- Trắc Nghiệm Bài 18 Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Rút Gọn Biểu Thức Lôgarit Giải Chi Tiết
- Trắc Nghiệm Tính Biểu Thức Lôgarit Thỏa Điều Kiện Cho Trước Giải Chi Tiết
- Trắc Nghiệm Tính Biểu Thức Lôgarit Theo a, b, c Có Lời Giải Chi Tiết
- Trắc Nghiệm Vận Dụng Cao Biến Đổi Lôgarit Và Tính Biểu Thức Giải Chi Tiết
- Trắc Nghiệm Bài 20 Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Theo Dạng Giải Chi Tiết
- 40 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Lôgarit Theo Dạng Giải Chi Tiết
- 35 Câu Trắc Nghiệm Bất Phương Trình Mũ Theo Dạng Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Bất Phương Trình Lôgarit Theo Dạng Giải Chi Tiết
- 70 Câu Trắc Nghiệm Lãi Suất Theo Từng Dạng Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Lũy Thừa Với Mũ Số Thực Theo Mức Độ Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Lôgarit Có Lời Giải Chi Tiết
- 60 Câu Trắc Nghiệm Bài Lôgarit Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- 70 Câu Trắc Nghiệm Bài Lôgarit Mức Vận Dụng Giải Chi Tiết
- Các Dạng Toán Bài Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Giải Chi Tiết
- 40 Câu Trắc Nghiệm Bài Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Mức Thông Hiểu
- 50 Câu Trắc Nghiệm Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Mức Vận Dụng
- Các Dạng Toán Bài Phương Trình Bất Phương Trình Mũ Và Lôgarit Giải Chi Tiết
- 60 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Mũ Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
- 50 Câu Trắc Nghiệm Phương Trình Lôgarit Mức Thông Hiểu Giải Chi Tiết
60 câu trắc nghiệm phương trình mũ mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Phương pháp: Với $0 < a \ne 1$ và $b > 0$, ta có:
${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
Câu 1: Nghiệm của phương trình ${3^x} = 11$ là
A. $x = 0$.
B. $x = 1$.
C. $x = {\log _{11}}3$.
D. $x = {\log _3}11$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^x} = 11 \Leftrightarrow x = {\log _3}11$.
Câu 2: Nghiệm của phương trình ${3^x} = 4$ là
A. $x = 0$.
B. $x = 1$.
C. $x = \frac{1}{2}{\log _2}3$.
D. $x = 2{\log _3}2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^x} = 4 \Leftrightarrow x = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _3}{2^2} \Leftrightarrow x = 2{\log _3}2$.
Câu 3: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 5}} = 7$ là
A. $x = – 5 + {\log _3}7$.
B. $x = 5 + {\log _3}7$.
C. $x = – 5 + {\log _7}3$.
D. $x = 5 + {\log _7}3$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{x + 5}} = 7 \Leftrightarrow x + 5 = {\log _3}7 \Leftrightarrow x = – 5 + {\log _3}7$.
Câu 4: Nghiệm của phương trình ${7^{5 – x}} = 3$ là
A. $x = – 5 – {\log _7}3$.
B. $x = 5 + {\log _7}3$.
C. $x = 5 – {\log _7}3$.
D. $x = 10 – {\log _7}3$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${7^{5 – x}} = 3 \Leftrightarrow 5 – x = {\log _7}3$
$ \Leftrightarrow – x = – 5 + {\log _7}3 \Leftrightarrow x = 5 – {\log _7}3$.
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Phương pháp: Với $0 < a \ne 1$, ta có:
${a^u} = {a^v} \Leftrightarrow u = v$
Câu 1: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = 27$ là
A. $x = 4$.
B. $x = 3$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{x – 1}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x – 1}} = {3^3} \Leftrightarrow x – 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$.
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$.
