Trắc Nghiệm Tính Biểu Thức Lôgarit Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm tính biểu thức lôgarit thỏa điều kiện cho trước giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${4^{lo{g_2}\left( {ab} \right)}} = 3a$. Giá trị của $a{b^2}$ bằng

A. 3 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 12 .

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết ta có : ${4^{lo{g_2}\left( {ab} \right)}} = 3a$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {ab} \right) \cdot lo{g_2}4 = lo{g_2}\left( {3a} \right)$

$ \Leftrightarrow 2\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right) = lo{g_2}a + lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a + 2lo{g_2}b = lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {a{b^2}} \right) = lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow a{b^2} = 3$

Câu 2. Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${9^{lo{g_3}\left( {ab} \right)}} = 4a$. Giá trị của $a{b^2}$ bằng

A. 3 .

B. 6 .

C. 2

D. 4

Lời giải

Chọn D.

Ta có : ${9^{lo{g_3}\left( {ab} \right)}} = 4a \Leftrightarrow 2lo{g_3}\left( {ab} \right) = lo{g_3}\left( {4a} \right) \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{a^2}{b^2}} \right) = lo{g_3}\left( {4a} \right) \Rightarrow {a^2}{b^2} = 4a$ $ \Leftrightarrow a{b^2} = 4$

Câu 3. Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $lna = x;lnb = y$. Tính $ln\left( {{a^3}{b^2}} \right)$

A. $P = {x^2}{y^3}$

B. $P = 6xy$

C. $P = 3x + 2y$

D. $P = {x^2} + {y^2}$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $ln\left( {{a^3}{b^2}} \right) = ln{a^3} + ln{b^2} = 3lna + 2lnb = 3x + 2y$

Câu 4. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${a^3}{b^2} = 32$. Giá trị của $3lo{g_2}a + 2lo{g_2}b$ bằng

A. 4 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 32 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $lo{g_2}{a^3}{b^2} = lo{g_2}32 \Leftrightarrow 3lo{g_2}a + 2lo{g_2}b = 5$

Câu 5. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${a^2}{b^3} = 16$. Giá trị của $2lo{g_2}a + 3lo{g_2}b$ bằng

A. 2 .

B. 8 .

C. 16 .

D. 4 .

Lời giải

Ta có $2lo{g_2}a + 3lo{g_2}b = lo{g_2}\left( {{a^2}{b^3}} \right) = lo{g_2}16 = 4$

Câu 6. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${a^4}b = 16$ Giá trị của $4lo{g_2}a + lo{g_2}b$ bằng

A. 4 .

B. 2 .

C. 16 .

D. 8 .

Lời giải

Chọn A.

$4lo{g_2}a + lo{g_2}b = lo{g_2}{a^4} + lo{g_2}b = lo{g_2}\left( {{a^4}b} \right) = lo{g_2}16 = lo{g_2}{2^4} = 4$.

Câu 7. Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn $a{b^3} = 8$. Giá trị của $lo{g_2}a + 3lo{g_2}b$ bằng

A. 6 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 8 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có $lo{g_2}a + 3lo{g_2}b = lo{g_2}a + lo{g_2}{b^3} = lo{g_2}\left( {a{b^3}} \right) = lo{g_2}8 = 3$.

Câu 8. Cho các số thực dương $a,b$ với $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. $lo{g_{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4}lo{g_a}b$

B. $lo{g_{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}lo{g_a}b$

C. $lo{g_{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}lo{g_a}b$

D. $lo{g_{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2lo{g_a}b$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $lo{g_{{a^2}}}\left( {ab} \right) = lo{g_{{a^2}}}a + lo{g_{{a^2}}}b = \frac{1}{2} \cdot lo{g_a}a + \frac{1}{2} \cdot lo{g_a}b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot lo{g_a}b$.

Câu 9. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,a \ne \sqrt b $ và $lo{g_a}b = \sqrt 3 $. Tính $P = lo{g_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} $.

A. $P = – 5 + 3\sqrt 3 $

B. $P = – 1 + \sqrt 3 $

C. $P = – 1 – \sqrt 3 $

D. $P = – 5 – 3\sqrt 3 $

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: Phương pháp tự luận.

