50 Câu Trắc Nghiệm Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Theo Mức Độ Giải Chi Tiết

50 câu trắc nghiệm Lũy thừa với mũ số thực theo mức độ giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

I. THÔNG HIỂU

Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\frac{5}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}}$ là

A. ${a^5}$.

B. ${a^{\bar 9}}$.

C. ${a^{\frac{4}{3}}}$.

D. ${a^2}$.

Lời giải

Ta có ${a^{\frac{5}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}$

Câu 2. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng

A. ${a^6}$.

B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.

C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.

D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.

Lời giải

Chọn B

Với $a > 0$ ta có $\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}$.

Câu 3. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ${a^{m + }} + {a^n} = {a^{m + n}}$.

B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{mt – n}}$.

C. ${\left( {{a^{mi}}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^{mt}}$.

D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.

Lời giải

Chọn C.

Tính chất lũy thừa

Câu 4. Với $a > 0,b > 0,\alpha ,\beta $ là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha – \beta }}$.

B. ${a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$.

C. $\frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\beta }}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\alpha – \beta }}$.

D. ${a^a} \cdot {b^a} = {(ab)^a}$.

Lời giải

Chọn C

Câu 5. Cho $x,y > 0$ và $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Tìm đẳng thức sai dưới đây.

A. ${(xy)^a} = {x^a} \cdot {y^a}$.

B. ${x^a} + {y^\alpha } = {(x + y)^\alpha }$.

C. ${\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \beta \beta }}$.

D. ${x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}$.

Lời giải

Chọn B

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức ${x^a} + {y^a} = {(x + y)^a}$ Sai.

Câu 6. Cho các số thực $a,b,m,n(a,b > 0)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

B. ${\left( {{a^{mt}}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.

C. ${(a + b)^{m + }} = {a^m} + {b^m}$.

D. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \Rightarrow $ Loại $A$

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.nt}} \Rightarrow $ Loại B

${(1 + 1)^2} \ne {1^2} + {1^2} \Rightarrow $ Loại C

${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}} \Rightarrow $ Chọn D

Câu 7. Với $\alpha $ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {(\sqrt {10} )^\alpha }$.

B. $\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}$.

C. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(100)^\alpha }$.

D. ${\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {(10)^{{\alpha ^2}}}$.

Lời giải

Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy $A,B,C$ là các mệnh đề đúng.

Xét mệnh đề D: với $\alpha = 1$, ta có: ${\left( {{{10}^1}} \right)^2} = 100 \ne {(10)^{{1^2}}} = 10$ nên mệnh đề $D$ sai.

Câu 8. Rút gọn biểu thức $Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b}$ với $b > 0$.

A. $Q = {b^{ – \frac{4}{3}}}$

B. $Q = {b^{\frac{4}{3}}}$

C. $Q = {b^{\frac{5}{9}}}$

D. $Q = {b^2}$

Lời giải

Chọn B

$Q = {b^{\frac{5}{3}}}:\sqrt[3]{b} = {b^{\frac{5}{3}}}:{b^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{4}{3}}}$

Câu 9. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$.

A. $P = \sqrt x $

B. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$

C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$

D. $P = {x^2}$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $

Câu 10. Cho $a$ là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a $ bằng

A. ${a^{\frac{7}{3}}}$.

B. ${a^{\frac{5}{6}}}$.

C. ${a^{\frac{{11}}{6}}}$.

D. ${a^{\frac{{10}}{3}}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $P = {a^{\frac{4}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{{11}}{6}}}$.

Câu 11. Cho biểu thức $P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x}$ với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x$

B. $P = {x^{\frac{{11}}{6}}}$

C. $P = {x^{\frac{7}{6}}}$

D. $P = {x^{\frac{5}{6}}}$

Lời giải

Chọn A

$P = {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = x$

Câu 12. Rút gọn biểu thức $P = {x^{\frac{1}{6}}} \cdot \sqrt[3]{x}$ với $x > 0$.

A. $P = {x^{\frac{1}{8}}}$

B. $P = \sqrt x $

C. $P = {x^{\frac{2}{9}}}$

D. $P = {x^2}$

Lời giải

Chọn B

Với $x > 0;P = {x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x $

Câu 13. Biểu thức $P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = {x^\alpha }$ (với $x > 0$ ), giá trị của $\alpha $ là

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{5}{2}$.

C. $\frac{9}{2}$.

D. $\frac{3}{2}$.

Lời giải

$P = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2}\sqrt x }}}} = \sqrt[3]{{x\sqrt[5]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{x \cdot {{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$.