Câu 2: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = 9$ là:
A. $x = – 2$.
B. $x = 3$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn B
${3^{x – 1}} = 9 \Leftrightarrow x – 1 = lo{g_3}9 \Leftrightarrow x – 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$
Câu 3: Nghiệm của phương trình ${3^{x – 5}} = 3$ là
A. $x = – 3$.
B. $x = 3$.
C. $x = 6$.
D. $x = – 4$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${3^{x – 5}} = 3 \Leftrightarrow {3^{x – 5}} = {3^1} \Leftrightarrow x – 5 = 1 \Leftrightarrow x = 6$.
Câu 4: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 1}} = 1$ là
A. $x = 1$.
B. $x = 2$.
C. $x = – 2$.
D. $x = – 1$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${3^{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {3^0} \Leftrightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 5: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 2}} = 27$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = – 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3} \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 4}} = {2^x}$ là
A. $x = 16$.
B. $x = – 16$.
C. $x = – 4$.
D. $x = 4$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${2^{2x – 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x – 4 = x \Leftrightarrow x = 4$.
Câu 7: Nghiệm của phương trình ${5^{2x – 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}$ là
A. $x = 8$.
B. $x = – 8$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${5^{2x – 3}} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x} \Leftrightarrow {5^{2x – 3}} = {\left( {{5^{\frac{1}{2}}}} \right)^x}$.
$ \Leftrightarrow {5^{2x – 3}} = {5^{\frac{1}{2}x}} \Leftrightarrow 2x – 3 = \frac{1}{2}x$
$ \Leftrightarrow 4x – 6 = x \Leftrightarrow x = 2$
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$.
Câu 8: Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x}$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = \frac{2}{3}$.
C. $x = – 4$.
D. $x = \frac{4}{3}$.
Lời giải
Chú ý: ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{ – \alpha }}$
Chọn B
${\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 2}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ – x}}$
$ \Leftrightarrow 2x – 2 = – x \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$.
Câu 9: Nghiệm của phương trình: ${3^{2x – 1}} = 3.\sqrt[5]{3}$ là
A. $x = \frac{1}{{11}}$.
B. $x = \frac{{11}}{{10}}$.
C. $x = 4$.
D. $x = 5$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${3^{2x – 1}} = 3.\sqrt[5]{3} \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = {3.3^{\frac{1}{5}}}$
$ \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = {3^{\frac{6}{5}}} \Leftrightarrow 2x – 1 = \frac{6}{5}$
$ \Leftrightarrow 10x – 5 = 6 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}$.
Câu 10: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{2{x^2} + 1}} = 27$ là
A. $S = \left\{ { – 1;1} \right\}$ .
B. $S = \left\{ { – 1} \right\}$ .
C. $S = \left\{ { – 2;2} \right\}$ .
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$ .
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{2{x^2} + 1}} = 27 \Leftrightarrow {3^{2{x^2} + 1}} = {3^3}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow 2{x^2} – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Câu 11: Tìm nghiệm của phương trình ${3^{x – 1}} = \frac{1}{3}$
A. $x = 10$
B. $x = 9$
C. $x = 3$
D. $x = 0$
Lời giải
Chọn D
${3^{x – 1}} = {3^{ – 1}} \Leftrightarrow x – 1 = – 1 \Leftrightarrow x = 0$.
Câu 12: Phương trình ${5^{2x + 1}} = 125$ có nghiệm là
A. $x = \frac{5}{2}$
B. $x = 1$
C. $x = 3$
D. $x = \frac{3}{2}$
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${5^{2x + 1}} = 125 \Leftrightarrow {5^{2x + 1}} = {5^3} \Leftrightarrow 2x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 13: Phương trình ${2^{2x + 1}} = 32$ có nghiệm là
A. $x = 3$
B. $x = \frac{5}{2}$
C. $x = 2$
D. $x = \frac{3}{2}$
Lời giải
Chọn C
Ta có ${2^{2x + 1}} = 32 \Leftrightarrow {2^{2x + 1}} = {2^5} \Leftrightarrow 2x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 2$.
Câu 14: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 1}} = 32$ là
A. $x = 2$.
B. $x = \frac{{17}}{2}$.
C. $x = \frac{5}{2}$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{D} $
${2^{2x – 1}} = 32 \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = {2^5} \Leftrightarrow 2x – 1 = 5 \Leftrightarrow x = 3$.