$P = \frac{{lo{g_a}\sqrt {\frac{b}{a}} }}{{lo{g_a}\frac{{\sqrt b }}{a}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {lo{g_a}b – 1} \right)}}{{lo{g_a}\sqrt b – 1}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{\frac{1}{2}lo{g_a}b – 1}} = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{\sqrt 3 – 2}} = – 1 – \sqrt 3 $.

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.

Chọn $a = 2,b = {2^{\sqrt 3 }}$. Bấm máy tính ta được $P = – 1 – \sqrt 3 $.

Câu 10. Cho $lo{g_3}a = 2$ và $lo{g_2}{\text{b}} = \frac{1}{2}$. Tính $I = 2lo{g_3}\left[ {lo{g_3}\left( {3a} \right)} \right] + lo{g_{\frac{1}{4}}}\,{b^2}$.

A. $I = \frac{5}{4}$

B. $I = 0$

C. $I = 4$

D. $I = \frac{3}{2}$

Lời giải

Chọn D.

$I = 2lo{g_3}\left[ {lo{g_3}\left( {3a} \right)} \right] + lo{g_{\frac{1}{4}}}{b^2} = 2lo{g_3}\left( {lo{g_3}3 + lo{g_3}a} \right) + 2lo{g_{{2^{ – 2}}}}{\text{b}} = 2 – \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Câu 11. Cho $lo{g_a}x = 3,lo{g_b}x = 4$ với $a,b$ là các số thực lớn hơn 1 . Tính $P = lo{g_{ab}}x$.

A. $P = 12$

B. $P = \frac{{12}}{7}$

C. $P = \frac{7}{{12}}$

D. $P = \frac{1}{{12}}$

Lời giải

Chọn B.

$P = lo{g_{ab}}x = \frac{1}{{lo{g_x}ab}} = \frac{1}{{lo{g_x}a + lo{g_x}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}} = \frac{{12}}{7}$

Câu 12. Cho $x,y$ là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn ${x^2} + 9{y^2} = 6xy$. Tính $M = \frac{{1 + lo{g_{12}}x + lo{g_{12}}y}}{{2lo{g_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$.

A. $M = \frac{1}{2}$.

B. $M = \frac{1}{3}$.

C. $M = \frac{1}{4}$.

D. $M = 1$

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${x^2} + 9{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {(x – 3y)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y$.

Khi đó $M = \frac{{1 + lo{g_{12}}x + lo{g_{12}}y}}{{2lo{g_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = \frac{{lo{g_{12}}\left( {12xy} \right)}}{{lo{g_{12}}{{(x + 3y)}^2}}} = \frac{{lo{g_{12}}\left( {36{y^2}} \right)}}{{lo{g_{12}}\left( {36{y^2}} \right)}} = 1$.

Câu 13. Cho $a > 0,a \ne 1$ và $lo{g_a}x = – 1,lo{g_a}y = 4$. Tính $P = lo{g_a}\left( {{x^2}{y^3}} \right)$

A. $P = 18$.

B. $P = 6$.

C. $P = 14$.

D. $P = 10$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_a}\left( {{x^2} \cdot {y^3}} \right) = lo{g_a}{x^2} + lo{g_a}{y^3} = 2lo{g_a}x + 3lo{g_a}y = 2 \cdot \left( { – 1} \right) + 3 \cdot 4 = 10$.

Câu 14. Cho $P = \sqrt[{20}]{{3\sqrt[7]{{27\sqrt[4]{{243}}}}}}$. Tính $lo{g_3}P$ ?

A. $\frac{{45}}{{28}}$.

B. $\frac{9}{{112}}$.

C. $\frac{{45}}{{56}}$.

D. $1$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $P = \sqrt[{20}]{{3\sqrt[7]{{27\sqrt[4]{{243}}}}}} \Rightarrow P = {3^{\frac{1}{{20}}}} \cdot {27^{\frac{1}{{20}} \cdot \frac{1}{7}}} \cdot {243^{\frac{1}{{20}} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{4}}} = {3^{\frac{9}{{112}}}} \Rightarrow lo{g_3}P = lo{g_3}{3^{\frac{9}{{112}}}} = \frac{9}{{112}}$.

Câu 15. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1 , đặt $P = lo{g_a}{b^3} + lo{g_{{a^2}}}{b^6}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = 27lo{g_a}b$.

