70 Câu Trắc Nghiệm Bài Lôgarit Mức Vận Dụng Giải Chi Tiết

70 câu trắc nghiệm bài lôgarit mức vận dụng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Câu 1: Với các số thực dương $a,\;b$ bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $lo{g_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3lo{g_2}a + lo{g_2}b$.

B. $lo{g_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}lo{g_2}a + lo{g_2}b$.

C. $lo{g_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3lo{g_2}a – lo{g_2}b$.

D. $lo{g_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}lo{g_2}a – lo{g_2}b$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $lo{g_2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = lo{g_2}\left( {2{a^3}} \right) – lo{g_2}\left( b \right)$

$ = lo{g_2}2 + lo{g_2}{a^3} – lo{g_2}b = 1 + 3lo{g_2}a – logb$.

Câu 2: Cho $lo{g_3}a = 2$ và $lo{g_2}b = \frac{1}{2}$. Tính $I = 2lo{g_3}\left[ {lo{g_3}\left( {3a} \right)} \right] + lo{g_{\frac{1}{4}}}{b^2}$.

A. $I = \frac{5}{4}$

B. $I = 0$

C. $I = 4$

D. $I = \frac{3}{2}$

Lời giải

Chọn D

$I = 2lo{g_3}\left[ {lo{g_3}\left( {3a} \right)} \right] + lo{g_{\frac{1}{4}}}{b^2}$

$ = 2lo{g_3}\left( {lo{g_3}3 + lo{g_3}a} \right) + 2lo{g_{{2^{ – 2}}}}b = 2 – \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$

Câu 3: Với mọi số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 8ab$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {loga + logb} \right)$

B. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2} + loga + logb$

C. $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + loga + logb} \right)$

D. $log\left( {a + b} \right) = 1 + loga + logb$

Lời giải:

Chọn C

Ta có ${a^2} + {b^2} = 8ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 10ab$.

Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được: $log{(a + b)^2} = log\left( {10ab} \right)$

$ \Leftrightarrow 2log\left( {a + b} \right) = log10 + loga + logb$.

Hay $log\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + loga + logb} \right)$.

Câu 4: Cho $lo{g_a}x = 3,lo{g_b}x = 4$ với $a,b$ là các số thực lớn hơn 1 . Tính $P = lo{g_{ab}}x$.

A. $P = 12$

B. $P = \frac{{12}}{7}$

C. $P = \frac{7}{{12}}$

D. $P = \frac{1}{{12}}$

Lời giải

Chọn B

$P = lo{g_{ab}}x = \frac{1}{{lo{g_x}ab}} = \frac{1}{{lo{g_x}a + lo{g_x}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}} = \frac{{12}}{7}$

Câu 5: Cho $x,y$ là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn ${x^2} + 9{y^2} = 6xy$. Tính $M = \frac{{1 + lo{g_{12}}x + lo{g_{12}}y}}{{2lo{g_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$.

A. $M = \frac{1}{2}$.

B. $M = \frac{1}{3}$.

C. $M = \frac{1}{4}$.

D. $M = 1$

Lời giải

Chọn D

Ta có ${x^2} + 9{y^2} = 6xy \Leftrightarrow {(x – 3y)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3y$.

Khi đó $M = \frac{{1 + lo{g_{12}}x + lo{g_{12}}y}}{{2lo{g_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}$

$ = \frac{{lo{g_{12}}\left( {12xy} \right)}}{{lo{g_{12}}{{(x + 3y)}^2}}} = \frac{{lo{g_{12}}\left( {36{y^2}} \right)}}{{lo{g_{12}}\left( {36{y^2}} \right)}} = 1$.

Câu 6: Xét tất cả các số dương $a$ và $b$ thỏa mãn $lo{g_2}a = lo{g_8}\left( {ab} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = {b^2}$.

B. ${a^3} = b$.

C. $a = b$.

D. ${a^2} = b$.

Lời giải

Chọn D

Theo đề ta có:

$lo{g_2}a = lo{g_8}\left( {ab} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a = \frac{1}{3}lo{g_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow 3lo{g_2}a = lo{g_2}\left( {ab} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{a^3} = lo{g_2}\left( {ab} \right) \Leftrightarrow {a^3} = ab \Leftrightarrow {a^2} = b$

Câu 7: Xét số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $lo{g_3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = lo{g_9}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $a + 2b = 2$.

B. $4a + 2b = 1$.

C. $4ab = 1$.

D. $2a + 4b = 1$.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

$lo{g_3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = lo{g_9}3 \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{3^a} \cdot {3^{2b}}} \right) = lo{g_{{3^2}}}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}{3^{a + 2b}} = lo{g_3}{3^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2a + 4b = 1.$

Câu 8: Cho $a$ và $b$ là các số thực dương thỏa mãn ${4^{lo{g_2}\left( {ab} \right)}} = 3a$. Giá trị của $a{b^2}$ bằng

A. 3 .

B. 6 .

C. 2 .

D. 12 .

Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết ta có : ${4^{lo{g_2}\left( {ab} \right)}} = 3a$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {ab} \right) \cdot lo{g_2}4 = lo{g_2}\left( {3a} \right)$

$ \Leftrightarrow 2\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right) = lo{g_2}a + lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a + 2lo{g_2}b = lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {a{b^2}} \right) = lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow a{b^2} = 3$

Câu 9: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${9^{lo{g_3}\left( {ab} \right)}} = 4a$. Giá trị của $a{b^2}$ bằng

A. 3 .

B. 6 .

C. 2

D. 4

Lời giải

Chọn D

Ta có : ${9^{lo{g_3}\left( {ab} \right)}} = 4a \Leftrightarrow 2lo{g_3}\left( {ab} \right) = lo{g_3}\left( {4a} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{a^2}{b^2}} \right) = lo{g_3}\left( {4a} \right) \Rightarrow {a^2}{b^2} = 4a$

$ \Leftrightarrow a{b^2} = 4$.

Câu 10: Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $lo{g_3}a – 2lo{g_9}b = 2$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 9{b^2}$.

B. $a = 9b$.

C. $a = 6b$.

D. $a = 9{b^2}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $lo{g_3}a – 2lo{g_9}b = 2 \Leftrightarrow lo{g_3}a – lo{g_3}b = 2$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 2 \Leftrightarrow a = 9b$.

Câu 11: Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $lo{g_3}a – 2lo{g_9}b = 3$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27b$.

B. $a = 9b$.

C. $a = 27{b^4}$.

D. $a = 27{b^2}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $lo{g_3}a – 2lo{g_9}b = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}a – lo{g_3}b = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 27 \Leftrightarrow a = 27b$.

Câu 12: Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏ̉ mãn $lo{g_2}a – 2lo{g_4}b = 4$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16{b^2}$.