Câu 15: Nghiệm của phương trình ${2^{2x – 1}} = \frac{1}{8}$ là
A. $x = 2$.
B. $x = \frac{5}{2}$.
C. $x = – 1$.
D. $x = \frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${2^{2x – 1}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = \frac{1}{{{2^3}}}$
$ \Leftrightarrow {2^{2x – 1}} = {2^{ – 3}} \Leftrightarrow 2x – 1 = – 3 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình ${3^x} = m$ có nghiệm thực.
A. $m \geqslant 1$
B. $m \geqslant 0$
C. $m > 0$
D. $m \ne 0$
Lời giải
Chú ý: Phương trình ${a^x} = b\,\,(0 < a \ne 1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow b > 0$
Để phương trình ${3^x} = m$ có nghiệm thực thì $m > 0$.
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình ${2024^x} = m – 5$ có nghiệm thực.
A. $m \geqslant 2024$
B. $m \geqslant 0$
C. $m > 5$
D. $m < 5$
Lời giải
Chọn C
Chú ý: Phương trình ${a^x} = b\,\,(0 < a \ne 1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow b > 0$
Để phương trình ${2024^x} = m – 5$ có nghiệm thực thì $m – 5 > 0 \Leftrightarrow m > 5$.
Câu 18: Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${5^{2{x^2} – x}} = 5$.
A. $S = \emptyset $
B. $S = \left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}$
C. $S = \left\{ {0;2} \right\}$
D. $S = \left\{ {1; – \frac{1}{2}} \right\}$
Lời giải
Chọn D
${5^{2{x^2} – x}} = 5 \Leftrightarrow 2{x^2} – x = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Câu 19: Phương trình ${(\sqrt 5 )^{{x^2} + 4x + 6}} = lo{g_2}128$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với: ${x^2} + 4x + 6 = lo{g_{\sqrt 5 }}7 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 6 – lo{g_{\sqrt 5 }}7 = 0$
Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Câu 20: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$.
A. $S = \left\{ {1;3} \right\}$.
B. $S = \left\{ { – 3;1} \right\}$.
C. $S = \left\{ { – 3; – 1} \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Lời giải
Ta có: ${3^{{x^2} – 2x}} = 27 \Leftrightarrow {x^2} – 2x = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 3}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm $S$ của phương trình ${3^{{x^2} – 2x}} = 27$ là $S = \left\{ { – 1;3} \right\}$.
Câu 21: Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 $ là:
A. 1 .
B. 0 .
C. 3 .
D. 2.
Lời giải
Ta có ${e^{{x^2}}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {x^2} = ln\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {ln\sqrt 3 } $.
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 22: Phương trình ${5^{x + 2}} – 1 = 0$ có tập nghiệm là
A. $S = \left\{ 3 \right\}$.
B. $S = \left\{ 2 \right\}$.
C. $S = \left\{ 0 \right\}$.
D. $S = \left\{ { – 2} \right\}$.
Lời giải
Ta có ${5^{x + 2}} – 1 = 0 \Leftrightarrow {5^{x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 2$
Vậy $S = \left\{ { – 2} \right\}$.
Câu 23: Gọi ${x_1},\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${5^{{x^2} – x}} – 25 = 0$. Tính $P = {x_1}^3 + {x_2}^3$.
A. $P = 1$.
B. $P = 7$.
C. $P = 9$.
D. $P = 8$.
Lời giải
Ta có: ${5^{{x^2} – x}} – 25 = 0 \Leftrightarrow {5^{{x^2} – x}} = 25 = 0$
$ \Leftrightarrow {5^{{x^2} – x}} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} – x = 2$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $P = {x_1}^3 + {x_2}^3 = {2^3} + {( – 1)^3} = 7$
Câu 24: Cho biết ${9^x} – {12^2} = 0$, tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{{{3^{ – x – 1}}}} – {8.9^{\frac{{x – 1}}{2}}} + 19$.
