40 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Lôgarit Theo Dạng Giải Chi Tiết

40 câu trắc nghiệm phương trình lôgarit theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Phương pháp

1. Dạng cơ bản: Với a $ > 0,a \ne 1$: ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$

2. Đưa về cùng cơ số: Với a $ > 0,a \ne 1$ : $lo{g_a}f\left( x \right) = lo{g_a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = g\left( x \right)} \\
{f\left( x \right) > 0} \\
{g\left( x \right) > 0}
\end{array}} \right.$

3. Mũ hóa: Với $a > 0,a \ne 1:lo{g_a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}} \\
{f\left( x \right) > 0}
\end{array}} \right.$

Câu 1. Nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) = 0$ là

A. $x = 1$.

B. $x = \frac{3}{4}$.

C. $x = \frac{2}{3}$.

D. $x = \frac{1}{2}$.

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0}$
$ \Leftrightarrow 2x – 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = 1$.

Câu 2. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x + 4} \right) = 3$ là

A. $x = 5$.

B. $x = 4$.

C. $x = 2$.

D. $x = 12$.

Lời giải

Chọn B.

Ta có $lo{g_2}\left( {x + 4} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4\left( {t/m} \right)$.

Câu 3. Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {5x} \right) = 2$ là

A. $x = \frac{8}{5}$.

B. $x = 9$.

C. $x = \frac{9}{5}$.

D. $x = 8$.

Lời giải

Chọn C.

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $lo{g_3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}$.

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3$ là

A. $\left\{ { – \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}$

B. $\left\{ { – 3;3} \right\}$

C. $\left\{ { – 3} \right\}$

D. $\left\{ 3 \right\}$

Lời giải

Chọn B.

$lo{g_2}\left( {{x^2} – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$.

Câu 5. Tập nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1$ là :

A. $\left\{ 0 \right\}$

B. $\left\{ {0;1} \right\}$

C. $\left\{ { – 1;0} \right\}$

D. $\left\{ 1 \right\}$

Lời giải

Chọn B.

$lo{g_2}\left( {{x^2} – x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = 1}
\end{array}} \right.$

Câu 6. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0$ bằng

A. 6

B. 5

C. 13

D. 7

Lời giải

Chọn C.

$lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – 5x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 7 = 1 $

$\Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 2 \vee {x_2} = 3 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 13$

Câu 7. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là

A. -3 .

B. $a$.

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

$lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 5 = 5 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = 0}
\end{array}} \right.$.

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình $lo{g_5}\left( {{x^2} – 3x + 5} \right) = 1$ là 0 .

Câu 8. Số nghiệm dương của phương trình $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0$ là

A. 2 .

B. 4 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn A.

Có $ln\left| {{x^2} – 5} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} – 5} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 5 = 1} \\
{{x^2} – 5 = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \sqrt 6 } \\
{x = – \sqrt 6 } \\
{x = 2} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm dương là $x = \sqrt 6 ,x = 2$.

DẠNG 2: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Câu 9. Nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$

A. $x = 4$.

B. $x = 2$.

C. $x = 3$.

D. $x = – 3$.

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > – \frac{1}{4}$. Ta có:
$lo{g_3}\left( {x + 1} \right) + 1 = lo{g_3}\left( {4x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4x + 1 > 0} \\
{3\left( {x + 1} \right) = 4x + 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > \frac{{ – 1}}{4}} \\
{x = 2}
\end{array} \Leftrightarrow x = 2.} \right.} \right.$

Vậy: Nghiệm của phương trình là $x = 2$.

Câu 10. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}9x – 5 = 0$.

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Chọn C.

+ Điều kiện $x > 0$

+ Phương trình $ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {6 + x} \right) + lo{g_3}x = 3 \Leftrightarrow lo{g_3}x\left( {6 + x} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 27 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3} \\
{x = – 9\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.$.

Suy ra phương trình có 1 nghiệm.

Vậy số nghiệm của phương trình là 1.

Câu 11. Tìm số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$

A. 0 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > 1$

Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) = 4 \Leftrightarrow {x^2} – x – 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt {17} }}{2}} \\
{x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}}
\end{array}} \right.$ Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}$.