B. $a = 8b$.

C. $a = 16b$.

D. $a = 16{b^4}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $lo{g_2}a – 2lo{g_4}b = 4$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a – 2lo{g_{{2^2}}}b = 4$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a – 2 \cdot \frac{1}{2}lo{g_2}b = 4$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}a – lo{g_2}b = 4$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{a}{b} = 4$

$ \Leftrightarrow \frac{a}{b} = {2^4}$

$ \Leftrightarrow a = 16b$

Câu 13: Với mọi $a,b$ thỏa mãn $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 6$, khẳng định nào dưới đây đủng:

A. ${a^3}b = 64$.

B. ${a^3}b = 36$.

C. ${a^{\frac{3}{3}}} + b = 64$ .

D. ${a^3} + b = 36$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 6 \Leftrightarrow {a^3}b = {2^6} \Leftrightarrow {a^3}b = 64$.

Câu 14: Với mọi $a,b$ thỏa mãn $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 8$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. ${a^3} + b = 64$.

B. ${a^3}b = 256$.

C. ${a^3}b = 64$.

D. ${a^3} + b = 256$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 8 \Rightarrow lo{g_2}\left( {{a^3}b} \right) = 8 \Leftrightarrow {a^3}b = {2^8} = 256$.

Vậy ${a^3}b = 256$.

Câu 15: Với mọi $a,b$ thỏa mãn $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 5$, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ${a^3}b = 32$.

B. ${a^3}b = 25$.

C. ${a^3} + b = 25$.

D. ${a^3} + b = 32$.

Lời giải

Chọn A

Ta có: $lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}b = 5 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{a^3}b} \right) = 5 \Leftrightarrow {a^3}b = 32$.

Câu 16: Với mọi $a,b$ thỏa mãn $lo{g_2}{a^2} + lo{g_2}b = 7$, khẳng định nảo dưới đây đúng?

A. ${a^2} + b = 49$.

B. ${a^2}b = 128$.

C. ${a^2} + b = 128$.

D. ${a^2}b = 49$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $lo{g_2}{a^2} + lo{g_2}b = 7 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{a^2}b} \right) = 7 \Leftrightarrow {a^2}b = {2^7} = 128$

Câu 17: Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $lna = x;lnb = y$. Tính $ln\left( {{a^3}{b^2}} \right)$

A. $P = {x^2}{y^3}$

B. $P = 6xy$

C. $P = 3x + 2y$

D. $P = {x^2} + {y^2}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $ln\left( {{a^3}{b^2}} \right) = ln{a^3} + ln{b^2} = 3lna + 2lnb = 3x + 2y$

Câu 18: Giá trị của biểu thức $M = lo{g_2}2 + lo{g_2}4 + lo{g_2}8 + \ldots + lo{g_2}256$ bẳng

A. 48

B. 56

C. 36

D. $8lo{g_2}256$

Lời giải

Chọn C

Ta có $M = lo{g_2}2 + lo{g_2}4 + lo{g_2}8 + \ldots + lo{g_2}256$

$ = lo{g_2}\left( {2.4.8 \ldots ..256} \right) = lo{g_2}\left( {{2^1} \cdot {2^2} \cdot {2^3} \ldots {2^8}} \right)$

$ = lo{g_2}\left( {{2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 8}}} \right) = \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 8} \right)lo{g_2}2 = 1 + 2 + 3 + \ldots + 8 = 36$.

Câu 19: Cho $lo{g_8}c = m$ và $lo{g_{{c^2}}}2 = n$. Khẳng định đúng là

A. $mn = \frac{1}{9}lo{g_2}c$.

B. $mn = 9$.

C. $mn = 9lo{g_2}c$.

D. $mn = \frac{1}{9}$.

Lời giải

$mn = lo{g_8}c \cdot lo{g_{{c^3}}}2 = \left( {\frac{1}{3}lo{g_2}c} \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}lo{g_c}2} \right) = \frac{1}{9}$.

Câu 20: Cho $a > 0,a \ne 1$ và $lo{g_a}x = – 1,lo{g_a}y = 4$. Tính $P = lo{g_a}\left( {{x^2}{y^3}} \right)$

A. $P = 18$.

B. $P = 6$.

C. $P = 14$.

D. $P = 10$.

Lời giải

Ta có $lo{g_a}\left( {{x^2} \cdot {y^3}} \right) = lo{g_a}{x^2} + lo{g_a}{y^3}$

$ = 2lo{g_a}x + 3lo{g_a}y = 2 \cdot \left( { – 1} \right) + 3 \cdot 4 = 10$.

Câu 21: Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý; $lo{g_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{3}lo{g_2}a + \frac{1}{4}lo{g_2}b$

B. $3lo{g_2}a + 4lo{g_2}b$

C. $2\left( {lo{g_2}a + lo{g_4}b} \right)$

D. $4lo{g_2}a + 3lo{g_2}b$

Lời giải

Chọn B

Ta có: $lo{g_2}\left( {{a^3}{b^4}} \right) = lo{g_2}{a^3} + lo{g_2}{b^4} = 3lo{g_2}a + 4lo{g_2}b$ nên ${\mathbf{B}}$ đúng.

Câu 22: Cho các số dương $a,b,c,d$. Biểu thức $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a}$ bằng

A. 1 .

B. 0.

C. $ln\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}} \right)$

D. $ln\left( {abcd} \right)$.

Lời giải

Cách 1:

Ta có $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a}$

$ = ln\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}} \right) = ln1 = 0$.

Cách 2:

Ta có: $S = ln\frac{a}{b} + ln\frac{b}{c} + ln\frac{c}{d} + ln\frac{d}{a} = lna – lnb + lnb – lnc + lnc – lnd + lnd – lna = 0$.

Câu 23: Cho $x,y$ là các số thực dương tùy ý, đặt $lo{g_3}x = a,lo{g_3}y = b$. Chọn mệnh đề đúng.

A. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a – b$.

B. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a + b$.

C. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a – b$.

D. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a + b$.

Lời giải

Do $x,y$ là các số thực dương nên ta có:

$lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}lo{g_3}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}\left( {lo{g_3}x – lo{g_3}{y^3}} \right)$

$ = – \frac{1}{3}\left( {lo{g_3}x – 3lo{g_3}y} \right)$

$ = – \frac{1}{3}lo{g_3}x + lo{g_3}y = – \frac{1}{3}a + b$

Câu 24: Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác 1 , đặt $P = lo{g_a}{b^3} + lo{g_{{a^2}}}{b^6}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = 27lo{g_a}b$.

B. $P = 15lo{g_a}b$.

C. $P = 9lo{g_a}b$.

D. $P = 6lo{g_a}b$.

Lời giải

Ta có $P = lo{g_a}{b^3} + lo{g_{{a^2}}}{b^6} = 3lo{g_a}b + 6 \cdot \frac{1}{2}lo{g_a}b = 6lo{g_a}b$.

Câu 25: Với các số thực dương $a,b$ bất kỳ $a \ne 1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $lo{g_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – 2lo{g_a}b$.