Câu 14. Cho $a$ là số thực dương khác 1 . Khi đó $\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}}$ bằng

A. $\sqrt[3]{{{a^2}}}$.

B. ${a^{\frac{8}{3}}}$.

C. ${a^{\frac{3}{8}}}$.

D. $\sqrt[6]{a}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\sqrt[4]{{{a^{\frac{2}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{2}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{a}$

Câu 15. Cho biểu thức $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } ,x > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $P = {x^{ – 2}}$

B. $P = {x^{ – \frac{1}{2}}}$

C. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$

D. $P = {x^2}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $P = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot \sqrt {\sqrt {{x^5}} } = {x^{ – \frac{3}{4}}} \cdot {x^{\frac{5}{4}}} = {x^{ – \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.

Câu 16. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nảo dưới đây đúng?

A. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$.

B. $P = {x^{\frac{7}{{12}}}}$.

C. $P = {x^{\frac{5}{8}}}$.

D. $P = {x^{\frac{7}{{24}}}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $P = \sqrt[3]{{x \cdot \sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}} = {x^{\frac{5}{8}}}$

Câu 17. Cho biểu thức $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?

A. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{8}}}$.

B. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{18}}$.

C. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{18}}}}$.

D. $P = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.

Lời giải

Ta có: $P = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}\frac{1}{3} + 1}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.

Câu 18. Cho $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2}$ và $c = {3^{\sqrt 6 }}$ mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $a < c < b$.

B. $a < b < c$.

C. $b < a < c$.

D. $c < a < b$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2} = {3^{\sqrt 4 }},c = {3^{\sqrt 6 }}$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 6 } \\
{3 > 1}
\end{array} \Rightarrow b < a < c} \right.$.

Câu 19. Cho $a = {3^{\sqrt 5 }},b = {3^2}$ và $c = {3^{\sqrt 6 }}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < b < c$.

B. $a < c < b$.

C. $c < a < b$.

D. $b < a < c$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $2 < \sqrt 5 < \sqrt 6 $ mà cơ số $3 > 1$ nên ${3^2} < {3^{\sqrt 5 }} < {3^{\sqrt 6 }}$ hay $b < a < c$.

Câu 20. Cho ${(\sqrt 2 – 1)^m} < {(\sqrt 2 – 1)^n}$. Khi đó

A. $m = n$.

B. $m < n$.

C. $m > n$.

D. $m \ne n$.

Lời giải

Chọn C

Do $0 < \sqrt 2 – 1 < 1$ nên ${(\sqrt 2 – 1)^{mt}} < {(\sqrt 2 – 1)^n} \Leftrightarrow m > n$.

Câu 21. Cho $a > 1$. Mệnh đề nào sau đây là đủng?

A. ${a^{ – \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}$.

B. ${a^{\frac{1}{3}}} > \sqrt a $.

C. $\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{a} > 1$.

D. $\frac{1}{{{a^{2024}}}} < \frac{1}{{{a^{2025}}}}$.

Lời giải

Chọn A

Vi $a > 1; – \sqrt 3 > – \sqrt 5 \Rightarrow {a^{ – \sqrt 3 }} > {a^{ – \sqrt 5 }} \Leftrightarrow {a^{ – \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}$.

Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào $SAI$ ?

A. ${(\sqrt 3 – 1)^{2024}} > {(\sqrt 3 – 1)^{2023}}$.

B. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$.

C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}} > {(\sqrt 2 – 1)^{2024}}$.

D. ${\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2025}} < {\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}$.

Lời giải

Chọn A

A. ${(\sqrt 3 – 1)^{2024}} > {(\sqrt 3 – 1)^{2023}}$. Cùng cơ số, $0 < \sqrt 3 – 1 < 1$, hàm nghịch biến, số mũ lớn hơn nên bé hon. Sai

B. ${2^{\sqrt 2 + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}$. Cùng cơ số, $2 > 1$, hàm đồng biến, số mũ ${(\sqrt 2 + 1)^2} = 3 + 2\sqrt 2 > {(\sqrt 3 )^2} = 3$ nên lớn hơn. Đúng

C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}} > {(\sqrt 2 – 1)^{2024}}$. Cùng cơ số, $0 < \sqrt 2 – 1 < 1$, hàm nghịch biến, số mũ bé hơn nên lớn hơn. Đúng.

D. ${\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2025}} < {\left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2024}}$. Cùng cơ số, $0 < 1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1$, hàm nghịch biến, số mũ lớn hơn nên bé hơn. Đúng

Câu 23. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}$.

B. ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – \pi }}$.

C. ${3^{ – \sqrt 2 }} < {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}$.

D. ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 50}} < {(\sqrt 2 )^{100}}$.

Lời giải

Ta có:

$\left( {\frac{3}{7}} \right) < \left( {\frac{5}{8}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{\sqrt 3 }}($ vì $\sqrt 3 > 0$ ). Phương án A Sai.

$\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \pi }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – \pi }}$ (vì $ – \pi < 0$ ). Phương án $B$ Đúng.

$3\left\langle {5 \Rightarrow {3^{ – \sqrt 2 }}} \right\rangle {5^{ – \sqrt 2 }} \Rightarrow {3^{ – \sqrt 2 }} > {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (vì $\left. { – \sqrt 2 < 0} \right)$. Phương án C Sai.

${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 50}} < {(\sqrt 2 )^{100}} \Rightarrow {\left( {{2^{ – 2}}} \right)^{ – 50}} < {(2)^{100}} \Rightarrow {2^{100}} < {2^{100}}$ (Mệnh đề sai ). Phương án D Sai.

Câu 24. Tìm tập tất cả các giá trị của $a$ để $\sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}}$ ?

A. $a > 0$.

B. $0 < a < 1$.

C. $a > 1$.

D. $\frac{5}{{21}} < a < \frac{2}{7}$.

Lời giải

Chọn B

$\sqrt[7]{{{a^2}}} = \sqrt[{21}]{{{a^6}}}$.

Ta có $\sqrt[{212}]{{{a^5}}} > \sqrt[7]{{{a^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[{21}]{{{a^5}}} > \sqrt[{22}]{{{a^6}}}$ mà $5 < 6$ vậy $0 < a < 1$.

II. VẬN DỤNG

Câu 25. Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}}$, với $x > 0$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = {x^{\frac{2}{3}}}$

B. $P = {x^{\frac{1}{2}}}$

C. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$

D. $P = {x^{\frac{1}{4}}}$

Lời giải

Chọn C

Ta có, với $x > 0:P = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \sqrt {{x^3}} }}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}}} = \sqrt[4]{{x \cdot {x^{\frac{7}{6}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{{13}}{6}}}}} = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$.

Câu 26. Cho a là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức ${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.

A. $\frac{1}{{506}}$.

B. $\frac{1}{{2024}}$.

C. $\frac{3}{{506}}$.

D. $\frac{3}{{{{2024}^2}}}$.

Lời giải

Chọn A

${a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot \sqrt[{2024}]{a} = {a^{\frac{3}{{2024}}}} \cdot {a^{\frac{1}{{2024}}}} = {a^{\frac{4}{{2024}}}} = {a^{\frac{1}{{506}}}}$.

Vậy số mũ của biểu thức rút gọn bằng $\frac{1}{{506}}$.

Câu 27. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$.

A. $P = a$.

B. $P = {a^3}$.

C. $P = {a^4}$.

D. $P = {a^5}$.

Lời giải

$P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 – \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}.$

Câu 28. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ với $a > 0$

A. $P = a$

B. $P = {a^3}$

C. $P = {a^4}$

D. $P = {a^5}$

Lời giải

Chọn D

Ta có $P = \frac{{{a^{\sqrt {3 + 1} }} \cdot {a^{2 – \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{2 – 4}}}} = {a^5}$

Câu 29. Cho biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$. Rút gọn $P$ được kết quả:

A. ${a^5}$.

B. $a$.

C. ${a^3}$.

D. ${a^4}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1}} \cdot {a^{2 – \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5 + 1 + 2 – \sqrt 5 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 – 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ – 2}}}} = {a^5}$.

Câu 30. Cho hai số thực dương $a,b$. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}$ ta thu được $A = {a^m} \cdot {b^n}$. Tích của $m.n$ là

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{{21}}$

C. $\frac{1}{9}$

D. $\frac{1}{{18}}$

Lời giải

Chọn C

$A = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}$

$ = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}}$

$ \Rightarrow m = \frac{1}{3},n = \frac{1}{3} \Rightarrow m \cdot n = \frac{1}{9}$.

Câu 31. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}}$ với $a > 0$ ta được kết quả $A = {a^{\frac{m}{n}}}$ trong đó $m,n \in {N^*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đủng?

