Trắc Nghiệm Tính Biểu Thức Lôgarit Theo a, b, c Có Lời Giải Chi Tiết

Trắc nghiệm Tính biểu thức lôgarit theo a, b, c có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1. Đặt $lo{g_3}2 = a$ khi đó $lo{g_{16}}27$ bằng

A. $\frac{{3a}}{4}$

B. $\frac{3}{{4a}}$

C. $\frac{4}{{3a}}$

D. $\frac{{4a}}{3}$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $lo{g_{16}}27 = \frac{3}{4}lo{g_2}3 = \frac{3}{{4 \cdot lo{g_3}2}} = \frac{3}{{4a}}$

Câu 2. Đặt $a = lo{g_3}2$, khi đó $lo{g_6}48$ bằng

A. $\frac{{3a – 1}}{{a – 1}}$

B. $\frac{{3a + 1}}{{a + 1}}$

C. $\frac{{4a – 1}}{{a – 1}}$

D. $\frac{{4a + 1}}{{a + 1}}$

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Giải trực tiếp

$lo{g_6}48 = lo{g_6}6.8 = lo{g_6}6 + lo{g_6}8 = 1 + \frac{1}{{lo{g_8}6}} = 1 + \frac{1}{{lo{g_{{2^3}}}2.3}}$

$ = 1 + \frac{1}{{\frac{1}{3}\left( {1 + lo{g_2}3} \right)}}$

$ = \frac{{1 + lo{g_2}3 + 3}}{{\left( {1 + lo{g_2}3} \right)}} = \frac{{4 + \frac{1}{a}}}{{1 + \frac{1}{a}}} = \frac{{4a + 1}}{{a + 1}}$. Chọn đáp án D

Cách 2: Dùng máy tính Casio

Ta có $lo{g_6}48 = 2.1605584217$. Thay $a = lo{g_3}2 = 0.63092975375$ vào 4 đáp án thì ta chọn đáp án D vì $\frac{{4a + 1}}{{a + 1}} = 2.1605584217$

Câu 3. Cho $lo{g_{12}}3 = a$. Tính $lo{g_{24}}18$ theo $a$.

A. $\frac{{3a – 1}}{{3 – a}}$.

B. $\frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

C. $\frac{{3a + 1}}{{3 + a}}$.

D. $\frac{{3a – 1}}{{3 + a}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $a = lo{g_{12}}3 = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}12}} = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}\left( {{2^2} \cdot 3} \right)}} = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}\left( {{2^2}} \right) + lo{g_2}3}} = \frac{{lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}3}} \Rightarrow lo{g_2}3 = \frac{{2a}}{{1 – a}}$.

Ta có: $lo{g_{24}}18 = \frac{{lo{g_2}18}}{{lo{g_2}24}} = \frac{{lo{g_2}\left( {2 \cdot {3^2}} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot 3} \right)}} = \frac{{1 + 2lo{g_2}3}}{{3 + lo{g_2}3}} = \frac{{1 + 2 \cdot \frac{{2a}}{{1 – a}}}}{{3 + \frac{{2a}}{{1 – a}}}} = \frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

Vậy $lo{g_{24}}18 = \frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

Câu 4. Nếu $lo{g_2}3 = a$ thì $lo{g_{72}}108$ bằng

A. $\frac{{2 + a}}{{3 + a}}$.

B. $\frac{{2 + 3a}}{{3 + 2a}}$.

C. $\frac{{3 + 2a}}{{2 + 3a}}$.

D. $\frac{{2 + 3a}}{{2 + 2a}}$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $lo{g_{72}}108 = \frac{{lo{g_2}108}}{{lo{g_2}72}} = \frac{{lo{g_2}\left( {{2^2} \cdot {3^3}} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot {3^2}} \right)}} = \frac{{2 + 3lo{g_2}3}}{{3 + 2lo{g_2}3}} = \frac{{2 + 3a}}{{3 + 2a}}$.

Câu 5. Biết $lo{g_3}15 = a$, tính $P = lo{g_{25}}81$ theo $a$ ta được

A. $P = 2\left( {a + 1} \right)$

B. $P = 2\left( {a – 1} \right)$

C. $P = \frac{2}{{a + 1}}$

D. $\frac{2}{{a – 1}}$

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_3}15 = a \Rightarrow 1 + lo{g_3}5 = a \Rightarrow lo{g_3}5 = a – 1$

$P = lo{g_{25}}81 = \frac{{lo{g_3}81}}{{lo{g_3}25}} = \frac{4}{{2lo{g_3}5}} = \frac{4}{{2\left( {a – 1} \right)}} = \frac{2}{{a – 1}}$

Câu 6. Nếu $lo{g_3}5 = a$ thì $lo{g_{45}}75$ bằng

A. $\frac{{2 + a}}{{1 + 2a}}$.

B. $\frac{{1 + a}}{{2 + a}}$.

C. $\frac{{1 + 2a}}{{2 + a}}$.

D. $\frac{{1 + 2a}}{{1 + a}}$.

Lời giải

Chon C.