A. 31 .
B. 23 .
C. 22 .
D. 15 .
Lời giải
Ta có ${9^x} – {12^2} = 0 \Leftrightarrow {3^x} = 12$.
$P = {3^{x + 1}} – {8.3^{x – 1}} + 19 = {3.3^x} – 8 \cdot \frac{{{3^x}}}{3} + 19$
$ = 3.12 – 8 \cdot \frac{{12}}{3} + 19 = 23.$
Câu 25: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$
A. $ – \frac{5}{2}$.
B. -1 .
C. 1 .
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{1}{2}} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$
Vậy tổng hai nghiệm bằng $ – \frac{5}{2}$.
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${3^{2x – 1}} + 2{m^2} – m – 3 = 0$ có nghiệm.
A. $m \in \left( { – 1;\frac{3}{2}} \right)$.
B. $m \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
C. $m \in \left( {0; + \infty } \right)$.
D. $m \in \left[ { – 1;\frac{3}{2}} \right]$.
Lời giải
Chọn A
${3^{2x – 1}} + 2{m^2} – m – 3 = 0 \Leftrightarrow {3^{2x – 1}} = 3 + m – 2{m^2}$
Phương trình có nghiệm khi $3 + m – 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow – 1 < m < \frac{3}{2}$.
Vậy $m \in \left( { – 1;\frac{3}{2}} \right)$.
Câu 27: Cho a, b là hai số thực khác 0 , biết: ${\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}}$. Tỉ số $\frac{a}{b}$ là:
A. $\frac{{ – 8}}{7}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{{ – 4}}{{21}}$
Lời giải
Ta có $:{\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{625}})^{3{a^2} – 8ab}} \Leftrightarrow {5^{ – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right)}} = {5^{\frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right)}}$
$ \Leftrightarrow – 3\left( {{a^2} + 4ab} \right) = \frac{4}{3}\left( {3{a^2} – 8ab} \right)$
$ \Leftrightarrow 21{a^2} = – 4ab \Leftrightarrow \frac{a}{b} = – \frac{4}{{21}}$
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8$ bằng
A. 0 .
B. -2 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Ta có: ${2^{{x^2} – 2x + 1}} = 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x + 1}} = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 3$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – \sqrt 3 } \\
{x = 1 + \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$
Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $1 – \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 $.
Tổng hai nghiệm là: $\left( {1 – \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + \sqrt 3 } \right) = 2$.
Câu 29: Phương trình ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. 1 .
B. $\frac{5}{2}$.
C. -1 .
D. $ – \frac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Cách 2:
Ta có: ${2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 4}} = {2^2}$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0$
Xét phương trình (1): $\Delta = 9 > 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.
Theo định lý Viet ta có: ${x_1} + {x_2} = – \frac{5}{2}$.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là: $ – \frac{5}{2}$.
Câu 30: Phương trình ${5^{2{x^2} + 5x + 4}} = 25$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. 1
B. $\frac{5}{2}$
C. -1
D. $ – \frac{5}{2}$
Lời giải
Chọn D
${5^{2{x^2} + 5x + 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0$
Tổng các nghiệm là $ – \frac{5}{2}$.
Câu 31: Phương trình ${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49$ có tổng tất cả các nghiệm bằng
A. $ – \frac{5}{2}$.
B. 1 .
C. -1 .
D. $\frac{5}{2}$.
Lời giải
${7^{2{x^2} + 5x + 4}} = 49 \Leftrightarrow {7^{2{x^2} + 5x + 4}} = {7^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 4 = 2$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng: $ – 2 + \left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{5}{2}$.
Câu 32: Nghiệm của phương trình ${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}}$ là:
A. $x = \frac{1}{3}$.
B. $x = 0$.
C. $x = – 1$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn A
${3^{2x + 1}} = {3^{2 – x}} \Leftrightarrow 2x + 1 = 2 – x \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.