Câu 12. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x – 1} \right) + lo{g_{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) = 1$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$

B. $S = \left\{ {2 – \sqrt 5 ;2 + \sqrt 5 } \right\}$

C. $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

D. $S = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}$

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 > 0} \\
{x + 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1\,\left( * \right)} \right.$.

Phương trình $ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) – lo{g_2}\left( {x + 1} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}\left( {x – 1} \right) = lo{g_2}\left( {x + 1} \right) + lo{g_2}2$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 1)^2} = lo{g_2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right]$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 2x + 2$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 – \sqrt 5 \left( L \right)} \\
{x = 2 + \sqrt 5 }
\end{array}} \right.$.

Vậy tập nghiệm phương trình $S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

Câu 13. Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1$.

A. $S = \left\{ 3 \right\}$

B. $S = \left\{ 4 \right\}$

C. $S = \left\{ 1 \right\}$

D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 1 > 0} \\
{x – 1 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > \frac{{ – 1}}{2}} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.

Ta có $lo{g_3}\left( {2x + 1} \right) – lo{g_3}\left( {x – 1} \right) = 1 \Leftrightarrow lo{g_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = 3 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa)

Câu 14. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1$ là

A. 6

B. 5

C. 4

D. 0

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $x \ne 0$.
Ta có
$lo{g_4}{x^2} – lo{g_2}3 = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}{x^2} = 1 + lo{g_2}3$
$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^2} = 2 \cdot lo{g_2}6 \Leftrightarrow {x^2} = {6^2}$
Do đó, tổng các nghiệm sẽ bằng 0

Câu 15. Cho phương trình $lo{g_2}{(2x – 1)^2} = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$. Số nghiệm thực của phương trình là:

A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > 2$.

Phương trình đã cho tương đương với: $2lo{g_2}\left( {2x – 1} \right) = 2lo{g_2}\left( {x – 2} \right)$

$ \Leftrightarrow 2x – 1 = x – 2 \Leftrightarrow x = – 1$

Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 16. Số nghiệm của phương trình $ln\left( {x + 1} \right) + ln\left( {x + 3} \right) = ln\left( {x + 7} \right)$ là

A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > – 1$

$PT \Leftrightarrow ln\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] = ln\left( {x + 7} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) = x + 7$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 4 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1} \\
{x = – 4}
\end{array}} \right.$

Câu 17. Biết phương trình $lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_4}9$ có hai nghiệm thực ${x_1},{x_2}$. Tích ${x_1} \cdot {x_2}$ bằng:

A. -8 .

B. -2 .

C. 1 .

D. 5 .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: $lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_4}9 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 5x + 1} \right) = lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 1 = 3 > 0\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 2 = 0\left( * \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ có $a.c = – 2 < 0$ nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy ${x_1} \cdot {x_2} = – 2$.

Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125$ là

A. $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

B. $\frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}$.

C. 3 .

D. $\sqrt {33} $.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > 2$

$lo{g_2}\left( {x – 1} \right) + lo{g_2}\left( {x – 2} \right) = lo{g_5}125 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}} \\
{x = \frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}}
\end{array}} \right.$

Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm $x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$ thỏa mãn.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

Câu 19. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Lời giải

Chọn C.

Đk: $x > 6$

Ta có: $lo{g_3}x + lo{g_3}\left( {x – 6} \right) = lo{g_3}7 \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {x\left( {x – 6} \right)} \right] = lo{g_3}7 $
$\Leftrightarrow {x^2} – 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 7}
\end{array}} \right.$

So với điều kiên vậy phương trình có một nghiệm $x = 7$

Câu 20. Số nghiệm của phương trình $lo{g_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + lo{g_{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0$ là

A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn D.

Viết lại phương trình ta được

Câu 21. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}x \cdot lo{g_9}x \cdot lo{g_{27}}x \cdot lo{g_{81}}x = \frac{2}{3}$ bằng

A. 0 .

B. $\frac{{80}}{9}$.

C. 9 .

D. $\frac{{82}}{9}$.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện $x > 0$.

Phương trình đã cho tương đương với

$lo{g_3}x \cdot \frac{1}{2} \cdot lo{g_3}x \cdot \frac{1}{3}lo{g_3}x \cdot \frac{1}{4}lo{g_3}x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\left( {lo{g_3}x} \right)^4} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_3}x = 2} \\
{lo{g_3}x = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 9} \\
{x = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right.} \right.$

Câu 22. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là

A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

B. $x = \sqrt[3]{3}$.

C. $x = \frac{1}{3}$.

D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

Câu 23. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1$. Số phần tử của tập $S$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải

Chọn C.