Ta có $lo{g_{45}}75 = 2 \cdot lo{g_{45}}5 + lo{g_{45}}3$.

Và $lo{g_{45}}5 = \frac{1}{{lo{g_5}45}} = \frac{1}{{2lo{g_5}3 + 1}} = \frac{1}{{\frac{2}{a} + 1}} = \frac{a}{{a + 2}};lo{g_{45}}3 = \frac{1}{{lo{g_3}45}} = \frac{1}{{2 + lo{g_3}5}} = \frac{1}{{a + 2}}$.

Do đó $lo{g_{45}}75 = \frac{{2a}}{{a + 2}} + \frac{1}{{a + 2}} = \frac{{1 + 2a}}{{2 + a}}$.

Câu 7. Cho $lo{g_{12}}3 = a$. Tính $lo{g_{24}}18$ theo $a$.

A. $\frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

B. $\frac{{3a + 1}}{{3 + a}}$.

C. $\frac{{3a – 1}}{{3 + a}}$.

D. $\frac{{3a – 1}}{{3 – a}}$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $a = lo{g_{12}}3 = \frac{1}{{lo{g_3}12}} = \frac{1}{{1 + 2lo{g_3}2}} \Leftrightarrow lo{g_2}3 = \frac{{2a}}{{1 – a}}$. Khi đó: $lo{g_{24}}18 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 2} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot 3} \right)}} = \frac{{1 + 2lo{g_2}3}}{{3 + lo{g_2}3}} = \frac{{1 + 2 \cdot \frac{{2a}}{{1 – a}}}}{{3 + \frac{{2a}}{{1 – a}}}} = \frac{{1 + 3a}}{{3 – a}}$.

Câu 8. Biết $lo{g_6}3 = a,lo{g_6}5 = b$. Tính $lo{g_3}5$ theo $a,b$

A. $\frac{b}{a}$

B. $\frac{b}{{1 + a}}$

C. $\frac{b}{{1 – a}}$

D. $\frac{b}{{a – 1}}$

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_6}3 = a \Leftrightarrow 3 = {6^a},lo{g_6}5 = b \Leftrightarrow 5 = {6^b} \Rightarrow lo{g_3}5 = lo{g_{{6^a}}}{6^b} = \frac{b}{a}$

Câu 9. Đặt $a = lo{g_2}3,b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$.

A. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

C. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$

D. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$

Lời giải

Chọn B.

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 5} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2lo{g_2}3 + lo{g_2}5}}{{1 + lo{g_2}3}} = \frac{{2a + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}{{1 + a}}$

$ = \frac{{2a + \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_5}3}}}}{{1 + a}} = \frac{{2a + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

CASIO: Sto \Gán $A = lo{g_2}3,B = lo{g_5}3$ bằng cách: Nhập $lo{g_2}3 \setminus $ shift $ \setminus $ Sto $ \setminus A$ tương tự $B$

Thử từng đáp án $A:\frac{{A + 2AB}}{{AB}} – lo{g_6}45 \approx 1,34$ ( Loại)

Thử đáp án $C:\frac{{A + 2AB}}{{AB}} – lo{g_6}45 = 0$ ( chọn $)$.

Câu 10. Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_5}3$. Nếu biểu diễn $lo{g_6}45 = \frac{{a\left( {m + nb} \right)}}{{b\left( {a + p} \right)}}$ thì $m + n + p$ bằng

A. 3

B. 4

C. 6

D. -3

Lời giải

Chọn B.

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_3}45}}{{lo{g_3}6}} = \frac{{lo{g_3}9 + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2 + lo{g_3}3}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{a\left( {2b + 1} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}$

Suy ra $m = 1,n = 2,p = 1 \Rightarrow m + n + p = 4$

Câu 11. Đặt $a = lo{g_2}3$ và $b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$.

A. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$.

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$.

C. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$.

D. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$.