B. $lo{g_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – \frac{1}{2}lo{g_a}b$

C. $lo{g_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = \frac{1}{3} – \frac{1}{2}lo{g_a}b$.

D. $lo{g_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = 3 – 2lo{g_a}b$.

Lời giải

Ta có:

$lo{g_a}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{{b^2}}} = lo{g_a}\sqrt[3]{a} – lo{g_a}{b^2}$

$ = lo{g_a}{a^{\frac{1}{3}}} – 2lo{g_a}b$

$ = \frac{1}{3}lo{g_a}a – 2lo{g_a}b = \frac{1}{3} – 2lo{g_a}b$

Câu 26: Cho các số thực dương $a,b,c$ với $a$ và $b$ khác 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $lo{g_a}{b^2} \cdot lo{g_{\sqrt b }}c = lo{g_a}c$.

B. $lo{g_a}{b^2} \cdot lo{g_{\sqrt b }}c = \frac{1}{4}lo{g_a}c$.

C. $lo{g_a}{b^2} \cdot lo{g_{\sqrt b }}c = 4lo{g_a}c$.

D. $lo{g_a}{b^2} \cdot lo{g_{\sqrt b }}c = 2lo{g_a}c$.

Lời giải

Chọn C

Ta có: $lo{g_a}{b^2} \cdot lo{g_{\sqrt b }}c = 2lo{g_a}b \cdot lo{g_{{b^{\frac{1}{2}}}}}c$

$ = 2lo{g_a}b \cdot 2lo{g_b}c = 4lo{g_a}b \cdot lo{g_b}c = 4lo{g_a}c$.

Câu 27: Giả sử $a,b$ là các số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $log{(10ab)^2} = 2 + log{(ab)^2}$

B. $log{(10ab)^2} = {(1 + loga + logb)^2}$

C. $log{(10ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right)$

D. $log{(10ab)^2} = 2\left( {1 + loga + logb} \right)$

Lời giải

Chọn B

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + log{(ab)^2}$

$ \Rightarrow A\;$ đúng

$1 + loga + logb = log\left( {10ab} \right)$

$ \Rightarrow {(1 + loga + logb)^2} = lo{g^2}\left( {10ab} \right) \ne log{(10ab)^2}$

$ \Rightarrow B$ sai

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right)$ $ \Rightarrow C\;$ đúng

$log{(10ab)^2} = log{10^2} + log{(ab)^2} = 2 + 2log\left( {ab} \right) = 2\left( {1 + loga + logb} \right)\;$

$ \Rightarrow D$ đúng

Câu 28: Cho $lo{g_a}b = 3,lo{g_a}c = – 2$. Khi đó $lo{g_a}\left( {{a^{\frac{3}{3}}}{b^2}\sqrt c } \right)$ bằng bao nhiêu?

A. 13

B. 5

C. 8

D. 10

Lời giải

Chọn C

Ta có $lo{g_a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right) = lo{g_a}{a^3} + lo{g_a}{b^2} + lo{g_a}\sqrt c $

$ = 3 + 2lo{g_a}b + \frac{1}{2}lo{g_a}c = 3 + 2 \cdot 3 – \frac{1}{2} \cdot 2 = 8$.

Câu 29: Rút gọn biểu thức $M = 3lo{g_{\sqrt 3 }}\sqrt x – 6lo{g_9}\left( {3x} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\frac{x}{9}$.

A. $M = – lo{g_3}\left( {3x} \right)$

B. $M = 2 + lo{g_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$

C. $M = – lo{g_3}\left( {\frac{x}{3}} \right)$

D. $M = 1 + lo{g_3}x$

Lời giải

Chọn A

ĐK: $x > 0$.

$M = 3lo{g_3}x – 3\left( {1 + lo{g_3}x} \right) – lo{g_3}x + 2$

$ = – 1 – lo{g_3}x = – \left( {1 + lo{g_3}x} \right) = – lo{g_3}\left( {3x} \right)$.

Câu 30: Cho $lo{g_8}\left| x \right| + lo{g_4}{y^2} = 5$ và $lo{g_8}\left| y \right| + lo{g_4}{x^2} = 7$. Tỉm giá trị của biểu thức $P = \left| x \right| – \left| y \right|$.

A. $P = 56$.

B. $P = 16$.

C. $P = 8$.

D. $P = 64$.

Lời giải

Điều kiên: $x,y \ne 0$

Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được:

$lo{g_8}\left| {xy} \right| + lo{g_4}{x^2}{y^2} = 12 \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {xy} \right| = 9 \Leftrightarrow \left| {xy} \right| = 512\;(1)\;$

Trừ vế với vế của hai phương trình, ta được:

$lo{g_8}\left| {\frac{x}{y}} \right| + lo{g_4}\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = – 2 \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {\frac{x}{y}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\frac{x}{y}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| x \right| = 8\left| y \right|.$

Từ (1) và (2) suy ra $\left| y \right| = 8 \Rightarrow \left| x \right| = 64 \Leftrightarrow P = 56$.

Câu 31: Cho hai số thực dương $a,b$.Nếu viết $lo{g_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = 1 + xlo{g_2}a + ylo{g_4}b\;\left( {x,y \in \mathbb{Q}} \right)$ thì biểu thức $P = xy$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{2}{3}$

C. $P = – \frac{1}{{12}}$

D. $P = \frac{1}{{12}}$

Lời giải

Ta có $lo{g_2}\frac{{\sqrt[6]{{64{a^3}{b^2}}}}}{{ab}} = lo{g_2}{64^{\frac{1}{6}}} + \frac{1}{2}lo{g_2}a + \frac{1}{3}lo{g_2}b – lo{g_2}a – lo{g_2}b$

$ = 1 – \frac{1}{2}lo{g_2}a – \frac{4}{3}lo{g_4}b$. Khi đó $x = – \frac{1}{2};y = – \frac{4}{3} \Rightarrow P = xy = \frac{2}{3}$

Câu 32: Cho $lo{g_{700}}490 = a + \frac{b}{{c + log7}}$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính tổng $T = a + b + c$.

A. $T = 7$.

B. $T = 3$.

C. $T = 2$.

D. $T = 1$.

Lời giải

Ta có: $lo{g_{700}}490 = \frac{{log490}}{{log700}} = \frac{{log10 + log49}}{{log100 + log7}}$

$ = \frac{{1 + 2log7}}{{2 + log7}} = \frac{{4 + 2log7 – 3}}{{2 + log7}} = 2 + \frac{{ – 3}}{{2 + log7}}$

Suy ra $a = 2,b = – 3,c = 2$

Vậy $T = 1$.

Câu 33: Cho $a,b$ là hai số thự dương thỏ mãn ${a^2} + {b^2} = 14ab$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $2lo{g_2}\left( {a + b} \right) = 4 + lo{g_2}a + lo{g_2}b$.

B. $ln\frac{{a + b}}{4} = \frac{{lna + lnb}}{2}$.

C. $2log\frac{{a + b}}{4} = loga + logb$.

D. $2lo{g_4}\left( {a + b} \right) = 4 + lo{g_4}a + lo{g_4}b$.

Lời giải

Ta có ${a^2} + {b^2} = 14ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 16ab$.

