Vậy $a = \frac{{19}}{{20}}$.

b) Từ giả thiết, ta có $d = 15$.

Thay $d = 15$ và $a = \frac{{19}}{{20}}$ vào công thức $I = {I_0} \cdot {a^d}$, ta được:

$\frac{l}{{{I_0}}} = {a^d} = {\left( {\frac{{19}}{{20}}} \right)^{15}} \approx 0,46$

Như vậy, tại độ sâu $15\;m$ ở vùng biển đó, cường độ ánh sáng bằng khoảng $46\% $ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển.

Câu 48. Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn $N$ sau $t$ (giờ) sẽ là $N = 100 \cdot {2^{\frac{t}{2}}}$ (con). Hỏi sau $3\frac{1}{2}$ giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẳn?

Lời giải

Thay $t = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ (giờ) vào công thức ta được số vi khuẳn sau $3\frac{1}{2}$ giờ là $N = 100 \cdot {2^{\frac{t}{2}}} = 100 \cdot {2^{\frac{7}{4}}} \approx 336$ (con).

Câu 49. Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài $L$ (tính bằng mét) được cho bởi $T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{9,8}}} $. Nếu một con lắc có chiều dài $19,6\;m$, hãy tính chu kì $T$ của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

Thay $L = 19,6$ vào công thức ta được chu kì dao động của con lắc là $T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{{9,8}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{19,6}}{{9,8}}} \approx 8,9$ (giây).

Câu 50. Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo $p$ (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nẳm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn $d$ (tính bằng đơn vị thiên văn $AU$ ).

a) Tinh $p$ theo $d$.

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Theo định luật thứ ba của Kepler, ta có:

${p^2} = {d^3}$hay

$p = \sqrt {{d^3}} $.

b) Thay $p = 29,46$ vào công thức $p = \sqrt {{d^3}} $, ta được $d \approx 9,54AU$.

Câu 51. Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là $d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}$, trong đó $d$ là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và $t$ là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đắt).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu $b$ tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải

a) Thay $t = 687$ vào công thức ta được khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là $d = \sqrt[3]{{6{t^2}}} = \sqrt[3]{{6 \cdot {{687}^2}}} \approx 141,48$ (triệu dặm).

b) Thay $t = 365$ vào công thức ta được khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là:

$d = \sqrt[3]{{6{t^2}}} = \sqrt[3]{{6 \cdot {{365}^2}}} \approx 92,81$ (triệu dặm).

Câu 52. Cường độ ánh sáng tại độ sâu $h\left( m \right)$ dưới một mặt hồ được tính bằng công thức ${I_h} = {I_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{h}{4}}}$, trong đó ${I_0}$ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.

a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu $1\;m$ bằng bao nhiêu phẩn trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu $3\;m$ gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu $6\;m$ ?

Lời giải

a) $\frac{{{I_1}}}{{{I_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{4}}} \approx 0,84 = 84\% $.

b) $\frac{{{I_3}}}{{{I_6}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{4}\frac{6}{4}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{3}{4}}} \approx 1,68$ (lần).

Câu 53. Định luật thử ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian $P$ (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P = {d^{\frac{3}{2}}}$, trong đó $d$ là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn $AU$ (1 $AU$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là $1AU$ khoảng 93000000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)? Biết khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là $1,52AU$.

Lời giải

Thời gian để Sao Hoả quay quanh Mặt Trời là:

$P = {d^{\frac{3}{2}}} = 1,{52^{\frac{3}{2}}} \approx 1,874$ (năm Trái Đắt).

Câu 54. Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có $10\;g$ chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau $t$ năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vị gam).

Lời giải

Công thức tính khối lượng của chất phóng xạ đó còn lại sau $t$ năm là:

$m = 10 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{{25}}}}\left( {\;g} \right)$. Khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm là:

$m = 10 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{120}}{{25}}}} \approx 0,359\left( {\;g} \right)$.