ĐK: $x > – 1$

$lo{g_{\sqrt 2 }}\left( {x + 1} \right) = lo{g_2}\left( {{x^2} + 2} \right) – 1 \Rightarrow {(x + 1)^2} = \frac{{{x^2} + 2}}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0\left( {TM} \right)} \\
{x = – 4\left( L \right)}
\end{array}} \right.$

Vậy tập nghiệm có một phần tử

Câu 24. Số nghiệm thục của phương trình $3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3$ là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện: $x > 5$

$3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) – lo{g_{\frac{1}{3}}}{(x – 5)^3} = 3 \Leftrightarrow 3lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + 3lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 3 $
$\Leftrightarrow lo{g_3}\left( {x – 1} \right) + lo{g_3}\left( {x – 5} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 $

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt 7 $

Câu 25. Tổng các nghiệm của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ là $S = a + b\sqrt 2 $ (với $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $Q = a \cdot b$ bằng

A. 0 .

B. 3 .

C. 9 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: $2 < x \ne 4$.

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

$2{\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left( {x – 2} \right) + 2{\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow {\text{lo}}{{\text{g}}_3}\left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left| {x – 4} \right| = 1$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = 1} \\
{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – 6x + 7 = 0} \\
{{x^2} – 6x + 9 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 \pm \sqrt 2 } \\
{x = 3}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

So sánh điều kiện, ta nhận hai nghiệm ${x_1} = 3 + \sqrt 2 ;{x_2} = 3$

Ta được: $S = {x_1} + {x_2} = 6 + \sqrt 2 \Rightarrow a = 6;b = 1$.

Vậy $Q = a \cdot b = 6$.

Câu 26. Nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 $ là

A. $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

B. $x = \sqrt[3]{3}$.

C. $x = \frac{1}{3}$.

D. $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $lo{g_2}x + lo{g_4}x = lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 \Leftrightarrow lo{g_2}x + \frac{1}{2}lo{g_2}x = – \frac{1}{2}lo{g_2}3$

$ \Leftrightarrow 2lo{g_2}x + lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow 3lo{g_2}x + lo{g_2}3 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{x^3} + lo{g_2}3 = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {3{x^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^3} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

So với điều kiện, nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$.

Câu 27. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $\frac{1}{2}log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log8x – log4x$ bằng

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn C.

Phương trình $\frac{1}{2}log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log8x – log4x$ điều kiện $x > 2 + \sqrt 5 $

$ \Rightarrow log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = 2log\left( {\frac{{8x}}{{4x}}} \right)$

$ \Leftrightarrow log\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = log\left( {{2^2}} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 4$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 5}
\end{array}} \right.$. Nghiệm $x = – 1$ loại, $x = 5$ thỏa mãn.

Suy ra tổng các nghiệm là 5 .

Câu 28. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $2lo{g_2}\left( {2x – 2} \right) + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng

A. $6 + \sqrt 2 $.

B. $8 + \sqrt 2 $.

C. 8 .

D. $4 + \sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn D.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 1} \\
{x \ne 3}
\end{array}} \right.$.

$2lo{g_2}\left( {2x – 2} \right) + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2 \Leftrightarrow lo{g_2}{(2x – 2)^2} + lo{g_2}{(x – 3)^2} = 2$.

$ \Leftrightarrow lo{g_2}{[\left( {2x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)]^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} – 8x + 6} \right)^2} = {2^2}$.

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{x^2} – 8x + 6 = 2} \\
{2{x^2} – 8x + 6 = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 4x + 2 = 0\left( 1 \right)} \\
{{x^2} – 4x + 4 = 0\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.} \right.$.

$ + )\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + \sqrt 2 } \\
{x = 2 – \sqrt 2 \left( l \right)}
\end{array}} \right.$.

+) $\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = 2$.

$ \Rightarrow S = \left\{ {2;2 + \sqrt 2 } \right\}$.

