35 Câu Trắc Nghiệm Bất Phương Trình Mũ Theo Dạng Giải Chi Tiết

35 câu trắc nghiệm bất phương trình mũ theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Phương pháp

Đưa về cùng cơ số hoặc Logarit hóa: Biến đổi đưa về phương trình mũ dạng: ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}}$ hoặc ${a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}}$ rồi áp dụng bất phương trình mũ cơ bản.

• Nếu $a > 1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right).\,$ (cùng chiều)

• Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$. $\,$ (ngược chiều)

• Nếu a chứa ẩn thì ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left( {a – 1} \right)\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] > 0$.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 6$ là

A. $\left( {lo{g_2}6; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;3} \right)$.

C. $\left( {3; + \infty } \right)$.

D. $\left( { – \infty ;lo{g_2}6} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${2^x} > 6 \Leftrightarrow x > lo{g_2}6$.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^x} < 2$ là

A. $\left( { – \infty ;lo{g_3}2} \right)$.

B. $\left( {lo{g_3}2; + \infty } \right)$.

C. $\left( { – \infty ;lo{g_2}3} \right)$.

D. $\left( {lo{g_2}3; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chon A.

Ta có ${3^x} < 2 \Leftrightarrow x < lo{g_3}2$

Vậy $S = \left( { – \infty ;lo{g_3}2} \right)$.

Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{2x}} < {2^{x + 6}}$ là:

A. $\left( { – \infty ;6} \right)$

B. $\left( {0;64} \right)$

C. $\left( {6; + \infty } \right)$

D. $\left( {0;6} \right)$

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: ${2^{2x}} < {2^{x + 6}} \Leftrightarrow 2x < x + 6 \Leftrightarrow x < 6$

Cách 2:

Đặt $t = {2^x},t > 0$

Bất phương trình trở thành: ${t^2} – 64t < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 64 \Leftrightarrow 0 < {2^x} < 64 \Leftrightarrow x < 6$.

Câu 4. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${5^{x + 1}} – \frac{1}{5} > 0$.

A. $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.

B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( { – 1; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( { – 2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Bất phương trình tương đương ${5^{x + 1}} > {5^{ – 1}} \Leftrightarrow x + 1 > – 1 \Leftrightarrow x > – 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – 2; + \infty } \right)$.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 9$ trên tập số thực là

A. $\left( {2; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

C. $\left( { – \infty ;2} \right)$.

D. $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn B.

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > 9 \Leftrightarrow {3^{ – x}} > {3^2} \Leftrightarrow – x > 2 \Leftrightarrow x < – 2$.

Vậy tập nghiệm là: $S = \left( { – \infty ; – 2} \right)$.

Câu 6. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ – x}}$ là

A. $S = \left( { – \infty ;2} \right)$

B. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$

C. $S = \left( {1; + \infty } \right)$

D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn D.

${5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ – x}} \Leftrightarrow {5^{x + 2}} < {5^{2x}} \Leftrightarrow x + 2\left\langle {2x \Leftrightarrow x} \right\rangle 2$

Câu 7. Tìm nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant \frac{1}{4}$.

A. $x \leqslant 3$.

B. $x > 3$.

C. $x \geqslant 3$.

D. $1 < x \leqslant 3$.

Lời giải

Chọn A.

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x – 1}} \geqslant {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x – 1 \leqslant 2 \Leftrightarrow x \leqslant 3$

Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} > 1$ là

A. $\mathbb{R}$

B. $\left( { – \infty ;0} \right)$

C. $\left( {0; + \infty } \right)$

D. $\left[ {0; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn B.

Vì $\frac{e}{\pi } < 1$ nên ${\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} > 1 \Leftrightarrow lo{g_{\frac{e}{\pi }}}{\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x} < lo{g_{\frac{e}{\pi }}}1 \Leftrightarrow x < 0$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.

Câu 9. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${3^x} < {e^x}$ là:

A. $S = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}$.

B. $S = \left( {0; + \infty } \right)$.

C. $S = \mathbb{R}$.

D. $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.

Lời giải

Chọn D.

${3^x} < {e^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{e}} \right)^x} < 1 \Leftrightarrow x < 0$. Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { – \infty ;0} \right)$.

Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1$ là

A. $\left( { – \infty ;0} \right)$.

B. $\left( {0; + \infty } \right)$.

C. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.

D. $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1 \Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < – \frac{1}{2}$.

Vây: Tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.