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_3}45}}{{lo{g_3}6}} = \frac{{lo{g_3}{3^2}.5}}{{lo{g_3}2.3}} = \frac{{lo{g_3}{3^2} + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2 + lo{g_3}3}}$

$ = \frac{{2 + \frac{1}{{lo{g_5}3}}}}{{\frac{1}{{lo{g_2}3}} + 1}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{\left( {\frac{{2b + 1}}{b}} \right)}}{{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}} = \frac{{\left( {2b + 1} \right)a}}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{a + 2ab}}{{b + ab}}$

Câu 12. Đặt $a = ln2,b = ln5$, hãy biểu diễn $I = ln\frac{1}{2} + ln\frac{2}{3} + ln\frac{3}{4} + \ldots + ln\frac{{98}}{{99}} + ln\frac{{99}}{{100}}$ theo a và $B$.

A. $ – 2\left( {a + b} \right)$

B. $ – 2\left( {a – b} \right)$

C. $2\left( {a + b} \right)$

D. $2\left( {a – b} \right)$

Lời giải

Chọn A.

$I = ln\frac{1}{2} + ln\frac{2}{3} + ln\frac{3}{4} + \ldots + ln\frac{{98}}{{99}} + ln\frac{{99}}{{100}}$

$\; = ln\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{{98}}{{99}} \cdot \frac{{99}}{{100}}} \right) = ln\frac{1}{{100}} = ln{10^{ – 2}}$

$\; = – 2ln10 = – 2\left( {ln2 + ln5} \right) = – 2\left( {a + b} \right).$

Câu 13. Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_3}5$. Biểu diễn đúng của $lo{g_{20}}12$ theo $a,b$ là

A. $\frac{{ab + 1}}{{b – 2}}$.

B. $\frac{{a + b}}{{b + 2}}$.

C. $\frac{{a + 1}}{{b – 2}}$.

D. $\frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_{20}}12 = lo{g_{20}}3 + 2lo{g_{20}}2 = \frac{1}{{2lo{g_3}2 + lo{g_3}5}} + \frac{2}{{lo{g_2}5 + 2}} = \frac{1}{{2 \cdot \frac{1}{a} + b}} + \frac{2}{{ab + 2}} = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Câu 14. Cho $lo{g_2}3 = a,lo{g_2}5 = b$, khi đó $lo{g_{15}}8$ bằng

A. $\frac{{a + b}}{3}$

B. $\frac{1}{{3\left( {a + b} \right)}}$

C. $3\left( {a + b} \right)$

D. $\frac{3}{{a + b}}$

Lời giải

Chọn D.

$lo{g_{15}}8 = 3lo{g_{15}}2 = \frac{3}{{lo{g_2}15}} = \frac{3}{{lo{g_2}3 + lo{g_2}5}} = \frac{3}{{a + b}}$

Câu 15. Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_3}5$. Biểu diễn $lo{g_{20}}12$ theo $a,b$.

A. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + b}}{{b + 2}}$.

B. $lo{g_{20}}12 = \frac{{ab + 1}}{{b – 2}}$.

C. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + 1}}{{b – 2}}$.

D. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_{20}}12 = \frac{{lo{g_2}12}}{{lo{g_2}20}} = \frac{{lo{g_2}4 \cdot 3}}{{lo{g_2}4.5}} = \frac{{2 + lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}5}} = \frac{{2 + lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}} = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Câu 16. Cho $lo{g_{30}}3 = a;lo{g_{30}}5 = b$. Tính $lo{g_{30}}1350$ theo $a,b$; $lo{g_{30}}1350$ bằng

A. $2a + b$

B. $2a + b + 1$

C. $2a + b – 1$

D. $2a + b – 2$

Lời giải

Chọn B.

Ta có $1350 = 30.45 = 30.9.5 = {30.3^2}.5$

Nên $lo{g_{30}}1350 = lo{g_{30}}{30.3^2}.5 = lo{g_{30}}30 + lo{g_{30}}{3^2} + lo{g_{30}}5 = 1 + 2lo{g_{30}}3 + lo{g_{30}}5 = 1 + 2a + b$

Câu 17. Đặt $m = log2$ và $n = log7$. Hãy biểu diễn $log6125\sqrt 7 $ theo $m$ và $n$.

A. $\frac{{6 + 6m + 5n}}{2}$.

B. $\frac{1}{2}\left( {6 – 6n + 5m} \right)$.

C. $5m + 6n – 6$.

D. $\frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $log6125\sqrt 7 = log{5^3}{7^{\frac{5}{2}}} = 3log5 + \frac{5}{2}log7 = 3log\frac{{10}}{2} + \frac{5}{2}log7$

$ = 3\left( {1 – log2} \right) + \frac{5}{2}log7 = 3\left( {1 – m} \right) + \frac{5}{2}n = \frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Vậy $log6125\sqrt 7 = \frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Câu 18. Cho $a = lo{g_2}m$ và $A = lo{g_m}16m$, với $0 < m \ne 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A = \frac{{4 – a}}{a}$.