Suy ra $lo{g_4}{(a + b)^2} = lo{g_4}\left( {16ab} \right) \Leftrightarrow 2lo{g_4}\left( {a + b} \right) = 2 + lo{g_4}a + lo{g_4}b$.

Câu 34: Cho $x,y$ là các số thực dương tùy ý, đặt $lo{g_3}x = a,lo{g_3}y = b$. Chọn mệnh đề đúng.

A. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a – b$.

B. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = \frac{1}{3}a + b$.

C. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a – b$.

D. $lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}a + b$.

Lời giải

$lo{g_{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = lo{g_{{3^{ – 3}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right) = – \frac{1}{3}lo{g_3}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$

$ = – \frac{1}{3}\left( {lo{g_3}x – lo{g_3}{y^3}} \right) = – \frac{1}{3}lo{g_3}x + lo{g_3}y = – \frac{1}{3}a + b$.

Câu 35: Cho $\alpha = lo{g_a}x,\beta = lo{g_b}x$. Khi đó $lo{g_{a{b^2}}}{x^2}$ bằng.

A. $\frac{{\alpha \beta }}{{\alpha + \beta }}$.

B. $\frac{{2\alpha \beta }}{{2\alpha + \beta }}$.

C. $\frac{2}{{2\alpha + \beta }}$.

D. $\frac{{2\left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\alpha + 2\beta }}$.

Lời giải

Ta có : $lo{g_{a{b^2}}}{x^2} = 2lo{g_{a{b^2}}}x = 2 \cdot \frac{1}{{lo{g_x}a{b^2}}}$

$ = \frac{2}{{lo{g_x}a + lo{g_x}{b^2}}} = \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_a}x}} + 2 \cdot \frac{1}{{lo{g_b}x}}}}$

$ = \frac{2}{{\frac{1}{\alpha } + \frac{2}{\beta }}} = \frac{{2\alpha \beta }}{{\beta + 2\alpha }}$.

Câu 36: Tính giá trị biểu thức $P = lo{g_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + lo{g_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + lo{g_{\sqrt b }}\left( {{b^{ – 2}}} \right)$ (với $0 < a \ne 1;0 < b \ne 1$ ).

A. $\sqrt 3 $.

B. 1 .

C. $\sqrt 2 $.

D. 2 .

Lời giải

Ta có: $P = lo{g_{{a^2}}}\left( {{a^{10}}{b^2}} \right) + lo{g_{\sqrt a }}\left( {\frac{a}{{\sqrt b }}} \right) + lo{g_{\sqrt b }}\left( {{b^{ – 2}}} \right) = 5 + lo{g_a}b + 2 – lo{g_a}b – 6 = 1$.

Câu 37: Đặt $M = lo{g_6}56,N = a + \frac{{lo{g_3}7 – b}}{{lo{g_3}2 + c}}$ với $a,b,c \in R$. Bộ số $a,b,c$ nào dưới đây để có $M = N$ ?

A. $a = 3,b = 3,c = 1$.

B. $a = 3,b = \sqrt 2 ,c = 1$.

C. $a = 1,b = 2,c = 3$.

D. $a = 1,b = – 3,c = 2$.

Lời giải

Ta có:

$M = lo{g_6}56 = \frac{{lo{g_3}56}}{{lo{g_3}6}} = \frac{{lo{g_3}{2^3} \cdot 7}}{{1 + lo{g_3}2}} = \frac{{3lo{g_3}2 + lo{g_3}7}}{{1 + lo{g_3}2}}$

$ = \frac{{3\left( {1 + lo{g_3}2} \right) + lo{g_3}7 – 3}}{{1 + lo{g_3}2}} = 3 + \frac{{lo{g_3}7 – 3}}{{lo{g_3}2 + 1}}$

Vậy $M = N \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 3} \\
{b = 3} \\
{c = 1}
\end{array}} \right.$

Câu 38: Tính $T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{98}}{{99}} + log\frac{{99}}{{100}}$.

A. $\frac{1}{{10}}$.

B. -2 .

C. $\frac{1}{{100}}$.

D. 2 .

Lời giải

$T = log\frac{1}{2} + log\frac{2}{3} + log\frac{3}{4} + \ldots + log\frac{{98}}{{99}} + log\frac{{99}}{{100}}$

$ = log\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{{98}}{{99}} \cdot \frac{{99}}{{100}}} \right) = log\frac{1}{{100}} = log{10^{ – 2}} = – 2$.

Câu 39: Cho $a,b,x > 0;a > b$ và $b,x \ne 1$ thỏa mãn $lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + \frac{1}{{lo{g_b}{x^2}}}$.

Khi đó biểu thức $P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{(a + 2b)}^2}}}$ có giá trị bằng:

A. $P = \frac{5}{4}$.

B. $P = \frac{2}{3}$.

C. $P = \frac{{16}}{{15}}$.

D. $P = \frac{4}{5}$.

Lời giải

$lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + \frac{1}{{lo{g_b}{x^2}}} \Leftrightarrow lo{g_x}\frac{{a + 2b}}{3} = lo{g_x}\sqrt a + lo{g_x}\sqrt b $

$ \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt {ab} \Leftrightarrow {a^2} – 5ab + 4{b^2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {a – 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 4b$ (do $a > b$)

$P = \frac{{2{a^2} + 3ab + {b^2}}}{{{{(a + 2b)}^2}}} = \frac{{32{b^2} + 12{b^2} + {b^2}}}{{36{b^2}}} = \frac{5}{4}.$

Câu 40: Đặt $a = lo{g_2}3,b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$.

A. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

C. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$

D. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$

Lời giải

Chọn B

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 5} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2 \cdot 3} \right)}} = \frac{{2lo{g_2}3 + lo{g_2}5}}{{1 + lo{g_2}3}}$

$ = \frac{{2a + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}{{1 + a}} = \frac{{2a + \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_5}3}}}}{{1 + a}}$

$ = \frac{{2a + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

CASIO: Sto \Gán $A = lo{g_2}3,B = lo{g_5}3$ bằng cách: Nhập $lo{g_2}3 \setminus $ shift $ \setminus $ Sto $ \setminus A$ tương tự $B$

Thử từng đáp án $A:\frac{{A + 2AB}}{{AB}} – lo{g_6}45 \approx 1,34$ ( Loại)

Thử đáp án $C:\frac{{A + 2AB}}{{AB}} – lo{g_6}45 = 0$ ( chọn ).