Vậy tổng các nghiệm của $S$ là: $2 + 2 + \sqrt 2 = 4 + \sqrt 2 $.

Câu 29. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$.

A. $6 + \sqrt 2 $.

B. 6 .

C. $3 + \sqrt 2 $.

D. 9 .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 2} \\
{x \ne 4}
\end{array}} \right.$.

Ta có: $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0 \Rightarrow {[\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)]^2} = 1$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $lo{g_{\sqrt 3 }}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}{(x – 4)^2} = 0$ bằng $6 + \sqrt 2 $.

Câu 30. Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}log{x^2} + log\left( {x + 10} \right) = 2 – log4$. Tính $S$ ?

A. $S = – 10$.

B. $S = – 15$.

C. $S = – 10 + 5\sqrt 2 $.

D. $S = 8 – 5\sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{x > – 10}
\end{array}} \right.$.

Phương trình: $\frac{1}{2}log{x^2} + log\left( {x + 10} \right) = 2 – log4 \Leftrightarrow log\left| x \right| + log\left( {x + 10} \right) + log4 = 2$

$ \Leftrightarrow log\left[ {4\left| x \right|\left( {x + 10} \right)} \right] = 2 \Leftrightarrow 4\left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 100 \Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 10} \right) = 25\left( * \right)$.

• Khi $ – 10 < x < 0$ :

Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow – x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = – 5\left( {t/m} \right)$.

• Khi $x > 0$ :

Phương trình $\left( * \right) \Leftrightarrow x\left( {x + 10} \right) = 25 \Leftrightarrow {x^2} + 10x – 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 5 + 5\sqrt 2 \left( {t/m} \right)} \\
{x = – 5 – 5\sqrt 2 \left( l \right)}
\end{array}} \right.$.

Vậy $S = – 5 + \left( { – 5 + 5\sqrt 2 } \right) = – 10 + 5\sqrt 2 $.

Câu 31. Biết rằng phương trình $2ln\left( {x + 2} \right) + ln4 = lnx + 4ln3$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$.

Tính $P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$.

A. $\frac{1}{4}$.

B. 64 .

C. $\frac{1}{{64}}$.

D. 4 .

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 2 > 0} \\
{x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 0\left( * \right)} \right.$.

Phương trình $ \Leftrightarrow ln{(x + 2)^2} + ln4 = lnx + ln{3^4} \Leftrightarrow ln\left[ {4{{(x + 2)}^2}} \right] = ln\left( {x{{.3}^4}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \cdot {3^4} > 0} \\
{4{{(x + 2)}^2} = 81x}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 16} \\
{x = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.} \right.$ thỏa mãn $\left( * \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = \frac{1}{4}} \\
{{x_2} = 16}
\end{array} \Rightarrow P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{64}}} \right.$.

Câu 32. Phương trình $lo{g_{49}}{x^2} + \frac{1}{2}lo{g_7}{(x – 1)^2} = lo{g_7}\left( {lo{g_{\sqrt 3 }}3} \right)$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 0} \\
{x \ne 1}
\end{array}} \right.$. $lo{g_{49}}{x^2} + \frac{1}{2}lo{g_7}{(x – 1)^2} = lo{g_7}\left( {lo{g_{\sqrt 3 }}3} \right) \Leftrightarrow lo{g_7}\left| x \right| + lo{g_7}\left| {x – 1} \right| = lo{g_7}2 \Leftrightarrow lo{g_7}\left| {x\left( {x – 1} \right)} \right| = lo{g_7}2$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x – 1} \right) = 2} \\
{x\left( {x – 1} \right) = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x – 2 = 0} \\
{{x^2} – x + 2 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Câu 33. Số nghiệm của phương trình $lo{g_4}{\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} – lo{g_2}{(4x)^4} + 10 = 0$ là:

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_4}{\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} – lo{g_2}{(4x)^4} + 10 = 0$

Điều kiện: $x \ne 0$

(4)$ \Leftrightarrow lo{g_4}{x^2} – lo{g_4}{4^2} – lo{g_2}{4^4} – lo{g_2}{x^4} + 10 = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left| x \right| – 2 – 8 – 4lo{g_2}\left| x \right| + 10 = 0$

$\Leftrightarrow lo{g_2}\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = {2^0} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\,\,$ (thỏa ĐK).