B. $P = 15lo{g_a}b$.

C. $P = 9lo{g_a}b$.

D. $P = 6lo{g_a}b$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $P = lo{g_a}{b^3} + lo{g_{{a^2}}}{b^6} = 3lo{g_a}b + 6 \cdot \frac{1}{2}lo{g_a}b = 6lo{g_a}b$.

Câu 16. Cho $lo{g_a}b = 3,lo{g_a}c = – 2$. Khi đó $lo{g_a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right)$ bằng bao nhiêu?

A. 13

B. 5

C. 8

D. 10

Lời giải

Chọn C.

Ta có $lo{g_a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right) = lo{g_a}{a^3} + lo{g_a}{b^2} + lo{g_a}\sqrt c = 3 + 2lo{g_a}b + \frac{1}{2}lo{g_a}c = 3 + 2 \cdot 3 – \frac{1}{2} \cdot 2 = 8$.

Câu 17. Cho $\alpha = lo{g_a}x,\beta = lo{g_b}x$. Khi đó $lo{g_{a{b^2}}}{x^2}$ bằng.

A. $\frac{{\alpha \beta }}{{\alpha + \beta }}$.

B. $\frac{{2\alpha \beta }}{{2\alpha + \beta }}$.

C. $\frac{2}{{2\alpha + \beta }}$.

D. $\frac{{2\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\alpha + 2\beta }}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : $lo{g_{a{b^2}}}{x^2} = 2lo{g_{a{b^2}}}x = 2 \cdot \frac{1}{{lo{g_x}a{b^2}}} = \frac{2}{{lo{g_x}a + lo{g_x}{b^2}}} = \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_a}x}} + 2 \cdot \frac{1}{{lo{g_b}x}}}}$ $ = \frac{2}{{\frac{1}{\alpha } + \frac{2}{\beta }}} = \frac{{2\alpha \beta }}{{\beta + 2\alpha }}$.

Câu 18. Cho $lo{g_a}b = 2$ và $lo{g_a}c = 3$. Tính $P = lo{g_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.

A. $P = 13$

B. $P = 31$

C. $P = 30$

D. $P = 108$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $lo{g_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = 2lo{g_a}b + 3lo{g_a}c = 2.2 + 3.3 = 13$.

Câu 19. Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $lo{g_3}a = x,lo{g_3}b = y$. Tính $P = lo{g_3}\left( {3{a^4}{b^5}} \right)$.

A. $P = 3{x^4}{y^5}$

B. $P = 3 + {x^4} + {y^5}$

C. $P = 60xy$

D. $P = 1 + 4x + 5y$

Lời giải

Chọn D.

$P = lo{g_3}\left( {3{a^4}{b^5}} \right) = lo{g_3}3 + lo{g_3}{a^4} + lo{g_3}{b^5} = 1 + 4lo{g_3}a + 5lo{g_3}b = 1 + 4x + 5y$.

Câu 20. Cho $x,y$ là các số thực dương tùy ý, đặt $lo{g_3}x = a,lo{g_3}y = b$. Chọn mệnh đề đúng.

A. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a – b$.

B. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a + b$.

C. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a – b$.

D. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a + b$.

Lời giải

Chọn D.

Do $x,y$ là các số thực dương nên ta có:

$lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}lo{g_3}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}\left( {lo{g_3}x – lo{g_3}{y^3}} \right) = – \frac{1}{3}\left( {lo{g_3}x – 3lo{g_3}y} \right)$

$ = – \frac{1}{3}lo{g_3}x + lo{g_3}y = – \frac{1}{3}a + b.$

Câu 21. Với các số thực dương $x,y$ tùy ý, đặt $lo{g_3}x = \alpha ,lo{g_3}y = \beta $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $lo{g_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{\alpha }{2} + \beta $

B. $lo{g_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = 9\left( {\frac{\alpha }{2} + \beta } \right)$

C. $lo{g_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{\alpha }{2} – \beta $

D. $lo{g_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = 9\left( {\frac{\alpha }{2} – \beta } \right)$

Lời giải

Chọn D.

$lo{g_{27}}{\left( {\frac{{\sqrt x }}{y}} \right)^3} = \frac{3}{2}lo{g_{27}}x – 3lo{g_{27}}y = \frac{1}{2}lo{g_3}x – lo{g_3}y = \frac{\alpha }{2} – \beta $

Câu 22. Với mọi số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 8ab$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {loga + logb} \right)$

B. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2} + loga + logb$

C. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + loga + logb} \right)$

D. $log\left( {a + b} \right) = 1 + loga + logb$

Lời giải

Chọn C.