Câu 41: Đặt $a = lo{g_3}2$, khi đó $lo{g_6}48$ bằng

A. $\frac{{3a – 1}}{{a – 1}}$

B. $\frac{{3a + 1}}{{a + 1}}$

C. $\frac{{4a – 1}}{{a – 1}}$

D. $\frac{{4a + 1}}{{a + 1}}$

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Giải trực tiếp

$lo{g_6}48 = lo{g_6}6.8 = lo{g_6}6 + lo{g_6}8 = 1 + \frac{1}{{lo{g_8}6}} = 1 + \frac{1}{{lo{g_{{2^3}}}2.3}} = 1 + \frac{1}{{\frac{1}{3}\left( {1 + lo{g_2}3} \right)}}$

$ = \frac{{1 + lo{g_2}3 + 3}}{{\left( {1 + lo{g_2}3} \right)}} = \frac{{4 + \frac{1}{a}}}{{1 + \frac{1}{a}}} = \frac{{4a + 1}}{{a + 1}}.\;$

Chọn đáp án D

Cách 2: Dùng máy tính Casio

Ta có $lo{g_{66}}48 = 2.1605584217$. Thay $a = lo{g_3}2 = 0.63092975375$ vào 4 đáp án thì ta chọn đáp án D vì $\frac{{4a + 1}}{{a + 1}} = 2.1605584217$

Câu 42: Cho $lo{g_3}5 = a,lo{g_3}6 = b,lo{g_3}22 = c$. Tính $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right)$ theo $a,b,c$ ?

A. $P = 2a – b + c$.

B. $P = 2a + b + c$.

C. $P = 2a + b – c$.

D. $P = a + 2b – c$.

Lời giải

Ta có $lo{g_3}6 = b \Leftrightarrow lo{g_3}2 + 1 = b$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}2 = b – 1,lo{g_3}22 = c \Leftrightarrow lo{g_3}2 + lo{g_3}11 = c$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}11 = c – lo{g_3}2 = c – b + 1$.

Khi đó $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right) = lo{g_3}90 – lo{g_3}11$

$ = 2 + lo{g_3}2 + lo{g_3}5 – lo{g_3}11 = 2b + a – c$.

Câu 43: Với $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_3}7 = b$ và $lo{g_2}3 = c$, giá trị của $lo{g_6}35$ bằng

A. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + c}}$

B. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + b}}$

C. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + a}}$

D. $\frac{{\left( {3b + a} \right)c}}{{1 + c}}$

Lời giải

Chọn A

Ta có: $lo{g_{27}}5 = a \Rightarrow a = \frac{1}{3}lo{g_3}5 \Rightarrow 3a = lo{g_3}5 \Rightarrow lo{g_5}3 = \frac{1}{{3a}}$

$lo{g_3}7 = b \Rightarrow lo{g_7}3 = \frac{1}{b};bc = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}7 = lo{g_2}7 \Rightarrow lo{g_7}2 = \frac{1}{{bc}};$

$3ac = lo{g_3}5 \cdot lo{g_2}3 = lo{g_2}5 \Rightarrow lo{g_5}2 = \frac{1}{{3ac}}$

$lo{g_6}35 = lo{g_6}5 + lo{g_6}7 = \frac{1}{{lo{g_5}6}} + \frac{1}{{lo{g_7}6}}$

$ = \frac{1}{{lo{g_5}2 + lo{g_5}3}} + \frac{1}{{lo{g_7}3 + lo{g_7}2}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{3ac}} + \frac{1}{{3a}}}} + \frac{1}{{\frac{1}{b} + \frac{1}{{bc}}}} = \frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{c + 1}}$

Câu 44: Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_5}3$. Nếu biểu diễn $lo{g_6}45 = \frac{{a\left( {m + nb} \right)}}{{b\left( {a + p} \right)}}$ thì $m + n + p$ bằng

A. 3

B. 4

C. 6

D. -3

Lời giải

Chọn B

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_3}45}}{{lo{g_3}6}} = \frac{{lo{g_3}9 + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2 + lo{g_3}3}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{a\left( {2b + 1} \right)}}{{b\left( {1 + a} \right)}}$

Suy ra $m = 1,n = 2,p = 1 \Rightarrow m + n + p = 4$

Câu 45: Cho các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $lo{g_3}a = x,lo{g_3}b = y$. Tính $P = lo{g_3}\left( {3{a^4}{b^5}} \right)$.

A. $P = 3{x^4}{y^5}$

B. $P = 3 + {x^4} + {y^5}$

C. $P = 60xy$

D. $P = 1 + 4x + 5y$

Lời giải

Chọn D

$P = lo{g_3}\left( {3{a^4}{b^5}} \right) = lo{g_3}3 + lo{g_3}{a^4} + lo{g_3}{b^5} = 1 + 4lo{g_3}a + 5lo{g_3}b = 1 + 4x + 5y.$

Câu 46: Biết $lo{g_6}3 = a,lo{g_6}5 = b$. Tính $lo{g_3}5$ theo $a,b$

A. $\frac{b}{a}$

B. $\frac{b}{{1 + a}}$

C. $\frac{b}{{1 – a}}$

D. $\frac{b}{{a – 1}}$

Lời giải

Chọn A

$lo{g_6}3 = a \Leftrightarrow 3 = {6^a},lo{g_6}5 = b \Leftrightarrow 5 = {6^b} \Rightarrow lo{g_3}5 = lo{g_{{6^a}}}{6^b} = \frac{b}{a}$

Câu 47: Cho $lo{g_{12}}3 = a$. Tính $lo{g_{24}}18$ theo $a$.

A. $\frac{{3a – 1}}{{3 – a}}$.

B. $\frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

C. $\frac{{3a + 1}}{{3 + a}}$.

D. $\frac{{3a – 1}}{{3 + a}}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $a = lo{g_{12}}3 = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}12}} = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}\left( {{2^2} \cdot 3} \right)}}$

$ = \frac{{lo{g_2}3}}{{lo{g_2}\left( {{2^2}} \right) + lo{g_2}3}} = \frac{{lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}3}} \Rightarrow lo{g_2}3 = \frac{{2a}}{{1 – a}}$.

Ta có: $lo{g_{24}}18 = \frac{{lo{g_2}18}}{{lo{g_2}24}} = \frac{{lo{g_2}\left( {2 \cdot {3^2}} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot 3} \right)}}$

$ = \frac{{1 + 2lo{g_2}3}}{{3 + lo{g_2}3}} = \frac{{1 + 2 \cdot \frac{{2a}}{{1 – a}}}}{{3 + \frac{{2a}}{{1 – a}}}} = \frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

Vậy $lo{g_{24}}18 = \frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

Câu 48: Đặt $a = lo{g_2}3$ và $b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$.

A. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$.

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$.

C. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$.

D. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$.

Lời giải

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_3}45}}{{lo{g_3}6}} = \frac{{lo{g_3}{3^2}.5}}{{lo{g_3}2.3}} = \frac{{lo{g_3}{3^2} + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2 + lo{g_3}3}}$

$ = \frac{{2 + \frac{1}{{lo{g_5}3}}}}{{\frac{1}{{lo{g_2}3}} + 1}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{\left( {\frac{{2b + 1}}{b}} \right)}}{{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}} = \frac{{\left( {2b + 1} \right)a}}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{a + 2ab}}{{b + ab}}$

Câu 49: Đặt $a = ln2,b = ln5$, hãy biểu diễn $I = ln\frac{1}{2} + ln\frac{2}{3} + ln\frac{3}{4} + \ldots + ln\frac{{98}}{{99}} + ln\frac{{99}}{{100}}$ theo $a$ và $b$.