Câu 33: Số nghiệm thực của phương trình ${2^{{x^2} + 1}} = 4$ là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
${2^{{x^2} + 1}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 1}
\end{array}} \right.$
Câu 34: Tập nghiệm của phương trình: ${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272$ là
A. $\left\{ {3;2} \right\}$.
B. $\left\{ 2 \right\}$.
C. $\left\{ 3 \right\}$.
D. $\left\{ {3;5} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
${4^{x + 1}} + {4^{x – 1}} = 272 \Leftrightarrow {4.4^x} + \frac{{{4^x}}}{4} = 272 \Leftrightarrow {4^x} = 64 \Leftrightarrow x = 3$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 3 \right\}$.
Câu 35: Phương trình ${27^{2x – 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}}$ có tập nghiệm là
A. $\left\{ { – 1;7} \right\}$.
B. $\left\{ { – 1; – 7} \right\}$.
C. $\left\{ {1;7} \right\}$.
D. $\left\{ {1; – 7} \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${27^{2x – 3}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} + 2}} \Leftrightarrow {3^{6x – 9}} = {3^{ – {x^2} – 2}}$
$ \Leftrightarrow 6x – 9 = – {x^2} – 2 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 7}
\end{array}} \right.$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {1; – 7} \right\}$.
Câu 36: Phương trình ${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72$ có nghiệm là
A. $x = \frac{5}{2}$.
B. $x = 2$.
C. $x = \frac{3}{2}$.
D. $x = 3$.
Lời giải
Chọn B
${3^x} \cdot {2^{x + 1}} = 72 \Leftrightarrow {3^x} \cdot {2^x} \cdot 2 = 72 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2.$
Câu 37: Nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {5^{x + 1}}$ là
A. $x = – 1;x = 2$.
B. $x = 1;x = – 2$.
C. $x = 1;x = 2$.
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {5^{x + 1}} \Leftrightarrow {5^{ – \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)}} = {5^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + 3 = x + 1 \Leftrightarrow – {x^2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}.} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = – 1;x = 2$.
Câu 38: Tập nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {7^{x + 1}}$ là
A. $\left\{ { – 1} \right\}$.
B. $\left\{ { – 1;2} \right\}$.
C. $\left\{ { – 1;4} \right\}$.
D. $\left\{ 2 \right\}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} = {7^{x + 1}} \Leftrightarrow {7^{ – {x^2} + 2x + 3}} = {7^{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow – {x^2} + 2x + 3 = x + 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Câu 39: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}}$ bằng
A. -6 .
B. -5 .
C. 5 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2x}} = {2^{6 – 3x}} \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 6}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng -5 .
Câu 40: Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}}$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng:
A. 17 .
B. 1 .
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
${7^{x + 1}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} – 2x – 3}} \Leftrightarrow {7^{x + 1}} = {7^{ – \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)}}$
$ \Leftrightarrow x + 1 = – {x^2} + 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 2}
\end{array}} \right.$
Vậy $x_1^2 + x_2^2 = 5$.
Câu 41: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng
A. 2 .
B. 5 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Ta có ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}} \Leftrightarrow {5^{3x – 2}} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = 2}
\end{array}} \right.$.
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${5^{3x – 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ – {x^2}}}$ bằng 5 .
Câu 42: Nghiệm của phương trình ${2^{7x – 1}} = {8^{2x – 1}}$ là
A. $x = 2$.
B. $x = – 3$.
C. $x = – 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn C
${2^{7x – 1}} = {8^{2x – 1}} \Leftrightarrow {2^{7x – 1}} = {2^{3 \cdot \left( {2x – 1} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {2^{7x – 1}} = {2^{6x – 3}} \Leftrightarrow 7x – 1 = 6x – 3 \Leftrightarrow x = – 2$.
Câu 43: Giải phương trình ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}}$.
A. $x \geqslant 1$.
B. $x = 1$.
C. $x < 1$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Ta có ${(2,5)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{5x – 7}} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ – x – 1}}$
$ \Leftrightarrow 5x – 7 = – x – 1 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 44: Phương trình ${3^{{x^2} – 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x – 1}}$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$. Tính ${x_1}{x_2}$.
A. -6 .
B. -5 .
C. 6 .
D. -2 .
Lời giải
Ta có ${3^{{x^2} – 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 2 – 6x \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 6 = 0$.