B. $A = \frac{{4 + a}}{a}$.

C. $A = \left( {4 + a} \right)a$.

D. $A = \left( {4 – a} \right)a$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $A = lo{g_m}16m = \frac{{lo{g_2}16m}}{{lo{g_2}m}} = \frac{{lo{g_2}16 + lo{g_2}m}}{{lo{g_2}m}} = \frac{{4 + a}}{a}$.

Câu 19. Cho $lo{g_3}5 = a,lo{g_3}6 = b,lo{g_3}22 = c$. Tính $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right)$ theo $a,b,c$ ?

A. $P = 2a – b + c$.

B. $P = 2a + b + c$.

C. $P = 2a + b – c$.

D. $P = a + 2b – c$.

Lời giải

Chọn D.

Ta có $lo{g_3}6 = b \Leftrightarrow lo{g_3}2 + 1 = b \Leftrightarrow lo{g_3}2 = b – 1$, $lo{g_3}22 = c \Leftrightarrow lo{g_3}2 + lo{g_3}11 = c \Leftrightarrow lo{g_3}11 = c – lo{g_3}2 = c – b + 1$. Khi đó $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right) = lo{g_3}90 – lo{g_3}11 = 2 + lo{g_3}2 + lo{g_3}5 – lo{g_3}11 = 2b + a – c$.

Câu 20. Với $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_3}7 = b$ và $lo{g_2}3 = c$, giá trị của $lo{g_6}35$ bằng

A. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + c}}$

B. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + b}}$

C. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + a}}$

D. $\frac{{\left( {3b + a} \right)c}}{{1 + c}}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có: $lo{g_{27}}5 = a \Rightarrow a = \frac{1}{3}lo{g_3}5 \Rightarrow 3a = lo{g_3}5 \Rightarrow lo{g_5}3 = \frac{1}{{3a}}$

$lo{g_3}7 = b \Rightarrow lo{g_7}3 = \frac{1}{b};bc = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}7 = lo{g_2}7 \Rightarrow lo{g_7}2 = \frac{1}{{bc}}$

$3ac = lo{g_3}5 \cdot lo{g_2}3 = lo{g_2}5 \Rightarrow lo{g_5}2 = \frac{1}{{3ac}}$

$lo{g_6}35 = lo{g_6}5 + lo{g_6}7 = \frac{1}{{lo{g_5}6}} + \frac{1}{{lo{g_7}6}} = \frac{1}{{lo{g_5}2 + lo{g_5}3}} + \frac{1}{{lo{g_7}3 + lo{g_7}2}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{3ac}} + \frac{1}{{3a}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{b} + \frac{1}{{bc}}}} = \frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{c + 1}}$

Câu 21. Giả sử $lo{g_{27}}5 = a;lo{g_8}7 = b;lo{g_2}3 = c$. Hãy biểu diễn $lo{g_{12}}35$ theo $a,b,c$ ?

A. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}$.

B. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}$.

C. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}$.

D. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}$.

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_{27}}5 = a \Leftrightarrow \frac{1}{3}lo{g_3}5 = a \Leftrightarrow \frac{{lo{g_2}5}}{{lo{g_2}3}} = 3a \Leftrightarrow lo{g_2}5 = 3ac$.

$lo{g_8}7 = b \Leftrightarrow \frac{1}{3}lo{g_2}7 = b \Leftrightarrow lo{g_2}7 = 3b$

Xét $lo{g_{12}}35 = \frac{{lo{g_2}35}}{{lo{g_2}12}} = \frac{{lo{g_2}\left( {5.7} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}} = \frac{{lo{g_2}5 + lo{g_2}7}}{{lo{g_2}3 + 2}} = \frac{{3ac + 3b}}{{c + 2}}$.

Câu 22. Đặt $a = lo{g_2}3$ và $b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$

A. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2Ab}}{{ab + b}}$

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2Ab}}{{ab}}$

C. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2Ab}}{{ab}}$

D. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 5} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2lo{g_2}3 + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}{{1 + lo{g_2}3}} = \frac{{2A + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{2Ab + a}}{{ab + b}}$

Câu 23. Cho $lo{g_9}5 = a;lo{g_4}7 = b;lo{g_2}3 = c$. Biết $lo{g_{24}}175 = \frac{{mb + nac}}{{pc + q}}$. Tính $A = m + 2n + 3p + 4q$.