A. $ – 2\left( {a + b} \right)$

B. $ – 2\left( {a – b} \right)$

C. $2\left( {a + b} \right)$

D. $2\left( {a – b} \right)$

Lời giải

$I = ln\frac{1}{2} + ln\frac{2}{3} + ln\frac{3}{4} + \ldots + ln\frac{{98}}{{99}} + ln\frac{{99}}{{100}}$

$ = ln\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{{98}}{{99}} \cdot \frac{{99}}{{100}}} \right) = ln\frac{1}{{100}} = ln{10^{ – 2}}$

$ = – 2ln10 = – 2\left( {ln2 + ln5} \right) = – 2\left( {a + b} \right).$

Câu 50: Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_3}5$ Biểu diễn đúng của $lo{g_{20}}12$ theo $a,b$ là

A. $\frac{{ab + 1}}{{b – 2}}$.

B. $\frac{{a + b}}{{b + 2}}$.

C. $\frac{{a + 1}}{{b – 2}}$.

D. $\frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Lời giải

Ta có $lo{g_{20}}12 = lo{g_{20}}3 + 2lo{g_{20}}2$

$ = \frac{1}{{2lo{g_3}2 + lo{g_3}5}} + \frac{2}{{lo{g_2}5 + 2}}$

$ = \frac{1}{{2 \cdot \frac{1}{a} + b}} + \frac{2}{{ab + 2}} = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Câu 51: Cho $lo{g_2}3 = a,lo{g_2}5 = b$, khi đó $lo{g_{15}}8$ bằng

A. $\frac{{a + b}}{3}$

B. $\frac{1}{{3\left( {a + b} \right)}}$

C. $3\left( {a + b} \right)$

D. $\frac{3}{{a + b}}$

Lời giải

Chọn D

$lo{g_{15}}8 = 3lo{g_{15}}2 = \frac{3}{{lo{g_2}15}} = \frac{3}{{lo{g_2}3 + lo{g_2}5}} = \frac{3}{{a + b}}$

Câu 52: Giả sử $lo{g_{27}}5 = a;lo{g_8}7 = b;lo{g_2}3 = c$. Hãy biểu diễn $lo{g_{12}}35$ theo $a,b,c$ ?

A. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 2}}$.

B. $\frac{{3b + 3ac}}{{c + 1}}$.

C. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 3}}$.

D. $\frac{{3b + 2ac}}{{c + 2}}$.

Lời giải

$lo{g_{27}}5 = a \Leftrightarrow \frac{1}{3}lo{g_3}5 = a \Leftrightarrow \frac{{lo{g_2}5}}{{lo{g_2}3}} = 3a \Leftrightarrow lo{g_2}5 = 3ac$.

$lo{g_8}7 = b \Leftrightarrow \frac{1}{3}lo{g_2}7 = b \Leftrightarrow lo{g_2}7 = 3b$.

Xét $lo{g_{12}}35 = \frac{{lo{g_2}35}}{{lo{g_2}12}} = \frac{{lo{g_2}\left( {5.7} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{{3.2}^2}} \right)}}$

$ = \frac{{lo{g_2}5 + lo{g_2}7}}{{lo{g_2}3 + 2}} = \frac{{3ac + 3b}}{{c + 2}}$.

Câu 53: Cho $lo{g_3}5 = a,lo{g_3}6 = b,lo{g_3}22 = c$. Tính $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right)$ theo $a,b,c$.

A. $P = 2a + b – c$.

B. $P = a + 2b – c$.

C. $P = 2a + b + c$.

D. $P = 2a – b + c$.

Lời giải

Ta có:

$P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right) = lo{g_3}\left( {\frac{{180}}{{22}}} \right) = lo{g_3}180 – lo{g_3}22$

$ = lo{g_3}\left( {36.5} \right) – lo{g_3}22 = lo{g_3}36 + lo{g_3}5 – lo{g_3}22$

$ = lo{g_3}\left( {{6^2}} \right) + lo{g_3}5 – lo{g_3}22 = 2lo{g_3}6 + lo{g_3}5 – lo{g_3}22 = a + 2b – c.$

Vậy $P = a + 2b – c$.

Câu 54: Đặt $a = lo{g_2}3;b = lo{g_3}5$. Biểu diễn $lo{g_{20}}12$ theo $a,b$.

A. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + b}}{{b + 2}}$.

B. $lo{g_{20}}12 = \frac{{ab + 1}}{{b – 2}}$.

C. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + 1}}{{b – 2}}$.

D. $lo{g_{20}}12 = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Lời giải

Ta có $lo{g_{20}}12 = \frac{{lo{g_2}12}}{{lo{g_2}20}} = \frac{{lo{g_2}4 \cdot 3}}{{lo{g_2}4.5}} = \frac{{2 + lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}5}}$

$ = \frac{{2 + lo{g_2}3}}{{2 + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}} = \frac{{a + 2}}{{ab + 2}}$.

Câu 55: Nếu $lo{g_2}3 = a$ thì $lo{g_{72}}108$ bằng

A. $\frac{{2 + a}}{{3 + a}}$.

B. $\frac{{2 + 3a}}{{3 + 2a}}$.

C. $\frac{{3 + 2a}}{{2 + 3a}}$.

D. $\frac{{2 + 3a}}{{2 + 2a}}$.

Lời giải

Ta có $lo{g_{72}}108 = \frac{{lo{g_2}108}}{{lo{g_2}72}} = \frac{{lo{g_2}\left( {{2^2} \cdot {3^3}} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot {3^2}} \right)}}$

$ = \frac{{2 + 3lo{g_2}3}}{{3 + 2lo{g_2}3}} = \frac{{2 + 3a}}{{3 + 2a}}$.

Câu 56: Cho $lo{g_{30}}3 = a;lo{g_{30}}5 = b$. Tính $lo{g_{30}}1350$ theo $a,b;lo{g_{30}}1350$ bằng

A. $2a + b$

B. $2a + b + 1$

C. $2a + b – 1$

D. $2a + b – 2$

Lời giải

Ta có $1350 = 30.45 = 30.9.5 = {30.3^2}.5$

Nên $lo{g_{30}}1350 = lo{g_{30}}{30.3^2} \cdot 5 = lo{g_{30}}30 + lo{g_{30}}{3^2} + lo{g_{30}}5 = 1 + 2lo{g_{30}}3 + lo{g_{30}}5 = 1 + 2a + b$

Câu 57: Đặt $m = log2$ và $n = log7$. Hãy biểu diễn $log6125\sqrt 7 $ theo $m$ và $n$.

A. $\frac{{6 + 6m + 5n}}{2}$.

B. $\frac{1}{2}\left( {6 – 6n + 5m} \right)$.

C. $5m + 6n – 6$.

D. $\frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Lời giải

Ta có $log6125\sqrt 7 = log{5^3}{7^{\frac{5}{2}}}$

$ = 3log5 + \frac{5}{2}log7 = 3log\frac{{10}}{2} + \frac{5}{2}log7$

$ = 3\left( {1 – log2} \right) + \frac{5}{2}log7 = 3\left( {1 – m} \right) + \frac{5}{2}n = \frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Vậy $log6125\sqrt 7 = \frac{{6 + 5n – 6m}}{2}$.