Ta có ${a^2} + {b^2} = 8ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 10ab$.

Lấy $log$ cơ số 10 hai vế ta đượ: $log{(a + b)^2} = log\left( {10ab} \right) \Leftrightarrow 2log\left( {a + b} \right) = log10 + loga + logb$.

Hay $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + loga + logb} \right)$.

Câu 23. Cho $a,b$ là hai số thưc dương thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 14ab$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $2lo{g_2}\left( {a + b} \right) = 4 + lo{g_2}a + lo{g_2}b$.

B. $ln\frac{{a + b}}{4} = \frac{{lna + lnb}}{2}$.

C. $2log\frac{{a + b}}{4} = loga + logb$.

D. $2lo{g_4}\left( {a + b} \right) = 4 + lo{g_4}a + lo{g_4}b$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${a^2} + {b^2} = 14ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 16ab$.

Suy ra $lo{g_4}{(a + b)^2} = lo{g_4}\left( {16ab} \right) \Leftrightarrow 2lo{g_4}\left( {a + b} \right) = 2 + lo{g_4}a + lo{g_4}b$.

Câu 24. Với các số $a,b > 0$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 6ab$, biểu thức $lo{g_2}\left( {a + b} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{2}\left( {3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

B. $\frac{1}{2}\left( {1 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

C. $1 + \frac{1}{2}\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

D. $2 + \frac{1}{2}\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${a^2} + {b^2} = 6ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = 6ab + 2ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 8ab\left( * \right)$.

Do $a,b > 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ab > 0} \\
{a + b > 0}
\end{array}} \right.$, lấy logarit cơ số 2 hai vế của $\left( * \right)$ ta được:

$lo{g_2}{(a + b)^2} = lo{g_2}\left( {8ab} \right) \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {a + b} \right) = 3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

Câu 25. Cho $lo{g_8}\left| x \right| + lo{g_4}{y^2} = 5$ và $lo{g_8}\left| y \right| + lo{g_4}{x^2} = 7$. Tìm giá trị của biểu thức $P = \left| x \right| – \left| y \right|$.

A. $P = 56$.

B. $P = 16$.

C. $P = 8$.

D. $P = 64$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiên: $x,y \ne 0$

Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được: $lo{g_8}\left| {xy} \right| + lo{g_4}{x^2}{y^2} = 12 \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {xy} \right| = 9 \Leftrightarrow \left| {xy} \right| = 512$ (1) Trừ vế với vế của hai phương trình, ta được:

$lo{g_8}\left| {\frac{x}{y}} \right| + lo{g_4}\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = – 2 \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {\frac{x}{y}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\frac{x}{y}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| x \right| = 8\left| y \right|$.

Từ (1) và (2) suy ra $\left| y \right| = 8 \Rightarrow \left| x \right| = 64 \Leftrightarrow P = 56$.

Câu 26. Cho $lo{g_8}c = m$ và $lo{g_{{c^3}}}2 = n$. Khẳng định đúng là

A. $mn = \frac{1}{9}lo{g_2}c$.

B. $mn = 9$.

C. $mn = 9lo{g_2}c$.

D. $mn = \frac{1}{9}$.

Lời giải

Chọn D.

$mn = lo{g_8}c \cdot lo{g_{{c^3}}}2 = \left( {\frac{1}{3}lo{g_2}c} \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}lo{g_c}2} \right) = \frac{1}{9}$.

Câu 27. Cho $a,b,x > 0;a > b$ và $b,x \ne 1$ thỏa mãn $lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + \frac{1}{{lo{g_b}{x^2}}}$. Khi đó biểu thức $P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{(a + 2b)}^2}}}$ có giá trị bằng:

A. $P = \frac{5}{4}$.

B. $P = \frac{2}{3}$.

C. $P = \frac{{16}}{{15}}$.

D. $P = \frac{4}{5}$.

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + \frac{1}{{lo{g_b}{x^2}}} \Leftrightarrow lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + lo{g_x}\sqrt b $

$ \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow {a^2} – 5ab + 4{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {a – 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4b$ (do $\left. {a > b} \right)$.

$P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{(a + 2b)}^2}}} = \frac{{32{b^2} + 12{b^2} + {b^2}}}{{36{b^2}}} = \frac{5}{4}$