Áp dụng Vi-ét suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì ${x_1}{x_2} = – 6$.
Câu 45: Tổng các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + 2x}} = {8^{2 – x}}$ bằng
A. 5 .
B. -5 .
C. 6 .
D. -6 .
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương: ${2^{{x^2} + 2x}} = {2^{3\left( {2 – x} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 6 – 3x \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 6 = 0$.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là: $S = – \frac{b}{a} = – 5$.
Câu 46: Tập nghiệm của phương trình ${4^{x – {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ là
A. $\left\{ {0;\frac{2}{3}} \right\}$.
B. $\left\{ {0;\frac{1}{2}} \right\}$.
C. $\left\{ {0;2} \right\}$.
D. $\left\{ {0;\frac{3}{2}} \right\}$.
Lời giải
Ta có ${4^{x – {x^2}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{2x – 2{x^2}}} = {2^{ – x}} \Leftrightarrow – 2{x^2} + 2x = – x$
$ \Leftrightarrow – 2{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$.
Câu 47: Tìm nghiệm của phương trình ${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 $.
A. $x = \frac{1}{4}$.
B. $x = – 1 + lo{g_{7 + 4\sqrt 3 }}\left( {2 – \sqrt 3 } \right)$.
C. $x = – \frac{3}{4}$.
D. $x = \frac{{25 – 15\sqrt 3 }}{2}$.
Lời giải
Ta có
${(7 + 4\sqrt 3 )^{2x + 1}} = 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow {(2 + 2\sqrt 3 )^{4x + 2}} = {(2 + \sqrt 3 )^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow 4x + 2 = – 1 \Leftrightarrow 4x = – 3 \Leftrightarrow x = – \frac{3}{4}.$
Câu 48: Tính tổng $S = {x_1} + {x_2}$ biết ${x_1},{x_2}$ là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}}$.
A. $S = – 5$.
B. $S = 8$.
C. $S = 4$.
D. $S = 2$.
Lời giải
Ta có ${2^{{x^2} – 6x + 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x – 3}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 6x + 1}} = {(2)^{ – 2\left( {x – 3} \right)}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 1 = – 2x + 6$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = – 1} \\
{{x_2} = 5}
\end{array} \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = 4} \right.$
Câu 49: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$ là
A. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
B. $S = \left\{ 2 \right\}$
C. $S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{ – 1}}{2}} \right\}$
D. $S = \left\{ {\frac{{ – 1}}{2};2} \right\}$
Lời giải
Ta có
${\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x – 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – (3x – 1)}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 3x + 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} – \frac{{16}}{{49}} = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = \frac{{16}}{{49}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = \frac{{{4^2}}}{{{7^2}}}$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{ – 2x + 1}} = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^2} \Leftrightarrow – 2x + 1 = 2$
$ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1}}{2}.$
Câu 50: Tích các nghiệm của phương trình ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 – 2)^{\frac{{x – 1}}{{x + 1}}}}$ là
A. -2 .
B. -4 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện: $x \ne – 1$
Vì $\left( {\sqrt 5 – 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right) = 1$ nên $\left( {\sqrt 5 – 2} \right) = {(\sqrt 5 + 2)^{ – 1}}$.
Khi đó phương trình đã cho tương đương ${(\sqrt 5 + 2)^{x – 1}} = {(\sqrt 5 + 2)^{\frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}}}$
$ \Leftrightarrow x – 1 = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.$. (thỏa điều kiện)
Suy ra tích hai nghiệm là -2 .
Câu 51: Giải phương trình ${4^{2x + 3}} = {8^{4 – x}}$.
A. $x = \frac{6}{7}$.
B. $x = \frac{2}{3}$.
C. $x = 2$.
D. $x = \frac{4}{5}$.
Lời giải
${4^{2x + 3}} = {8^{4 – x}} \Leftrightarrow {2^{4x + 6}} = {2^{12 – 3x}} \Leftrightarrow 4x + 6 = 12 – 3x \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}$.