Câu 58: Cho $lo{g_{27}}5 = a,lo{g_3}7 = b,lo{g_2}3 = c$. Tính $lo{g_6}35$ theo $a,b$ và $c$.

A. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + c}}$.

B. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + b}}$.

C. $\frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + a}}$.

D. $\frac{{\left( {3b + a} \right)c}}{{1 + c}}$

Lời giải

Chọn D.

Theo giả thiết, ta có $lo{g_{27}}5 = a \Leftrightarrow \frac{1}{3}lo{g_3}5 = a \Leftrightarrow lo{g_3}5 = 3a$.

Ta có $lo{g_2}5 = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5 = 3ac$ và $lo{g_2}7 = lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}7 = bc$.

Vậy $lo{g_6}35 = \frac{{lo{g_2}35}}{{lo{g_2}6}} = \frac{{lo{g_2}5 + lo{g_2}7}}{{lo{g_2}2 + lo{g_2}3}}$

$ = \frac{{3ac + bc}}{{1 + c}} = \frac{{\left( {3a + b} \right)c}}{{1 + c}}$.

Câu 59: Cho $a = lo{g_2}m$ và $A = lo{g_m}16m$, với $0 < m \ne 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $A = \frac{{4 – a}}{a}$.

B. $A = \frac{{4 + a}}{a}$.

C. $A = \left( {4 + a} \right)a$.

D. $A = \left( {4 – a} \right)a$.

Lời giải

Ta có $A = lo{g_m}16m = \frac{{lo{g_2}16m}}{{lo{g_2}m}} = \frac{{lo{g_2}16 + lo{g_2}m}}{{lo{g_2}m}} = \frac{{4 + a}}{a}$.

Câu 60: Biết $lo{g_3}15 = a$, tính $P = lo{g_{25}}81$ theo $a$ ta được

A. $P = 2\left( {a + 1} \right)$

B. $P = 2\left( {a – 1} \right)$

C. $P = \frac{2}{{a + 1}}$

D. $\frac{2}{{a – 1}}$

Lời giải

Chọn D

Ta có $lo{g_3}15 = a \Rightarrow 1 + lo{g_3}5 = a \Rightarrow lo{g_3}5 = a – 1$

$P = lo{g_{25}}81 = \frac{{lo{g_3}81}}{{lo{g_3}25}} = \frac{4}{{2lo{g_3}5}} = \frac{4}{{2\left( {a – 1} \right)}} = \frac{2}{{a – 1}}$

Câu 61: Cho $lo{g_3}5 = a,lo{g_3}6 = b,lo{g_3}22 = c$. Tính $P = lo{g_3}\frac{{90}}{{11}}$ theo $a,b,c$.

A. $P = 2a + b – c$

B. $P = a + 2b – c$

C. $P = 2a + b + c$

D. $P = 2a – b + c$

Lời giải

Ta có: $P = lo{g_3}90 – lo{g_3}11 = lo{g_3}90 + lo{g_3}2 – lo{g_3}11 – lo{g_3}2$

$ = lo{g_3}180 – lo{g_3}2 = lo{g_3}\left( {5.36} \right) – lo{g_3}2$

$ = lo{g_3}5 + 2lo{g_3}6 – lo{g_3}2 = a + b – 2c$

Câu 62: Nếu $lo{g_3}5 = a$ thì $lo{g_{45}}75$ bằng

A. $\frac{{2 + a}}{{1 + 2a}}$.

B. $\frac{{1 + a}}{{2 + a}}$.

C. $\frac{{1 + 2a}}{{2 + a}}$.

D. $\frac{{1 + 2a}}{{1 + a}}$.

Lời giải

Ta có $lo{g_{45}}75 = 2 \cdot lo{g_{45}}5 + lo{g_{45}}3$.

Và $lo{g_{45}}5 = \frac{1}{{lo{g_5}45}} = \frac{1}{{2lo{g_5}3 + 1}} = \frac{1}{{\frac{2}{a} + 1}} = \frac{a}{{a + 2}};$

$lo{g_{45}}3 = \frac{1}{{lo{g_3}45}} = \frac{1}{{2 + lo{g_3}5}} = \frac{1}{{a + 2}}$.

Do đó $lo{g_{45}}75 = \frac{{2a}}{{a + 2}} + \frac{1}{{a + 2}} = \frac{{1 + 2a}}{{2 + a}}$.

Câu 63: Cho $lo{g_3}5 = a,lo{g_3}6 = b,lo{g_3}22 = c$. Tính $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right)$ theo $a,b,c$.

A. $P = 2a + b – c$.

B. $P = a + 2b – c$.

C. $P = 2a + b + c$.

D. $P = 2a – b + c$.

Lời giải

Ta có $P = lo{g_3}\left( {\frac{{90}}{{11}}} \right) = lo{g_3}\left( {\frac{{180}}{{22}}} \right) = lo{g_3}\left( {\frac{{{{5.6}^2}}}{{22}}} \right)$

$ = lo{g_3}5 + 2lo{g_3}6 – lo{g_3}22 = a + 2b – c$.

Câu 64: Cho $lo{g_{12}}3 = a$. Tính $lo{g_{24}}18$ theo $a$.

A. $\frac{{3a + 1}}{{3 – a}}$.

B. $\frac{{3a + 1}}{{3 + a}}$.

C. $\frac{{3a – 1}}{{3 + a}}$.

D. $\frac{{3a – 1}}{{3 – a}}$.

Lời giải

Ta có $a = lo{g_{12}}3 = \frac{1}{{lo{g_3}12}} = \frac{1}{{1 + 2lo{g_3}2}} \Leftrightarrow lo{g_2}3 = \frac{{2a}}{{1 – a}}$.

Khi đó: $lo{g_{24}}18 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 2} \right)}}{{lo{g_2}\left( {{2^3} \cdot 3} \right)}} = \frac{{1 + 2lo{g_2}3}}{{3 + lo{g_2}3}}$

$ = \frac{{1 + 2 \cdot \frac{{2a}}{{1 – a}}}}{{3 + \frac{{2a}}{{1 – a}}}} = \frac{{1 + 3a}}{{3 – a}}$.