Câu 34. Phương trình $lo{g_4}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_4}x} \right) = 2$ có tổng các nghiệm là:

A. 16 .

B. 10 .

C. 4 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_4}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_4}x} \right) = 2$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{lo{g_2}x > 0} \\
{lo{g_4}x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x > {2^0}} \\
{x > {4^0}}
\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$

(8)$ \Leftrightarrow lo{g_{{2^2}}}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_{{2^2}}}x} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {\frac{1}{2}lo{g_2}x} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) + lo{g_2}\frac{1}{2} = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) = 3$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {lo{g_2}x} \right) = 2 \Leftrightarrow lo{g_2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16$

Câu 35. Phương trình $lo{g_2}\frac{{x – 5}}{{x + 5}} + lo{g_2}\left( {{x^2} – 25} \right) = 0$ có tổng các nghiệm là:

A. 6 .

B. 10 .

C. 4 .

D. 1 .

Lời giải

Chọn A.

$lo{g_2}\frac{{x – 5}}{{x + 5}} + lo{g_2}\left( {{x^2} – 25} \right) = 0$ Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{x – 5}}{{x + 5}} > 0} \\
{{x^2} – 25 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < – 5} \\
{x > 5}
\end{array}} \right.} \right.$

$\left( 7 \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\frac{{\left( {x – 5} \right)\left( {{x^2} – 25} \right)}}{{x + 5}} = 0 \Leftrightarrow lo{g_2}{(x – 5)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| {x – 5} \right| = 1$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 6\left( N \right)} \\
{x = 4\left( L \right)}
\end{array} \Leftrightarrow x = 6} \right.$

Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 5x + 6} + lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt {x – 2} = \frac{1}{2}lo{g_{\frac{1}{{81}}}}{(x + 3)^4}$ bằng

A. $\sqrt {10} $.

B. $3\sqrt {10} $.

C. 0 .

D. 3 .

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện: $x > 3$.

$lo{g_3}\sqrt {{x^2} – 5x + 6} + lo{g_{\frac{1}{3}}}\sqrt {x – 2} = \frac{1}{2}lo{g_{\frac{1}{{81}}}}{(x + 3)^4}$

$\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) – \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {x – 2} \right) = – \frac{1}{2}lo{g_3}\left( {x + 3} \right)$

$\; \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{x^2} – 5x + 6} \right) – lo{g_3}\left( {x – 2} \right) + lo{g_3}\left( {x + 3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow lo{g_3}\left( {{x^2} – 9} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2} – 9 = 1 \Leftrightarrow x = \sqrt {10} \,\,$(Do điều kiện)

Câu 37. Cho phương trình $lo{g_4}{(x + 1)^2} + 2 = lo{g_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 – x} + lo{g_8}{(4 + x)^3}$. Tổng các nghiệm của phương trình trên là

A. $4 + 2\sqrt 6 $.

B. -4 .

C. $4 – 2\sqrt 6 $.

D. $2 – 2\sqrt 3 $.

Lời giải

Chọn C.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{(x + 1)}^2} > 0} \\
{4 – x > 0} \\
{4 + x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – 1} \\
{ – 4 < x < 4}
\end{array}} \right.} \right.$.

$lo{g_4}{(x + 1)^2} + 2 = lo{g_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 – x} + lo{g_8}{(4 + x)^3}$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left| {x + 1} \right| + lo{g_2}4 = lo{g_2}\left( {4 – x} \right) + lo{g_2}\left( {4 + x} \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}4\left| {x + 1} \right| = lo{g_2}\left( {16 – {x^2}} \right) \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 – {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4\left( {x + 1} \right) = 16 – {x^2}} \\
{4\left( {x + 1} \right) = – \left( {16 – {x^2}} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + 4x – 12 = 0} \\
{{x^2} – 4x – 20 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2} \\
{x = – 6} \\
{x = 2 + 2\sqrt 6 } \\
{x = 2 – 2\sqrt 6 }
\end{array}} \right.$. So với điều kiện phương trình trình có 2 nghiệp $x = 2;x = 2 – 2\sqrt 6 $. Vậy tổng các nghiệm là $4 – 2\sqrt 2 $.