A. ${m^2} – {n^2} = 312$.

B. ${m^2} + {n^2} = 543$.

C. ${m^2} – {n^2} = – 312$.

D. ${m^2} + {n^2} = 409$.

Lời giải

Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^{ – 5}}}}}} = \frac{{{a^{\frac{7}{3}}} \cdot {a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4} \cdot {a^{\frac{{ – 5}}{7}}}}} = \frac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}$

Mà $A = {a^{\frac{m}{n}}},m,n \in {N^*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản

$ \Rightarrow m = 19,n = 7$

$ \Rightarrow {m^2} – {n^2} = 312$

Câu 32. Cho $a$ là số thực dương. Đơn giản biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}}$.

A. $P = a\left( {a + 1} \right)$.

B. $P = a – 1$.

C. $P = a$.

D. $P = a + 1$.

Lời giải

$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{{ – 1}}{4}}}}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1}} = a$.

Câu 33. Cho $a,b$ là các số thực dương. Rút gọn $P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$ ta được

A. $P = ab$.

B. $P = a + b$.

C. $P = {a^4}b + a{b^4}$.

D. $P = ab\left( {a + b} \right)$.

Lời giải

$P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}b + a{b^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \frac{{a \cdot {a^{\frac{1}{3}}}b + ab \cdot {b^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{ab\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}}} = ab$.

Câu 34. Cho biểu thức $\sqrt[5]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{m}{n}}}$, trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P = {m^2} + {n^2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $P \in \left( {330;340} \right)$.

B. $P \in \left( {350;360} \right)$.

C. $P \in \left( {260;370} \right)$.

D. $P \in \left( {340;350} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $\sqrt[3]{{8\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = \sqrt[3]{{{2^3}\sqrt {2\sqrt[3]{2}} }} = {2^{\frac{3}{5}}} \cdot {2^{\frac{1}{{10}}}} \cdot {2^{\frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{3}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{30}}}} = {2^{\frac{{11}}{{15}}}}$

$ \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{{11}}{{15}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 11} \\
{n = 15}
\end{array} \Rightarrow P = {m^2} + {n^2} = {{11}^2} + {{15}^2} = 346} \right.$.

Câu 35. Cho $a > 0,b > 0$, giá trị của biểu thức $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng

A. 1 .

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải

Ta có $T = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\frac{{a – b}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}} = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {1 + \frac{{{{(a – b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}} = 2\frac{1}{{a + b}} \cdot {(ab)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1.$

Câu 36. Tính giá trị của biểu thức $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2025}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2024}}$

A. $P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2024}}$

B. $P = 1$

C. $P = 7 – 4\sqrt 3 $

D. $P = 7 + 4\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn D

$P = {(7 + 4\sqrt 3 )^{2025}}{(4\sqrt 3 – 7)^{2024}}$

$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) \cdot {\left[ {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt 3 – 7} \right)} \right]^{2024}}$

$ = \left( {7 + 4\sqrt 3 } \right){( – 1)^{2024}} = 7 + 4\sqrt 3 $

Câu 37. Cho hàm số $f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}}$ với $a > 0,a \ne 1$. Tính giá trị $M = f\left( {{{2025}^{2024}}} \right)$

A. $M = {2025^{1008}} – 1$

B. $M = – 1 – {2025^{1012}}$

C. $M = {2025^{2024}} – 1$

D. $M = 1 – {2025^{2024}}$

Lời giải

Chọn B

$f\left( a \right) = \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{8}}}\left( {\sqrt[8]{{{a^3}}} – \sqrt[8]{{{a^{ – 1}}}}} \right)}} = \frac{{1 – a}}{{\sqrt a – 1}} = – 1 – \sqrt a $ nên

$M = f\left( {{{42025}^{2024}}} \right) = – 1 – \sqrt {{{2025}^{2024}}} = – 1 – {2025^{1012}}$

Câu 38. Giá trị của biểu thức $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}}$ là

A. -9 .

B. -10 .

C. 10 .

D. 9 .

Lời giải

Chọn B

Ta có $P = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ – 1}} + {5^{ – 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{(0,1)}^0}}} = \frac{{{2^{3 – 1}} + {5^{ – 3 + 4}}}}{{{{10}^{ – 3 + 2}} – 1}} = \frac{{4 + 5}}{{{{10}^{ – 1}} – 1}} = \frac{9}{{\frac{1}{{10}} – 1}} = – 10$.

Câu 39. Cho biểu thức $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}}$. Khi đó, giá trị của $f\left( {2,7} \right)$ bằng

A. 0,027 .

B. 27 .

C. 2,7 .

D. 0,27 .

Lời giải

Chọn C.

$f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{5}{{12}}}}$$ = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{{12}}}} = {x^1} = x$

$ \Rightarrow f\left( {2,7} \right) = 2,7$.