Câu 65: Đặt $lo{g_a}b = m,lo{g_b}c = n$. Khi đó $lo{g_a}\left( {a{b^2}{c^3}} \right)$ bằng

A. $1 + 6mn$.

B. $1 + 2m + 3n$.

C. $6mn$.

D. $1 + 2m + 3mn$.

Lời giải

$lo{g_a}\left( {a{b^2}{c^3}} \right) = lo{g_a}a + 2lo{g_a}b + 3lo{g_a}c$

$ = 1 + 2m + 3\frac{{lo{g_b}c}}{{lo{g_b}a}} = 1 + 2m + 3lo{g_a}b \cdot lo{g_b}c = 1 + 2m + 3mn$

Câu 66: Đặt $a = lo{g_2}3$ và $b = lo{g_5}3$. Hãy biểu diễn $lo{g_6}45$ theo $a$ và $b$

A. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}$

B. $lo{g_6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab}}$

C. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab}}$

D. $lo{g_6}45 = \frac{{2{a^2} – 2ab}}{{ab + b}}$

Lời giải

Chọn A

$lo{g_6}45 = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot 5} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2lo{g_2}3 + lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}{{1 + lo{g_2}3}}$

$ = \frac{{2a + \frac{a}{b}}}{{1 + a}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}$

Câu 67: Cho $lo{g_9}5 = a;lo{g_4}7 = b;lo{g_2}3 = c$. Biết $lo{g_{24}}175 = \frac{{mb + nac}}{{pc + q}}$. Tính $A = m + 2n + 3p + 4q$.

A. 27

B. 25

C. 23

D. 29

Lời giải

Chọn B

Ta có $lo{g_{24}}175 = lo{g_{24}}{7.5^2} = lo{g_{24}}7 + 2lo{g_{24}}{5^2}$

$ = \frac{1}{{lo{g_7}24}} + \frac{2}{{lo{g_5}24}} = $

$\frac{1}{{lo{g_7}3 + lo{g_7}{2^3}}} + \frac{2}{{lo{g_5}3 + lo{g_5}{2^3}}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_3}7}} + \frac{3}{{lo{g_2}7}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + \frac{3}{{lo{g_2}5}}}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_2}7 \cdot lo{g_3}2}} + \frac{3}{{lo{g_2}7}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + \frac{3}{{lo{g_2}3 \cdot lo{g_3}5}}}}$

$ = \frac{1}{{\frac{1}{{2b \cdot \frac{1}{c}}} + \frac{3}{{2b}}}} + \frac{2}{{\frac{1}{{2a}} + \frac{3}{{\;c.\;2a}}}} = $

$\frac{1}{{\frac{c}{{2b}} + \frac{3}{{2b}}}} + \frac{2}{{\frac{c}{{2ac}} + \frac{3}{{2ac}}}} = \frac{{2b}}{{c + 3}} + \frac{{4ac}}{{c + 3}} = \frac{{2b + 4ac}}{{c + 3}}.$

$A = m + 2n + 3p + 4q = 2 + 8 + 3 + 12 = 25$

Câu 68: Với các số $a,b > 0$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 6ab$, biểu thức $lo{g_2}\left( {a + b} \right)$ bằng

A. $\frac{1}{2}\left( {3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

B. $\frac{1}{2}\left( {1 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

C. $1 + \frac{1}{2}\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$

D. $2 + \frac{1}{2}\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right)$.

Lời giải

Ta có: ${a^2} + {b^2} = 6ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = 6ab + 2ab$

$ \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 8ab\left( * \right)$.

Do $a,b > 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ab > 0} \\
{a + b > 0}
\end{array}} \right.$, lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*) ta được:

$lo{g_2}{(a + b)^2} = lo{g_2}\left( {8ab} \right)$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {a + b} \right) = 3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}\left( {3 + lo{g_2}a + lo{g_2}b} \right).$

Câu 69: Biết $lo{g_7}12 = a;lo{g_{12}}24 = b$. Giá trị của $lo{g_{54}}168$ được tính theo $a$ và $b$ là

A. $\frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 – 5b} \right)}}$.

B. $\frac{{ab – 1}}{{a\left( {8 + 5b} \right)}}$.

C. $\frac{{2ab + 1}}{{8a – 5b}}$.

D. $\frac{{2ab + 1}}{{8a + 5b}}$.

Lời giải

Chọn A

Do $lo{g_7}12 = a;lo{g_{12}}24 = b \Rightarrow a;b > 0$

$lo{g_7}12 = a \Leftrightarrow lo{g_7}\left( {{2^2} \cdot 3} \right) = a \Leftrightarrow 2lo{g_7}2 + lo{g_7}3 = a$

$lo{g_{12}}24 = b \Leftrightarrow \frac{{lo{g_7}24}}{{lo{g_7}12}} = b$

$ \Leftrightarrow \frac{{3lo{g_7}2 + lo{g_7}3}}{a} = b \Leftrightarrow 3lo{g_7}2 + lo{g_7}3 = ab$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2lo{g_7}2 + lo{g_7}3 = a} \\
{3lo{g_7}2 + lo{g_7}3 = ab}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_7}2 = ab – a} \\
{lo{g_7}3 = 3a – 2ab}
\end{array}} \right.} \right.$

Mặt khác: $lo{g_{54}}168 = \frac{{lo{g_7}168}}{{lo{g_7}54}} = \frac{{lo{g_7}\left( {{2^3} \cdot 3 \cdot 7} \right)}}{{lo{g_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = \frac{{3lo{g_7}2 + lo{g_7}3 + 1}}{{lo{g_7}2 + 3lo{g_7}3}}$

$ \Rightarrow lo{g_{54}}168 = \frac{{3\left( {ab – a} \right) + 3a – 2ab + 1}}{{ab – a + 3\left( {3a – 2ab} \right)}}$

$ = \frac{{3ab – 3a + 3a – 2ab + 1}}{{ab – a + 9a – 6ab}} = \frac{{ab + 1}}{{8a – 5ab}} = \frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 – 5b} \right)}}$

Vậy $lo{g_{54}}168 = \frac{{ab + 1}}{{a\left( {8 – 5b} \right)}}$.

Câu 70: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a > b > 1$ và $\frac{1}{{lo{g_b}a}} + \frac{1}{{lo{g_a}b}} = \sqrt {2026} $. Giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{{lo{g_{ab}}b}} – \frac{1}{{lo{g_{ab}}a}}$ bằng

A. $\sqrt {2024} $.

B. $\sqrt {2022} $.

C. $\sqrt {2026} $.

D. $\sqrt {2025} $.

Lời giải

Chọn B

Do $a > b > 1$ nên $lo{g_a}b > 0,lo{g_b}a > 0$ và $lo{g_b}a > lo{g_a}b$.

Ta có: $\frac{1}{{lo{g_b}a}} + \frac{1}{{lo{g_a}b}} = \sqrt {2026} $

$ \Leftrightarrow lo{g_b}a + lo{g_a}b = \sqrt {2026} $

$ \Leftrightarrow log_b^2a + log_a^2b + 2 = 2026$

$ \Leftrightarrow log_b^2a + log_a^2b = 2024$

Khi đó, $P = lo{g_b}ab – lo{g_a}ab$

$ = lo{g_b}a + lo{g_b}b – lo{g_a}a – lo{g_a}b = lo{g_b}a – lo{g_a}b$

Suy ra: ${P^2} = {\left( {lo{g_b}a – lo{g_a}b} \right)^2} = log_b^2a + log_a^2b – 2$

$ = 2024 – 2 = 2022 \Rightarrow P = \sqrt {2022} $