Câu 38. Cho phương trình $lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$. Biết phương trình có một nghiệm là 1 và một nghiệm còn lại có dạng $x = \frac{1}{2}\left( {{a^{lo{g_b}c}} + {a^{ – lo{g_b}c}}} \right)$ (với $a,c$ là các số nguyên tố và $a > c)$. Khi đó giá trị của ${a^2} – 2b + 3c$ bằng:

A. 0 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 4 .

Lời giải

Chọn B.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 \leqslant x \leqslant 1} \\
{x – \sqrt {{x^2} – 1} > 0}
\end{array}} \right.$

$lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right|$

$ \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}\frac{1}{{\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}} = lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$

$ \Leftrightarrow – lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}6 \cdot lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$

$ \Leftrightarrow lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\left[ {lo{g_3}6 \cdot lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + 1} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_6}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0} \\
{lo{g_3}6 \cdot lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + 1 = 0}
\end{array}} \right.$

(1) $ \Leftrightarrow x – \sqrt {{x^2} – 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 1} = x – 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \geqslant 1} \\
{{x^2} – 1 = {{(x – 1)}^2}}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1} \right.$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \cdot lo{g_3}6 = – 1 \Leftrightarrow lo{g_2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = lo{g_6}3$

$ \Leftrightarrow x – \sqrt {{x^2} – 1} = {2^{lo{g_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \leqslant {2^{lo{g_6}3}}} \\
{{x^2} – 1 = {{\left( {{2^{lo{g_6}3}} – x} \right)}^2}}
\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{lo{g_6}3}} + {2^{ – lo{g_6}3}}} \right)} \right.$ (thỏa mãn $\left. {\left( * \right)} \right)$

Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x = 1,x = \frac{1}{2}\left( {{3^{lo{g_6}2}} + {3^{ – lo{g_6}2}}} \right)$.

Khi đó $a = 3,b = 6,c = 2$.

Vậy ${a^2} – 2b + 3c = 3$.

Câu 39. Phương trình ${5^{ – 2lo{g_{0,04}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{\frac{1}{8}}}{4^x} = 0$ có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( { – 8; – 4} \right)$.

B. $\left( { – 4;0} \right)$.

C. $\left( {0;4} \right)$.

D. $\left( {4;10} \right)$.

Lời giải

Chọn C. ${5^{ – 2lo{g_{0,04}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{\frac{1}{8}}}{4^x} = 0\left( 1 \right)$

Điều kiện: $3 – 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{3}{4} \Leftrightarrow – \frac{{\sqrt 3 }}{2} < x < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {5^{ – 2lo{g_{{5^{ – 2}}}}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} + \frac{3}{2}lo{g_{{2^{ – 3}}}}{4^x} = 0 \Leftrightarrow {5^{lo{g_5}\left( {3 – 4{x^2}} \right)}} – \frac{1}{2}lo{g_2}{2^{2x}} = 0.$

$ \Leftrightarrow {\left( {3 – 4{x^2}} \right)^{lo{g_5}5}} – \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot lo{g_2}2 = 0 \Leftrightarrow 3 – 4{x^2} – x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\left( L \right)} \\
{x = \frac{3}{4}\left( N \right)}
\end{array}} \right.$

Câu 40. Phương trình ${8^{lo{g_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3}$ có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( { – 8; – 4} \right)$.

B. $\left( { – 4;0} \right)$.

C. $\left( {0;4} \right)$.

D. $\left( {4;10} \right)$.

Lời giải

Chọn C.

${8^{lo{g_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3}$

Điều kiện: ${x^2} – 8 > 0 \Rightarrow \left| x \right| > 2\sqrt 2 $

(5)$ \Leftrightarrow {2^{3{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = {(x – 2)^3} \Leftrightarrow {\left[ {{2^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}}} \right]^3} = {(x – 2)^3} \Leftrightarrow {2^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}\left( {{x^2} – 8} \right)}} = x – 2$
$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} – 8} \right)^{{\text{lo}}{{\text{g}}_2}2}} = x – 2 \Leftrightarrow {x^2} – 8 = x – 2 \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2} \\
{x = 3}
\end{array}.} \right.$

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: $x = 3$.