Câu 11. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{\sqrt x }} < 2$ là

A. $\left[ {0;1} \right)$.

B. $\left( { – \infty ;1} \right)$.

C. $\mathbb{R}$.

D. $\left( {1; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A.

${2^{\sqrt x }} < 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{\sqrt x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 0} \\
{x < 1}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left[ {0;1} \right)} \right.} \right.$

Câu 12. Bất phương trình ${\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{x – 1}} \leqslant {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{2x + 3}}$ có nghiệm là

A. $x \leqslant – 4$.

B. $x > – 4$.

C. $x < – 4$.

D. $x \geqslant – 4$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

${\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{x – 1}} \leqslant {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{2x + 3}}$$ \Leftrightarrow x – 1 \leqslant 2x + 3$$ \Leftrightarrow x \geqslant – 4$

Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \leqslant {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}$ là:

A. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

B. $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

C. $\left( {0;\frac{1}{2}} \right]$.

D. $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Cơ số $a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1$ nên bất phương trình: ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{1}{x}}} \leqslant {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{1}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{1 – 2x}}{x} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0 < x \leqslant \frac{1}{2}$.

Câu 14. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${2^{{x^2} + 3x}} \leqslant 16$ là số nào sau đây ?

A. 5 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn B.

${2^{{x^2} + 3x}} \leqslant 16 \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x}} \leqslant {2^4} \Leftrightarrow {x^2} + 3x \leqslant 4 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 4;1} \right]$.

Các nghiệm nguyên của bất phương trình là : -4;-3;-2;-1;0;1.

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} < 27$ là

A. $\left( {3; + \infty } \right)$

B. $\left( { – 1;3} \right)$

C. $\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

D. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$

Lời giải

Chọn B.

Ta có ${3^{{x^2} – 2x}} < 27 \Leftrightarrow {x^2} – 2x < 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 < 0 \Leftrightarrow – 1 < x < 3$.

Câu 16. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2{x^2} – 3x – 7}} > {3^{2x – 21}}$ là

A. 7 .

B. 6 .

C. vô số.

D. 8 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2{x^2} – 3x – 7}} > {3^{2x – 21}} \Leftrightarrow {3^{ – \left( {2{x^2} – 3x – 7} \right)}} > {3^{2x – 21}}$

$ \Leftrightarrow – \left( {2{x^2} – 3x – 7} \right) > 2x – 21 \Leftrightarrow – 2{x^2} + 3x + 7 > 2x – 21$

$ \Leftrightarrow – 2{x^2} + x + 28 > 0 \Leftrightarrow – \frac{7}{2} < x < 4$

Do $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { – 3; – 2; – 1;0;1;2;3} \right\}$.

Vậy bất phương trình đã cho có 7 nghiệm nguyên.

Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > \frac{{81}}{{256}}$ là

A. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

C. $\mathbb{R}$.

D. $\left( { – 2;2} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > \frac{{81}}{{256}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ – {x^2}}} > {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} \Leftrightarrow – {x^2} < 4 \Leftrightarrow – {x^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow x \in R$

Câu 18. Bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} \geqslant \frac{1}{8}$ có tập nghiệm là

A. $\left[ {3; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ; – 1} \right]$.

C. $\left[ { – 1;3} \right]$.

D. $\left( { – 1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Bất phương trình đã cho tương đương với

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 2x}} \geqslant {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} – 2x \leqslant 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant 3$

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = \left[ { – 1;3} \right]$.

Câu 19. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8$ là

A. $S = \left( { – \infty ;3} \right)$.

B. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

Bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < {2^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 3}}$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x > – 3 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 3} \\
{x < 1}
\end{array}} \right.$

Nên tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} – 4x}} < 8$ là $S = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Câu 20. Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}$.

A. $S = \left[ {1;2} \right]$

B. $S = \left( { – \infty ;1} \right)$

C. $S = \left( {1;2} \right)$

D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn C.

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – {x^2} + 3x}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow – {x^2} + 3x > 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {1;2} \right)$.

Câu 21. Cho bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} – x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x – 1}}$ có tập nghiệm $S = \left( {a;b} \right)$. Giá trị của $b – a$ bằng

A. -2 .

B. -1 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn C.

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} – x + 1}} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 < 2x – 1\,$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2 \Rightarrow S = \left( {1;2} \right)$

Vậy $a = 1;b = 2 \Rightarrow b – a = 1$.

Câu 22. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x – 1}}$.