Câu 40. Giá trị biểu thức ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$ bằng

A. ${(\sqrt 2 + 1)^{2025}}$.

B. ${(\sqrt 2 – 1)^{2023}}$.

C. ${(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$.

D. ${(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${(3 + 2\sqrt 2 )^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$

$ = {\left[ {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} \right]^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2025}}$

$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {(\sqrt 2 – 1)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {\left[ {(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 – 1)} \right]^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2024}} \cdot {\left( 1 \right)^{2024}} \cdot \left( {\sqrt 2 – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}} \cdot (\sqrt 2 + 1).\left( {\sqrt 2 – 1} \right)$

$ = {(\sqrt 2 + 1)^{2023}}$

Câu 41. Tính giả trị biểu thức $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$.

A. $P = – {2^{2023}}$.

B. -1 .

C. $ – {2^{2025}}$.

D. ${2^{2024}}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $P = \frac{{{{(4 + 2\sqrt 3 )}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$

$ = \frac{{{{\left[ {{{(1 + \sqrt 3 )}^2}} \right]}^{2024}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$

$ = \frac{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{4048}} \cdot {{(1 – \sqrt 3 )}^{2023}}}}{{{{(1 + \sqrt 3 )}^{2025}}}}$

$ = {(1 + \sqrt 3 )^{4048 – 2025}} \cdot {(1 – \sqrt 3 )^{2023}}$

$ = {(1 + \sqrt 3 )^{2023}} \cdot {(1 – \sqrt 3 )^{2023}}$

$ = {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 – \sqrt 3 } \right)} \right]^{2023}} = – {2^{2023}}$

Câu 42. Cho $a > 0,b > 0$ giá trị của biểu thức

$T = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$ bằng

A. 1.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có

$T = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}{{\left( {\sqrt {\frac{a}{b}} – \sqrt {\frac{b}{a}} } \right)}^2}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {1 + \frac{1}{4}\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a} – 2} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{a}{{4b}} + \frac{b}{{4a}} + \frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}{\left[ {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{{4ab}}} \right]^{\frac{1}{2}}}$

$ = 2{(a + b)^{ – 1}}{(ab)^{\frac{1}{2}}}\frac{{\left( {a + b} \right)}}{{2{{(ab)}^{\frac{1}{2}}}}} = 1$.

Câu 43. So sánh ba số: ${(0,2)^{0,3}},{(0,7)^{3,2}}$ và ${\sqrt 3 ^{0,3}}$.

A. ${(0,7)^{3,2}} < {(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$.

B. ${(0,2)^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$.

C. ${\sqrt 3 ^{0,3}} < {(0,2)^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}}$.

D. ${(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}} < {(0,7)^{3,2}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $0,2 < \sqrt 3 \Rightarrow {(0,2)^{0,3}} < {\sqrt 3 ^{0,3}}$ nên loại đáp án

Câu 44. Cho $a,b > 0$ thỏa mãn ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}$. Khi đó khẳng định nào đúng?

A. $0 < a < 1,0 < b < 1$.

B. $0 < a\left\langle {1,b} \right\rangle 1$.

C. $a > 1,0 < b < 1$.

D. $a > 1,b > 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có

${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}lna > \frac{1}{3}lna \Leftrightarrow \frac{1}{6}lna > 0 \Leftrightarrow a > 1$

${b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}} \Leftrightarrow \frac{2}{3}lnb > \frac{3}{4}lnb \Leftrightarrow 0 > \frac{1}{{12}}lnb \Leftrightarrow 0 < b < 1$

Luu ý: Ta có thể sử dụng máy tính Casio để thử các đáp án bằng cách cho $a,b$ các giá trị cụ thể.

Câu 45. So sánh ba số $a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}$ và $c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}$ ?

A. $c < a < b$.

B. $b < a < c$.

C. $c < b < a$.

D. $a < c < b$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: ${1^1} < {1000^{1000}};{2^2} < {1000^{1000}} \ldots {..999^{999}} < {1000^{1000}}$

$ \Rightarrow c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}} < {1000.1000^{1000}} \Leftrightarrow c < a$

Mặt khác: ${2^{10}} > 1000$

$ \Rightarrow {2^{64}} \cdot ln2 = \frac{{{2^4}}}{{10}} \cdot {\left( {{2^{10}}} \right)^6} \cdot ln{2^{10}} > {1000^6} \cdot ln1000 > 1001 \cdot ln1000 \Rightarrow {2^{{2^{64}}}} > {1000^{1001}} \Leftrightarrow a < b$

Vậy $c < a < b$.