A. 27

B. 25

C. 23

D. 29

Lời giải

Chọn B.

Ta có $lo{g_{24}}175 = lo{g_{24}}{7.5^2} = lo{g_{24}}7 + 2lo{g_{24}}{5^2} = \frac{1}{{lo{g_7}24}} + \frac{2}{{lo{g_5}24}} = $

$\frac{1}{{lo{g_7}3 + lo{g_7}{2^3}}} + \frac{2}{{lo{g_5}3 + lo{g_5}{2^3}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_3}7}} + \frac{3}{{lo{g_2}7}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + \frac{3}{{lo{g_2}5}}}} = $

$\frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_2}7 \cdot lo{g_3}2}} + \frac{3}{{lo{g_2}7}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + \frac{3}{{lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{2b \cdot \frac{1}{c}}} + \frac{3}{{2b}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{2A}} + \frac{3}{{C.2A}}}} = $

$\frac{1}{{\frac{c}{{2b}} + \frac{3}{{2b}}}} + \frac{2}{{\frac{c}{{2ac}} + \frac{3}{{2ac}}}} = \frac{{2b}}{{c + 3}} + \frac{{4Ac}}{{c + 3}} = \frac{{2b + 4Ac}}{{c + 3}}$.

$A = m + 2n + 3p + 4q = 2 + 8 + 3 + 12 = 25$

Câu 24. Cho $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_3}7 = b,lo{g_2}3 = c$, nếu biểu diễn $lo{g_6}35 = \frac{{\left( {xa + yb} \right)c}}{{m + nc}}$ thì giá trị của biểu thức $P = {x^2} + {y^2} – 3{m^2} + n$ bằng bao nhiêu?

A. $P = 7$.

B. $P = 8$.

C. $P = 0$.

D. $P = 2$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $lo{g_6}35 = lo{g_6}5 + lo{g_6}7 = \frac{1}{{lo{g_5}2 + lo{g_5}3}} + \frac{1}{{lo{g_7}2 + lo{g_7}3}}\left( 1 \right)$

Từ giả thiết: $lo{g_{27}}5 = a;lo{g_2}3 = c$

$ \Rightarrow lo{g_3}5 = 3a \Rightarrow lo{g_2}5 = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5 = 3ac,lo{g_2}7 = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}7 = bc$.

Do đó, $\left( 1 \right) \Leftrightarrow lo{g_6}35 = \frac{1}{{\frac{1}{{3ac}} + \frac{1}{{3a}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{{bc}} + \frac{1}{b}}} = \frac{{3ac}}{{1 + c}} + \frac{{bc}}{{1 + c}} = \frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + c}}$.

$ \Rightarrow x = 3;y = 1;m = 1;n = 1$.

Vậy $P = {x^2} + {y^2} – 3{m^2} + n = 8$.

Câu 25. Cho $a = lo{g_2}3,b = lo{g_3}5$ và $c = lo{g_{11}}15$. Biết $lo{g_{66}}120 = \frac{{mc + nac + pabc}}{{a + c + ab + ac}}$ với $m,n,p \in \mathbb{Z}$. Tính $T = m + n + p$.

A. $T = 5$.

B. $T = 3$.

C. $T = 1$.

D. $T = 7$.

Lời giải

Chọn A.

Ta có $lo{g_2}5 = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5 = a \cdot b$.

$lo{g_2}11 = lo{g_2}15 \cdot lo{g_{15}}11 = \left[ {lo{g_2}\left( {3.5} \right)} \right] \cdot \frac{1}{{lo{g_{11}}15}} = \left( {lo{g_2}3 + lo{g_2}5} \right) \cdot \frac{1}{{lo{g_{11}}15}} = \frac{{a + ab}}{c}$.

Do đó $lo{g_{66}}120 = \frac{{lo{g_2}120}}{{lo{g_2}66}} = \frac{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot 3 \cdot 5} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2 \cdot 3 \cdot 11} \right)}} = \frac{{3 + lo{g_2}3 + lo{g_2}5}}{{1 + lo{g_2}3 + lo{g_2}11}}$.

$ = \frac{{3 + a + ab}}{{1 + a + \frac{{a + ab}}{c}}} = \frac{{3c + ac + abc}}{{a + c + ab + ac}}$. Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 3} \\
{n = 1} \\
{p = 1}
\end{array}} \right.$.
Vậy $T = 5$.