A. $\left( {2; + \infty } \right)$.

B. $\left( { – \infty ;2} \right)$.

C. $\left( { – \infty ;2} \right]$.

D. $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có ${2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x – 1}} \Leftrightarrow 3 \cdot {2^x} \leqslant {4.3^{x – 1}} \Leftrightarrow {2^{x – 2}} \leqslant {3^{x – 2}}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x – 2}} \leqslant 1 \Leftrightarrow x – 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 2$

Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} \geqslant {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$ là

A. $S = \left( { – \infty ;lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}} \right)$.

B. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}3; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}10; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

${3^{x + 1}} + {5^{x + 2}} \geqslant {3^{x + 2}} + {5^{x + 1}}$

$ \Leftrightarrow {25.5^x} – {5.5^x} > {9.3^x} – {3.3^x}$

$ \Leftrightarrow {20.5^x} > {6.3^x}$

$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} > \frac{3}{{10}}$

$ \Leftrightarrow x > lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}$

$ \Rightarrow S = \left( {lo{g_{\frac{5}{3}}}\frac{3}{{10}}; + \infty } \right)$

Câu 24. Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x} \cdot {7^{{x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow x + {x^2}lo{g_2}7 < 0$

B. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow xln2 + {x^2}ln7 < 0$

C. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow xlo{g_7}2 + {x^2} < 0$

D. $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow 1 + xlo{g_2}7 < 0$

Lời giải

Chọn D.

Đáp án A đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_2}f\left( x \right) < lo{g_2}1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{2^x} + lo{g_2}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x + {x^2} \cdot lo{g_2}7 < 0$

Đáp án B đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lnf\left( x \right) < ln1 \Leftrightarrow ln\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow ln{2^x} + ln{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x \cdot ln2 + {x^2} \cdot ln7 < 0$

Đáp án $C$ đúng vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_7}f\left( x \right) < lo{g_7}1 \Leftrightarrow lo{g_7}\left( {{2^x} \cdot {7^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_7}{2^x} + lo{g_7}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x.lo{g_7}2 + {x^2} < 0$

Vậy D sai vì $f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow lo{g_2}f\left( x \right) < lo{g_2}1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^x}{{.7}^{{x^2}}}} \right) < 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{2^x} + lo{g_2}{7^{{x^2}}} < 0$ $ \Leftrightarrow x + {x^2}lo{g_2}7 < 0$

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình ${(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant 7 + 4\sqrt 3 $ là:

A. $\left[ { – 6;2} \right]$.

B. $\left( { – \infty – 6\left] \cup \right[2; + \infty } \right)$.

C. $\left( { – 6;2} \right)$.

D. $\left( { – \infty ; – 6} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $7 + 4\sqrt 3 = {(2 + \sqrt 3 )^2},\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right) = 1$ và $2 + \sqrt 3 = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 1}} \Rightarrow 7 + 4\sqrt 3 = {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2}}$.

Do đó, ${(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant 7 + 4\sqrt 3 \Leftrightarrow {(2 – \sqrt 3 )^{{x^2} + 4x – 14}} \geqslant {(2 – \sqrt 3 )^{ – 2}}$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 14 \leqslant – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 12 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 6 \leqslant x \leqslant 2$.

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $\left[ { – 6;2} \right]$.

Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình: ${(17 – 12\sqrt 2 )^x} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}}$ là:

A. 3 .

B. 1.

C. 2 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: ${(17 – 12\sqrt 2 )^x} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}} \Leftrightarrow {(3 – \sqrt 8 )^{2x}} \geqslant {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2}}}$

$ \Leftrightarrow {(3 + \sqrt 8 )^{{x^2} + 2x}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { – 2;0} \right]$.

Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên.

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} – {3^{x + 1}} > 0$ là

A. $S = \left( { – \infty ;lo{g_{\frac{2}{3}}}3} \right)$.

B. $S = \left( {lo{g_{\frac{2}{3}}}3; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {lo{g_2}3; + \infty } \right)$.

D. $\left( {1;3} \right)$.

Lời giải

Chọn A.

${2^x} – {3^{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow {2^x} > {3.3^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} > 3 \Leftrightarrow x < lo{g_{\frac{2}{3}}}3$

Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình ${5^{2x – 1}} < {7^{3 – x}}$ là

A. $S = \left( { – \infty ;\frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}} \right)$.

B. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{7}}}7; + \infty } \right)$.

C. $S = \left( {lo{g_{\frac{5}{7}}}5; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( {\frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A.

${5^{2x – 1}} < {7^{3 – x}}$

$ \Leftrightarrow lo{g_5}{5^{2x – 1}} < lo{g_5}{7^{3 – x}}$

$ \Leftrightarrow 2x – 1 < \left( {3 – x} \right)lo{g_5}7$

$ \Leftrightarrow 2x + xlo{g_5}7 < 3lo{g_5}7 + 1$

$ \Leftrightarrow x\left( {2 + lo{g_5}7} \right) < 3lo{g_5}7 + 1$

$ \Leftrightarrow x < \frac{{1 + 3lo{g_5}7}}{{2 + lo{g_5}7}}$

Câu 29. Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình ${6^{2x + 3}} \leqslant {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}$ là

A. 4 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 7 .

Lời giải

Chọn A.

${6^{2x + 3}} \leqslant {2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{6^{2x + 3}} \leqslant lo{g_2}\left( {{2^{x + 7}} \cdot {3^{3x – 1}}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)lo{g_2}6 \leqslant \left( {x + 7} \right)lo{g_2}2 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {1 + lo{g_2}3} \right) \leqslant x + 7 + \left( {3x – 1} \right)lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow \left( {1 – lo{g_2}3} \right)x \leqslant 4 – 4lo{g_2}3$

$\Leftrightarrow x \geqslant 4$

$ \Rightarrow S = \left[ {4; + \infty } \right)$

Câu 30. Có bao nhiêu số nguyên thuộc (-2022;2022) là nghiệm của bất phương trình ${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$ ?

A. 4041 .

B. 4042 .

C. 2022 .

D. 2021 .

Lời giải

Chọn A.

${3^x} \cdot {2^{{x^2}}} > 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{3^x} \cdot {2^{{x^2}}}} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{3^x} + lo{g_2}{2^{{x^2}}} > 0$

$ \Leftrightarrow xlo{g_2}3 + {x^2} > 0$

$ \Leftrightarrow x\left( {lo{g_2}3 + x} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 0} \\
{x < – lo{g_2}3}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – lo{g_2}3} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$

Có 4041số nguyên thuộc (-2022; 2022)

Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} – {3^{x – 2}} \geqslant 0$ là

A. $S = \left( {4; + \infty } \right)$.

B. $S = \left[ {4; + \infty } \right)$.

C. $S = \left[ { – 4; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( { – \infty ; – 2 + lo{g_3}2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn D.

${2^{{x^2} – 4}} – {3^{x – 2}} \geqslant 0$

$ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 4}} \geqslant {3^{x – 2}}$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{2^{{x^2} – 4}} \geqslant lo{g_2}{3^{x – 2}}$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 \geqslant \left( {x – 2} \right)lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x + 2 – lo{g_3}2} \right) \geqslant 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leqslant – 2 + lo{g_3}2} \\
{x \geqslant 4}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – 2 + lo{g_3}2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)$

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} – 256 > 0$ là

A. $S = \left( { – 4;2} \right)$.

B. $S = \left[ { – 4;2} \right)$.

C. $S = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

D. $S = \left[ {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

${2^{{x^2}}} \cdot {4^x} – 256 > 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{2^{{x^2}}} \cdot {4^x}} \right) > lo{g_2}256$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 4} \\
{x > 2}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow S = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

Câu 33. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1$ (với $a$ là tham số, $a \ne 0$ ) là:

A. $\left( { – \infty ;0} \right)$

B. $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$

C. $\left( {0; + \infty } \right)$

D. $\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$

Lời giải

Chọn B.

Ta có: ${\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^{2x + 1}} > {\left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} \right)^0}\left( 1 \right)$.

Nhận thấy $1 + {a^2} > 1,\forall a \ne 0$ nên: $\frac{1}{{1 + {a^2}}} < 1$. Khi đó bất phương trình (1) tương đương $2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < – \frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho : $S = \left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$.

Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \leqslant {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}$ là

A. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right)$.

B. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.

C. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.

D. $S = \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$.

Lời giải

Chọn C.

${\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \leqslant {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 – x}}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right) – 1} \right] \cdot \left[ {\left( {2{x^2} + x + 1} \right) – \left( {1 – x} \right)} \right] \leqslant 0$

$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right)\left( {2{x^2} + 2x} \right) \leqslant 0$

$ \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left[ { – \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right]$

Câu 35. Tập nghiệm của bất phương trình ${(x – 1)^{4{x^2} – 2x – 2}} > {(x – 1)^{x – 1}}$ là

A. $S = \left( {0;2} \right)$.

B. $S = \left( { – \infty ; – 1} \right)$.

C. $S = \left( {0;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

D. $S = \left( {2; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn C.

${(x – 1)^{4{x^2} – 2x – 2}} > {(x – 1)^{x – 1}}$

 TH 1: $0 < x – 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2\left( * \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4{x^2} – 2x – 2 < x – 1 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 < 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{4} < x < 1$.

Đối chiếu Đk $\left( * \right) \Rightarrow 0 < x < 1$ (I)

TH 2: $x – 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2:\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 > 1$ vô lý

TH 3: $x – 1 > 1 \Leftrightarrow x > 2\left( {**} \right)$

$(1) \Leftrightarrow 4{x^2} – 2x – 2 > x – 1 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 > 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x < – \frac{1}{4} \hfill \\
x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$

Đối chiếu điều kiện (**) ta được $x > 2$ (11)

Hợp (1) và $\left( {11} \right) \Rightarrow S = \left( {0;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$